復(fù)旦大學(xué)附屬中學(xué)2023學(xué)年第二學(xué)期

高一年級(jí)數(shù)學(xué)期末考試試卷(A卷)

考生注意：

1.本試卷共4頁(yè)，21道試題，滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘.

2.本試卷分設(shè)試卷和答題紙.試卷包括試題與答題要求.作答必須涂(選擇題)或?qū)?非選擇題)

在答題紙上，在試卷上作答一律不得分.

一、填空題(本大題滿(mǎn)分54分)本大題共有12題，第16題每題4分，第7—12題每題5分,

清在答題紙相應(yīng)編號(hào)的空格內(nèi)直接寫(xiě)結(jié)果.

sina=-cos(a--)=

1.已知5,貝i]2.

4

【答案】一##0.8

5

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.

【詳解】依題意，cos(tz-^)=sina=.

一,4

故答案為：一

5

2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足2+iz=3+5i,則Rez=.

【答案】5

【解析】

【詳解】由2+iz=3+5i得iz=l+5i,

1+5i.

故z=------=5-1,故Rez=5,

i

故答案為：5

3.設(shè)向量1=(—3,2),3=(1,0),則值在B方向上的數(shù)量投影為.

【答案】-3

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)量投影的概念和公式可解.

【詳解】?在B方向上的數(shù)量投影為@cos/R=^=一:一=—3.

'/\b\Vl2+02

故答案為：-3

第1頁(yè)/共17頁(yè)

4.設(shè)/(x)=x+cosx,函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)為y=/'(x),則/'U=.

【答案】0

【解析】

【分析】求出函數(shù)歹=/(x)的導(dǎo)數(shù)，代入X='計(jì)算即可.

【詳解】：/(x)=x+cosx,.,./'(x)=l-sinx,因止匕，=1一1=0.

故答案為：0.

+8

5.設(shè)數(shù)列｛4｝為無(wú)窮等比數(shù)列，q=2,且Z%=9,則數(shù)列｛%,｝的公比q=.

n=l

7

【答案】-

【解析】

【分析】根據(jù)給定條件，利用無(wú)窮遞縮等比數(shù)列所有項(xiàng)和公式列式計(jì)算即得.

+00zy77

【詳解】依題意，j=——=9,解得^二一.

n=i1-qi—q9

7

故答案為：一

9

6.設(shè)向量方=(3sina2),B=(l,cos6),則五.6的取值范圍是.

【答案】［―巫,巫］

【解析】

【分析】利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，結(jié)合輔助角公式及正弦函數(shù)性質(zhì)求解即得.

【詳解】向量M=(3sin6,2),B=(l,cos。)，則@-B=3sinO+2cos9=VT^sin(0+e),

2

其中銳角。由tanR=§確定，而6eR,則sm(6+0)e,

因此而sin(6+⑼e［-713,713］，

所以限6的取值范圍是［-舊,舊］.

故答案為：［-

7.設(shè)/(X)=sin12x+；］+3,則函數(shù)y=/(x)的極值點(diǎn)為.

第2頁(yè)/共17頁(yè)

【答案】X=--1--左兀(左￡Z).

82

【解析】

【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)和極值點(diǎn)的定義得到方程，解出即可.

【詳解】根據(jù)三角函數(shù)極值點(diǎn)即為其最值點(diǎn)，則轉(zhuǎn)化為求解其對(duì)稱(chēng)軸通式,

令2x+個(gè)=叁+左兀(keZ)

:.x=-+—kTt{keZ)

82

711

其對(duì)稱(chēng)軸為x=—+—E(keZ)

82

711

則其極值點(diǎn)為x=—+—左兀(keZ).

82

故答案為：x——I—左兀(左￡Z).

82

8.數(shù)列｛%｝滿(mǎn)足。i=2嗎+]=3%+2用，則數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為4=

【答案】2(3"—2")

【解析】

【分析】根據(jù)給定的遞推公式，利用構(gòu)造法，結(jié)合等比數(shù)列通項(xiàng)求解即得.

【詳解】數(shù)列｛叫中，由-=34+2"+1得翳=；果+1，即給+2=；命+2),

而4=2,|-+2=3,于是數(shù)列｛學(xué)+2｝是首項(xiàng)為3,公比為5的等比數(shù)列，

因此￡+2=3x(|■)"「即%=2(3"—2"),

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為%=2(3"-2").

故答案為：2(3"-2")

9.已知直線/：V=丘是曲線/(%)=2%3-工2的切線，則左=.

【答案】0或—

8

【解析】

【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(后，依o)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義表示斜率左，由切點(diǎn)在曲線上得出方程組，解得與，

即可求解.

【詳解】由已知設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(飛,日0),

因?yàn)?(x)=2/-X?,貝U/〈X)=6x?-2x,

第3頁(yè)/共17頁(yè)

所以］"°=2：。一/，解得/=0或Xo=l,

k-6x0-2x04

所以k=0或4=—,.

8

故答案為：0或—.

8

io.設(shè)是單位向量，且示B=g,向量己滿(mǎn)足伍―可?伍—23)=：,則向的取值范圍是.

【答案】［］一

【解析】

【分析】利用數(shù)量積的運(yùn)算律及性質(zhì)建立不等式，再求解不等式即可得解.

【詳解】單位向量滿(mǎn)足則伺+2年底+47+4/=不，

121

由仁—2)?仁—23)=—,得(Z+2B)Z+2Z%=—,

44

則7+q=(Z+2B)4gZ+2)Ei=J7Ei，當(dāng)且僅當(dāng)Z+2瓦)同向時(shí)取等號(hào)，

因此J7￡l+2<o,解得也一14￡區(qū)也+1.

422

故答案為：［1—1,曰+1］

11.設(shè)等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和S”，若存在實(shí)數(shù)c,使得其=a“+c對(duì)于任意的正整數(shù)〃都成立，則數(shù)

列｛4｝的通項(xiàng)公式為an=.

【答案］

4

【解析】

【分析】根據(jù)給定等式，取〃=1,2,3建立關(guān)于4,q的方程組，求出通項(xiàng)并驗(yàn)證即得.

=q+c

【詳解】設(shè)等比數(shù)列｛4｝的公比為或由病=4+c,得\J4+。2=。2+。

J-1+。2+43=+C

第4頁(yè)/共17頁(yè)

則[歷?T=/T(qT)

即\Jq(i+/-aiQ+c

]jl+q+q2一1=-1)

2

d/Q+q+q2)=axq+c

即有[1+q+q2-1=(Y+l)(Jl+q-1)=q(J+q-1)+J+q-I，

于是止+q+q二際二q(際—1)，+際

而qwO,因此+=+1，整理得Jl+q+q2=1,即g+/=。,

111

解得4=-1，狐一,為=：,從而a=曰一，此時(shí)c=—,

241144

:1)"]1

當(dāng)"為偶數(shù)時(shí)，板=0=%+；，

s”=-------------=-[i-(-i)n])

"1-(-1)8

當(dāng)"為奇數(shù)時(shí)，J*=g=%+；,即當(dāng)c=:時(shí)，瘋=4+c對(duì)于任意的正整數(shù)〃都成立,

所以數(shù)列｛%｝的通項(xiàng)公式為％=丑］.

故答案為：斗

12.已知a>0,如果有且僅有四個(gè)不同的復(fù)數(shù)z,同時(shí)滿(mǎn)足|(z-l)(z+l)2|=a和忖=1,則4的取值范圍

【分析】利用復(fù)數(shù)模的運(yùn)算性質(zhì)，再數(shù)形結(jié)合，轉(zhuǎn)化為三次函數(shù)來(lái)研究即可.

【詳解】由|(z_l)(z+l)2|=a可得、-1卜+1「=a,

又由忖=1可得，復(fù)數(shù)Z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在單位圓上,

第5頁(yè)/共17頁(yè)

設(shè)單位圓上動(dòng)點(diǎn)尸，，（-1,0）,5（1,0）,則|z—1］表示尸8長(zhǎng)度，匕+1|表示PZ長(zhǎng)度,

即。=必?042,又因?yàn)楸?+42=4,所以。=可?（4—必2）,

令PB=x,可設(shè)/(x)="(4-=-/+4》，xe(0,2)

/,(X)=-3X2+4,令/'(X)=0,可得工=生,

4L2⑸

f(x)=-3久2+4>0，所以/(x)=—%3+4x在

當(dāng)X€IU,3J時(shí),上單調(diào)遞增;

（2m）

當(dāng)xef'[x)--3x2+4<0,所以/(%)=-/+4%在---,2上單調(diào)遞減;

,/(2)=-23+4X2=0,/(0)=0,

,即在x軸上方一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足條件,

再利用圓關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)，所以在x軸下方也一定存在兩個(gè)復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)滿(mǎn)足條件,

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用數(shù)形結(jié)合，把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為。=必?/〃2,再利用必2+42=4消元，然后再利用

函數(shù)求導(dǎo)來(lái)研究值域，即可求得。的范圍.

二、選擇題（本大題滿(mǎn)分18分）本大題共有4題，第13-14題每題4分，第15-16題每題5分,

每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的相應(yīng)編號(hào)上將代表答案的小方格涂黑.

13.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)z為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z2+i在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在（）.

A.第一象限B.第二象限

C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

第6頁(yè)/共17頁(yè)

【解析】

【分析】設(shè)z=bi,b^Q,根據(jù)復(fù)數(shù)的乘方運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.

【詳解】設(shè)2=歷，6/0,則z2+i=—/+i，因?yàn)椤?lt;0，

則其在復(fù)平面上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)Z在第二象限，

故選：B.

14.A/BC中，角/,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.則“/>5”是“a+sin/>6+sin5”的()

A,充分而不必要條件B,必要而不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)正弦定理和大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】當(dāng)/>5時(shí)，根據(jù)三角形中大邊對(duì)大角，小邊對(duì)小角，得a〉b,再根據(jù)正弦定理得sin/>sin5,

所以a+sin/〉6+sin3;

ah

當(dāng)a+sin4〉b+sin3時(shí)，根據(jù)正弦定理-----二-----=2R,得

sinAsinB

2RsinA+smA>2Rsin5+sin5(27?+1)sinA>(27?+1)sinB,又2火+1>0,所以sinZ〉sinB,

根據(jù)正弦定理得所以4〉5；

所以“/〉5"是“a+sin/〉6+sin3”的充分必要條件.

故選：C.

15.設(shè)/(力=%3+6?2+云—1.函數(shù)>=/(x)在x=l處取得極大值3,則以下說(shuō)法中正確的數(shù)量為()

個(gè).

①3a+26=0；

②對(duì)任意的加<1,曲線>=f(x)在點(diǎn)(加J(加))處的切線一定與曲線歹=f(x)有兩個(gè)公共點(diǎn)；

③若關(guān)于x的方程/(x)=%有三個(gè)不同的根玉,馬,七，且這三個(gè)根構(gòu)成等差數(shù)列，則無(wú)=1.

A.0B.1C.2D.3

【答案】D

【解析】

【分析】運(yùn)用極值的概念和性質(zhì)，求出人，代入判斷①；函數(shù)解析式知道后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)研究處函數(shù)單調(diào)性,

極值，對(duì)稱(chēng)性，進(jìn)而畫(huà)出圖像，觀察圖像，數(shù)形結(jié)合判斷②；根據(jù)圖像和函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，判斷③即可.

【詳解】求導(dǎo)，即/'(x)=3f+2G+6,由于函數(shù)>=/(x)在x=l處取得極大值3,貝(1

第7頁(yè)/共17頁(yè)

/(l)=3+2a+b=0a=-6

解得《,八，則3a+2b=0,則①正確;

/⑴=l+a+b-1=3o=9

由上面知道，(x)=%3-6x2+9x—1,

2

且/'(x)=3x—12x+9=3(x—3)(x—1)=0,解得x；=l,x2=3.

當(dāng)xe(l,3),/'(x)<0,>=/(x)單調(diào)遞減;

當(dāng)xe(—oo,l)或者xe(3,+oo),/'(x)>0,y=/(x)單調(diào)遞增.

則當(dāng)x=l時(shí)，歹=/(x)由極大值/(1)=3；x=3時(shí)，歹=/(x)由極小值/(3)=-1；

bb

且對(duì)稱(chēng)中心為(―二,/(—二))=(2,1).畫(huà)出函數(shù)圖像

由圖像，可知對(duì)任意的加＜1,曲線歹=/(x)在點(diǎn)(掰,/(加))處的切線一定與曲線歹=/(x)有兩個(gè)公共點(diǎn),

故②正確；

若關(guān)于尤的方程/(x)=上有三個(gè)不同的根西,12，七，且這三個(gè)根構(gòu)成等差數(shù)列，則

2X2=X1+X3,根據(jù)函數(shù)對(duì)稱(chēng)性，知道五產(chǎn)=1,占+退=2,則％=1，%=/(2)=1.故③正確.

故選：D.

16.設(shè)實(shí)數(shù)無(wú)＞0,對(duì)于函數(shù)〉=ksinx,xe［0,7i］的圖象上的點(diǎn)尸記|。？|=/(4),則下列說(shuō)法中正

確的是()

A.不存在M使得＞=/(。)在區(qū)間［0,可上不是單調(diào)函數(shù)

B.存在左?0,1),使得＞=/(。)在區(qū)間［0,可上不是單調(diào)函數(shù)

C.存在左使得y=/(a)在區(qū)間［0,可上不是單調(diào)函數(shù)

D以上說(shuō)法都不正確

【答案】D

【解析】

第8頁(yè)/共17頁(yè)

【分析】構(gòu)造g(a)=/+公sin2a,ae[0,可，求導(dǎo)，即可利用正弦函數(shù)的性質(zhì)，針對(duì)選項(xiàng)逐一求解.根據(jù)

正弦函數(shù)單調(diào)性結(jié)合新定義分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.

【詳解】/(a)=\0P\-yja2+b2=\Ja2+k2sin2a，

記g(a)=a2+k2sin2a,ae[0,7i],貝！]g'(a)=2a+k22sinacosa=2a+k2sin2a,

當(dāng)ae0,—,g'(a)>0,當(dāng)ae仁川，g'(a)=2a+/sin2a22a—/>冗一

故當(dāng)左e(0,6)時(shí)，g'(a)>0,

因此左e伙,正)時(shí)，對(duì)于ae[0,7i],g'(a)?0,故g(a)單調(diào)遞增，因此/(a)單調(diào)遞增，故BC錯(cuò)誤，

當(dāng)ae0,-|,g,(o)>0,取左=1()1。，存在為elm，71送'(4)<0，故g(a)在可不單調(diào)，A錯(cuò)誤，

故選：D

三、解答題(本大題滿(mǎn)分78分)本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)的編號(hào)規(guī)

定區(qū)域內(nèi)寫(xiě)出必要的步驟.

17.設(shè)等差數(shù)列｛g｝的公差為d,其前〃項(xiàng)和為S",且滿(mǎn)足。9=-1，品=27.

(1)求d的值；

(2)當(dāng)，為何值時(shí)S“最大，并求出此最大值.

【答案】(1)-1

(2)答案見(jiàn)解析

【解析】

【分析】(1)運(yùn)用等差數(shù)列的求和公式和性質(zhì)求解即可；

(2)求出S“，用二次函數(shù)知識(shí)來(lái)解題即可.

【小問(wèn)1詳解】

+%?。jetc，—cir—1—31

=-----x9=9as=27,則%=3,d—------=------二—I,

244

故d的值為-L

【小問(wèn)2詳解】

由(I)知道，an=a5+(n-5)d=一〃+8,q=7,

ca1+a7+(—〃+8)1215

S=」——-xn=——-----^xn=一一n+——n,

〃2222

第9頁(yè)/共17頁(yè)

1915

由于y=--x+—x開(kāi)口向下，且對(duì)稱(chēng)軸為x=7.5.

22

而〃eN+，則〃=7或者〃=8時(shí)，S”最大.

（^U=^=^=59-?9=27-（-l）=28.

18.設(shè)i是虛數(shù)單位，加、左eR.a、/是關(guān)于x的方程（2+mi）x+左=0的兩根，且滿(mǎn)足悶+怩|=3.

（1）若a=2+J^i，求加與左的值；

（2）若m=0,求左的值.

【答案】（1）m=J~5^k=0

（2）--或2

44

【解析】

【分析】⑴由同=,2+（6『=3,及囪+網(wǎng)=3,得網(wǎng)=0,即可求解;

（2）當(dāng)加=0時(shí)，則外夕是關(guān)于X的方程——2x+左=0的兩根，則4=4—4后，進(jìn)行分類(lèi)討論，即可

求解.

【小問(wèn)1詳解】

解：由a=2+V5i>得同=,2?+=3,

而同+忸|=3,得慨=0,

因?yàn)橥饬κ顷P(guān)于X的方程（2+mi）x+左=0的兩根，

2+yf5i+/3=2+mi

得夕=（加—由期=0,得m=5

得尸=0,則左=0；

【小問(wèn)2詳解】

當(dāng)a=0時(shí)，則a,，是關(guān)于無(wú)的方程/_2x+左=0的兩根,

則4=4—4左，

當(dāng)左=1時(shí)，則a=￡=l,不滿(mǎn)足同+忸|=3,

當(dāng)左<1時(shí)，得4=4—4左〉0

第10頁(yè)/共17頁(yè)

a+B=2

得IA7，

ap-k

由團(tuán)+網(wǎng)=3得（囤+p『=9,

得+乃2+2］羽=9,

得（a+/7『—23+2|4|=9,

得—2k+2網(wǎng)=5,

當(dāng)0V左＜1時(shí)，不成立，當(dāng)后＜0時(shí)，得左=—*,

4

當(dāng)%＞1時(shí)，得4=4-4左＜0，

不妨記a=l-VrNi,￡=1+VFM,

由國(guó)+網(wǎng)=3得Ji+01+J1+4—1=3,

9

得上=—，

4

故左的值為：一5二或‘9

44

19.某新能源汽車(chē)公司計(jì)劃建設(shè)一個(gè)鋰電池工廠，工廠必須建在河邊，鋰電池需要鋰和鉆兩種礦產(chǎn)資源.如

圖，A是鋰礦，3是鉆礦，直線/是一條河流.2、8兩點(diǎn)在直線/上的投影分別為C、。兩點(diǎn).已知/。=3,

AD=4,tan/氏4c=—7.假設(shè)工廠建在線段CD上（包含端點(diǎn)）的點(diǎn)E處，設(shè)C￡=x.

CED

（1）求45的長(zhǎng).

（2）若沿線段/￡與BE建兩條公路用于礦產(chǎn)運(yùn)輸，且要求NZE8是鈍角，求x的取值范圍.

（3）若要建設(shè)公路連接48、E三點(diǎn)，假設(shè)公路建設(shè)成本和公路長(zhǎng)度成正比，請(qǐng)你運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想設(shè)計(jì)

一個(gè)最佳的工廠選址和公路建設(shè)方案.（已知N/E3的最大值約為90.58°.）

【答案】（1）572；

（2）（3,4）；

（3）答案見(jiàn)解析.

第11頁(yè)/共17頁(yè)

【解析】

【分析】（1）作4FLAD于/，利用直角三角形結(jié)合已知求出4g.

（2）利用余弦定理建立不等式求解即得.

（3）根據(jù)給定條件，可得公路連接點(diǎn)尸到點(diǎn)4瓦￡的距離和最小，推得通過(guò)旋轉(zhuǎn)確定點(diǎn)尸位置

并計(jì)算得解.

【小問(wèn)1詳解】

依題意，ACLl,BDLl,則ZC//B。，由tanZ8/C=—7,得tan5=7,

作于/，則斯=B￡）—/C=1,4B=BFtanB=7,

所以=萬(wàn)方=5A/L

【小問(wèn)2詳解】

在“BE中，AE=six1+9,BE=7（7-x）2+16，

IDp2_4R2

由ZAEB是鈍角及余弦定理，得cosNAEB=<0，

2AE-BE

即/￡2+8￡2一452<0，于是/+9+（7-》）2+16-50<0,整理得x?—7x+12<0，

解得3<x<4,所以x的取值范圍是（3,4）.

【小問(wèn)3詳解】

最佳方案：工廠建在E處，CE=---，中間有一個(gè)三岔路口P，PELI,且P￡=Z—述.

2226

由公路建設(shè)成本和公路長(zhǎng)度成正比，得當(dāng)且僅當(dāng)公路長(zhǎng)度最短時(shí)，公路建設(shè)成本最低，

即三岔路口尸到點(diǎn)的距離和最小，此時(shí)必有P￡JJ,否則令點(diǎn)尸在/上的投影為《，

則有4?+8尸++兄尸<4?+8尸+￡尸與/P+8尸+￡尸最小矛盾，

將“BP繞點(diǎn)、A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得,則AP'=AP/APP，為正三角形，

ZAPP'=ZAP'P=60°,AP=PP',顯然B'P'=BP,

則4P+BP+EP=EP+PP'+P'ByEB',當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)E,P,P',B'共線時(shí)取等號(hào)，

此時(shí)必有ZAPB=ZAP'B'=120°,ZAPE=120°,ZBPE=120°，

17

顯然ZBAB'=60°.由（1）得smZBAF=~^=,cosNBAF=J-J=,

第12頁(yè)/共17頁(yè)

7]]\l3

cosNB'4F=cos(NB4F+60)——產(chǎn)x---產(chǎn)x—，而AB'-AB-5^2，

5V225V22

z_在

令/下交直線EP于點(diǎn)。，則ZO_L￡P(guān),CE=AO=AB'cos/B'AF=2-V

EP=EO-PO=AC-—AO=3-—(^--—)=--^-

332226

所以工廠建在E處，CE=--—>中間有一個(gè)三岔路口尸，PE1.1,且/>￡=?—逋.

2226

20.已知數(shù)列｛4｝滿(mǎn)足以下條件：①｛4｝是嚴(yán)格增數(shù)列；②｛%｝的各項(xiàng)均為自然數(shù)；③%=0,4=1?設(shè)集

合/=｛x|x=at+ari豐/｝.

(1)若數(shù)列｛%｝共有4項(xiàng)，且%=2,%=4,用列舉法表示集合A；

(2)設(shè)數(shù)列｛4｝為無(wú)窮數(shù)列，其前〃項(xiàng)和為5“，若對(duì)一切正整數(shù)〃都有色<。的成立，求證：對(duì)任意不小

于3的正整數(shù)〃，不等式5">2”2都成立；

(3)設(shè)數(shù)列｛4｝為有窮數(shù)列，若[1,27]CZQN,求數(shù)列｛4｝項(xiàng)數(shù)的最小值.

【答案】(1)/=｛1,2,3,4,5,6｝

(2)證明見(jiàn)解析(3)9

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意列舉即可求解；

(2)根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法即可證明；

(3)設(shè)項(xiàng)數(shù)最小值為加，有|/|=C；227,求出加的取值范圍，擴(kuò)大數(shù)列的d的最快方法：取除數(shù)列中

最大值%外的W，使[0,4]cZ為數(shù)列中的最長(zhǎng)連續(xù)自然數(shù)子列，給數(shù)列｛%｝末尾加入一個(gè)

第13頁(yè)/共17頁(yè)

4+1=%+%+1，可使d張至2%+%+1,據(jù)此即可求解?

【小問(wèn)1詳解】

/=｛123,4,5,6｝；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)樾?0+1<4，所以83=6+%+%>2=23-2,

由數(shù)學(xué)歸納法可設(shè)5“>2”2,

因?yàn)?=%+邑>2邑=2皿,

所以原假設(shè)正確，所以對(duì)任意不小于3的正整數(shù)〃，不等式S,>2”2都成立；

【小問(wèn)3詳解】

設(shè)項(xiàng)數(shù)最小值為加，有|/|=C；?27,

所以加之8,在單增數(shù)列｛%｝中，最大值為%,

而max｛2｝=an+j>27,

所以4214,發(fā)現(xiàn)若k=min｛左eZ|左/軟+1｝,且max｛%｝=4〃］,

則當(dāng)一=2%時(shí)，［1,d］cZ中d取得最大值3ak,

可得擴(kuò)大數(shù)列的d的最快方法：取除數(shù)列中最大值％外的軟，使［O,a〃cZ為數(shù)列中的最長(zhǎng)連續(xù)自然數(shù)子

列，給數(shù)列｛4｝末尾加入一個(gè)4+1=%+%+1,可使d張至2%+%+1,

所以只需平衡軟與添加元素的多少，

首先令｛%｝為從0開(kāi)始的連續(xù)自然數(shù)數(shù)列，

設(shè)添加/個(gè)元素，則需在滿(mǎn)足（J+1）軟+%+）227,

所以（/+1）（左—1）+左—/227的條件下使k+j最小，

得到k+J29,所以｛%｝項(xiàng)數(shù)的最小值為9.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)擊：本題（3）關(guān)鍵在于找到擴(kuò)大數(shù)列的d的最快方法：取除數(shù)列中最大值%外的%,

使［O,aJcZ為數(shù)列中的最長(zhǎng)連續(xù)自然數(shù)子列，給數(shù)列｛%｝末尾加入一個(gè)%+i=劭+%+1,可使"張至

2a卜+??+1.

第14頁(yè)/共17頁(yè)

21.設(shè)aeR,f(x)=tzcosx+?2sin2x,函數(shù)y=/(x)的定義域?yàn)镽.

(1)若a=l,判斷函數(shù)y=—x］的奇偶性，并說(shuō)明理由；

(2)求證：函數(shù)y=/(x)的導(dǎo)函數(shù)歹=/'(x)的最小值為—21—同；

(3)若對(duì)任意的工€&/(》)＜之『恒成立，求實(shí)數(shù)。的最大值.

【答案】(1)函數(shù)了=/［曰-工］為奇函數(shù)，理由見(jiàn)解析.

(2)證明見(jiàn)解析.(3)y.

【解析】

【分析】(1)利用奇函數(shù)的定義可判斷；

(2)利用換元將導(dǎo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得導(dǎo)函數(shù)的最小值為-2/—問(wèn)；

(3)由士8猜測(cè)最大值在x=?時(shí)取到，此時(shí)正數(shù)。=,，先證。=工時(shí)，/(x)的最大值為述，再證

8622、，8

當(dāng)a〉工時(shí)最大值大于述，即可.

28

【小問(wèn)1詳解】

函數(shù)了=/為奇函數(shù)，理由如下:

當(dāng)a=l時(shí)，/(x)=cosx+sin2x,定義域?yàn)镽,

【小問(wèn)2詳解】

y=/'(x)=-。sinx+2a2cos2x=-4a2sin2x-asinx+2a2

第15頁(yè)/共17頁(yè)

22

|+2?+-

=-4a2sin2x-6Zsinx+2?2=-4a2\s