專題10難點(diǎn)探究專題:相似三角形中動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題壓軸題六種模型全攻略

ET【考點(diǎn)導(dǎo)航】

目錄

【典型例題】............................................................................1

【考點(diǎn)一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題（利用分類討論思想）】............................1

【考點(diǎn)二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)多解問(wèn)題（利用分類討論思想）】.........................3

【考點(diǎn)三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題】.......................................4

【考點(diǎn)四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖像問(wèn)題】.........................................5

【考點(diǎn)五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何綜合問(wèn)題】.........................................7

【考點(diǎn)六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問(wèn)題】................................................9

【典型例題】

【類型一相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求時(shí)間多解問(wèn)題（利用分類討論思想）】

例題：如圖，在Rt^ABC中，ZC=90°,NA=30。，BC=9,若點(diǎn)尸是邊A3上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以每秒3個(gè)

單位的速度按照從AfA運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。從BfC以每秒1個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)

時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為f,若△2PQ與44BC相似，貝心的值

為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?山東煙臺(tái)?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知。4=6cm,O3=8cm.點(diǎn)P從

點(diǎn)B開(kāi)始沿B4邊向終點(diǎn)A以lcm/s的速度移動(dòng)；點(diǎn)。從點(diǎn)A開(kāi)始沿AO邊向終點(diǎn)。以lcm/s的速度移動(dòng).有

一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng).若尸、。同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為Ks）.

⑴用含t的代數(shù)式分別表示線段AQ和AP的長(zhǎng);

⑵當(dāng)，為何值時(shí)，入4尸。與AAOB相似？

2.（2023秋?廣東佛山?九年級(jí)校考階段練習(xí)）在Rt^ABC中，NC=90。，AC=20cm,BC=15cm,現(xiàn)有

動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC向點(diǎn)C方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)。從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CB也向點(diǎn)B方向運(yùn)動(dòng)，如果點(diǎn)尸的

速度是4cm/s,點(diǎn)。的速度是2cm/s,它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)有一點(diǎn)到達(dá)所在線段的端點(diǎn)時(shí)，就停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為，秒.

⑴求f為多少秒時(shí)，ACPQ的面積為為24cm2

（2）當(dāng)/為多少時(shí)，以點(diǎn)C,P,。為頂點(diǎn)的三角形與U1BC相似.

3.如圖，矩形A3CD中，AB=12,AD=8,點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)/從點(diǎn)A出發(fā)沿射線A3方向以每秒

2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，連接DRDE,EF.過(guò)點(diǎn)E作￡）廠的平行線交射線于點(diǎn)H,設(shè)點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為

/（不考慮。、E、尸在一條直線上的情況）.

⑴填空：當(dāng)/=時(shí)，AF=CE,此時(shí)9=

⑵當(dāng)△3EF與相似時(shí)，求，的值.

【類型二相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段長(zhǎng)多解問(wèn)題（利用分類討論思想）】

例題：（2023?河南洛陽(yáng)?統(tǒng)考一模）矩形ABCD中，AB=10,AD=4,點(diǎn)E是CO的動(dòng)點(diǎn)，若NAEB=90。,

則DE的長(zhǎng)為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?黑龍江哈爾濱?九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）在AABC中，ZABC=90°,AB=3,BC=4,點(diǎn)。在邊

AC上，若△BCD是以8為腰的等腰三角形，則的長(zhǎng)為.

2.（2023春?浙江紹興?九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形ABOC的邊OBOC分別在x

軸、y軸的正半軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,6），點(diǎn)P在矩形ABOC的內(nèi)部,點(diǎn)E在80邊上,且滿足△犬區(qū)取"因9,

當(dāng)△APC是等腰三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

yk

o

3.（2023?安徽蚌埠??？家荒＃┤鐖D，在RtaABC中，ZC=90°,ZA=30°,A5=20cm,D,E分別為

邊AB,BC上的動(dòng)點(diǎn)，且仞=2班，作DF/AC,垂足為歹，連接砂.當(dāng)△口￡廠是直角三角形時(shí)，BE

的長(zhǎng)為.

4.（2023?江蘇徐州?統(tǒng)考三模）如圖，在RGA5C中，NACB=90。，AB=10,AC=8,E、b分別為A5、BC

上的點(diǎn)，沿直線所將折疊，使點(diǎn)8恰好落在AC上的。處，當(dāng)VADE恰好為直角三角形時(shí)，班的長(zhǎng)

為—,

5.（2023?江蘇鹽城??？家荒＃┤鐖D，在描AABC中，NACB=90。，AC=12,BC=5,點(diǎn)E是AB邊上一

動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作交AC邊于點(diǎn)。，將—A沿直線OE翻折，點(diǎn)A落在線段A3上的歹處，連接FC,

當(dāng)ABCF為等腰三角形時(shí)，AE的長(zhǎng)為.

【類型三相似三角形動(dòng)點(diǎn)中求線段及線段和最值問(wèn)題】

例題：（2023,江蘇揚(yáng)州?統(tǒng)考二模）如圖，在直角“5C中，NACB=90。，BC=1,AC=2,點(diǎn)尸是邊A3上

的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作P"〃3C交AC于點(diǎn)"則尸H+PC的最小值為.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?湖北孝感?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，Rt^ABC中，NC=90。，AC=4,BC=6,。是A3的中

點(diǎn)，尸是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，則24+PD的最小值為.

2.（2023秋?江蘇泰州?九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，矩形8所中，CD=8cm,b=6cm,點(diǎn)G在邊f(xié)E上從產(chǎn)

向點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)，速度為3cm/s,同時(shí)點(diǎn)H在邊DE上從E向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，速度為4cm/s.連接CG、FH,設(shè)CG、

交于點(diǎn)8,取EF的中點(diǎn)A,則的最小值為cm.

3.（2023?湖北襄陽(yáng)?統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，矩形A8CD中，AB=3,BC=4,E是BC中點(diǎn)，CD上有一動(dòng)點(diǎn)

M,連接,將雙BEM沿著B(niǎo)M翻折得到ABFM,連接DF,CF,則DF+gcF的最小值為.

【類型四相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與函數(shù)圖像問(wèn)題】

例題：（2023春?河南安陽(yáng),九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，正方形ABCD一邊A8在直線/上，尸是直線/上點(diǎn)A左

側(cè)的一點(diǎn)，AB=2上4=4,E為邊AD上一動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)P,E的直線與正方形ABCD的邊交于點(diǎn)F,連接BE,BF,

若設(shè)DE=x,△5EF的面積為S,則能反映S與尤之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）

/AB

ASAS

08_4x08_4x08_4x08_4x

3333

【變式訓(xùn)練】

1.（2023?河南焦作?統(tǒng)考二模）如圖，在Rt^ABC中,ZACB=90o,AC=3,5C=4,點(diǎn)尸為邊AB上一動(dòng)點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)尸作直線交折線ACB于點(diǎn)Q.設(shè)AP=x,CQ=y,則y關(guān)于x的函數(shù)圖象大致是（）

2.（2023?安徽合肥?校聯(lián)考二模）如圖，在正方形ABCD中，AB=1,動(dòng)點(diǎn)尸從A點(diǎn)出發(fā)沿Af8fC方向

在AB和BC上勻速移動(dòng)，連接。尸交BC或8C的延長(zhǎng)線于。，記點(diǎn)尸移動(dòng)的距離為x,CQ為y,則y關(guān)于

x的函數(shù)圖像大致是（）

下方的/上的一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。不與點(diǎn)C重合），連接ADBD,過(guò)點(diǎn)A作/石〃30,過(guò)點(diǎn)8作于點(diǎn)E,

若AB=6,設(shè)AD=尤，AE=y,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系用圖像可以大致表示為（）.

【類型五相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題與幾何綜合問(wèn)題】

例題：（2023春?山東濟(jì)寧?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，矩形。4BC的兩

邊分別在x軸和y軸上，點(diǎn)8的坐標(biāo)為（12,8）,現(xiàn)有兩動(dòng)點(diǎn)P,。，點(diǎn)尸以每秒3個(gè)單位的速度從點(diǎn)。出發(fā)

向終點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)。以每秒2個(gè)單位的速度從點(diǎn)A出發(fā)向終點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，連接PC,PQ,CQ.設(shè)運(yùn)動(dòng)

時(shí)間為f秒

⑴點(diǎn)尸的坐標(biāo)為,點(diǎn)。的坐標(biāo)為（用含f的代數(shù)式表示）；

⑵請(qǐng)判斷四邊形APC。的面積是否會(huì)隨時(shí)間/的變化而變化，并說(shuō)明理由;

（3）若A,P,。為頂點(diǎn)的三角形與△OCP相似時(shí)，請(qǐng)求出/的值.

【變式訓(xùn)練】

1.（2023春?江蘇蘇州,八年級(jí)統(tǒng)考期末）（1）如圖1,四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，

以CE為邊在CE的右側(cè)作正方形CEFG,連接。G,BE,則OG與BE的數(shù)量關(guān)系是.

（2）如圖2,四邊形ABCD是矩形，AB=2,3c=4,點(diǎn)E是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以CE為邊在CE的右

側(cè)作矩形CEFG,且CG:CE=1:2,連接。G,BE.判斷線段。G與BE,有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，

并說(shuō)明理由;

（3）如圖3,在（2）的條件下，點(diǎn)E是從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)。點(diǎn)，則點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)度為

（4）如圖3,在（2）的條件下，連接BG,則23G+BE的最小值為

2.（2023春?江西鷹潭?九年級(jí)校考階段練習(xí)）綜合與探究

問(wèn)題提出:

數(shù)學(xué)課上，老師提出了一個(gè)問(wèn)題：在AABC中，ZCAB=90°,ADSBC于點(diǎn)。，E為A2上的一動(dòng)點(diǎn)，EC

與AQ相交于點(diǎn)G,點(diǎn)尸在上，EF_LCE于點(diǎn)E,試探究跖與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

圖1圖2圖3

特例故知：

（1）勤奮小組從特殊情況入手：如圖1,ZB=45°,E為AB的中點(diǎn)，則所與EG的數(shù)量關(guān)系為.

變式探究

（2）希望小組受此啟發(fā)，作了如下改變：如圖2,將（1）中“4=45。"改為"NB=3O。"，其他條件不變,

試探究所與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

拓展提高

（3）經(jīng)過(guò)前兩個(gè)小組的探究，智慧小組將該問(wèn)題的條件更一般化：如圖3,ZB=a,AE=kBE,試探究所

與EG的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.

【類型六相似三角形中的動(dòng)點(diǎn)探究應(yīng)用問(wèn)題】

例題：(2023?遼寧錦州?統(tǒng)考一模)探究完成以下問(wèn)題:

【初步認(rèn)識(shí)】

⑴如圖1,在四邊形ABCO中，ZBAD=ZBCD=90°,連接AC,BD,過(guò)點(diǎn)A作AEJ_AC交CB的延長(zhǎng)線

于點(diǎn)E.求證：NE=ZACD；

【特例研究】

(2)如圖2,若四邊形ABC。中，AB=AD,(1)中的其它條件不變，取3D,BC的中點(diǎn)F,連接

①求證：BE=2MF；

②N為EC的中點(diǎn)，連接MN,猜想與4E的位置關(guān)系，并證明你的猜想；

【拓展應(yīng)用】

(3)如圖3,在矩形ABCD中，對(duì)角線AC,8。相交于點(diǎn)。，E是射線8C上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作交

射線8于點(diǎn)尸，當(dāng)==工，CE=1,4?=3時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CF的長(zhǎng).

BC5

F

占舟1

EBCEB.V/CBCEG

圖1圖2圖3

【變式訓(xùn)練】

1.(2023?湖北武漢??？寄M預(yù)測(cè))一次數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐活動(dòng)課上.小慧發(fā)現(xiàn)并證明了關(guān)于三角形角平分線的

pA/18

一個(gè)結(jié)論.如圖1,尸。是△P4C的角平分線，可以證明拓=]ic

P

ABC:t/，ABCD

1、，?

E

圖1圖2圖3

【