第六章線(xiàn)性空間6.1

集合映射3、集合間的運(yùn)算

交：；

并：

顯然有，1、證明等式:．證：顯然，．又，

∴，從而,．練習(xí)：

故等式成立．.6.1

集合映射2、已知，

證明：又因，

∴．

又因

，∴．

證：1）此即，因此無(wú)論哪一種情況，都有.此即，

但是.6.1

集合映射例7判斷下列映射的性質(zhì)1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不單射，也不是滿(mǎn)射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿(mǎn)射，但不是單射）

3）M＝，M′＝P，（P為數(shù)域）

σ：σ(A)＝|A|，（是滿(mǎn)射，但不是單射）

（雙射）.6.1

集合映射4）M＝P，M′＝

P為數(shù)域,E為n級(jí)單位矩陣τ：τ(a)＝aE，（是單射，但不是滿(mǎn)射）

σ：σ(a)＝a0，（既不單射，也不是滿(mǎn)射）

6）M＝M′＝P[x]，P為數(shù)域σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是滿(mǎn)射，但不是單射）

7）M是一個(gè)集合，定義I：I(a)＝a，

8）M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（雙射）

（雙射）

5）M、M′為任意非空集合，為固定元素

.6.1

集合映射練習(xí)：找一個(gè)R到R＋的1—1對(duì)應(yīng)．，規(guī)定解：則是R到R＋的一個(gè)映射.∵若，則，

∴是單射．

，存在，使故是1—1對(duì)應(yīng)．

∴是滿(mǎn)射．

.6.1

集合映射2、令，問(wèn)：1）g是不是R＋到R＋的雙射？g是不是f的逆映射？

2）g是不是可逆映射？若是的話(huà)，求其逆．

解：1）g是R＋到自身的雙射．

∵，若，則，g是單射．

并且，即g是滿(mǎn)射．

又∵，

∴，

g不是f的逆映射．事實(shí)上，．

2）g是可逆映射．.6.1

集合映射3、設(shè)映射，證明：1）如果h是單射，那么f也是單射；2）如果h是滿(mǎn)射，那么g也是滿(mǎn)射；3）如果f、g都是雙射，那么h也是雙射，并且這與h是單射矛盾，∴f是單射．證：1）若f不是單射，則存在于是有.6.1

集合映射2）∵

h是滿(mǎn)射，，即，∴g是滿(mǎn)射．又∵3），因?yàn)間是滿(mǎn)射，存在,使又因?yàn)閒

是滿(mǎn)射，存在，使h是滿(mǎn)射．∴.6.1

集合映射∵若，由于f是單射，有又因?yàn)間是單射，有即,∴因而h是雙射．h是單射..6.1

集合映射①n

維線(xiàn)性空間

V

的基不是唯一的，V中任意

n個(gè)②任意兩組基向量是等價(jià)的．

例3（1）證明：線(xiàn)性空間P[x]n是n

維的，且注意：線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量都是V的一組基．

（2）證明：1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－11，x，x2，…，xn－1

為

P[x]n

的一組基．

也為P[x]n的一組基．.6.1

集合映射證:（1）首先，1，x，x2，…，xn－1是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的．

∴1，x，x2，…，xn－1為P[x]n的一組基，從而，P[x]n是n維的.其次，

可經(jīng)1，x，x2，…，xn－1線(xiàn)性表出．

注：在基1，x，x2，…，xn－1下的坐標(biāo)就是此時(shí)，.6.1

集合映射（2）1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的．

又對(duì)

，按泰勒展開(kāi)公式有

即,f(x)可經(jīng)1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1線(xiàn)性表出.∴1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1為P[x]n的一組基．

在基1，x－a，(x－a)2，…，(x－a)n－1下的坐標(biāo)是

注：此時(shí)，.6.1

集合映射若把C看成是實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間呢？

而實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間C為2維的，數(shù)1，i就為例4求全體復(fù)數(shù)的集合C看成復(fù)數(shù)域C上的線(xiàn)性空間的維數(shù)與一組基；解：復(fù)數(shù)域C上的線(xiàn)性空間C是1維的，數(shù)1就是它的一組基；它的一組基．注：任意數(shù)域P看成是它自身上的線(xiàn)性空間是一維的，數(shù)1就是它的一組基..6.1

集合映射解：令

則

是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的．事實(shí)上，由

，即

有

又對(duì)

，有

例5求數(shù)域P上的線(xiàn)性空間的維數(shù)和一組基．

是的一組基，是4維的．

∴

.6.1

集合映射矩陣在基下的

坐標(biāo)就是

一般地，數(shù)域P上的全體矩陣構(gòu)成的線(xiàn)性空間為維的，

注：

就是的一組基．

矩陣單位.6.1

集合映射下的坐標(biāo)，其中

解：設(shè)

，則有線(xiàn)性方程組解之得，

．

∴ξ在基

下的坐標(biāo)為

．

例6在線(xiàn)性空間中求向量在基

.6.1

集合映射

解:數(shù)1是R＋的零元素.即x可由a線(xiàn)性表出.任取R＋中的一個(gè)數(shù)a,且，則a是線(xiàn)性無(wú)關(guān)的.故R＋是一維的，任一正實(shí)數(shù)就是R＋的一組基.練習(xí)1.已知全體正實(shí)數(shù)R＋對(duì)于加法與數(shù)量乘法：構(gòu)成實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間，求R＋的維數(shù)與一組基.

.6.1

集合映射例1在Pn中，求由基

到基

過(guò)渡矩陣．其中

解：∵

的過(guò)渡矩陣及由基

到基

的并求向量在基下的坐標(biāo).

.6.1

集合映射而，∴

.6.1

集合映射到基

由基的過(guò)渡矩陣為

故，由基

到基

的過(guò)渡矩陣為.6.1

集合映射在基下的坐標(biāo)就是設(shè)在基下的坐標(biāo)為，則所以在基下的坐標(biāo)為.6.1

集合映射例2在P4中，求由基

到基

的過(guò)渡矩陣，其中

.6.1

集合映射解：設(shè)

則有

或

，

.6.1

集合映射從而有

.6.1

集合映射∴由基

到基

的過(guò)渡矩陣為.6.1

集合映射練習(xí)：已知的兩組基：求由基的過(guò)渡矩陣，并求矩陣在基下的坐標(biāo)..6.1

集合映射解：設(shè)A在基下的坐標(biāo)為.6.1

集合映射則即A在基下的坐標(biāo)為.6.1

集合映射例5判斷Pn的下列子集合哪些是子空間：

解：W1、W3是Pn的子空間，

W2不是Pn的子空間.若為Pn的子空間，求出其維數(shù)與一組基.事實(shí)上，W1是n元齊次線(xiàn)性方程組的解空間.所以，維W1＝n－1，①的一個(gè)基礎(chǔ)解系①.6.1

集合映射就是W1的一組基.而在

W2中任取兩個(gè)向量，設(shè)則故W2不是Pn的子空間..6.1

集合映射故，W3為V的一個(gè)子空間，且維W3＝n－1，則有

其次，

設(shè)下證W3是Pn的子空間.就是W3的一組基..6.1

集合映射2、線(xiàn)性子空間的判定

，若W對(duì)于V中兩種運(yùn)算封閉，即

則W是V的一個(gè)子空間．

定理：設(shè)V為數(shù)域P上的線(xiàn)性空間，集合

推論：V為數(shù)域P上的線(xiàn)性空間,

則W是V的子空間.6.1

集合映射稱(chēng)為V的由生成的子空間，二、一類(lèi)重要的子空間

——生成子空間

定義：V為數(shù)域P上的線(xiàn)性空間，

則子空間

，記作．稱(chēng)為的一組生成元..6.1

集合映射它擴(kuò)充為P4的一組基，其中例8

求的維數(shù)與一組基，并把解：對(duì)以為列向量的矩陣A作初等行變換.6.1

集合映射由B知，為的一個(gè)極大故，維＝3，就是的一組基.無(wú)關(guān)組..6.1

集合映射則線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而為P4的一組基..6.1

集合映射練習(xí)設(shè)V為數(shù)域P上的線(xiàn)性空間，為V的一組基，且求的一組基，并把它擴(kuò)充為V的一組基..6.1

集合映射令對(duì)A作初等行變換解：.6.1

集合映射則線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而為V的一組基.又由B知，A的列向量線(xiàn)性無(wú)關(guān)，從而線(xiàn)性無(wú)關(guān).故為的一組基..6.1

集合映射例2、在中，設(shè)1）求

的維數(shù)的與一組基；

2）求

的維數(shù)的與一組基.

.6.1

集合映射解：1)任取

設(shè)

則有

(＊)解

得

（t

為任意數(shù)）(＊)即.6.1

集合映射令

t=1，則得

的一組基

為一維的.

2)

對(duì)以為列向量的矩陣A作初等行變換

.6.1

集合映射為3維的，

由B知，為的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組.為其一組基..6.1

集合映射2、和是直和則有即是直和.“”任取證：“”若于是零向量可表成由于是直和，零向量分解式唯一，故.6.1

集合映射證：由維數(shù)公式3、和是直和有，是直和.（由2、得之）.6.1

集合映射總之，設(shè)為線(xiàn)性空間V的子空間，則下面四個(gè)條件等價(jià):2）零向量分解式唯一1）是直和

3）4）4、(定理10)設(shè)U是線(xiàn)性空間V的一個(gè)子空間，稱(chēng)這樣的W為U的一個(gè)余子空間.則必存在一個(gè)子空間W，使.6.1

集合映射證：取U的一組基把它擴(kuò)充為V的一組基則余子空間一般不是唯一的(除非U是平凡子空間).注意：如，在R3中，設(shè)則但.6.1

集合映射5、設(shè)分別是線(xiàn)性子空間的一組基，則是直和線(xiàn)性無(wú)關(guān).證：由題設(shè)，若線(xiàn)性無(wú)關(guān)，則它是的一組基.從而有.6.1

集合映射反之,若直和，則從而的秩為r＋s.所以線(xiàn)性無(wú)關(guān).是直和..6.1

集合映射例1、每一個(gè)n

維線(xiàn)性空間都可以表示成

n

個(gè)一維子空間的直和.證：設(shè)是

n

維線(xiàn)性空間V的一組基,則

而

故得證..6.1

集合映射例2、已知，設(shè)2）當(dāng)時(shí)，證：1）任取有是的子空間.證明：1）是的子空間..6.1

集合映射又對(duì)有從而有

故是的子空間.下證是的子空間..6.1

集合映射又2）先證任取其中再證又是的子空間，.6.1

集合映射任取從而所以.6.1

集合映射練習(xí)1設(shè)V1、V2分別是齊次線(xiàn)性方程組①與②的證：解齊次線(xiàn)性方程組①，得其一個(gè)基礎(chǔ)解系

①②解空間：證明:.6.1

集合映射再解齊次線(xiàn)性方程組②.由即得②的一個(gè)基礎(chǔ)解系考慮向量組

.6.1

集合映射由于

線(xiàn)性無(wú)關(guān)，即它為Pn的一組基.又.6.1

集合映射為V的一組基，則前面V到Pn的一一對(duì)應(yīng)例1、V為數(shù)域P上的n維線(xiàn)性空間，

這里為在基下的坐標(biāo)，就是一個(gè)V到Pn的同構(gòu)映射，所以.6.1

集合映射證：設(shè)為線(xiàn)性空間的同構(gòu)3、兩個(gè)同構(gòu)映射的乘積還是同構(gòu)映射.任取有映射，則乘積是的1－1對(duì)應(yīng).

所以，乘積是的同構(gòu)映射.

.6.1

集合映射例2、把復(fù)數(shù)域看成實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間，

證法一：證維數(shù)相等證明：首先，可表成

其次，若則

所以，1，i

為C的一組基，又，所以，故，.6.1

集合映射證法二：構(gòu)造同構(gòu)映射則為C到R2的一個(gè)同構(gòu)映射.作對(duì)應(yīng)6.1

集合映射第七章線(xiàn)性變換練習(xí)：下列變換中，哪些是線(xiàn)性變換？3．在線(xiàn)性空間V中，非零固定.4．在中，固定.2．在中，1．在中，5．復(fù)數(shù)域C看成是自身上的線(xiàn)性空間，6．C看成是實(shí)數(shù)域R上的線(xiàn)性空間，√

√

√

.例1.線(xiàn)性空間中，線(xiàn)性變換

而，即.例2.設(shè)A、B為兩個(gè)取定的矩陣，定義變換則皆為的線(xiàn)性變換，且對(duì)有.6.1

集合映射四、線(xiàn)性變換的逆

則稱(chēng)為可逆變換，稱(chēng)為的逆變換，記作1．定義設(shè)為線(xiàn)性空間V的變換，若有V的變換使2．基本性質(zhì)(1)

可逆變換的逆變換也是V的線(xiàn)性變換..證：對(duì)

是V的線(xiàn)性變換..(4)

可逆線(xiàn)性變換把線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組變成線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組.線(xiàn)性無(wú)關(guān).若證：設(shè)為線(xiàn)性空間V的可逆變換，則有，又可逆，于是是一一對(duì)應(yīng)，且故線(xiàn)性無(wú)關(guān).由線(xiàn)性無(wú)關(guān)，有.6.1

集合映射證明：練習(xí)：設(shè)為線(xiàn)性變換，若證：對(duì)k作數(shù)學(xué)歸納法.

當(dāng)k=2時(shí)，若①對(duì)①兩端左乘，得對(duì)①兩端右乘，得上兩式相加，即得.②對(duì)②兩端左乘，得對(duì)①兩端右乘得③④③＋④，得假設(shè)命題對(duì)時(shí)成立，即由歸納原理，命題成立...6.1

集合映射例1.設(shè)線(xiàn)性空間的線(xiàn)性變換為

求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣.

解：

.6.1

集合映射例3.設(shè)為線(xiàn)性空間V一組基，線(xiàn)性變換在這組基下的矩陣為

為V的另一組基，且

（1）求在下的矩陣B.（2）求.6.1

集合映射解：（1）由定理4，在基下的矩陣（2）由有于是.6.1

集合映射例4.在線(xiàn)性空間中，線(xiàn)性變換定義如下：（1）求在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣.（2）求在下的矩陣..6.1

集合映射解：（1）由已知，有設(shè)在標(biāo)準(zhǔn)基下的矩陣為A，即.6.1

集合映射因而，.6.1

集合映射（2）設(shè)在下的矩陣為B，則A與B相似，且.6.1

集合映射

i)在V中任取一組基寫(xiě)出在這組基下就是的全部特征值.ii)求A的特征多項(xiàng)式在P上的全部根它們2.求特征值與特征向量的一般步驟的矩陣A.iii)把所求得的特征值逐個(gè)代入方程組的全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo).)并求出它的一組基礎(chǔ)解系.(它們就是屬于這個(gè)特征值.6.1

集合映射

則就是屬于這個(gè)特征值的全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.

而（其中，不全為零）

就是的屬于的全部特征向量.如果特征值對(duì)應(yīng)方程組的基礎(chǔ)解系為：.6.1

集合映射對(duì)皆有所以，V中任一非零向量皆為數(shù)乘變換K的特征向量.例1.在線(xiàn)性空間V中，數(shù)乘變換K在任意一組基下的矩陣都是數(shù)量矩陣kE，它的特征多項(xiàng)式是故數(shù)乘法變換K的特征值只有數(shù)k，且.6.1

集合映射解：A的特征多項(xiàng)式

例2.設(shè)線(xiàn)性變換

在基下的矩陣是求特征值與特征向量.故的特征值為：（二重）

.6.1

集合映射

把代入齊次方程組得

即

它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：

因此，屬于的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為而屬于的全部特征向量為不全為零

.6.1

集合映射因此，屬于5的一個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量為

把代入齊次方程組得

解得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系為：

而屬于5的全部特征向量為.6.1

集合映射特征多項(xiàng)式的有關(guān)性質(zhì)1.設(shè)則A的特征多項(xiàng)式由多項(xiàng)式根與系數(shù)的關(guān)系還可得

②A的全體特征值的積＝①A的全體特征值的和＝稱(chēng)之為A的跡,記作trA..6.1

集合映射證:設(shè)則存在可逆矩陣X，使得2.(定理6)

相似矩陣具有相同的特征多項(xiàng)式.于是，.6.1

集合映射三、對(duì)角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對(duì)每一個(gè)特征值，求出齊次線(xiàn)性方程組

設(shè)為n維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)）.

.6.1

集合映射3°若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n

，則（或矩陣A）可對(duì)角化.以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣T，則T可逆，是對(duì)角矩陣.而且有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量從而

T就是基到基的過(guò)渡矩陣..6.1

集合映射下的矩陣為

基變換的過(guò)渡矩陣.問(wèn)是否可對(duì)角化.在可對(duì)角化的情況下，寫(xiě)出例1.

設(shè)復(fù)數(shù)域上線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換在某組基.6.1

集合映射解：A的特征多項(xiàng)式為

得A的特征值是1、1、－1.解齊次線(xiàn)性方程組得故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值1的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量..6.1

集合映射再解齊次線(xiàn)性方程組得

故其基礎(chǔ)解系為：

所以，是的屬于特征值－1的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.線(xiàn)性無(wú)關(guān)，故可對(duì)角化，且在基下的矩陣為對(duì)角矩陣

.6.1

集合映射即基到的過(guò)渡矩陣為.6.1

集合映射例2.

問(wèn)A是否可對(duì)角化？若可，求可逆矩陣T，使為以角矩陣.這里得A的特征值是2、2、-4.解:A的特征多項(xiàng)式為

.6.1

集合映射對(duì)于特征值2，求出齊次線(xiàn)性方程組

對(duì)于特征值－4，求出齊次方程組

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:（－2、1、0），（1、0、1）

的一個(gè)基礎(chǔ)解系:

.6.1

集合映射令

則

所以A可對(duì)角化..6.1

集合映射是對(duì)角矩陣（即D不可對(duì)角化）.

項(xiàng)式.并證明：D在任何一組基下的矩陣都不可能練習(xí)：在中,求微分變換D的特征多解：在中取一組基：則D在這組基下的矩陣為.6.1

集合映射于是∴D的特征值為0（n重）.的系數(shù)矩陣的秩為n－1，從而方程組的基礎(chǔ)解系故D不可對(duì)角化.又由于對(duì)應(yīng)特征值0的齊次線(xiàn)性方程組只含有一個(gè)向量，它小于的維數(shù)n（＞1）..6.1

集合映射定義1：設(shè)是維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，如果存在V的一個(gè)基，使在這組基下的矩陣為對(duì)角矩陣，則稱(chēng)線(xiàn)性變換可對(duì)角化.矩陣，則稱(chēng)矩陣A可對(duì)角化.定義2：矩陣A是數(shù)域上的一個(gè)級(jí)方陣.如果存在一個(gè)上的級(jí)可逆矩陣，使為對(duì)角

復(fù)習(xí)一、可對(duì)角化的概念

.6.1

集合映射1.(定理7)設(shè)為維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，則可對(duì)角化有個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量.二、可對(duì)角化的條件

為的特征子空間.

2.

設(shè)為n維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，為全部不同的特征值，則可對(duì)角化.6.1

集合映射三、對(duì)角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對(duì)每一個(gè)特征值，求出齊次線(xiàn)性方程組

設(shè)為維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)）.

..6.1

集合映射3°若全部基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)之和等于n

，則（或矩陣A）可對(duì)角化.以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣T，則T可逆，是對(duì)角矩陣.而且有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量從而

T就是基到基的過(guò)渡矩陣..6.1

集合映射ⅰ)是滿(mǎn)射證明：ⅰ)顯然.ⅱ)因?yàn)?/p>

若為單射，則

3.

設(shè)為n

維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，則ⅱ)是單射

反之，若任取若

則即故是單射.從而

.6.1

集合映射是單射是滿(mǎn)射.

證明：是單射

4.

設(shè)為n維線(xiàn)性空間V的線(xiàn)性變換，則是滿(mǎn)射.

.線(xiàn)性變換在此基下的矩陣為

求及

例3、設(shè)是線(xiàn)性空間V的一組基，已知解：先求設(shè)它在下的坐標(biāo)為故由于有在下的坐標(biāo)為

.解此齊次線(xiàn)性方程組，得它的一個(gè)基礎(chǔ)解系：

從而

是的一組基.

由于的零度為2，所以的秩為2，又由矩陣A，有即為2維的.再求.從而有所以，線(xiàn)性無(wú)關(guān)，就是的一組基.

.三、對(duì)角化的一般方法

1°

求出矩陣A的全部特征值

2°

對(duì)每一個(gè)特征值，求出齊次線(xiàn)性方程組

設(shè)為維線(xiàn)性空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換，為V的一組基，在這組基下的矩陣為A.

步驟:的一個(gè)基礎(chǔ)解系（此即的屬于的全部線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量在基下的坐標(biāo)）.

.6.1

集合映射3°若全部基礎(chǔ)解系所合向量個(gè)數(shù)之和等于n

，則（或矩陣A）可對(duì)角化.以這些解向量為列，作一個(gè)n階方陣T，則T可逆，是對(duì)角矩陣.而且有n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量從而

T就是基到基的過(guò)渡矩陣..6.1

集合映射1）兩個(gè)－子空間的交與和仍是－子空間.2）設(shè)則W是－子空間證：顯然成立.任取設(shè)

則

故W為的不變子空間.2、不變子空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)由于

.6.1

集合映射1）線(xiàn)性變換的值域與核都是的不變子空間.證：

有

故為的不變子空間.又任取有3、一些重要不變子空間也為的不變子空間.

.6.1

集合映射2）若則與都是－子空間.

證：

對(duì)存在

使于是有，

為的不變子空間.

其次，由

對(duì)有

.6.1

集合映射于是

故為的不變子空間.

6.1

集合映射4）線(xiàn)性變換的特征子空間是的不變子空間.

有

5）由的特征向量生成的子空間是的不變子空間.

證：設(shè)是的分別屬于特征值

的特征向量.

3）任何子空間都是數(shù)乘變換的不變子空間.

任取設(shè)則

為的不變子空間.

.6.1

集合映射第八章歐氏空間例1．在中，對(duì)于向量

當(dāng)時(shí)，1）即為幾何空間中內(nèi)積在直角坐標(biāo)系下的表達(dá)式.即這樣對(duì)于內(nèi)積就成為一個(gè)歐氏空間.易證滿(mǎn)足定義中的性質(zhì)～.1）定義

（1）

所以,為內(nèi)積..6.1

集合映射2）定義

從而對(duì)于內(nèi)積也構(gòu)成一個(gè)歐氏空間.由于對(duì)未必有注意：所以1），2）是兩種不同的內(nèi)積.從而對(duì)于這兩種內(nèi)積就構(gòu)成了不同的歐氏空間.易證滿(mǎn)足定義中的性質(zhì)～.所以也為內(nèi)積..6.1

集合映射例2．為閉區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)所成線(xiàn)性空間，對(duì)于函數(shù)，定義（2）

則對(duì)于（2）作成一個(gè)歐氏空間.證：

.6.1

集合映射且若則故因此，為內(nèi)積，為歐氏空間..6.1

集合映射（7）

證：

兩邊開(kāi)方，即得（7）成立.對(duì)歐氏空間中的任意兩個(gè)向量有3）三角不等式.6.1

集合映射5.勾股定理設(shè)V為歐氏空間，證：.6.1

集合映射例3、已知在通常的內(nèi)積定義下，求解：又通常稱(chēng)為與的距離，記作.6.1

集合映射②Schmidt正交化過(guò)程:化成正交向量組先把線(xiàn)性無(wú)關(guān)的向量組再單位化得標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.6.1

集合映射例1.

把

變成單位正交的向量組.解：令正交化.6.1

集合映射再單位化即為所求．.6.1

集合映射2.歐氏空間中的正交變換下述命題是等價(jià)的：（定理4）設(shè)是歐氏空間V的一個(gè)線(xiàn)性變換.3）保持向量間的距離不變，即2）保持向量長(zhǎng)度不變，即1）是正交變換；.6.1

集合映射證明：首先證明1)與2)等價(jià)．即，兩邊開(kāi)方得，若是正交變換，則有，(1)(2)若保持向量長(zhǎng)度不變，則對(duì).6.1

集合映射把(3)展開(kāi)得，再由(1)(2)即得，(3)是正交變換．.6.1

集合映射再證明2)與3)等價(jià)