黑龍江省龍東地區(qū)2024-2025學年高一上學期

階段測試(三)數(shù)學試卷

一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有

一項是符合題目要求的.

1.已知集合A==lg(x+l)},B=+x-2<0^,則AB=()

A.1x|-l<x<l}B.|x|-l<x<21

C.1x|-2<x<-l}D.1x|-2<x<1}

【答案】A

[解析]A={無卜=lg(x+l)}=>-ij,_B={尤k2+%_2<o}=1x|-2<x<11,

故AcB={H-lvx<”.

故選：A.

2.已知〃=1.5°?,Z?=log081.2,C=0.8°L則()

A.a>c>bB.c>b>aC.a>b>cD.c>a>b

【答案】A

【解析】因為。=L5°2>l,b=logo81.2<0,c=0.8°2e(0,l),,所以〃>c>4

故選：A.

3.若對任意正數(shù)X,不等式F—恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為()

x+4x

A.[0,+oo)B.一;，+°°]C.D.g，+0°)

【答案】B

【解析】依題意得，當1>0時，Q…%2+4=-3恒成立,

%+一

X

4-------1

又因為%+—..4,當且僅當x=2時取等號，所以4的最大值為一,

x%+—2

x

所以+解得々的取值范圍為［―工,+8).

24

故選：B.

4.下列方程中，不能用二分法求近似解的為()

A.log2x+x=0B.e尤+x=0

c.X2-2X+1=0D.+Inx=0

【答案】C

【解析】對于A,/(x)=log2X+x在(0,+8)上單調遞增,

且/［；)=T+g<0,/(l)=l>0,可以使用二分法，故A錯誤;

對于B,/(%)=3+%在區(qū)上連續(xù)且單調遞增，且〃O)=l>OJ(—1)=『—1<0,

可以使用二分法，故B錯誤;

對于C,X2-2X+1=(X-1)2>0,故不可以使用二分法，故C正確;

對于D,/(x)=?+lnx在(0,+8)上單調遞增，且了--1<0,/(1)=1>0,

e

可以使用二分法，故D錯誤.

故選：C.

5.已知函數(shù)/(X+1)是偶函數(shù)，當1<為<々時，［/(石)一/(々)］(為一％2)>0恒成立，

設a=5=/(2),c=f(3),則a,b,c的大小關系為()

A.c<b<aB.b<a<cC.b<c<aD.a<b<c

【答案】B

【解析】：當1<當<馬時，［/(玉)一/(%)］(七一9)>。恒成立，

.?.當1<七<々時,/(%2)—/(玉)>0，即/(%)>/(%)，

，函數(shù)/(X)在(1,+刃)上為單調增函數(shù)，

:函數(shù)/(九+D是偶函數(shù)，即/(l+x)=/(l-x),

函數(shù)/(X)的圖象關于直線x=l對稱，.

又函數(shù)/(x)在(1,+8)上為單調增函數(shù)，八2)</仁:/(3),

即/(2)</</(3),b<a<c.

故選：B.

2

6.若函數(shù)y=/(x)的解析式為以x)則

1++1+x

/(-2021)+/(-2020)++/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)++/(2021)=(

A.4041B.2021C.2022D.4043

【答案】D

2

2l+x-y/1+x

【解析】因為/(九)=

yl+X2+1+尤x

所以/(-)+小)=i一向F+1+X—yl+X~c

-------------二2,

-XX

則/(-202D+/(-2020)++/(-1)+/(0)+/(1)+/(2)++/(2021)

=[/(-2021)+/(2021)]+[/(-2020)+/(-2020)]+[/(-1)+/(I)]+/(0)

=2021x2+1

=4043.

故選：D.

7.已知函數(shù)〃力是奇函數(shù)，且當x<0時，f(x)=5-x-l,則/(Iog73」og57)的值為

24

B.-2C.一D.-

33

【答案】B

【解析】1%3.1幅7=修!?塞=1叫3=一叫

又xVO時，f(x)=5'x-1,且/(x)為奇函數(shù);

：.y（log73-log57）=/-log5a=~flog5a=-5%_1=_2.

故選：B.

>o

8.已知函數(shù)/（無）=</x，關于x的方程/2（%）—3/（x）+a=o（〃￡R）有8

—x—2X+1,x?0

個不相等的實數(shù)根，則。的取值范圍是（）

A.（3苧B.（2,3）C.（p4）

【答案】D

【解析】令。=/（%）,由/2（同一3/（%）+4=0,得產一2r+a=0，

設關于f的二次方程『-2f+a=0的兩根分別為4、G，

如下圖所示:

由于關于刀的方程/（x）-3〃x）+a=0（。eH）有8個不等的實數(shù)根,

則1<:<2,1<J<2,設g(/)=?—3f+a,

△=9一4〃〉0

9

則<g(l)="2〉0解得2<。<一,

g(2)=a-2〉04

因此實數(shù)。的取值范圍是

故選：D.

二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符

合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得。分.

9.下列說法中正確的是()

尤2+5

A.函數(shù)/(%)=—的最小值為2

6+4

hh+rn

B.若〃>b>0,根>0,則一<-----

aa+m

c.函數(shù)/(力=——的值域為(7,2，(2,+8)

D.函數(shù)/(%)=Jx-l?Jx+l與函數(shù)g(x)=J--1同一個函數(shù)

【答案】BC

小八一Y+5_d+4+l

【解析】A：以)一干FQ7

若yjx2+4=/I=^>x2+4)=1%2=—3,

顯然該方程無實數(shù)解,

‘Jf+4\)

故J-+4力

+4+=2,

龍義+5

因此/(%)==最小值不是2,所以本選項不正確;

V%2+4

B：因為。>〃>0,機>0,

b+mba(b+m)-b[a+rri)m(a-b)

所以>0,

a+maa[a+m)a[a+rn)

b+mh

即----->-,因此本選項正確；

tz+ma

C：因為〃力=至於=空二11二1=2—-—,

x~lx—1x—1

2Y—3

所以“x)w2,因此函數(shù)/(x)=——的值域為(-8,2)1(2,+8),所以本選項正確;

X—1

x-l>0

D：由/(尤)=\/%一1-A/X+I可知:<=>x>l,

x+l>0

所以函數(shù)〃%)=JT萬?而I的定義域為{尤|尤21},

由函數(shù)g(x)=AF可知》2—i20n%221=X21，或尤(一1,

所以函數(shù)g(x)=Vx2-1的定義域為{x\xN1或xW-1},

因為兩個函數(shù)的定義域不同，所以兩個函數(shù)不是同一函數(shù)，因此本選項不正確.

故選：BC.

10.定義在［—1』上的函數(shù)/■(￡)=—29+4-31則下列結論中正確的是()

A./(力的單調遞減區(qū)間是［0『B./(x)的單調遞增區(qū)間是［—1,1］

C./(x)的最大值是〃0)=2D.“X)的最小值是/⑴=—6

【答案】ACD

【解析】設f=33則/=3工是增函數(shù)，且才€；，3,

又函數(shù)y=—2/+由=—2("1『+2在|,1上單調遞增，在［L3］上單調遞減，

因此/(x)在［-1,0］上單調遞增，在［0』上單調遞減，故A正確，B錯誤；

/(X)n1ax=/(。)=2,故C正確；

/(-l)=y,/(1)=-6,因此/(X)的最小值是—6,故D正確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)/'(x)=log2(x+2)-log2(2—X),則下列說法正確是()

A.函數(shù)/(x)的定義域為(—2,2)B.函數(shù)/(x)的值域為(—8,0］

C.函數(shù)/(x)是定義域上的奇函數(shù)D.函數(shù)/(x)是定義域上的偶函數(shù)

【答案】AC

【解析1對于函數(shù)/'(x)=log2(x+2)-log2(2-x),

令9—x>0'解得—2<x<2，函數(shù)/(x)的定義域為(—2,2),故A正確；

因為y=2—x在(―2,2)上單調遞減，y=log2x在定義域上單調遞增,

所以y=log2(2一x)在(-2,2)上單調遞減，所以y=-log?(2-x)在(-2,2)上單調遞增,

同理可得V=log?(x+2)在(-2,2)上單調遞增，

所以/(1)=1。82(%+2)—1082(2—%)為(一2,2)上的增函數(shù)，

x+2

又/（X）=log2（x+2）-log2（2-x）=log.

2-x

x+2x-2+4_4

其中y=

2-xx-2

114

因為一2<x<2,所以Y<x—2<0,所以——<——,所以——<-1,

x—24x—2

44x+2

則——->1,所以—1——->0,即——>0,又y=log2x的值域為R,

x-2x-22-x

，函數(shù)/(%)的值域為R，故B錯誤;

又/(-%)+f{x)=log2(2-x)-Iog2(x+2)+log2(%+2)-log2(2-%)=0,

，函數(shù)/(x)是定義域(-2,2)上的奇函數(shù)，C正確，D錯誤.

故選：AC.

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知集合Af={2,0,—1},N={xb—司<1}.若McN的真子集個數(shù)是3,則實數(shù)。

的取值范圍是.

【答案】—1<。<0

【解析】McN的真子集個數(shù)是3,McN共有〃個元素，所以2"-1=3,n=2.

N={x||x-ti|<1}={x|a-l<x<l+a},

若McN={—1,0},則有《八1二，???一IvavO；

若〃cN={0,2},貝U有「+1〉2，無解?

綜上所述：實數(shù)a的取值范圍是-l<a<0.

13.若/(x)=ln(x2-2ax+l+a)在區(qū)間(-8,1)上遞減，則實數(shù)。的取值范圍為.

【答案】[1,2]

【解析】令g(x)=f-2or+l+a,其對稱軸方程為x=a,

外函數(shù)是對數(shù)函數(shù)且為增函數(shù)，要使函數(shù)/(x)=ln(/—2ax+1+a)在(-8,1)上遞減，

?>1

則=l—2a+l+a>0'即：lWa"2'..?實數(shù)"的取值范圍是工團.

14.已知函數(shù)/(x)=log2X的反函數(shù)為g(x),且有g(a)gS)=16,若b>0,則

41

------+-------的最小值為.

2a+ba+2b

3

【答案】一

4

【解析】函數(shù)/(x)=log2X的反函數(shù)為g(x)=2\

?.?gm)g(3=16,2%2"=16，即2""=16，則a+6=4,

又aNO,b>0,則。+4>0力+4>0,

4141=司。+4)+("4)]]e+看]

-------1-------------1-----

2a+ba+2ba+4b+4

1。?4—4)〃+4)、45+24(。+4)(Q+4)、3

+

12、a+4。+4,。+4/7+44

7

當且僅當a=4力=0時取等號,

413

故------+------的最小值為一.

2a+ba+2b4

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知二次函數(shù)/(x)滿足/(0)=0,請從下列①和②兩個條件中選一個作為已知條件,

完成下面問題.

①/(x+2)=/(x+l)+2x+l；②不等式/(x)<x+4的解集為(—1,4).

(1)求/(x)的解析式；

(2)若在［T耐上的值域為［T3］,求實數(shù)加的取值范圍.

解:⑴設/(%)=依2+/zr+C(QW0)，由/⑼=0得，c=0,即/(%)=改2+區(qū)(〃00),

若選擇①：則a(x+2/+Z?(x+2)=a(x+l)2+6(x+l)+2x+l,

即2以+3〃+6=2x+l,

則2〃=2,3Q+Z?=1,解得a=l,/?=—2,即f(x)=X2—2x；

若選擇②：則不等式加+僅_1卜_4<0的解集為(-1,4),

即a〉0,且方程打2+僅一1卜一4二0的兩根為—1和4,

則(—1)+4=—H,(-1)x4=—,解得a=l,b=-2,即/'(x)=x2—2x.

aa

(2)由(1)知，函數(shù)/(x)=x2—2x開口向上，

對稱軸為直線x=l,且/(1)=-1,/(-1)=3,

若/(%)在［Tm］上的值域為［-L3］，則121，

令2x=3,解得x=—1或x=3,根據(jù)二次函數(shù)的圖象知，mW3,

綜上所述：實數(shù)機的取值范圍為［L3］.

16.某小電子產品2018年的價格為9元/件，年銷量為“件，經銷商計劃在2019年將該電

子產品的價格降為％元/件(其中6.5WXW8.5),經調查，顧客的期望價格為5元/件，經測

算，該電子產品的價格下降后年銷量新增加了一L件(其中常數(shù)左>0).已知該電子產品

x-5

的成本價格為4元/件.

(1)寫出該電子產品價格下降后，經銷商的年收益y與實際價格X的函數(shù)關系式：(年收益

=年銷售收入-成本)

(2)設左=2a,當實際價格最低定為多少時，仍然可以保證經銷商2019年的收益比2018

年至少增長20%?

解：(1)因為該電子產品價格下降后的價格為x元/件，

此時銷量增加到(a+展)件，

此時每件電子產品利潤為X-4元

年收益y=[a+-^J(x-4),6.5<x<8.5.

(2)當左=2。時，依題意有，+—4)2(9—4)ax(l+0.2),

整理得：X2-13X+42>0-所以XW6或XN7,

又6.5WxW8.5,所以7WxW8.5

因此當實際價格最低定為7元/件時，仍然可以保證經銷商2019年的收益比2018年至少增

長20%.

17.己知函數(shù)/(x)=ln(x+a)(aeR)的圖象過點(1,0),g(x)=x1-2efW.

(1)求函數(shù)/(x)的解析式；

(2)若函數(shù)y=/Q)+ln(2x—左)在區(qū)間(1,2)上有零點，求整數(shù)上的值；

(3)設加>0,若對于任意xe—,m,都有g(x)<—lnO—l),求相的取值范圍.

_m_

解：(1)函數(shù)/(x)=ln(x+a)(aeR)的圖像過點(1,0),所以ln(l+a)=0,解得”=0,

所以函數(shù)/(%)的解析式為/(x)=lnx.

(2)由(1)可知y=ln尤+ln(2x-左)=ln(2x2一日)，xe(1,2),

令ln(2尤2—2=0,得2%2_立—1=0，

設/z(x)=2——履—1,則函數(shù)y=/(x)+ln(2x-k)在區(qū)間(1,2)上有零點，

等價于函數(shù)y=/z(x)在(1,2)上有零點，所以c，解得1<左<彳，

因為上eZ,所以左的取值為2或3.

(3)因為加>0且〃2〉一，所以"2>1且0(一<1,

mm

因為g(x)=尤?-2ef(x)-x2-2x=(x-l)2-1,

所以g(x)的最大值可能是g(間或，

…與34。

m)m

所以g(以max=g(〃?)=rr^-2m,

只需g(x)max<-ln(m-l),即療一2人<一InO—l),

設/z(m)=療-2m+ln(m-l)(/n>1),〃(附在(L+℃)上單調遞增，

又7z(2)=O,7〃2-2nz+ln(m-l)<0,即〃(”z)<〃(2),所以

所以機的取值范圍是(1,2).

18.已知函數(shù)〃x)=log2：-log2?14尤44),g(%)=4V+4"'-a-2x—a-2"v+1.

(1)求函數(shù)/(x)的最大值；

⑵設不等式VO的解集為A,若對任意Xi^A,存在尤2G[?！?，使得石=g(%)，

求實數(shù)。的值.

解：(1)/(X)=logo-log2-=(log2x-2)?(log2x-1)

2

=(log2A：)一31og2x+2,

1<%<4,0<log2x<2,

.,.當log2X=0,即x=l時，/(1)=2,

當log2%=2,即*=4時,/(4)=0,

，當尤=1時，/(x)的最大值為2.

(2)由/(x)V0,得l<log2X<2,

即2WxW4,"=[2,4],

設，=2*+2-「則當xe[O,l],2XG[1,2],re2,1,

g(x)=4x+4~x-a-2x-a-2~x+1=(^2X+2~x^-a(^2x+2~x)-l=t2-at-1,

設/?，）=/_at_1,

由題意，A=［2,4］是當fe2,j時，函數(shù)入⑺的值域的子集.

A（2）=3-2G<2,

①當￡42,即aW4時，函數(shù)/?”）在2,|上單調遞增，則<

解得1=7.

2

②當■|2^,即aN5時，函數(shù)可，）在2,|上單調遞減,

③當2<m<g，即4<。<5時，函數(shù)%）在2,|上單調遞減，上單調遞增,

則函數(shù)則的最大值是妝2）與h的較大者.

令/z（2）=3—2aN4,得aW—5,

令"3=3-3。24‘得均不合題意.

[2）422

綜上所述，實數(shù)”的值為上.

2

19.已知函數(shù)/（尤）=2'+"2r的圖象關于原點對稱.

（1）求實數(shù)機的值；

（2）判斷了（力的單調性并用定義證明；

（3）設函數(shù)g（x）=log“［4，+4f+2-4（x）］（a>0且awl）在［OJog??］上的最小值

為b求。的值.

解：⑴因為函數(shù)/（%）=才的圖象關于原點對稱,

貝1J/(X)+/(-x