第十四章整式的乘法與因式分解（知識歸納+題型突破）

課標(biāo)要求

1.理解并掌握同底數(shù)幕的乘法.

2.理解并掌握乘法公式的基本運算.

3.理解并掌握因式分解.

基礎(chǔ)知識歸納

一、同底數(shù)曷的乘法性質(zhì)

。叫"=45（其中〃〃都是正整數(shù)）,即同底數(shù)鬲相乘，底數(shù)不變,指數(shù)相加.

要點詮釋：（1）同底數(shù)嘉是指底數(shù)相同的事，底數(shù)可以是任意的實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

（2）三個或三個以上同底數(shù)曷相乘時，也具有這一性質(zhì)，

即am-an-ap=am+n+p（m,n,p都是正整數(shù)）.

（3）逆用公式：把一個累分解成兩個或多個同底數(shù)鬲的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指

數(shù)之和等于原來的帚的指數(shù)。即。小"=。匕"（加，〃都是正整數(shù)）.

二、曷的乘方法則

（相（其中加，〃都是正整數(shù)）.即鬲的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.

要點詮釋：（1）公式的推廣：（（屋yyna""（a#o,機,〃,0均為正整數(shù)）

（2）逆用公式：。.二,"『二,"『，根據(jù)題目的需要常常逆用鬲的乘方運算能將某些帚變形，從而解

決問題.

三、積的乘方法則

（abY=an-bn（其中〃是正整數(shù)）.即積的乘方，等于把積的每一個因式分別乘方，再把所得的鬲相乘.

要點詮釋：⑴公式的推廣：3公）"=廢2"?。"（"為正整數(shù)）.

（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時，計算更

注意事項

(1)底數(shù)可以是任意實數(shù)，也可以是單項式、多項式.

⑵同底數(shù)嘉的乘法時，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時，指數(shù)才可以相加指數(shù)為1,計算時不要遺漏.

(3)鼻的乘方運算時，指數(shù)相乘，而同底數(shù)鬲的乘法中是指數(shù)相加.

(4)積的乘方運算時須注意，積的乘方要將每一個因式(特別是系數(shù))都要分別乘方.

(5)靈活地雙向應(yīng)用運算性質(zhì)，使運算更加方便、簡潔.

(6)帶有負號的鬲的運算，要養(yǎng)成先化簡符號的習(xí)慣.

四、單項式乘單項式

單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母分別相乘，對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它

們的指數(shù)作為積的一個因式.

要點詮釋：

(1)單項式的乘法法則的實質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)鬲的乘法法則的綜合應(yīng)用.

(2)單項式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項式的系數(shù)交換到一起進行有理數(shù)的乘

法計算，先確定符號，再計算絕對值；相同字母相乘，是同底數(shù)帚的乘法，按照"底數(shù)不變，指數(shù)相加”

進行計算；只在一個單項式里含有的字母，要連同它的指數(shù)寫在積里作為積的一個因式.

(3)運算的結(jié)果仍為單項式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成.

(4)三個或三個以上的單項式相乘同樣適用以上法則.

五、單項式與多項式相乘的運算法則

單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加.

即m(a+b+c)—ma+mb+me

要點詮釋：(1)單項式與多項式相乘的計算方法，實質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個單項式乘單項

式的問題.

(2)單項式與多項式的乘積仍是一個多項式，項數(shù)與原多項式的項數(shù)相同.

(3)計算的過程中要注意符號問題，多項式中的每一項包括它前面的符號，同時還要注意單項式的符號.

(4)對混合運算，應(yīng)注意運算順序，最后有同類項時，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.

六、多項式與多項式相乘的運算法則

多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加.即

(a+Z?)(m+〃)=am+an+bm+bn

要點詮釋：多項式與多項式相乘，仍得多項式.在合并同類項之前，積的項數(shù)應(yīng)該等于兩個多項式的項數(shù)之

積.多項式與多項式相乘的最后結(jié)果需化簡，有同類項的要合并.特殊的二項式相乘：

(x+a)(x+Z?)=x2+(a+b^x+ab

七、平方差公式

平方差公式：(a+b\a-b)=a2-b2

兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，等于這兩個數(shù)的平方差.

要點詮釋：在這里，。力既可以是具體數(shù)字，也可以是單項式或多項式.

抓住公式的幾個變形形式利于理解公式.但是關(guān)鍵仍然是把握平方差公式的典型特征：既有相同項，又

有“相反項”，而結(jié)果是‘相同項”的平方減去‘相反項"的平方.常見的變式有以下類型：

(1)位置變化：如(。+與(-〃+。)利用加法交換律可以轉(zhuǎn)化為公式的標(biāo)準型

(2)系數(shù)變化：如(3x+5y)(3x-5y)

⑶指數(shù)變化：如(/+"2)(加一*

(4)符號變化:ta(-a-b^a-b)

(5)增項變化：如("?+"+p)(7〃一〃+p)

(6)增因式變化:如(。-6)(。+6)(。2+/;2)(。4+/)

八、完全平方公式

完全平方公式：(<7+/?)2=a2+2ab+b2(a-b)?=a1-2ab+b~

兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上(減去)這兩數(shù)乘積的兩倍.

要點詮釋：公式特點：左邊是兩數(shù)的和(或差)的平方，右邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或

減)這兩數(shù)之積的2倍以下是常見的變形：

a2+b~=(?+Z?)2-2ab=^a-b^+2ab

(a+b)-=(?-/?)"+4ab

九、添括號法則

添括號時，如果括號前面是正號，括到括號里的各項都不變符號；如果括號前面是負號，括到括號里

的各項都改變符號.

要點詮釋：添括號與去括號是互逆的，符號的變化也是一致的，可以用去括號法則檢查添括號是否正

確.

十、補充公式

(x+p\x+q)-x2+{p+q)x+pq;(a±/?)(?2+ab+b2)-a3+b3;

(a+bf-a3±3a2b+3ab2+b3;(a+b+c)2-a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc.

十一、因式分解

把一個多項式化成幾個整式積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式.

要點詮釋：(1)因式分解只針對多項式，而不是針對單項式，是對這個多項式的整體，而不是部分，因式

分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.

(2)要把一個多項式分解到每一個因式不能再分解為止.

(3)因式分解和整式乘法是互逆的運算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運

算.

十二、公因式

多項式的各項中都含有相同的因式，那么這個相同的因式就叫做公因式.

要點詮釋：(1)公因式必須是每一項中都含有的因式.

(2)公因式可以是一個數(shù)，也可以是一個字母，還可以是一個多項式.

(3)公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項

中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.

十三、提公因式法

把多項式用口+”仍+而分解成兩個因式的乘積的形式，其中一個因式是各項的公因式加，另一個因式是

(a+B+c),即活。+第3+a。=用，(a+b+c),而(a+3+c)正好是幽a+超+法除以加所得的商，這

種因式分解的方法叫提公因式法.

要點詮釋：(1)提公因式法分解因式實際上是逆用乘法分配律，

即/wa+Mb+ac(a+6+c).

(2)用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準確找出多項式各項的公因式.

(3)當(dāng)多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)時，通常先提出"一”號，使括號內(nèi)的第一項的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時多

項式的各項都要變號.

(4)用提公因式法分解因式時，若多項式的某項與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項變

為：”+「或"-1",不要把該項漏掉，或認為是0而出現(xiàn)錯誤.

十四、公式法——平方差公式

兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即

a2-b2=(a+Z?)(a-Z?)

要點詮釋：(1)逆用乘法公式將特殊的多項式分解因式.

(2)平方差公式的特點：左邊是兩個數(shù)(整式)的平方，且符號相反，右邊是兩個數(shù)(整式)的和與這兩

個數(shù)(整式)的差的積.

(3)套用公式時要注意字母。和b的廣泛意義，6可以是字母，也可以是單項式或多項式.

十五、公式法——完全平方公式

兩個數(shù)的平方和加上(減去)這兩個數(shù)的積的2倍，等于這兩個數(shù)的和(差)的平方.

即a2+2ab+b2=(a+b)~a2—2ab+b~=(a-Z?y

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形如儲+2仍+〃2,a-2ab+b的式子叫做完全平方式.

要點詮釋：(1)逆用乘法公式將特殊的三項式分解因式；

(2)完全平方公式的特點：左邊是二次三項式，是這兩數(shù)的平方和加(或減)這兩數(shù)之積的2倍.右邊是

兩數(shù)的和(或差)的平方.

(3)完全平方公式有兩個，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.

(4)套用公式時要注意字母。和b的廣泛意義，。、6可以是字母，也可以是單項式或多項式.

重要題型

【考點一同底數(shù)幕相乘】

例題：(2023春?陜西西安?七年級統(tǒng)考階段練習(xí))計算尤2.三的結(jié)果是()

A.x3B.x4C.XsD.x6

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?陜西榆林?七年級統(tǒng)考期末)計算-/.(-爐)的結(jié)果是()

A.x9B.-x9C.x20D.-x20

2.(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算下列各式，結(jié)果用幕的形式表示.

(l)-(-a)3-(-a2)(-a)3；(2)(X-y)2(y-x)3；(3)(x-2y)2(x-2y)m~'(x-2y)m+2.

【考點二同底數(shù)乘法的逆用】

例題：（2023春?江西吉安?七年級統(tǒng)考期中）若/=2,a"=6,則*”=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東佛山?七年級?？茧A段練習(xí)）已知x?=2,x"=3,則廿+"=.

2.（2023春?廣東深圳?七年級?？计谀┮阎?加=2,3"=4,則32"的值為.

【考點三塞的乘方運算】

例題：（2023春?浙江紹興?七年級統(tǒng)考期末）計算（蘇丫=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?河北唐山?七年級統(tǒng)考期中）計算：/.卜2丫=.

2.（2023春?江蘇南京?七年級南京市百家湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算療.『的結(jié)果是

3.（2023春?七年級單元測試）化簡：⑴（-%2）4=；（2）（a2）4.（-a）3=.

【考點四塞的乘方的逆用】

例題：（2023春?安徽六安?七年級統(tǒng)考期末）如果a"=5,/，"+"=75,則a"=

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東茂名?七年級統(tǒng)考期中）若5*=2,5y=3,則5*+2>=.

2.（2023春?廣東佛山?七年級校聯(lián)考期中）已知2x+5y-3=2,則4"-32>'=.

【考點五積的乘方運算】

例題：（2023春?重慶南岸?七年級統(tǒng)考期末）計算：（3x）2=

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東深圳?七年級統(tǒng)考期末）計算:

2.（2022春七年級單元測試）計算：3X2-X3+X-（-X2）2=

【考點六積的乘方的逆用】

（4?023

例題：（2023春?江蘇揚州?七年級?？计谀┯嬎?.752°22x-2的結(jié)果是.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江西撫州?七年級南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）計算：（-8嚴23、0.1252°24=.

2.（2023春?山東濟南?七年級?？茧A段練習(xí)）若。=2023,人=盛，則代數(shù)式的值是

【考點七同底數(shù)塞的除法】

例題：（2023?天津河?xùn)|?統(tǒng)考二模）計算d+x的結(jié)果是—

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?陜西漢中?統(tǒng)考二模）計算：m64-（-?z）2=

2.（2023春?浙江?七年級專題練習(xí)）計算：

（1）m94-m1=__；

（2）（-a），+（-a）~=；

⑶（x-y）6H-（y-x）3-（x-j）=.

【考點八同底數(shù)塞除法的逆用】

例題：（2023春?四川成都?七年級成都實外校考期中）若2”=3,4"=8,則23*"+3的值是

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江蘇南京?七年級統(tǒng)考期末）若3,=2,9y=5,貝1」33工小=.

2.（2023春?江西吉安?七年級統(tǒng)考期末）已知2"=2，”=6,2。=3,則2。+＞。=.

【考點九計算單項式乘單項式】

例題：（2023?上海?七年級假期作業(yè)）計算：（3。）2.03=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?陜西寶雞?七年級統(tǒng)考期末）計算2a3.卜5片）的結(jié)果是（）

A.10a5B.-10a5C.-3a6D.-10a6

2.（2023春?湖南益陽?七年級統(tǒng)考期末）計算：2x2.（-5xy2）=.

【考點十利用單項式乘法求字母或代數(shù)式的值】

例題：（2023春?浙江?七年級專題練習(xí)）已知單項式3/寸與一2孫2的積為;那么小、〃的值為（）

A.m=-6,n=6B.m=-6,n=5

C.m=l,n=6D.m=1,n=5

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?七年級課時練習(xí)）若依=14尤5,則〃，上的值分別為（）

A.3,2B.2,3C.3,3D.2,2

2.（2023春?浙江?七年級專題練習(xí)）若單項式-8/射和3孫的積為-24x5y6,則漏的值為（）

A.30B.20C.-15D.15

【考點十一計算單項式乘多項式】

例題：（2023春.廣東河源.七年級統(tǒng)考期末）計算：3x-（2x2-y）=.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?廣東佛山?七年級統(tǒng)考期末）計算：4a2（3a-l）=.

2.（2023春?廣西貴港?七年級統(tǒng)考期末）計算：-ab{-b+l）=

【考點十二利用單項式乘多項式求字母的值】

例題：（2023春?江蘇?七年級專題練習(xí)）已知（一了＞（2_?一辦一1）一2丁+3/中不含尤的二次項，貝?。荨?

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?七年級課時練習(xí)）若-5丁（爐+改+5）的結(jié)果中不含項，則。=.

2.（2023春?七年級課時練習(xí)）若2彳（0?+/+6）-3尤-2c=2爐一5x+6恒成立，則a+Z?+c=

【考點十三單項式乘多項式的應(yīng)用】

例題：（2023春?貴州六盤水?七年級校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，大小兩個正方形邊長分別為。、b.

（1）用含。、b的代數(shù)式陰影部分的面積;

（2）若卜-4|+僅-2）2=0,求陰影部分面積.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?上海?七年級假期作業(yè)）王老師家買了一套新房，其結(jié)構(gòu)如圖所示（單位：m）.他打算將臥室鋪

上木地板，其他地方鋪地磚.

（1）木地板和地磚分別需要多少平方米？

（2）如果地磚的價格為每平方米尤元，木地板的價格為每平方米3x元，那么王老師需要花多少錢?

2.（2023秋?河北唐山?七年級唐山市第十二中學(xué)?？计谀┤鐖D，將邊長為〃的小正方形和邊長為人的大正

方形放在同一平面上僅＞“).

⑴用。、6表示陰影部分的面積.(寫最簡結(jié)果)

(2)計算當(dāng)a=2,6=3時，陰影部分面積.

(3)試著說明：白色部分面積與。的大小無關(guān).

【考點十四計算多項式乘多項式】

例題：(2023秋.吉林長春.八年級統(tǒng)考期末)計算：x(x+2y)-(y-3x)(x+y).

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?上海?七年級假期作業(yè))計算：

(l)(x+3)(x-4)(x2+尤-5)；

(2)3孫(尤+y)2-(3/+孫)(孫+3力；

⑶(3d+2)(5/+2d+3)-(5/+d+3)(3爐+3).

2.(2023秋?八年級課時練習(xí))計算下列各式：

⑴(3x-2y)(6x-4y)；(2)(a+b)(3a-2/?)-6(a—b)；

⑶(y+2)(y—2)-(y-l)(y+5)；⑷(a-3+必+/).

【考點十五(x+p)(x+g)型多項式乘法】

例題：(2023春?浙江?七年級專題練習(xí))計算:

(l)(a+l)(a+6)(2)-1)(。+6)(3)(a+l)(a-6)(4)(a6)

【變式訓(xùn)練】

1.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))探索題：

⑴計算：

(x+3)(x+4)=,

(x-3)(x-4)=,

(x+3)(x-4)=；

(2)發(fā)現(xiàn)：(x+a)(x+3=；并證明你的發(fā)現(xiàn).

2.(2023春?江蘇?七年級專題練習(xí))在運算中，我們?nèi)绻芸偨Y(jié)規(guī)律，并加以歸納，得出數(shù)學(xué)公式，一定會

提高解題的速度.在解答下列問題中，請?zhí)骄科渲械囊?guī)律.

⑴計算后填空：(x+2)(x+3)=；

(%-l)(x+4)=；

(龍一3)(尤一2)=；

(2)歸納猜想后填空：(x+祖犬+》)=%2+x+

⑶運用(2)中得到的結(jié)論，直接寫出計算結(jié)果：(x-2)(x+〃)=.

【考點十六多項式乘多項式一一化簡求值】

例題：（2023春?浙江金華?七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：（4-3。）（1+2。）-3。（1-2。），其中a=g.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖南益陽?七年級統(tǒng)考期末）先化簡，再求值：（x-y）（x+3y）-尤（x+2y）,其中x=g,y=-2.

2.（2023?吉林松原?統(tǒng)考二模）先化簡,再求值：（2a+6）（a—b）—2a（a—26）,其中a=—2,b=3.

【類型十七利用乘法公式進行簡便運算】

例題：（2023春?廣西北海?七年級統(tǒng)考期中）用簡便方法計算:

（1）100.2x99.8（2）1032

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?北京海淀?七年級?？计谀┯煤啽惴椒ㄓ嬎悖?0202-40x2020+400.

2.（2023春?江蘇常州?七年級統(tǒng)考期中）用簡便方法計算：

（1）101x99

(2)32X22+14X23+10X24

3.(2023春?四川成都?七年級?？茧A段練習(xí))用簡便方法計算.

(1)20012

(2)1232-124x122

(3)186.72-2x186.7x86.7+86.72；

(4)(3+1)(32+1)(34+1)(38+1).

【類型十八利用乘法公式的變式求值】

例題：（2023春?