第15講設(shè)點設(shè)線技巧之設(shè)點技巧歸納總結(jié)

解答題(共19小題)

1.如圖，已知拋物線=2?(0>0)的焦點為F(1,O),過點尸的直線交拋物線于A、3兩

點，點C在拋物線上，使得AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點。，且。在點尸

右側(cè).記AAFG,ACQG的面積為H，S2.

(1)若直線3的斜率為且，求以線段AB為直徑的圓的面積；

3

(2)求、的最小值及此時點G的坐標.

2.如圖，已知點尸(1,0)為拋物線y2=2px(°>0)的焦點.過點尸的直線交拋物線于A,B

兩點，點C在拋物線上，使得AABC的重心G在x軸上，直線AC交x軸于點Q,且。在點

廠的右側(cè).記AAFG,ACQG的面積分別為百，S2.

(I)求P的值及拋物線的準線方程；

(II)求也的最小值及此時點G的坐標.

(1)求橢圓口的方程;

(2)設(shè)S為橢圓I；的右頂點，過點F的直線4與I；交于M、N兩點(均異于S),直線那、

NS分別交直線x=4于U、V兩點，證明：U、V兩點的縱坐標之積為定值，并求出該定

值;

(3)記以坐標原點為頂點、F(1,O)為焦點的拋物線為1\，如圖，過點尸的直線與上交于A、

3兩點，點C在口上，并使得AABC的重心G在x軸上，直線AC交無軸于點Q,且。在尸

的右側(cè)，設(shè)AAFG、ACQG的面積分別為岳、邑，是否存在銳角。，使得興=(1+手)cos6

成立？請說明理由.

=1的焦距為3拒，其中一條漸近線的方程為尤-3y=0.以雙曲

線C的實軸為長軸，虛軸為短軸的橢圓記為E,過原點。的動直線與橢圓E交于A、3兩

點.

(I)求橢圓E的方程；

(II)若點尸為橢圓的左頂點，PG=2GO,求IMF+|品『的取值范圍；

117

(III)若點產(chǎn)滿足|E4|=|PB|,求證——-+——7+—為定值.

10Al2|0B|2|0P|2

r2v23

5.已知橢圓C:二+斗=1(〃>6>0)的左右焦點分別為片(-1,0)、匿(1,0),且經(jīng)過點P(l,-),

ab2

〃為橢圓上的動點，以M為圓心，M鳥為半徑作圓

(1)求橢圓C的方程；

(2)若圓M與y軸有兩個交點，求點M橫坐標的取值范圍.

6.已知橢圓C:「+多=1(。>6>0)的左、右焦點分別為￡(-1,0),且(1,0),且橢圓C上的

ab

點M滿足AMFXF2=120°.

(1)求橢圓C的標準方程；

(2)作直線垂直于x軸，交橢圓C于點。，R,點P是橢圓C上異于Q,R兩點的任意一

點，直線PQ,m分別與x軸交于S,T兩點，判斷|OSWOT|是否為定值，若是，求出該

定值；若不是，請說明理由.

點P(-73,1).

(1)求橢圓E的標準方程；

(2)設(shè)點M是橢圓E上位于第一象限內(nèi)的動點，A,5分別為橢圓E的左頂點和下頂點,

直線MB與x軸交于點C,直線與y軸交于點￡),求四邊形ABCD的面積.

8.在平面直角坐標系xOy中，橢圓￡:三+當=1(°＞匕＞0)過點A"：),5(72,—).

ab332

(1)求橢圓E的方程；

(2)點。(%,%)是單位圓/+丁=1上的任意一點，設(shè)p,M,N是橢圓E上異于頂點

的三點且滿足中=玉兩+%訴，求證：直線與ON的斜率乘積為定值.

9.在平面直角坐標系xOy中，橢圓E:0+《=1(。＞，＞0)過點4@，@)，B(V2,—).

ab332

(1)求橢圓E的方程；

(2)點。(%,%)是單位圓Y+y2=1上的任意一點，設(shè)尸，M,N是橢圓E上異于頂點

的三點且滿足麗=/麗'+%兩，探討次產(chǎn)+"是否為定值？若是定值，求出該定值;

若不是定值，請說明理由.

10.定義：在平面內(nèi)，點P到曲線「上的點的距離的最小值稱為點尸到曲線「的距離.在平

面直角坐標系xQy中，己知圓加：。-五）2+9=12及點4-后,0）,動點尸到圓M的距

離與到A點的距離相等，記尸點的軌跡為曲線W.

（I）求曲線W的方程；

（II）過原點的直線/（/不與坐標軸重合）與曲線W交于不同的兩點C,。，點E在曲線W

上，且CE_LCD,直線與x軸交于點設(shè)直線DE,CF的斜率分別為《，k2,求

k

kJ

11.已知橢圓cJ+/=l（a>，>0）的離心率為哼，且過點P岑岑），動直線

/:y=履+加交橢圓C于不同的兩點A,B,且次?歷=0（0為坐標原點）

（1）求橢圓C的方程.

（2）討論3〃/-2r是否為定值.若為定值，求出該定值，若不是，請說明理由.

12.已知月，工分別是橢圓￡+/=1（。>1）的左、右焦點，A,3分別為橢圓的上、下頂

a

點，耳到直線A￡的距離為近.

（I）求橢圓的方程；

（II）過尸?的直線交橢圓于M,N兩點，求甄?刃7的取值范圍；

（III）過橢圓的右頂點C的直線/與橢圓交于點。（點。異于點C）,與y軸交于點P（點P

異于坐標原點。），直線的）與3c交于點0.證明：麗?迎為定值.

13.已知橢圓C:[+，=l（a>6>0）經(jīng)過點4（2,1）,且離心率為1.

（I）求橢圓C的方程；

（II）若直線/:y=Ax+m與曲線。相交于異于點A的兩點I）、E,且直線AD與直線AE的

斜率之和為-2,則直線/是否過定點？若是，求出該定點；若不是，說明理由.

14.如圖，在平面直角坐標系xOv中，橢圓。:「+《=1（4>6>0）的離心率為遮，直線

ab2

/:y=2上的點和橢圓。上點的最小距離為1.

（1）求橢圓。的方程；

（2）已知橢圓。的上頂點為A,點3,C是。上的不同于A的兩點，且點8,C關(guān)于原

點對稱，直線至，AC分別交直線/于點E,F.記直線AC與的斜率分別為左，k2.

①求證：%?魚為定值；

②求AAEF的面積的最小值.

15.在平面直角坐標系xOy中，如圖，已知橢圓q+=l的左、右頂點為A、B,右焦

點為F.設(shè)過點T(t,m)的直線7X、7B與橢圓分別交于點,y)、N(x2,%)，其中相>。，

%>0,%<0?

(1)設(shè)動點P滿足P產(chǎn)-加=4,求點尸的軌跡；

(2)設(shè)%=2,x2=1,求點T的坐標；

(3)設(shè)t=9,求證：直線"N必過x軸上的一定點(其坐標與機無關(guān)).

16.已知A是橢圓E：3+q=l的左頂點，斜率為左伏>。)的直線交石于A、M兩點，點、N

在E上，且麗'?麗'=0.

(1)當|AM|=|AN|時，求AAMN的面積；

(2)當191AMl=8|時，求左的值.

17.已知橢圓G:二+"=1(。>6>0)的離心率為走，右焦點/(1,0).過點廠作斜率為

a2b12

左(左w0)的直線/,交橢圓G于A、3兩點，M(2,0)是一個定點.如圖所示，連40、BM,

分別交橢圓G于C、。兩點(不同于A、B),記直線CD的斜率為《.

(I)求橢圓G的方程；

(II)在直線/的斜率左變化的過程中，是否存在一個常數(shù)彳，使得％=2左恒成立？若存在，

求出這個常數(shù)2；若不存在，請說明理由.

18.己知橢圓C：r+與=1(。>6>0)的禺心率為—，半焦距為c(c>0),且a—c=l,經(jīng)過

a