專題八平面解析幾何

高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)典例分析及重難突破

考查方式

直線與圓的方程在高考中可單獨以選擇題、填空題的形式考查，也可與圓錐曲線綜合在解

答題中考查.直線主要考查直線的斜率和方程、兩直線的交點與距離問題、對稱問題等；圓主

要考查圓的方程的求解、與圓有關(guān)的最值問題、直線與圓的位置關(guān)系、圓與圓的位置關(guān)系等.復(fù)

習(xí)的重點在于立足基礎(chǔ)，培養(yǎng)推理論證能力，提高運算能力，注重解題的通性通法.

圓錐曲線在高考中占據(jù)極其重要的地位，是高考的重點、熱點和難點，更是每年的必考內(nèi)

容.簡單題主要考查圓錐曲線的定義、方程、簡單性質(zhì)，難題主要考查圓錐曲線幾何性質(zhì)的綜

合應(yīng)用、直線和圓錐曲線的位置關(guān)系、利用解析幾何知識解決圓錐曲線綜合應(yīng)用，這類題目的

綜合性較強，對計算能力要求較高.復(fù)習(xí)的重點在于重視基礎(chǔ)知識的掌握，重視思想方法的訓(xùn)

練，提高計算能力和綜合解題能力.

高考真題

22

1.[2023年新課標I卷]設(shè)橢圓￡:=+y2=i（a〉i）,&：上+丁=1的離心率分別為十

a4

若e?=y/3el,貝ij。=（）

2^/3/—

A.^-B.V2C.V3D.V6

2.[2024年新課標II卷]已知曲線C:爐+V=16（y〉o）,從。上任意一點p向x軸作垂線PP,

P為垂足，則線段PP的中點M的軌跡方程為（）

2222

A-j+?=i(y〉o)B.—+^=l(y>0)

164168

2222

c.^-+^-=l(y>0)D+=1(V>0)

1644T-

3.[2023年新課標I卷]過點(0,-2)與圓三+:/—以-1=0相切的兩條直線的夾角為tz,則

sintz=()

A」B呼C.空

D4

丫2

4.[2023年新課標H卷]已知橢圓。:彳+/=1的左、右焦點分別為不F2,直線y=x+77z與

C交于A,3兩點，若△々A5面積是面積的2倍，則〃/=()

-tB岑C.-fD-t

5.[2024年新課標I卷](多選)設(shè)計一條美麗的絲帶，其造型,可以看作圖中的曲線C的

一部分.已知C過坐標原點。，且C上的點滿足：橫坐標大于-2,到點尸(2,0)的距離與到定直

線x=a(a<0)的距離之積為4,則()

A.CL——2

B.點(2加,0)在C上

CC在第一象限的點的縱坐標的最大值為1

D.當點(/，%)在。上時，%<二?

玉)十，

22

6.[2024年新課標I卷]設(shè)雙曲線C:j-當=1(a>0,10)的左、右焦點分別為不F、,

ab

過K作平行于y軸的直線交C于A,3兩點，若出H=13,1|=10,則C的離心率為.

7.［2024年新課標I卷］已知A(0,3)和43,|］為橢圓。:。+方=1(?！?〉0)上兩點.

(1)求C的離心率；

(2)若過P的直線/交C于另一點5,且△砂「的面積為9,求/的方程.

參考答案

1.答案：A

解析：由橢圓Q的方程知離心率耳=也匚，由橢圓。2的方程知02=走?又???02=6%,即

a2

走=6?包二，化簡得片=41—4,.”=述.故選A.

2a33

2.答案：A

解析：設(shè)〃(九o，%),則P(*o,2%),因為點尸在曲線C上，所以君+(2%丫=16(%>0),即

2222

迎+為=1(%〉0),所以線段PP的中點M的軌跡方程為二+乙=1(丁〉0),故選A.

164v7164

3.答案：B

解析：設(shè)圓/+丁_4%—1=0為圓C,化簡得(x—2)2+V=5,圓心為C(2,0),半徑廠=6.如

圖，設(shè)NCB4=6,則a=2。，sin8=^^,6-----=耳，易知cos。＞0,則

ICP|7(2-0)2+[0-(-2)]2242

cos0=,所以sina=sin2,=2sin0cos0=.故選B.

2V24

4.答案：C

解析：設(shè)直線y=x+機與X軸交于點/(-加,0),直線方程與橢圓方程聯(lián)立得

4r2c4/c\

---1-2mx+m2-1=0,A=(2m)2-4—(m2-1)>0,解得一2<加<2.

33v7

設(shè)F[(-72,0),月(夜,0)到直線A3的距離分別為4,由，由題意得，2.g.|AB=g.|A為4，

所以4=24.由三角形相似可得，5=修4=邙土叫=2,解得m=一正或根=一3五.因為

d2\F2M\|V2+m|3

-2<m<2,所以根=-1g,故選C.

3

5.答案：ABD

解析：因為坐標原點。在曲線C上，所以2x|a|=4,又。<0,所以。=-2,所以A正確.

因為點(20,0)到點尸(2,0)的距離與到定直線x=-2的距離之積為(272-2)(20+2)=4,所以

點(20,0)在曲線C上，所以B正確.

設(shè)P(x,y)(x>0,y〉0)是曲線C在第一象限的點，則有而三百了(工+2)=4,所以

V=—(x—2)2,令/(x)=—(x—2-，則/(%)=-產(chǎn)0—2(x—2),因為/(2)=1,

(x+2)-(X+2)，(X+2)，

且尸(2)<0,所以函數(shù)/(幻在％=2附近單調(diào)遞減，即必定存在一小區(qū)間(2-￡,2+￡)使得/(幻

單調(diào)遞減，所以在區(qū)間(2-￡,2)上均有/(幻>1,所以P(x,y)縱坐標的最大值一定大于1,所

以C錯誤.

因為點(％,為)在C上，所以/〉一2且J(x0—2)2+y：(%+2)=4,得

￥=7—16X2~(xo-2)2—,所以%w|%|w~三滔=——T>所以D正確,

(x0+2)(x0+2)Y(XO+2)%+2

綜上，選ABD.

6.答案：-

2

解析：法一：由|Afi|=10及雙曲線的對稱性得卜功=等=5,因為|A周=13,所以

2a=|然卜|鉆|=13—5=8,2c=|月閭=五周2TA用？==12,所以a=4,c=6,

則C的曷心率e=—=—=—.

a42

QI2T222

法二：因為|AB|=10,所以二=10,所以幺==幺=5,

aaa

又|用|=13,所以閨用=2c=J|A￡「1號Ij=12,得c=6,

所以a?+5a—36=0,得a=4,所以C的曷心率6=￡=9=3.

a42

7.答案：（1）i

2

（2）/:y=-x-3s^y=-x

22

解析：（1）由題知？八，解得卜=23

9,9b=3

[a24b-

c-y1a2—b2--\/3,C的禺心率e=—.

a2

(2)|己4|=/2+1-|]=亭，設(shè)點3到直線心的距離為力,

貝IJZXABP的面積為S=—|PA1/z=9,解得力=一J易知直線PA:x+2y—6=0,

25

|x+2y-6|_12^/5

x=—3(、

設(shè)5（x,y）,則石5,解得[”=°或＜3，/.6(0,—3)或51—3,—|,

//b=-：

3)=一不12)

----1-----=1、乙

〔129

故》:丁='兀-3或丁=3%.

22

1.已知橢圓C：=+二=1（。〉6〉0）經(jīng)過點（0,2）,當左變動時，C截得直線,=質(zhì)的最大弦長

ab

為40，則C的方程為（）

22222222

A.二+2L=iB.土+2L=iC.土+匕=1D二+匕=1

8442322324

2.已知直線4：（m+l）x+2y+l=0與直線4：3x+7〃y+l=O平行，則機的值為（）

A.-3B.-lC.2D.-3或2

3.已知圓了2+,2+4%一2丁+1=0關(guān)于直線x+y—7找=0對稱，則實數(shù)加=（）

A._1B.lC._2D.2

4.過拋物線1=分的焦點R作直線/,交拋物線于A,3兩點.若線段中點的縱坐標為3,則

|明等于（）

A.10B.8C.6D.4

5.圓/+丁=4與圓/+產(chǎn)一4%一4丁+4=0的公共弦長為（）

A.0B.6C.20D.2出

22

6.若直線/：2x-y=0是雙曲線C：當_2=15〉0力〉0）的一條漸近線，則該雙曲線的離心率

為（）

A.75B.6C巫D.此

22

7.已知圓c：（x一2）2+（y-4/=35，直線I:（2m+l）x+（m+l）y-7m-4=0則直線/被圓C截得

的弦長的最小值為（）

A.5B.4小C.10D.2百

8.拋物線繞它的對稱軸旋轉(zhuǎn)所得到的曲面叫拋物面，用于加熱水和水壺食物的太陽灶應(yīng)用了拋

物線的光學(xué)性質(zhì)：一束平行于拋物線對稱軸的光線，經(jīng)過拋物面的反射后，集中于它的焦點.

已知一束平行于x軸的入射光線的一束光線與拋物線V=2內(nèi)的交點為4（4,4）,則反射光線

所在直線被拋物線截得的弦長為（）

水壺

9.已知耳，工是橢圓c：[+[=i的左、右焦點，直線/與橢圓C相切于點過左焦點

可作直線/的垂線，垂足為。，則點Q與原點。之間的距離為（）

A，73B.2C.3D.4

22

（）

10.已知橢圓「：?+%=1?！?〉0的左、右焦點分別為片，F(xiàn)2,過招的直線/與橢圓「相

交于、兩點，與軸相交于點連接耳兒若。為坐標原點，片片

A3yC.￡C,CJ.A,=2SAAFF,

則橢圓r的離心率為（）

A.叵B.避C.叵D.旦

551010

2

11.已知。為雙曲線c：土一黃=1右支上一點，過點。分別作c的兩條漸近線的平行線，與另

4'

外一條漸近線分別交于點A,B,則17MH。用=（）

A.2B.75C.-D.-

42

12.已知拋物線0：丫2=2。*3>0）過點4（2,4）,動點N為C上的兩點，且直線AM與A7V

的斜率之和為0,直線/的斜率為—1，且過C的焦點憶/把△MW分成面積相等的兩部分,

則直線MN的方程為（）

A.x+y-6=0B.%-y+6=0

C.x—y+4,^2^—6=0D?％+y+40-6=0

22

13.（多選）已知橢圓石.土+匕=1的左頂點為A,左、右焦點分別為耳，F(xiàn),,過點鳥的直線

43

與橢圓相交于P,Q兩點，則（）

A.閨月|=1

B.|P^<4

C.當P,。不共線時，△瑪PQ的周長為8

D.設(shè)點尸到直線1=T的距離為d,則d=2|P用

14.（多選）已知。為坐標原點，點4（2,1）在拋物線=2加（0>0）上，拋物線的焦點為區(qū)

過點8（0,-1）的直線/交拋物線C于P,。兩點（點P在點5,。的之間），貝M）

A.直線A5與拋物線。相切

^-OPOQ=6

C.若尸是線段3Q的中點，則2|PF|=|Q尸|

D.存在直線/,使得|「尸|+|0/|=2|5/|

22

15.（多選）已知雙曲線0：三十=1（?！?］〉0）的左焦點為RP為C右支上的動點，過尸

作C的一條漸近線的垂線，垂足為A,。為坐標原點，則下列說法正確的是（）

A.點F到C的一條漸近線的距離為2

B.雙曲線C的離心率為之

3

C.則P到C的兩條漸近線的距離之積大于4

D.當歸⑷1P同最小時，則APAF的周長為10+29

16.已知直線依-y+1-2左=0,當左變化時，所有的直線恒過定點

22

17.已知雙曲線,_訝=15〉0］〉0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p>o）的準線分別交于

A,3兩點，。為坐標原點.若雙曲線的離心率為2,ZvlOfi的面積為后，則〃=.

18.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯（約公元前262?公元前190年）的著作《圓錐曲線論》是古代

世界光輝的科學(xué)成果，著作中這樣一個命題：平面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)左(女〉0且左W1)

的點的軌跡是圓，后人將這個圓稱為阿波羅尼斯圓，已知點4(-1,0),5(2,0),圓

C:(x-2)2+(y-m)2(m>0)，在圓上存在點P滿足|卓|=2歸同，則實數(shù)機的取值范圍是

19.已知橢圓的任意兩條相互垂直的切線的交點的軌跡是圓，這個圓被稱為“蒙日圓”，它的圓

心與橢圓的中心重合，半徑的平方等于橢圓長半軸長和短半軸長的平方和.如圖為橢圓

0：*+4=1(?！?0)及其蒙日圓。。的離心率為逅，點45"分別為蒙日圓。與坐標

ab3

軸的交點，AB/CCQA。分別與。相切于點瓦EG,“,則四邊形ABCD與四邊形的

面積的比值為.

20.已知拋物線。：產(chǎn)二以的焦點為憶43為C上的兩點.若直線用的斜率為;，且可.麗=o,

延長AF，BF分別交C于P，Q兩點，則四邊形ABPQ的面積為.

21.已知點P（l,4）與直線/:x+y—1=0,0C:X2+/-4X+3=0

(1)一條光線從點P射出，經(jīng)直線/反射后，通過點0(3,2),求反射光線所在的直線方程；

(2)過尸點作圓的切線，求切線方程.

22.已知拋物線C:x2=2py(p>0),2的焦點是F

(1)若過原點。作兩條直線交曲線C于A,3兩點，且求證：直線A3過定點；

(2)若過曲線C上一點尸(2,1)作兩條直線交曲線C于A,3兩點，且麗.麗=0,求△AEB的

面積的取值范圍.

23.已知橢圓M：5+m=1(?！?〉0)的焦距為2百，且點、且］在橢圓M上.

(1)求橢圓M的標準方程；

(2)設(shè)。為坐標原點，A,B,C是橢圓"上的三個動點，且四邊形。43c恰為平行四邊形,

試判斷平行四邊形0A3C的面積是否為定值？若是，求出該定值，若否，請說明理由.

24.已知雙曲線后:至-丁=1的左、右頂點分別為A，4，

(1)若過點T(0,-3)的直線/交雙曲線E于A,3兩點，求直線/的斜率范圍；

(2)過原點的直線與雙曲線E相交于C,。兩點(C在x軸的上方)，直線4C,4。與圓

爐+產(chǎn)=3分別交于點“，N,直線CD與直線的斜率分別為尤，k2,求4+&的值.

25.已知A,3分別是橢圓。:=+與=1(?！?〉0)的左、右頂點.橢圓長軸長為6,離心率為二.0

a'b-3

為坐標原點，過點尸(0,-3),且與坐標軸不垂直的直線/交橢圓C于般，N兩個不同的點.

(1)求橢圓C的標準方程；

⑵當直線I的斜率為正時，設(shè)直線AM,AN分別交y軸于點S,T,記麗=A,PO,PT=pPO,

求4+〃的取值范圍.

答案以及解析

1.答案：A

22

解析：由題意可得6=2，2a=4正，所以片=8，廿=4,所以橢圓方程為三+匕=1.

84

故選：A

2.答案：A

解析：由兩直線平行得：（加+1）〃?-2x3=0,解得機=2或加=-3?

當機=2時，A:3x+2y+l=0，Z2:3x+2y+l=0,兩直線重合，不合題意?

當相=—3時，、：一2x+2y+l=0,即2x—2y—1=0,/2:3x-3y+1=0,兩直線平行，符合題意.

故m的值為-3.

故選：A.

3.答案：A

解析：由/+/+4%—2y+l=0，得（x+2r+（y—1）2=4，故圓心為（—2,1）,

又因為圓犬+丁+4》_2,+1=0關(guān)于直線；t+y-m=0對稱，

故圓心（-2,1）在直線尤+y—7篦=0上，則機=x+y=—2+1=—1.

故選：A

4.答案：B

解析：拋物線必=分的焦點為尸（0,1）,準線方程為y=-l,

設(shè)4（%,%）8（孫％）,

貝U%+%=2x3=6，

所以|AB|=|AE|+13F|=%+1+%+1=8,

故選：B

5.答案：C

解析：圓/+/=4①與圓/+4x-4y+4=0②，

①一②得4x+4y-4=4,即公共弦方程為x+y—2=0,

又圓f+y2=4的半徑為r=2,圓心為0(0,0),

|0+0-2|

圓心0(0,0)至U直線x+y—1=0距離d=y/2,

所以公共弦長為2折=7=2Q=20?

故選：C.

6.答案：D

一22

解析：因為雙曲線2T-卞=1(?！?,6〉0)的焦點在丁軸上，且直線/:2x-y=0即為y=2x,

由雙曲線=的漸近線方程是丁=±￡「所以￡=2,即,=；，

所以離心率e=￡=＜歸至一至=叵

a\aya22

故選：D.

7.答案：C

解析：由/：(2m+l)x+(m+l)y—7m—4=0=>m(2x+y—7)+x+y—4=0,

%+y—4=0x=3

<nv)即/過定點A(3,l)，

2%+y—7=0[y=l

由C:(x—2>+(y—4)2=35得。(2,4)，半徑廠=后，

則當AC，/時，C到/的距離最遠，止匕時/被圓C截得的弦長最小,

最小值為2^r2-\AC\2=10-

故選：C.

8.答案：C

解析：因為點4(4,4)在拋物線上，所以16=80,解得0=2,

所以拋物線的方程為V=4x，則焦點為/(1,0)，

又因為反射光線經(jīng)過點4(4,4)及焦點廠(1,0)，kAB=kAF=^=^

所以反射光線AB的方程為y=g(x-l)，

y2=4xr_j_

聯(lián)立拋物線方程得4,解得“―4或,

y=g(xT)b=4[J=_1

所以反射光線A3與拋物線的交點為3(±-1)，

4'

由兩點間距離公式可得|A31='(4—；『+(4+1)2=子，

所以反射光線所在直線被拋物線截得的弦長為—.

4

故選：C.

9.答案：B

解析：直線/的斜率顯然存在，所以設(shè)直線/的方程為y-|=Hx-1)，即y=A(x-1)+(

(22

土+匕=1

聯(lián)立方程組43,

3

y=k(x-l)+-

消去y,得(3+4比2+(12左一8左2)》+4左2—12左一3=0，

因為直線I與橢圓c相切于點P[I，|]，

所以△=(12左一8左2)2—4(3+4k2)(4左2—12左一3)=0，

整理得144左2+144k+36=0，解得左=_』，

所以切線方程為_y=--i(x—1)+-^-=—■^-x+2?

22_____

由橢圓C：3+1_=l，可得。2=4/2=3,所以0=力2_/=1，

可得左焦點片(-1,0),所以過左焦點耳與直線/的垂直的直線方程為y=2(x+l),

聯(lián)立方程組＞=-5"+2,解得了=0,尸2,所以Q(0,2),

y=2(x+1)

所以點。與原點。之間的距離為2.

故選：B.

10.答案：A

解析：設(shè)后A|=r，由s-=2S4^

可得5寸陋=2S△COF2二4s'111」Jj、J1口」'

所以優(yōu)q=4.=閨q,

又片C,耳A,|AC|=5n.?.出A|=3%,

又g]=2“=4，:.t*

在△ego中，COS/CBO=￡，

2a

,/cosZA/^fJ+COSZCF2O=0,

c

cosNAT^^—-----

一2a

在△4歹歹中人尸尸|A閶2+閨閶2TA用22c2-a2c

在△和‘中‘COSZAFF.=——

21=2|M|FiF2|ac2a

化簡可得…/，解得e書*，

故選：A.

1L答案：C

解析：設(shè)坐標原點為。。(%,%)，易知C的漸近線的方程為y=±gx，

1

尸一寸，

聯(lián)立

y-%=｛一/)，

1

x=~x0-y0

解得

11

y=-4%°+2

111

不妨取Ax

~o_%，一不0+5%,

111

同理可得3+%，7%+萬％J

22

111

則1cMi+X+y

\~4^°^22°

=為1

|x0-y0,\OB\=

~2/+%

因為四邊形是平行四邊形,

于是|必.眼目=|0耳|。4卜

161

5%o+%,~xo~yo

一22

由于點。在C上,

2

所以①一%=1,

4°

因叫94卜|。耳=：，

故C正確.

故選：C

12.答案：D

解析：因為拋物線C：V=2px(p>0)過點4(2,4),

所以16=4p,解得：p=4,所以,2=8%,

設(shè)"(國,%),N(%2，%)，

直線MN:x=ty+m,代入產(chǎn)=標中整理得y2-Sty-8m=0

所以％+%=8%,X%=-8加，

必一4.y2-4_%—4?y2-4

所以^AM+^AN=--------1-------------------1----------

再-2x「2%_2%_2

T-1

8?88(%+4)+8(%+4),0

即M+%+8=0,

X+4%+4(%+4)(%+4)

貝U必+%+8=8%+8=0,解得：t——1，

所以直線MN:x+y—冽=0,

直線/的斜率為-1,且過。的焦點尸(2,0),

所以/:x+y—2=0,則4(2,4)到直線I的距離為d=』?2=?四,

所以/把分成面積相等的兩部分，因為直線/與直線"N平行,

所以4(2,4)到直線/:x+y-2=0的距離為4(2,4)到直線MN:x+y-m=0距離的正,

2+

2V2=--l^_>解得：771=6—40或機=6+4A歷（舍去）?

2y/2

所以直線MN的方程為》+>+40_6=0-

故選：D.

13.答案：BCD

解析：對于A,由題意知：。=2，b=6，:.c7a242=1，■.\FlF2\=2c=2,A錯誤;

對于B,為橢圓C的焦點弦，.[PQ歸2a=4,B正確；

對于C,尸耳|+|「閭=|Q￡|+|Q月=2a=4,

.?.△取乜的周長為|「&+|尸閭+依閶=|「耳|+|尸閭+依照+/閭=8,C正確；

對于D,作P"垂直于直線尤=-4，垂足為M,

設(shè)尸（如為），則d=|西=|不+4]，

;月（一1,0），：JP耳|=J（x（,+1+y；=J（x（）+琰+3一+2x（）+4=

=~x0+2，

.?.2歸周=%+4],;"=2歸耳|,D正確.

故選：BCD.

14.答案:AC

解析：因為點A（2,l）在拋物線C:f=20y（p>0）上，所以4=2p,解得p=2,

即拋物線方程為無2=分，焦點尸（0,1）.

對于A：直線A3的方程為兇=王旭，即y=x-1,

1+12-0'

因為1，解得［12,所以直線A5與拋物線C相切點4（2,1）,故A正確；

對于B：設(shè)過點5的直線為/,若直線/與y軸重合，則直線/與拋物線。只有一個交點，不

合題意；

所以直線/的斜率存在，設(shè)其方程為y=Ax-l,汽芯,％）,0（工2，%），

由,'2A，得X?—4Ax+4=0，貝IA=16左2—16>0，即％<—1或左>1，

K=4y

于是%+%=4左，x；x2=4,

又%%=：x；—x；=。（玉％）2=^x42=1，

所以0pOQ=X1X,+%乃=5,故B錯誤；

對于C：由焦半徑公式可得|舛|=%+修=必+1，|°歹|=%+^=%+1，

因為尸是線段BQ的中點，

所以必=&］1，整理得2（%+1）=%+1,即2|PF|=|Q尸|,故C正確；

對于D：若|「尸|+|0/|=2|8尸|,貝1］（%+1）+（為+1）=2|1—（—1）=4,得%+%=2

所以2=%+%=左（玉+/）_2=左-4左一2=4左2—2,即4左2=4，解得左=±1，

此時A=16k2—16=0，則直線/與拋物線相切，故D錯誤.

故選：AC.

15.答案：BCD

22

解析：雙曲線上—匕=l（a〉0力〉0）的漸近線為4x土3y=0,左焦點/（—5,0），所以點口到。

916

的一條漸近線的距離為股Nl=4,所以A錯誤；

由雙曲線方程可得a=3，c=5,所以離心率e=f=9,所以B正確;

a3

22

設(shè)點？(％,%)，則^里=1，即16%2—9%2=144,

916

點p到兩漸近線距離分別為國士2血和Evad,

55

則附。+3%||4/一3%|16%2-9淄_i有所以c正確;

552525

22

設(shè)雙曲線土—2L=l（a〉o力〉0）的右焦點耳（5,0），^\\PF\-\PF]=2a=6,所以

916

|巳4|+歸同=|酬+|尸耳|+6，

若|PA|+|PF|最小，則只需|/訓(xùn)+|P耳|最小即可，

過耳作耳A垂直漸近線4x-3y=0與點A,耳A交雙曲線右支與點P,止匕時|冏+歸周最小,

14x5-0|_《

,由勾股定理得|。4|=3,所以,所以

閨止5

所以△尸AF的周長為歸匈+歸耳+|4同=|/訓(xùn)+6+歸制+|飄|=6+|耳4|+|4同=10+2履，所以口

16.答案：（2,1）

解析：因為直線近—y+1—2左=0,即為上(％—2)—y+l=0,

%—2=0，解得「=2

令

-y+l=0b=1

所以直線恒過定點(2,1).

故答案為：(2,1〉

17.答案：0=2

解析：有6=￡=2,得c=2a/=耳，所以雙曲線的漸近線為＞=±瓜.

a

又拋物線的準線方程為x=-￡聯(lián)立雙曲線的漸近線和拋物線的準線方程得3

2122

在△495中，|AB|=6P，°到A3的距離為多?.￡9=百，?《,同音=6，P=2-

解析：設(shè)尸(x,y),因為點A(-1,0),5(2,0),照=2陷,

22

所以J(x+1)2+y2=2^x-2)+y，即犬+y2_6x+5=0，

所以(1_3y+y2=4,可得圓心(3,0),半徑火=2，

由圓C:(x-2)2+(y-m)2=；可得圓心C(2,和)，半徑廠=；，

因為在圓。上存在點P滿足|%=2歸同，

所以圓(*-3)2+y?=4與圓C:(x-2)2+(y-m)2=:有公共點，

所以2-工4］（3-2）2+療《2+工，整理可得：2?1+療《生,

25,244

解得在WmW叵,

所以實數(shù)m的取值范圍是］@,叵

旦叵

故答案為:

19.答案:|

解析：由題意得蒙日圓。為爐+產(chǎn)=1+62,

Q,y]a2+b2},D(y/a2+b2,0

22

直線AT＞的方程為：y=-x+yla+b,

y=-x+yjcr+b2

聯(lián)立

得(a?+b2^x2—2a2yjcT+b2x+a4=0,

A=4a4(ja?+b2)-4a“(a?+/)=0,

a2b2

解得=—,,v.,=—,,

、ABCD=2\/=l"+")=

SEFGH「//22a2b22a2(

sla2+b2Ja2+/

_4/—4/。2+。4_4—4e2+e4_§

—2a-2a"c2-2-2e~-3

故答案為：

3

20.答案：50

解析：由題可知，拋物線的焦點坐標為b（1,0〉

因為直線E4的斜率為所以直線AP的方程為丁=!1-1)，

22、7

與拋物線C的方程聯(lián)立，得了2_18%+1=0，所以△=(-18)2-4〉0.

設(shè)A(X，yJ，P(%2，%)，貝11石+々=18,%4=1，

故=卜+H,J(xi+x2)2~4XIX2=~X86=20?

因為麗?麗=0，所以融_1m，

所以直線FB的斜率為-2,直線3Q的方程為y=-2(x-1),

與拋物線C的方程聯(lián)立，得了2_3%+1=0?所以△=(-3)2-4〉0.

設(shè)5(演,%)，。(尤4，%)，則%+%=3，尤3/=］，

故忸0=+(-2)2.小3+%)2-4*=國君=5.

所以四邊形ABPQ的面積為3仙斗忸a=50.

故答案為：50.

21.答案：⑴x-3y+3=0

心1547

(2)1=1或＞=---XH-----

88

解析：(1)設(shè)點尸關(guān)于直線/:x+y-1=0的對稱點q坐標為(。,力，

b-4

,（T）=T

則有，解得.=一即耳(-3,0)，

a+1b+4,b=0

+--------1=0

2

2-0

直線的方程為：y_0=3(3)("+"即x-3y+3=0，

因反射光線過點0(3,2),而反射光線所在直線過點片(-3,0)，

所以反射光線所在直線方程為x-3y+3=0.

(2)圓UY+V—4x+3=0即圓C:(x—2p+y2=i的圓心為。(2,0),半徑為r=1，

過P(l,4)點且斜率不存在的直線為％=1，顯然C(2,0)到直線％=1的距離d=l=r，故％=1滿

足題意;

設(shè)過點P（l,4）且斜率存在的直線y=M》T）+4的直線與圓。：（1-2）2+尸=1相切,

則d=&4=l,解得％=—竺，此時所求直線為y(1)+4,即安士X+g

二+18888

綜上所述，滿足題意的切線方程為》=1或y=—竺》+土.

-88

22.答案：（1）證明見解析

(2)[12-872,+oo)

解析：（1）證明：因為A,3是兩直線與拋物線C的交點,

所以。4,的斜率均存在，且不為零,

故可設(shè)直線OA:y=kx(kw0),則直線OB:y=--x.

k

'2*n玉=0,x=2pk,所以A(2p左,2p42)

由＜2

、-x2py

同理得dT，

2pk。一*1

則鼬=——梟=左一7

（x-2。左）=＞＞=［左一：

則直線A3的方程為y—=x+2p，

所以直線AB過定點（0,2/7）.

（2）因為點尸（2,1）在曲線。上，所以將點P的坐標代入曲線C的方程可得p=2,即爐=分

則萬(0,1).

設(shè)A（%，X）,5（%％），由題意可知直線A3的斜率存在，則可設(shè)直線A3的方程為丁=區(qū)+乙

12-4v

則由＜【;日+',得人血-4=。，則…=4—一，A=16（"）＞0.

所以以?FB=（玉,%

=(1+左2)%/+"—1)左(%+/)+?—1)2=-4/(1+/)+左?—1)4左+Q—1)2=0,

得左2=：k2_6/+1)20=.23+20或/43—2行，滿足A>0.

而點口到AB的距離d=4iL,

|AB|=yjl+k~，(再+%)~-4菁々=4Jl+k-J左~+1,

2

則SAAFB=—"IA51=—,,4A/1+k~1k~+1=21f—111k~+1—(?—I).

22J:1+-L2

所以?12-80.

所以△AFB的面積的取值范圍為［12-8后,+oo）.

r2

23.答案：（1）—+/=1

4-

（2）平行四邊形0ABe的面積為定值石

解析：（1）因為橢圓M的焦距2c=2百，所以。=百，

因為點［1,也］在橢圓〃上，所以+3=1,解得〃=1,

12Jb2+34b2

所以4=62+02=4,

2

故橢圓”的標準方程Y%+'』.

因為四邊形。43c為平行四邊形，所以礪=礪+反,

平行四邊形0ABC的面積S“ABC=2sMAC，

設(shè)直線AC的方程為y=kx+m(m^O),

r2

聯(lián)立了+丁2=1,消去y并整理得（1+442）Y+8^^+4加2一4=0,

由A=64k2ml-4（l+4F）（4m2-4）>0,整理得l+4F>/n2.

設(shè)C（x2,y2）,

—8km4m2—4

貝!jX+%2=

1+4左2

2m

得％+,2=人（七+九2）+2m-

1+4左2

—8km2m

所以O(shè)B=OA+OC=（玉+々，X+%）=

1+4左2'1+4左2

因為點3在橢圓〃上，則16人，：4相；,

(1+4/『(1+442『

所以4加1+4左2,滿足A>o,

3m2（1+左2）"J1+42

則|AC|=+左2）［（%+々J—4西々］1（1+可

\m\

又點0到直線AC的距離d=,

所以SpOABc=1AC|d="X-J^==6，

I"?IJ1+42

故平行四邊形OABC的面積為定值百.

24.答案：(1)伙|一二^—〈左一且左/土彳-}