切線與切點弦問題

目錄

01方法技巧與總結(jié)...............................................................2

02題型歸納與總結(jié)...............................................................3

題型一.切線問題3

IF頁-:弓10

題型三：利用切點弦結(jié)論解決定值問題............................................17

題型四：利用切點弦結(jié)論解決最值問題............................................25

題型五：利用切點弦結(jié)論解決范圍問題............................................32

第1頁共59頁

亡法牯自與.柒年

//\\

1、點M（x（）,%）在圓V+y2=產(chǎn)上，過點加作圓的切線方程為％彳+%>=/.

2、點/伉，%）在圓尤2+丁=/外，過點〃作圓的兩條切線，切點分別為A,B,則切點弦至的

直線方程為xox+yoy=/.

3、點,%）在圓丁=/內(nèi)，過點加作圓的弦71s（不過圓心），分別過A,3作圓的切線，

則兩條切線的交點P的軌跡方程為直線無/+=產(chǎn).

4、點M（x0,%）在圓（彳-4+（y-6）2=產(chǎn)上，過點M作圓的切線方程為

2

（x0-a）（x-a）+（y0-b）（y-b）=r.

5、點,%）在圓（x-a）2+（y-b）2=，外，過點”作圓的兩條切線，切點分別為A,B,則切點

2

弦AB的直線方程為（x0-a）（x-a）+（y0-b]{y-b）=r.

6、點加伉，%）在圓。-。了+⑶-匕了=/內(nèi)，過點M作圓的弦AB（不過圓心），分別過A,3作

圓的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為（%-〃）。-幻+（%-“。-刀=尸.

22

7、點M（x。，%）在橢圓二+==1（。>6>0）上，過點M作橢圓的切線方程為學(xué)+岑=1.

abab

22

8、點MQo,%）在橢圓1+與=1（。>匕>0）外，過點M作橢圓的兩條切線，切點分別為A,B,則

ab

切點弦AB的直線方程為誓+渾=1.

a2b2

22

9、點,為）在橢圓5+多=1（々>6>0）內(nèi)，過點M作橢圓的弦AB（不過橢圓中心），分別過

ab

A,3作橢圓的切線，則兩條切線的交點。的軌跡方程為直線岑+岑=1.

/b2

22

10、點M（x0,%）在雙曲線[-1=1（。>0,人>0）上，過點M作雙曲線的切線方程為羋一誓=1.

abab

11、點M（x0,%）在雙曲線=-3=l（a>0,6>0）外，過點加作雙曲線的兩條切線，切點分別為

ab

A,B,則切點弦他的直線方程為號一岑=1.

a2b2

22

12、點M（x。，％）在雙曲線0-1=1（“>0,6>0）內(nèi)，過點M作雙曲線的弦至（不過雙曲線中

ab

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心），分別過A,3作雙曲線的切線，則兩條切線的交點P的軌跡方程為直線g-誓=1.

a2b2

13、點,%）在拋物線V=2px（p＞0）上，過點M作拋物線的切線方程為=p（x+x（,）.

14、點M（x0,%）在拋物線丫2=2°尤（「＞0）外，過點M作拋物線的兩條切線，切點分別為A,B,

則切點弦AB的直線方程為=p（x+尤。）?

15、點M（Xo,%）在拋物線＞2=2°尤（2＞0）內(nèi)，過點M作拋物線的弦的，分別過A,3作拋物線的

切線，則兩條切線的交點尸的軌跡方程為直線為y=p（x+%）.

題型一：切線問題

22

【典例1-1】已知。為坐標(biāo)原點，雙曲線C:2=1（。＞0,匕＞0）的左、右焦點分別為耳，F(xiàn)2,過C上一

點尸作c的兩條漸近線的平行線，分別交V軸于M,N兩點，s.\OM\-\ON\=i,「尸耳內(nèi)切圓的圓心到y(tǒng)

軸的距離為百.

（I）求C的標(biāo)準方程；

⑵（i）設(shè)點。（%,%）為C上一點，試判斷直線號-》。=1與C的位置關(guān)系，并說明理由；

（ii）設(shè)過點工的直線與C交于A,8兩點（異于C的兩頂點），C在點A,B處的切線交于點E,線段

A3的中點為。，證明：0,D,E三點共線.

【解析】（1）如圖所示，

設(shè)尸（修,力），則『圣=1,

ab

不妨設(shè)直線PM的方程為y-力=：h（尤-%））,則直線PN的方程y-力=-：h（尤-號）.

令％=0,得—4+%）,N[0,—Xp+L

22

則10M=yp,yp+^L-yj=^Xp-byXp=b=1.

aaaaa

設(shè)&耳尸鳥的內(nèi)切圓（圓心為分別與尸月，PF2,KB切于點尺，S,T,

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則2a=||明-|巡卜歸如+阿卜網(wǎng)-⑹聞=|阿卜陋閆冏卜牌|=2⑷,

所以T為C的頂點，所以/T，x軸，/的橫坐標(biāo)為±a,所以°=6，

結(jié)合片一34二3,得/一+=0,所以A=4片-4片=0.

所以直線葭-)%=1與C相切.

(ii)由題易得直線AB的斜率不為0,

設(shè)直線A8的方程為矛=沙+2,代入工-丁=1,

3

/、?-3^0

得(「一3"+的+「0,其中1A=.一4(＞3)=W+12＞。，

—4/112

設(shè)A(wx)，5億，％)，則%+%=—，%+%=M%+%)+4=——,

2t

2

貝rrl"。J［一三6廠一It＞yk.oL—r^-3Ft

t2-3

由(i),C在點A,5處的切線方程分別為瞥-乂y=l,管-yj=l.

而弋睬彳23(%-%)3(%-X)3(%-%)「3

工'千百%-9%(“1+2)%-(優(yōu)+2)%2(%-%)2,

所以左OE=§=卜0口,

故。，D,E三點共線.

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22

【典例1-2】(2024?湖南長沙?三模)已知橢圓C:=+*=l(q>4>0)的左、右焦點分別為￡、F2,B為上

頂點，離心率為:，直線與圓4/+4/-3=0相切.

(1)求橢圓C的標(biāo)準方程；

22

(2)橢圓方程「:=+2=1(°>6>0),平面上有一點P(x。，％).定義直線方程/：誓+翌=1是橢圓「在

abcib

點尸(4,%)處的極線.

①若尸(%,%)在橢圓C上，證明：橢圓C在點尸處的極線就是過點P的切線；

②若過點P(T，0)分別作橢圓C的兩條切線和一條割線，切點為X、Y,割線交橢圓C于M、N兩點，

過點/、N分別作橢圓C的兩條切線，且相交于點Q.證明：Q、X、V三點共線.

【解析】⑴由己知在=5，4(f,0),。(。,0),8(0,幻,則%2=-1

b

L

所以直線BF2:y=--x+Z?],即々x+qy-M=0,

ci

該直線與圓元2+y2==與相切，則J；J2，=如=g'

4擊;+q42

所以解得々=6，4=2,。=1,

22

故橢圓C的標(biāo)準方程為三+乙=1

43

22

(2)①由⑴得橢圓C的方程是?+(=1.

因為尸(%%)在橢圓C上，所以手+。=1,即3-2=0,

由定義可知橢圓C在點尸(%，%)處的極線方程為竽+半=1,

當(dāng)%=0時，/=±2,此時極線方程為工=±2,所以P處的極線就是過點尸的切線，

當(dāng)%片。時，極線方程為至+里=1,即》=一費了+2，

434%%

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3

—XH------

y=—9尤2

4%218x36

由＜%，得注+3x-—Yn-x+-12=0,

尤--1%

143

所以△=_4］，+3；3一12：36(3￥；；--12)=0,

所以尸處的極線就是過點P的切線，

綜上所述，橢圓C在點尸處的極線就是過點尸的切線；

②設(shè)點。(%,%)，M(x”M)，N(X2,%)，

由①可知，過點W的切線方程為4：學(xué)+牛=1,

過點N的切線方程為3號+亨=1，

丁X。?%%:1

因為。4都過點。(%，%),所以有＜4：

石%0I—］

、4亍一

則割線MN的方程為/。：芍+孝=1,

同理可得過點尸(Y，。)的兩條切線的切點弦XV的方程為4:亍=1，即x=-L

又因為割線MN過點尸(T,0),代入割線方程得曰=1,即天=-1,

所以。,X,F三點共線，都在直線x=T上.

【變式1-1］在平面直角坐標(biāo)系xOy中，動點尸到定點尸的距離比點尸到x軸的距離大;，設(shè)動點尸

的軌跡為曲線C,直線/：丁=丘+1交曲線C于AB兩點，M是線段48的中點，過點M作x軸的垂線交曲

線C于點N.

⑴求曲線C的方程；

⑵證明：曲線C在點N處的切線與平行；

(3)若曲線C上存在關(guān)于直線/對稱的兩點，求k的取值范圍.

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【解析】（1）設(shè)點P（x,y）,由

（2）?.?點A（%,yJ、3aj,%）在拋物線上,

—y”尤;—%,求導(dǎo)得y=2x，

y-%=2玉（尤一玉）即[2盯='+%①

在點4（%,乂）、3（%,%）的切線方程為

,一%=3口一馬）

[2XX2=J+為②

②-①得2x(%,-%)=%—%,即2x=^―x=%：%,則X、二七：'

'x2-xi22

2

令A(yù)8方程為丫=依+1,代入l=y得：x-kx-l=0^^^=^k=2xN,

N點坐標(biāo)為（無N，右），以N點為切點的切線斜率為y'=24,故曲線C在N處的切線與A3平行;

（3）若存在兩點尸。關(guān)于直線/：、=履+1對稱，貝必加=-〈,

令PQ中點石（如為）,令尸2方程為y=由于E在直線/：y=Ax+l上，故有為=5+1,

k

根據(jù)（2）結(jié)論可知-<=2尤°,即%=笈々+1=1,

/C乙K乙

將直線尸。：尸-卜+&-4與拋物線xf聯(lián)立得…-=。

△＞0=二＜2=々＜_變或左＞正

k222

【變式1-2】已知拋物線E:y2=2px（p>0）,焦點為尸.過拋物線外一點P（不在x軸上）作拋物線C的切

線尸APB,其中A3為切點，兩切線分別交V軸于點GO.

⑴求C4.CF的值；

⑵證明:

①回|是照同咫的等比中項；

②FP平分NAFB.

【解析】⑴拋物線『1=2°”（0>0）焦點尸（多0）,設(shè)點

設(shè)拋物線C的切線PA,PB的方程分別為:

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由，y一%="〔x_f^|整理得，,2一子,+?》一代=0,

、，K,K,

y2=2px

由△+制-若…+5

,p,P

可得勺二一，同理左2=一,

%%

則拋物線C的切線PA，PB的方程分別為:

則山燈。借，胃〉

則正國3麗一停/），6市吾苔+,圖=0

（2）①由（1）可得|"|=於支一

則I叫2=I陽?I冏，故|閉是I陽與|陽的等比中項;

②*自一9m=醫(yī)十％產(chǎn)=3

/\FAFP

cosZAFP=cos(FA,FP)=,——n——

'/網(wǎng).網(wǎng)r

2i2i+￡

2P2

FP\

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則cosZAFP=cosZBFP，又ZAFP/BFPe[0,可,則ZAFP=ZBFP

故FP平分NAFB.

【變式1-3]（2024.江西?高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知拋物線C：無2=8〉，尸為C的焦點，過點廠的直線/與C

交于“，/兩點，且在H,/兩點處的切線交于點T.

（1）當(dāng)/的斜率為-1時，求|印|；

（2）證明：FT1HI.

【解析】（1）依題意，拋物線C的焦點/（0,2）,準線方程廣-2,當(dāng)/的斜率為-1時，/的方程為

y=—x+2,

由F一"c，得y2_i2y+4=0,設(shè)“包,%),/(%,%)，則%+必=12,

[y=-x+2

所以1Hzi=|5|+|尸/|=弘+2+%+2=16.

（2）依題意，直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為丫=依+2,

由，‘消去y得％2—8Ax-16=0,由（1）/（%2，%），

[y=kx+2

%+W=8左，玉%2=-16,對‘=工％2求導(dǎo)，得y=J_%,

84

切線777的方程為丁一切=；王（工一王），切線77的方程為〉-%=；%2（%-％2），

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五%(彳一網(wǎng))

y-%=x=4k,、

由<一，解得>__2，即T（4人,一2）,

i/X

yf=/（尤一2)

當(dāng)％=°時’7(。,-2),顯然G印；當(dāng)I時，直線口的斜率為點號=j因此Gm'

所以斤，印.

題型二：切點弦過定點問題

【典例2-1】如圖，在平面直角坐標(biāo)系xQy中，已知拋物線c：y=^x2.

⑴若點尸在G：(尤-2『+(y+2)2=l上，記G的幾何中心為點A,則當(dāng)|OP-AP|取得最大值時，求點P的

坐標(biāo).

(2)已知動點P、。在C上，分別過尸、。作拋物線的切線人4,設(shè)《和4相交于點T,若點T恒在直線八

y=2尤-1上，求證：直線PQ經(jīng)過定點.

⑶將C繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到G，給定點K(LO),G上有四點P、Q、M、N,滿足PMLQN,

PKM、。歡均三點共線，且P、。都在x軸上方，設(shè)線段和QN的中點分別為八S,試判斷：直線

75是否會經(jīng)過一個定點？若會，請求出這個定點的坐標(biāo)，若不會，請說明理由.

【解析】(1)由G：(無一2)2+(y+2『=l可知A(2,—2),|AP|=r=l,

由|0尸同Q4j+|M=|Q4j+r,

故|0尸_4尸|=|0尸_<||OA|+r-r|=|(9A|=^22+(-2)2=272,

當(dāng)且僅當(dāng)0、A、P三點共線且A在0、P之間時，等號成立，

此時|。尸|=20+1且點尸在直線y=r上，

即有岳「=2及+1,即辱=2+5，則孫=一2-日,

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y/

(2)設(shè)Q(%2，y2)，r(m,2m-l),

由，二；X,貝！J/pT：y=:石(工一項)十”,

整理得IPT:X\X-2y-2M=0,

貝|有玉機一2(2加一1)-2乂=0,整理得%]加一2y—4租+2=0,

同理可得，PT：工2%_2)-2)2=0,有/加一2%—4根+2=0,

即點夕、。土勻在直線％機一2y—4機+2=0上，

即有Ip。:mx-2y-4m+2=0f

,、1x—4=0[x=4

即根(x-4)—2y+2=0,則有解得

[-2y+2=0[y=l

故直線PQ經(jīng)過定點，且該定點為(4,1)；

2

(3)將C繞原點順時針旋轉(zhuǎn)90。得到Ct:y=4x,

2

則點K(l,0)為拋物線Q:y=4A-焦點，

由PMLQN,PKM、QKN均三點共線，

故RW、QV都經(jīng)過K(LO),

設(shè)N(“J,Q(x2,y2),不妨設(shè)玉＜馬，

fy2=4x

設(shè)/:尤=瘦+1,則機＞0,由〈,得y?-4my-4=0,

lx=my+1

故%+%=4機,yty2=-4,月+%=2m,/(/+%)+2=2療+1,

222

所以S(2療+1,2時，由WQN,則同理可得

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若wiwl,則,：產(chǎn)廣，（尤-2〃/-1）+2。=+（n-3）,直線75過點（3,0）,

若加=1,則k：x=3,直線75過點（3,0）.

綜上，直線75過定點（3,0）.

【典例2-2】已知曲線C上的動點M滿足II螭1-|曬11=2,且耳（-2,0）,6（2,0）.

⑴求C的方程；

（2）已知直線/與C交于尸，。兩點，過P,。分別作C的切線，若兩切線交于點R,且點R在直線尤=”上，證

明：/經(jīng)過定點.

【解析】（1）因為||崢H"引=2<4=|百國，

所以曲線C是以用，月為焦點，以2為實軸長的雙曲線，

所以實半軸長。=1,半焦距c=2,虛半軸長b=

2

所以曲線C的方程為Y一匕=1.

3

（2）由題知切線斜率均存在，所以設(shè)過點P,。所作的切線分別為4：>=勺％+叫/2：y=%2X+機2,

1上=1

由題意知勺W網(wǎng)且叫。加2，由彳3，得（左：一3）爐+2左町%+見2+3=0,

y=尢%+班，

因為4與C相切，

所以4-3*0,且A=4《2訴一4（片一3）（喈+3）=0,整理得*=奸一3W0.

止匕時可得尤=一立，1=勺彳+叫,即

叫叫（叫加J

同理潴二片一3,0]——,---|.

Im2mJ

y-幻+叫，叫一叫

由得尤=

4,

y=k2x+m2,匕一攵2

第12頁共59頁

J___3_

3(m2-mJ

直線/的斜率為々片

K根2—k21nl

叫m2

所以/的方程為＞=普三也卜+&3

勺機2一k2加1I班J班

人y=0得x=J_x匕"，2—「叫_&=k1ml-h叫一區(qū)（［叫一叫）=/（O）=4

rr\3（叫一叫）叫仍（叫一町）叫（叫一叫）

即/經(jīng)過定點（4,0）.

【變式2-1】（2。24.青海海西?模擬預(yù)測）過直線廠一上一個動點？作拋物線1%的兩條切線，M,N

分別為切點，直線PM,PN與x軸分別交于A,B兩點.

（1）證明：直線MN過定點T,并求點T的坐標(biāo)；

\OA\-\OB\

（2）在（1）的條件下，。為坐標(biāo)原點，求屋,的最大值?

/AZ,//V

【解析】（1）設(shè)M,N的坐標(biāo)分別為a，X）,（心％），點P的坐標(biāo)為（祖，"L2）,

由y=；尤2有/=（X,可得直線RW的方程分別為再（彳-占）,

又由％=；才，直線PM的方程可化為＞尤-%,

同理直線PN的方程為y=g9尤-%，

又由點P在直線PM,PN上,有m-2=；叫-%,MI-2=gmx2-%,

可得點M,N都在直線機-2=3如-＞上，整理為根］1^一11+2-》=0,

又由x=2,y=2滿足方程，故直線MN過定點，定點T的坐標(biāo)為（2,2）；

第13頁共59頁

（2）直線MN的方程可化為y=g〃a-根+2,

12

聯(lián)立方程消去丁后整理為X2—2mx+4m—8=0，

1c

y=—mx-m+2.

2

可得為+%=2m,項%2-4m-8,

2；病

l+|m|2-xJxJ1+|2-%22

^\TM\]TN\=l+-m14-2（石+x2）+x,x21

4

l+-m2|4-4m+4m-8|=m2+4,

4

在直線PM的方程中，令y=0,有O=gx1X-；尤；,

可得x=1_,可得點A的坐標(biāo)為

同理可得點B的坐標(biāo)為（1,（）］.

有|OA|-|OB|=；后%|=留=|m-2|,

|OA|-|OB|_|m-2|

\TM\-\TN\~m2+4'

|m-2|1

當(dāng)機w2時，令m一2=1,有

m2+4（￡+2）2+4?+4/+8

/+—+4

t

Z+|>2^X|=4V2（當(dāng)且僅當(dāng)f=2后時取等號）,

①當(dāng)t>0時,

后]-1Vl叵T

有-rr--8_-4A/2+4-4;

tt

②當(dāng)/<0時，（-0+f-=（當(dāng)且僅當(dāng)"-20時取等號）,

有t+J-4夜，有f+§+4W4-4拒,V1亞+1

有f+-+4>472-4,可得F

tt~4y/2-4~4

t

由上知OA看-\O扁B\的最大值、為Q+筌i.

第14頁共59頁

【變式2-2］（2024.浙江杭州?模擬預(yù)測）已知橢圓C:±+V=l,直線尤+2y+4=。，P是直線/上的動點,

4'

過P作橢圓C的切線PS,PT,切點分別為S,T.

⑴當(dāng)點P坐標(biāo)為（2,-3）時，求直線ST的方程；

（2）求證：當(dāng)點尸在直線/上運動時，直線ST恒過定點M；

（3）是否存在點P使得PST的重心恰好是橢圓的左頂點（-2,0）,如果存在，求出點P的坐標(biāo)；如果不存在,

請說明理由.

設(shè)5（%,%）,7（%,%）,產(chǎn)（%,為），已知橢圓為寧+:/=1,

由橢圓的切線方程，切線PS的方程為苧+%>=1,

又點尸在該直線上，所以平+%%=1,

切線PT的方程為半+%>=1，

4

又點尸在該直線上，所以中+%%=1,

則點S,T都在直線與+%y=l上，即直線ST的方程是與+為y=l,

當(dāng)點尸坐標(biāo)為（2,-3）時，%=2,%=-3,

所以直線ST的方程是f-3y=1,即無一6y—2=0.

4

（2）由（1）知直線ST的方程是苦+%>=1,

第15頁共59頁

又點尸在直線/上，所以/+2%+4=0,

得毛=-2%-4,代入ST的方程得「丁)x+y0y=1,

即[一Jx+y1%-(x+i)=。，所以＜2X+y~Q,

I)卜+]=0

解得1,直線ST恒過定點M

y=--

(3)因為直線ST的方程是芋+為y=l,所以＞=-4x+工,

44%%

代入土+9=1得工八一、+工=i,

44(4%y0)

1?-ro\2

-^%+--1=0

整理得〔4

2%%

因為ES7的重心為(—2,0),所以菁+w+%o=-6,乂+%+%=。,

%o

—_+工

=_64%(

所以;11-^0°,得----------------Fx=—6

x+4x+80

416火oo

Xo+2%+4=O

解得x()=T,則%=0,此時STLx軸，％+%+%=。成立，

所以點P存在，坐標(biāo)為(-4,0).

【變式2-3】已知拋物線C：f=2期(。＞0)過點4(2,1),點8為直線產(chǎn)-2上的動點，過點8向曲線C

引兩條切線，切點分別為N,判斷直線是否過定點？若過定點，請求出此定點坐標(biāo)，否則說明

理由.

【解析】將A(2,l)代入爐=2/(0＞0)可得4=2p,解得p=2,故f=4y,

設(shè)1[,N1%，于)

11X2I

??,P，-5入，=—xx,lBM：y一子=彳玉(I-%)

乙乙，乙

5(m,-2)在直線/上，.?.一2_于=；石(相―石)，

：x；-2ntX]-8=0,同-—8—0

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x+x=2m

???X］，%為尤2-2〃氏一8=0的兩根，■■■］。

［玉/=.X

日名一(國+々)2-2卒2_4療+16_2

I———ill?r7

4444

------rri

??,卜,44_\+x2_m,又肱V的中點m,—-+2

KMN-一：2

xl-x2421

fm2、m

:.y—I+2)=耳(x—B13Prly=—x+2,

???過定點(0,2)

題型三：利用切點弦結(jié)論解決定值問題

【典例3-1］（2024.全國.模擬預(yù)測）一般地，拋物線的三條切線圍成的三角形稱為拋物線的切線三角形，

對應(yīng)的三個切點形成的三角形稱為拋物線的切點三角形.如圖，一片VABC分別為拋物線y2=

2Px（p〉0）的切線三角形和切點三角形，尸為該拋物線的焦點.當(dāng)直線A8的斜率為-1時，AB中點的縱

坐標(biāo)為-2.

⑴求P.

（2）若直線AC過點F,直線分別與該拋物線的準線交于點D,E,記點D,E的縱坐標(biāo)分別為yD,yE,

證明：%%為定值.

（3）若A3,C均不與坐標(biāo)原點重合,證明：|理.|冏.忸0=|砥H"H颶|

【解析】（1）由題可知點A,8均在該拋物線上，故設(shè)Ajjjyj,45，％

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由題意得當(dāng)KB=-1時，%+%=-4,

k=再一」2P=_￡=_1

故AflyL_yL%+%2,所以p=2.

2p2p

（2）由（1）得該拋物線的方程為V=4x,所以尸（1,0）,準線為x=-l.

因為直線AC過點/，所以AF與尸d共線，

由題可知點。在該拋物線上，故設(shè)

則A尸=11一々,一%],FC=々—I,%]，

（2\/2\

所以為=°，

因為3片%，所以%為=-4.

由題意知直線",8C的斜率均存在且均不為0,

（2、

v_v_%-%%_2L4y必

易知直線的方程為y%y”y；4，即y=

令'J得同理可得先=會

%%-4%￡%-4%(%+%)+16

所以%%=

因為……一夫黑苧「,

所以%%為定值T.

（3）由題意知拋物線丁=?在A,民C三點處的切線的斜率都存在且不為0.

（2、

設(shè)拋物線/=4x在點yj處的切線方程為y-y,=k（發(fā)/0）,

與V=4x聯(lián)立，消去x并整理得外2-4y+4y「外；=。,

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2

由A=16—4M4M—切;)=0,解得左=1.

所以拋物線V=4x在點A處的切線方程為％y=2x+f.

同理可得拋物線丁=4》在點8處的切線方程為%〉=2丈+。，

2

在點C處的切線方程為%〉=2x+春.

yy=2x+—x-純

由＜x之，解得,4

2所以兄

y=%±&2

y2y=2x+^~

同理可得“皆,甘；“學(xué)，罟］,

又回"+1=可，附=可，附i=y，

所以|胡卜|理忸。卜(%+4)(彳：4)(二+4).

由兩點間的距離公式得|產(chǎn)闈=J1學(xué)-1J+［月習(xí)2=|心：+4)(￡+4),

同理可得閥|=丫(/+4)(￡+4),|R|=；J(￡+4)(￡+4),

所以閥卜冏?閥I

=：如+4)(代+4卜"(舟4)(代+4卜；限+4)(￥+4)

（立+4）（另+4）（$+4）

64

所以網(wǎng)?閥.阿=|四?阿卜閥

【典例3-2】(2024?四川內(nèi)江.三模)己知拋物線E的準線方程為：x=-l,過焦點廠的直線與拋物線E交

于A、8兩點，分別過A、B兩點作拋物線E的切線，兩條切線分別與y軸交于C、。兩點，直線CP與拋

物線E交于M、N兩點，直線。尸與拋物線E交于P、Q兩點.

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（1）求拋物線E的標(biāo)準方程;

11

（2）證明：|MN|+忸山為定值，

【解析】（1）因為拋物線的準線為：x=-l,設(shè)V=2px,則-=所以p=2,

故拋物線E的標(biāo)準方程為/=4x.

（2）易知拋物線E的焦點尸（1,0）,

設(shè)直線AB的方程為尤=加丁+1,4（%1，yj、8（%2，升2），

（丫2=4V

聯(lián)立廠可得y2_4my-4=0,

[x=my+1

由韋達定理可得%+%=4加，%%=-4,

接下來證明拋物線E在點A處的切線方程為yj=2x+2再，

1y2=4x9

聯(lián)立cc可得產(chǎn)一2%y+4占=0,即/一2%>+￥=0,即（y-M）-=0,

1%了=2尤+2占

所以，直線%y=2x+2%與拋物線E只有唯一的公共點，

所以，AC的方程為必，=2尤+2玉，

同理可知，直線的方程為y2y=2x+2無2,

,2

在直線AC的方程中，令x=0,可得/=生=上==叁，即點

同理可得點卷],所以，直線CP的方程為“+^=1,即％=1-生，

I2J萬7

x=l-至8y

設(shè)點M（W，%）、N（%%），聯(lián)立<%，可得V+------4=0,

y2=4x%

8

由韋達定理可得為+%=，%”=-4,

所以|MN|=X3+X4+2=2-二（%+”）+2=4-2X--=4J*,

MMI%）%

同理可得什。|=4乂;I',

%

所以1?1_犬?￡才（4y；+16）+y；（4y：+16）

\MN\|尸04才+16化+1616（胃+4）田+4）

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8（X%）2+16（6y；+￡）（x%）2+2（y；+y；）16+206療+8）i

可回力+川城+團+回2[（%%）2+4｝；+￡）+16]2[16+4（16m2+8）+16]4

【變式3-1】已知4，分別為橢圓C|：T+y2=1(a>0)和雙曲線G：J-y2=i的離心率.

aa

(1)若4%=乎，求C2的漸近線方程；

⑵過C2上的動點尸(5,%)(%H土。)作G的兩條切線，經(jīng)過兩個切點的直線與G的兩條漸近線圍成三角形

的面積為S,試判斷S是否為定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由.

【解析】(1)由題意得6=至三，e?=，亙，所以的2=至三=巫，

aaa4

又a>0,解得力=4,故雙曲線C2的漸近線方程為>=土;x,

(2)設(shè)兩個切點［(%,%),E(x2,y2),由題意知理，尸乙斜率存在,

下證切線心的方程為于+%>=】,

W+V=l

22

聯(lián)立“得（片+/犬卜2-2axlx+a一〃2犬）=0,

?+%y=i

a

+y；=l,即％；+〃2y；=a2,貝|J上式可化為〃2%2-2Q2%]%+Q2%；=0,

所以△=(一2片玉)2一4々2.々2才二。,

直線尸4的方程為4：y=k1(x-xl)+y1,

所以切線電：與+%y=i,同理切線尸8方程為：邛+%>=1，

aa

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+%y=i，

a2

誓+%y=iJQ-............

aX。一伙

聯(lián)立解得

1—Cl