圓錐曲線的方程人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)

第三章章前導(dǎo)讀什么是圓錐曲線，圓錐曲線是怎么產(chǎn)生的？

用一個(gè)不垂直于圓錐的軸的平面截圓錐，當(dāng)圓錐的軸與截面所成的角不同時(shí)，可以得到不同的截口曲線，它們分別是橢圓、拋物線和雙曲線.我們通常把圓、橢圓、拋物線、雙曲線統(tǒng)稱為圓錐曲線(conicsections).橢圓拋物線雙曲線圓

圓錐曲線與科研、生產(chǎn)以及人類生活有著緊密的關(guān)系.如行星繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道是橢圓，發(fā)電廠冷卻塔的外形線是雙曲線，探照燈反射鏡面、衛(wèi)星接收天線是拋物線繞其對(duì)稱軸旋轉(zhuǎn)所成的拋物面....為什么圓錐曲線有如此廣泛的應(yīng)用呢?我們可以從它們的幾何特征及其性質(zhì)中找到答案.新課導(dǎo)入3.1.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程人教A版2019選擇性必修第一冊(cè)

一二三學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握橢圓的定義,會(huì)用橢圓的定義解決問題理解橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程,并能運(yùn)用標(biāo)準(zhǔn)方程解決相關(guān)問題,提升邏輯推理的核心素養(yǎng)會(huì)用定義法和待定系數(shù)法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng)學(xué)習(xí)目標(biāo)——生活中的橢圓情境引入

我們知道，平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓。那么，橢圓上的點(diǎn)滿足什么條件呢？F1F2M[1]在平面內(nèi)，任取兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2；[2]取一細(xì)繩并將細(xì)繩（大于兩定點(diǎn)的距離）的兩端分別固定在F1、F2兩點(diǎn)；[3]用筆尖（點(diǎn)M）把細(xì)繩拉緊，慢慢移動(dòng)筆尖看看能畫出什么圖形？數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)新知探究F1F21.在橢圓形成的過程中，細(xì)繩的兩端的位置是固定的還是運(yùn)動(dòng)的？2.在畫橢圓的過程中，繩子的長(zhǎng)度變了沒有？說明了什么？3.在畫橢圓的過程中，繩子長(zhǎng)度與兩定點(diǎn)距離大小有怎樣的關(guān)系？思考F1F2橢圓M(1)由于繩長(zhǎng)固定，所以點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和是個(gè)定值。（2）點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)的距離和要大于兩個(gè)定點(diǎn)之間的距離

請(qǐng)你歸納出橢圓的定義？概念生成橢

圓

平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點(diǎn)的軌跡叫橢圓.這兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)之間的距離|F1F2|叫做橢圓的焦距.焦距的一半稱為半焦距.F1F2M??|MF1|+|MF2|=2a記焦距為2c，橢圓上的點(diǎn)M與F1,

F2的距離的和記為2a。(|F1F2|=2c,2a>2c>0)問題1

若一個(gè)動(dòng)點(diǎn)的軌跡是橢圓，則該動(dòng)點(diǎn)應(yīng)滿足什么條件？①在平面內(nèi)----(這是前提條件)；②兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離為定值；③動(dòng)點(diǎn)M到兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和是定值（常數(shù)）；

④為什么是“>”?若是“<”或是“=”動(dòng)點(diǎn)的軌跡會(huì)是什么圖形呢？新知探究問題2

為什么要求|MF1|+|MF2|>|F1F2|?

①當(dāng)|MF1|+|MF2|=|F1F2|時(shí)（繩長(zhǎng)等于兩定點(diǎn)間距離）F1F2M點(diǎn)M的軌跡為線段F1F2②

當(dāng)|MF1|+|MF2|<|F1F2|時(shí)（繩長(zhǎng)小于兩定點(diǎn)間距離）F1F2點(diǎn)M無軌跡下面我們根據(jù)橢圓的幾何特征,選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,建立橢圓的方程.新知探究問題3

回憶一下我們是如何求圓軌跡方程的？建系設(shè)點(diǎn)列式代換建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系設(shè)曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y)找出限制條件P(M)，并列出幾何等式把坐標(biāo)代入限制條件P(M)列出方程化簡(jiǎn)化簡(jiǎn)方程

類比這個(gè)方法，我們開始求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程新知探究問題4

觀察橢圓的形狀，你認(rèn)為怎樣建立坐標(biāo)系可使所得的橢圓方程形式簡(jiǎn)單?建立平面直角坐標(biāo)系通常遵循的原則：對(duì)稱、“簡(jiǎn)潔”O(jiān)xyOxyOxyMF1F2方案一F1F2方案二OxyMOxyOxy新知探究求橢圓方程的步驟(以方案一為例)(1)建系：(2)設(shè)點(diǎn):(3)列式:(4)代換:(5)化簡(jiǎn):F1F2以F1F2所在直線為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則焦點(diǎn)F1、F2的坐標(biāo)分別為(-c,0)、(c,0),橢圓的焦距為2c(c>0)。M設(shè)M(x,y)為所求軌跡上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)M與焦點(diǎn)F1、F2的距離的和為2a(a>0)|MF1|+|MF2|=2a>2c兩邊平方整理得要進(jìn)行第二次平方，且計(jì)算量較大追問

那如何化簡(jiǎn)會(huì)比較簡(jiǎn)便？即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)由橢圓的定義可知，2a>2c>0，即a>c>0，所以a2-c2>0移項(xiàng)，得平方，得yOxF1F2P你能從中找出表示a,c,

的線段嗎？|PF1|=|PF2|=a，|OF1|=|OF2|=c，|PO|=,整理，得上式兩邊通除以a2(a2-c2)，得平方，得新知探究那么方程①就是新知探究

這個(gè)方程叫做橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，它表示焦點(diǎn)在x軸上，兩個(gè)焦點(diǎn)分別是F1(-c,0),F2(c,0)的橢圓，這里c2=a2-b2.問題5

如圖示,如果焦點(diǎn)F1,F2在y軸上,且F1,F2的坐標(biāo)分別為(0,－c),(0,c),a,b的意義同上,那么橢圓的方程是什么?F1F2M??xyO（問題：下面怎樣化簡(jiǎn)？）由橢圓的定義得，限制條件：由于得方程?x,y交換位置誰(shuí)的分母大，焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上標(biāo)準(zhǔn)方程不同點(diǎn)相同點(diǎn)圖形焦點(diǎn)坐標(biāo)定義a、b、c的關(guān)系焦點(diǎn)位置的判斷橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程:F1F2M??xyOF1F2M??xyO新知探究

a在哪個(gè)字母下面，焦點(diǎn)就在哪個(gè)坐標(biāo)軸

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程表示的一定是焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓；方程的左邊是平方和，右邊是1.概念辨析1.下列方程哪些表示橢圓？

若是,則判定其焦點(diǎn)在何軸？若是橢圓，指明a2,b2,c2.?

4或8[解析]當(dāng)焦點(diǎn)在x軸上時(shí),10-m>m-2>0,10-m-(m-2)=4,∴m=4.當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上時(shí),m-2>10-m>0,m-2-(10-m)=4,∴m=8.綜上m=4或8.典型例題3.根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)A方法總結(jié)根據(jù)含參方程求參數(shù)范圍方法：

方法總結(jié)典例解析例1解1:(定義法)你還能用其他方法求它的標(biāo)準(zhǔn)方程嗎?試比較不同方法的特點(diǎn).求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程典例解析例1解2:(待定系數(shù)法)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程方法總結(jié)(3)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，要先定“位”，a,b,c滿足的關(guān)系有：根據(jù)焦點(diǎn)位置設(shè)方程，代入計(jì)算出待定字母的值.

用定義尋找a,b,c的方程；(1)定義法：(2)待定系數(shù)法：待定系數(shù)法更為常用，是解此類問題的通法.即求a,b

的大小.即確定焦點(diǎn)的位置；其次是定“量”，求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的主要方法有：(法1)(法2)未知焦點(diǎn)位置:巧設(shè)方程鞏固練習(xí)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程可以寫成統(tǒng)一形式

mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n).方法總結(jié)鞏固練習(xí)課本P10914鞏固練習(xí)與橢圓有關(guān)的軌跡方程C1.已知△ABC的一邊BC固定，長(zhǎng)為8，周長(zhǎng)為18，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。2.根據(jù)橢圓的定義知所求軌跡方程是橢圓，且焦點(diǎn)在軸上，所以可設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：∵2a=10,2c=8∴a=5,c=4∴b2=a2－c2=52－42=9∴所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為:（y≠0）yoBCAx解：以BC的中點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系。注意檢驗(yàn)定義法求軌跡方程典例解析

設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,

y)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x0,

y0)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x0,0).由點(diǎn)M是線段PD的中點(diǎn)，得

例2如圖，在圓

上任意一點(diǎn)P,過點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足.當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),線段PD中點(diǎn)M的軌跡是什么？為什么？xyPMO?D?尋求點(diǎn)M的坐標(biāo)(x,y)中x,y與x0,y0之間的關(guān)系,然后消去x0,y0,得到點(diǎn)M的軌跡方程.這是解析幾何中求點(diǎn)的軌跡方程常用的方法.

解：相關(guān)點(diǎn)法（代入法）與橢圓有關(guān)的軌跡方程新知探究問題6

由例2我們發(fā)現(xiàn)，可以由圓通過“壓縮”得到橢圓.你能由圓通過“拉伸”得到橢圓嗎?如何“拉伸”?由此你能發(fā)現(xiàn)橢圓與圓之間的關(guān)系嗎?xyPMO?D?xyPMO?D?xyPMO?D?xyOD??MP將圓“壓縮”可得到橢圓將圓“拉伸”可得到橢圓橢圓可以經(jīng)過把圓伸縮變換得來，這種變換方法稱為仿射變換。例3xyBMOA?解:設(shè)點(diǎn)M(x,y)，由A(-5,0),

B(5,0)，可得典例解析直接法求軌跡方程與橢圓有關(guān)的軌跡方程反思B(t,0),當(dāng)m為不等于-1的負(fù)數(shù)時(shí)表示橢圓橢圓第三定義：1.求軌跡方程的方法：定義法、直接法、相關(guān)點(diǎn)法等2.具體求軌跡方程時(shí)，既要嚴(yán)格按一般步驟去展開過程，又要注意思考方法靈活性的嘗試。3.多種幾何條件可以確定橢圓方法總結(jié)鞏固練習(xí)課本P1094.已知A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(－1,0),(1,0),直線AM,BM相交于點(diǎn)M,且直線AM的斜率與直線BM的斜率的商是2,點(diǎn)M的軌跡是什么?為什么?解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x,y),由已知,得直線AM的斜率為直線BM的斜率為xyBMOA???

1.一動(dòng)圓過定點(diǎn)A(2,0)，且與定圓x2＋4x＋y2－32＝0內(nèi)切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程.鞏固練習(xí)《學(xué)習(xí)筆記》P80跟蹤訓(xùn)練

1鞏固練習(xí)課本P109yOF1F2xAB(1)由題意故△AF1B的周長(zhǎng)為：(2)如果AB不垂直于x軸，△AF1B的周長(zhǎng)不會(huì)有變化.仍然成立.解：??∴△AF1B的周長(zhǎng)為：新知拓展橢圓的焦點(diǎn)三角形

橢圓的焦點(diǎn)三角形是指以橢圓得兩個(gè)焦點(diǎn)F1和F2與橢圓上一點(diǎn)P(除左右頂點(diǎn)外)為頂點(diǎn)，組成的三角形.PF2F1下面我們通過例題來了解一下焦點(diǎn)三角形的性質(zhì)。已知P為橢圓

＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，∠F1PF2＝60°，求△F1PF2的周長(zhǎng)和面積.例

3新知拓展F1Pxy

橢圓定義余弦定理面積公式F2《學(xué)習(xí)筆記》P79焦點(diǎn)三角形問題從而|F1F2|＝2c＝6，在△F1PF2中，|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|cos60°，即36＝|PF1|2＋|PF2|2－|PF1|·|PF2|. ①即48＝|PF1|2＋|PF2|2＋2|PF1|·|PF2|. ②由①②得|PF1|·|PF2|＝4.若將本例中“∠F1PF2＝60°”變?yōu)椤啊螾F1F2＝90°”，求△F1PF2的面積.延伸探究F2F1Pxy已知P為橢圓

＝1上一點(diǎn)，