第五章

一元一次方程5.1方程第1課時從算式到方程1.通過引入實際問題情境，讓學生在算式、代數(shù)兩種方式下進行問題的解決，體會由算術到代數(shù)是數(shù)學的一大進步，從而培養(yǎng)學生分析、歸納、抽象概括的思維能力，初步認識建立數(shù)學模型的思想.2.經(jīng)歷用含有未知數(shù)的等式表示實際問題中的相等關系，感悟方程的現(xiàn)實意義，理解方程的定義，培養(yǎng)學生獲取信息、分析問題、處理問題的能力，提升方程模型的應用意識.3.通過數(shù)學背景材料，讓學生理解并掌握方程、一元一次方程及其相關概念的內(nèi)涵，培養(yǎng)學生的閱讀理解、拓展探究的能力，增強學生的數(shù)學應用意識，調(diào)動學生學習數(shù)學的主動性。學習重點：尋找相等關系列出方程，方程、一元一次方程及其相關概念.學習難點：尋找相等關系列出方程的意識和過程.問題：甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發(fā)，甲隊從距大本營1km的一號營地出發(fā)，每小時行進1.2km;乙隊從距大本營3km的二號營地出發(fā)，每小時行進0.8km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊?算術做法：還有其它做法嗎解：設x小時后，甲隊在途中追上乙隊.方程解法：1.2x+1=0.8x+3當甲隊追上乙隊時，甲隊所走的路程為1.2x+1；乙隊所走的路程為0.8x+3，因為甲隊在途中追上乙隊，即甲隊所走的路程=乙隊所走的路程，請同學們按照教學活動1中的方法，先設出未知數(shù)，在根據(jù)問題中的相等關系列出含有未知數(shù)的等式.問題1

用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？學生活動一

【一起探究】

問題1

用買3個大水杯的錢，可以買4個小水杯，大水杯的單價比小水杯的單價多5元，兩種水杯的單價各是多少元？解：設小水杯的單價為x元，則大水杯的單價為（x+5）元.此時，3個大水杯的錢為3（x+5）元；4個小水杯的錢為4x，所以：3（x+5）=4x.因為買3個大水杯的錢=3個小水杯的錢，

因為長方形的面積=長×寬，所以

·

上面幾個實際問題在求解時，都是先設字母表示未知數(shù)，然后根據(jù)問題中的相等關系，列出一個含有未知數(shù)的等式，這樣的等式叫做方程．通常用x，y，z等字母表示未知數(shù)，法國數(shù)學家笛卡兒是最早這樣做的人.我國古代用“天元、地元、人元、物元”等表示未知數(shù).學生活動一

【一起歸納】

用算術方法解題時，列出的算式表示用算術方法解題的計算過程，其中只含有已知數(shù)，不含未知數(shù)；而方程是根據(jù)問題中的相等關系列出的等式，其中既含有已知數(shù)，也含有用字母表示的未知數(shù).根據(jù)下列問題，設未知數(shù)并列出方程:(1)某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生?(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠地面積是500m2，求正方形綠地的邊長.學生活動二

【一起探究】根據(jù)下列問題，設未知數(shù)并列出方程:(1)某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生?解：設這個學校的學生數(shù)為x人，那么女生數(shù)為0.52x人，男生數(shù)為(1－0.52)x人.根據(jù)“女生比男生多80人”列方程

.根據(jù)下列問題，設未知數(shù)并列出方程:(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠地面積是500m2，求正方形綠地的邊長.解：設正方形綠地的邊長為xm，那么沿某一方向加寬5m后的長為（x+5）m，根據(jù)“擴大后的綠地面積是500m2”，列方程x（x+5）＝500

.分析實際問題中的數(shù)量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數(shù)學解決實際問題的一種方法.實際問題方程設未知數(shù)，用含有未知數(shù)的等式表示相等關系學生活動二

【一起歸納】閱讀材料：一般地，使方程左、右兩邊的值相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解.例如，對于方程1.2x+1=0.8x+3，可以發(fā)現(xiàn)，當x=5時，左邊=1.2×5+1=7，右邊=0.8×5+3=7，這時方程左右兩邊的值相等，因此x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解.求方程的解的過程叫做解方程.學生活動三

【一起探究】

(2)當x=10時，方程3x=4(x-5)的左邊=3×10=120,右邊=4×(10-5)=80，方程左、右兩邊的值不相等，所以x=10不是方程3x=4(x-5)的解.當x=20時，方程3x=4(x-5)的左邊=3×20=240,右邊=4×(20-5)=240，方程左、右兩邊的值相等，所以x=20是方程3x=4(x-5)的解.觀察方程1.2x+1=0.8x+3，3x=4（x－5），0.52x－（1－0.52）x=80，它們有什么共同特征？（1）只含有一個未知數(shù)x，（2）未知數(shù)x的次數(shù)都是1，（3）整式方程．學生活動四

【一起探究】

一般地，如果方程中只含有一個未知數(shù)（元），且含有未知數(shù)的式子都是整式，未知數(shù)的次數(shù)都是1，這樣的方程叫做一元一次方程．下列式子哪些是方程，哪些是一元一次方程？①2x+1；②2m+15=3；③3x-5=5x+4；④x2+2x-6=0；⑤-3x+1.8=3y；⑥3a+9＞15.解：上述式子是方程的有②③④⑤，其中②③是一元一次方程.理由：①是含有未知數(shù)的式子，不是等式；⑥是不等式；而②③④⑤是含有未知數(shù)的等式，符合方程的定義，其中②③符合一元一次方程的定義，因此它們是一元一次方程.學生活動五

【一起探究】1．下列各式中是方程的是()A．7x＋3＝2x－5B．4x＋5C．2＋10＝12D．3x－6＜4A

3或1A

4．x＝3是下列哪個方程的解

()A．2x＋7＝11B．5x－8＝2x＋1C．3x＝1D．－x＝3B

D6．小芬買了15份禮物，共花了900元．已知每份禮物內(nèi)都有1包餅干及每支售價20元的棒棒糖2支，若每包餅干的售價為x元，則依題意可列出下列哪一個一元一次方程()A．15(2x＋20)＝900B．15x＋20×2＝900C．15(x＋20×2)＝900D．15×x×2＋20＝900C

A2．關于x的方程2x＋a－9＝0的解是x＝2，則a的值為()A．－2B．3C．4D．5D3．為了參加社區(qū)“暢響G20”文藝演出，某校組建了46人的合唱隊和30人的舞蹈隊，現(xiàn)根據(jù)演出需要，從舞蹈隊中抽調(diào)了部分同學參加合唱隊，使合唱隊的人數(shù)恰好是舞蹈隊人數(shù)的3倍，設從舞蹈隊中抽調(diào)了x人參加合唱隊，可得正確的方程是()A．3(46－x)＝30＋xB．46＋x＝3(30－x)C．46－3x＝30＋xD．46－x＝3(30－x)B4．先列方程，再估算出方程的解．甲型鋼筆每支3元，乙型鋼筆每支5元，用40元錢買了兩種鋼筆共10支，還余2元，問兩種鋼筆各買了多少支？解：設買了甲型鋼筆x支，則乙型鋼筆______________支，依題意列方程______________________________．這里x＞0，列表計算：x(支)123456783x＋5(10－x)(元)4846444240383634從表中看出_________是原方程的解．(10－x)3x＋5(10－x)＝40－2x＝65.根據(jù)下列問題，設未知數(shù)，列出方程：(1)某長方形足球場的周長為310米，長和寬之差為25米，求這個足球場的寬；(2)《數(shù)學學習方法報》每份0.6元，《數(shù)學周報》每份0.5元，小明用10元錢買了兩種報紙共18份，他買的兩種報紙各多少份？解：(1)設這個足球場的寬為x米，依題意，得2x＋2(x＋25)＝310(2)設《數(shù)學學習方法報》買了x份，則《數(shù)學周報》買了(18－x)份，則有0.6x＋0.5(18－x)＝10.1.解決數(shù)學實際問題的方式:(1)算式方法.(2)用含有未知數(shù)的等式表示問題中的相等關系.2.方程:含有未知數(shù)的等式叫作方程.3.用方程的方法解決實際問題是更方便的數(shù)學工具.4.方程的解、解方程的概念.5.一元一次方程的概念.1.

方程：含有未知數(shù)的

叫作方程.2.

方程的解：使方程左、右兩邊的值

，叫作方

程的解.3.

一元一次方程：一般地，如果方程中只含有

個未知數(shù)(元)，未

知數(shù)的次數(shù)都是

，等式兩邊都是

，這樣的方程叫作一元

一次方程.等式相等的未知數(shù)的值一1

整式課后作業(yè)1.

下列屬于方程的是(

A

)A.

2x＝3B.

2x＞－1C.1－3＝－2D.

7y－1A1234562.

下列方程中，解是x＝4的是(

C

)A.

3x＋1＝11B.

－2x－4＝0C.

3x－8＝4D.

4x＝1C1234563.

我國古代數(shù)學著作《增刪算法統(tǒng)宗》中記載了一道“繩索量竿”問

題：“一條竿子一條索，索比竿子長一托；折回索子去量竿，卻比竿子

短一托.”其大意為現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿

長5尺；如果將繩索對半折后再去量竿，就比竿短5尺.設繩索長x尺，

則符合題意的方程是(

A

)C.

2x＝(x－5)－5D.

2x＝(x＋5)＋5A1234564.

有以下式子：①2－5；②1＋7x＝－8y＋3；③x＝6；④3x＝2x－9；⑤3x＜7.其中一元一次方程有

.(填序號)5.

若方程2xa－2－3＝0是關于x的一元一次方程，則a＝

?.③④

3

123456(1)從60

cm長的木條上截去兩段同樣長的木條，還剩下10

cm長的木條，截下的每段木條的長為多少厘米？解：(1)設截下的每段木條的長為x

cm，由題意，得60－2x＝10，是一

元一次方程.(2)甲班有學生50人，乙班有學生36人，要使甲、乙兩班人數(shù)相等，應

如何調(diào)動？解：(2)設從甲班調(diào)x人到乙班，由題意，得50－x＝36＋x，是一元一

次方程.6.

根據(jù)下列題干設未知數(shù)并列方程，然后判斷所列方程是不是一元一

次方程.123456第五章一元一次方程5.1方程《5.1.1從算式到方程》同步練習方程的概念1.

下列各式中，是方程的是(

B

)A.4＋8＝12B.

2x＋3y＝0C.

5x＞2D.

2x2－5x＋1【解析】A.4＋8＝12，不含未知數(shù)，是等式，不是方程；B.2x＋3y＝0，含有未知數(shù)，是等式，是方程；C.5x＞2，含有未知數(shù)，不是等式，不是方程；D.2x2－5x＋1，含有未知數(shù)，不是等式，不是方程.B123456789101112131415161718

①④⑥

①④

123456789101112131415161718方程的解3.

下列方程的解為x＝2的是(

C

)A.

2x＝6B.3＝x－5C.

2x2＋6＝7xD.

2x－6＝1C123456789101112131415161718【解析】把x＝2代入，A.左邊＝2×2＝4，右邊＝6，方程左、右兩邊的值不相等，因此x＝2

不是方程2x＝6的解；B.左邊＝3，右邊＝2－5＝－3，方程左、右兩邊的值不相等，因此x＝

2不是方程3＝x－5的解；C.左邊＝2×22＋6＝14，右邊＝7×2＝14，方程左、右兩邊的值相

等，因此x＝2是方程2x2＋6＝7x的解；D.左邊＝2×2－6＝－2，右邊＝1，方程左、右兩邊的值不相等，因此

x＝2不是方程2x－6＝1的解.1234567891011121314151617184.

若x＝1是關于x的方程2x＋m＝0的解，則m的值

為(

B

)A.1B.－2C.3D.－4【解析】因為x＝1是關于x的方程2x＋m＝0的解，所以2＋m＝0，解

得m＝－2.5.

在x＝－3和x＝3中，能使方程2x－8＝－2左、右兩邊相等的是

?

，所以方程2x－8＝－2的解為

?.B

x＝3

x＝3

123456789101112131415161718一元一次方程的概念6.

下列方程是一元一次方程的是(

D

)A.

2x－y＝3C.

x2＋5x＝2D.1＋y＝2D123456789101112131415161718

1234567891011121314151617187.

若方程(m＋2)x＝1是關于x的一元一次方程，則m

的值是(

A

)A.

m≠－2B.

m≠0C.

m≠2D.

m＞－2【解析】因為方程(m＋2)x＝1是關于x的一元一次方程，所以m＋2≠0，即m≠－2.8.

如果2x｜a｜－1＋5＝0是關于x的一元一次方程，那么a的值為

?.A±2

123456789101112131415161718根據(jù)實際問題列方程9.

小明買80分郵票與1元郵票共花了16元，已知所買的1元郵票比80分

郵票少2枚.設買了80分郵票x枚，由題意得到的方程是(

A

)A.0.8x＋(x－2)＝16B.0.8x＋(x＋2)＝16C.80x＋(x－2)＝16D.80x＋(x＋2)＝16【解析】因為2x｜a｜－1＋5＝0是關于x的一元一次方程，所以｜a｜－1

＝1，所以a＝2或－2.A12345678910111213141516171810.

【教材第113頁例1改編】根據(jù)下列問題，設出未知數(shù)并列出方程.(1)聰聰和彤彤參加義務植樹活動，兩人共植樹75棵，其中聰聰比彤彤

多植了15棵樹，問聰聰植了多少棵樹；解：(1)設聰聰植了x棵樹，則彤彤植了(x－15)棵樹，根據(jù)題意，列方程

得x＋x－15＝75.123456789101112131415161718(2)某校的學生中，女生占49％，男生人數(shù)為102名，問該校共有多少名

學生；解：(2)設該校共有x名學生，則女生有49％x名，根據(jù)題意，列方程得

49％x＋102＝x.(3)動物園的門票售價：成人票每張50元，兒童票每張30元.某日動物園

售出門票700張，共得29

000元.問兒童票售出多少張.解：(3)設兒童票售出x張，則成人票售出(700－x)張，根據(jù)題意，列方程得30x＋50(700－x)＝29

000.12345678910111213141516171811.

在一次植樹活動中，甲班植樹的株數(shù)比乙班多20％；乙班植樹的株

數(shù)比甲班的一半多10株.設乙班植樹的株數(shù)為x株.(1)列兩個不同的含x的式子，分別表示甲班植樹的株數(shù)；解：(1)根據(jù)甲班植樹的株樹比乙班多20％，得甲班植樹的株數(shù)為(1＋20％)x株；根據(jù)乙班植樹的株數(shù)比甲班的一半多10株，得甲班植樹的株數(shù)為2(x－10)株.(2)根據(jù)題意列出含未知數(shù)x的方程；解：(2)由題意，得(1＋20％)x＝2(x－10).123456789101112131415161718(3)檢驗甲班、乙班植樹的株數(shù)是不是分別為35株和25株.解：(3)把x＝25分別代入方程的左邊和右邊，得左邊＝(1＋20％)×25＝

30，右邊＝2×(25－10)＝30.因為左邊＝右邊，所以x＝25是方程(1＋20％)x＝2(x－10)的解.把x＝35分別代入方程的左邊和右邊，得左邊＝(1＋20％)×35＝42，右

邊＝2×(35－10)＝50，左、右兩邊的值不相等，所以x＝35不是方程(1

＋20％)x＝2(x－10)的解.所以乙班植樹的株數(shù)是25株，甲班植樹株數(shù)是30株，而不是35株.12345678910111213141516171812.

若(m－1)x｜m｜＝5是關于x的一元一次方

程，則m的值是(

D

)A.

±2B.

±1C.1D.

－1D【解析】因為(m－1)x｜m｜＝5是關于x的一元一次方程，所以｜m｜＝1

且m－1≠0.由｜m｜＝1，得m＝±1；由m－1≠0，得m≠1.所以m＝－1.123456789101112131415161718

此題考查了一元一次方程的概念.只含有一個未知數(shù)(元)，未知數(shù)

的次數(shù)都是1，等式兩邊都是整式，這樣的方程叫作一元一次方程.需要

注意化簡后，保證未知數(shù)的系數(shù)不為0.12345678910111213141516171813.

若關于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解為x＝1，則a＋m的值

為(

C

)A.9B.8C.5D.4【解析】因為關于x的一元一次方程2xa－2＋m＝4的解為x＝1，所以a－2＝1，2＋m＝4，所以a＝3