題型五函數(shù)與最值【要點(diǎn)提煉】【將軍飲馬】線(xiàn)段長(zhǎng)度和最小值的問(wèn)題原圖問(wèn)題解法答案P在直線(xiàn)l上，求PA+PB的最小值A(chǔ)B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值P在直線(xiàn)l上，求PA+PB的最小值A(chǔ)’B的長(zhǎng)即為PA+PB的最小值M、N分別在直線(xiàn)l1和l2上，求PM+MN+NP的最小值P’P’’的長(zhǎng)即為PM+MN+NP的最小值M、N分別在直線(xiàn)l1和l2上，求PM+MN+NQ的最小值P’P’’+PQ的長(zhǎng)即為PM+MN+NQ的最小值線(xiàn)段長(zhǎng)度差最大值的問(wèn)題P在直線(xiàn)l上，求|PA-PB|的最大值A(chǔ)B的長(zhǎng)即為|PA-PB|的最大值P在直線(xiàn)l上，求|PA-PB|的最大值A(chǔ)B’的長(zhǎng)即為|PA-PB|的最大值【函數(shù)與線(xiàn)段最值】豎直的線(xiàn)段：首先設(shè)出上下兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用上面端點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去下面端點(diǎn)的縱坐標(biāo)，即為該線(xiàn)段長(zhǎng)度的表達(dá)式，由于列出的表達(dá)式是函數(shù)表達(dá)式，所以可以利用函數(shù)知識(shí)將最值求出，例如二次函數(shù)的配方法水平的線(xiàn)段：首先設(shè)出左右兩個(gè)端點(diǎn)的坐標(biāo)，然后用右邊端點(diǎn)的橫坐標(biāo)減去左邊端點(diǎn)的橫坐標(biāo)，即為該線(xiàn)段長(zhǎng)度的表達(dá)式，由于列出的表達(dá)式是函數(shù)表達(dá)式，所以可以利用函數(shù)知識(shí)將最值求出，例如二次函數(shù)的配方法傾斜的線(xiàn)段：可以利用直角三角形斜邊中線(xiàn)等于斜邊的一半、勾股定理等知識(shí)將傾斜線(xiàn)段的長(zhǎng)度轉(zhuǎn)化為水平或豎直的線(xiàn)段的關(guān)系式，再列出線(xiàn)段長(zhǎng)度的表達(dá)式，并用函數(shù)知識(shí)來(lái)求最值【函數(shù)與面積最值】（1）與線(xiàn)段最值類(lèi)似，需要先將所研究面積的表達(dá)式列出來(lái)，再用函數(shù)知識(shí)求最值（2）求面積表達(dá)式的方法如下：【割補(bǔ)法】【“鉛垂高，水平款”法】【專(zhuān)題訓(xùn)練】一．填空題（共1小題）1．（2019?丹東）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，分別在軸、軸上，四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接，，當(dāng)點(diǎn)滿(mǎn)足的值最小時(shí)，直線(xiàn)的解析式為．【答案】【解析】解：四邊形是正方形，點(diǎn)，關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，連接交于，連接，，則此時(shí)，的值最小，，，，為的中點(diǎn)，，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，，，直線(xiàn)的解析式為：，直線(xiàn)的解析式為，，解得：，，，設(shè)直線(xiàn)的解析式為：，，解得：，直線(xiàn)的解析式為，故答案為：．二．解答題（共9小題）2．（2015?遂寧）如圖，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點(diǎn)．（1）求反比例函數(shù)的解析式；（2）求一次函數(shù)的解析式；（3）點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試確定點(diǎn)并求出它的坐標(biāo)，使最小．【解析】解：（1）把代入得：，反比例函數(shù)的解析式為：；（2）把代入得：，，把，代入得，，一次函數(shù)的解析式為：；（3）作點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接交軸于，則的長(zhǎng)度就是的最小值，由作圖知，，直線(xiàn)的解析式為：，當(dāng)時(shí)，，，．3．（2019?綿陽(yáng)）如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)且的圖象在第一象限交于點(diǎn)、，且該一次函數(shù)的圖象與軸正半軸交于點(diǎn)，過(guò)、分別作軸的垂線(xiàn)，垂足分別為、．已知，．（1）求的值和反比例函數(shù)的解析式；（2）若點(diǎn)為一次函數(shù)圖象上的動(dòng)點(diǎn)，求長(zhǎng)度的最小值．【解析】解：（1）將點(diǎn)代入，得，，解得，，，的值為4或；反比例函數(shù)解析式為：；（2）軸，軸，，，，，，，，，，，，將，代入，得，，解得，，，，設(shè)直線(xiàn)與軸交點(diǎn)為，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，，則，為等腰直角三角形，，則當(dāng)垂直于時(shí)，由垂線(xiàn)段最知可知，有最小值，即．4．（2020?徐州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，橫坐標(biāo)為，軸交直線(xiàn)于點(diǎn)，是軸上任意一點(diǎn)，連接、．（1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）求面積的最大值．【解析】解：（1）把、代入一次函數(shù)得，，解得，，一次函數(shù)的關(guān)系式為，當(dāng)時(shí)，，點(diǎn)，點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，，反比例函數(shù)的關(guān)系式為，答：一次函數(shù)的關(guān)系式為，反比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在一次函數(shù)的圖象上，點(diǎn)，點(diǎn)，，，，當(dāng)時(shí)，，答：面積的最大值是4．5．（2020?連云港）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，），點(diǎn)B在y軸的負(fù)半軸上，AB交x軸于點(diǎn)C，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．（1）m＝6，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，0）；（2）若點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE∥y軸，交反比例函數(shù)圖象于點(diǎn)E，求△ODE面積的最大值．【解析】解：（1）∵反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（4，），∴m＝＝6，∵AB交x軸于點(diǎn)C，C為線(xiàn)段AB的中點(diǎn)．∴C（2，0）；故答案為6，（2，0）；（2）設(shè)直線(xiàn)AB的解析式為y＝kx+b，把A（4，），C（2，0）代入得，解得，∴直線(xiàn)AB的解析式為y＝x﹣；∵點(diǎn)D為線(xiàn)段AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴設(shè)D（x，x﹣）（0＜x≤4），∵DE∥y軸，∴E（x，），∴S△ODE＝x?（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，∴當(dāng)x＝1時(shí)，△ODE的面積的最大值為．6．（2017?貴陽(yáng)）如圖，直線(xiàn)與反比例函數(shù)的圖象交于點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，平行于軸的直線(xiàn)交反比例函數(shù)的圖象于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．（1）求的值和反比例函數(shù)的表達(dá)式；（2）直線(xiàn)沿軸方向平移，當(dāng)為何值時(shí)，的面積最大？【解析】解：（1）直線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，，，反比例函數(shù)的解析式為．（2）由題意，點(diǎn)，的坐標(biāo)為，，，，，，，時(shí)，的面積最大．7．（2020?廣安）如圖，拋物線(xiàn)y＝x2+bx+c與x軸交于A(yíng)（﹣1，0），B（3，0）兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A的直線(xiàn)l交拋物線(xiàn)于點(diǎn)C（2，m）．（1）求拋物線(xiàn)的解析式．（2）點(diǎn)P是線(xiàn)段AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線(xiàn)交拋物線(xiàn)于點(diǎn)E，求線(xiàn)段PE最大時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）點(diǎn)F是拋物線(xiàn)上的動(dòng)點(diǎn)，在x軸上是否存在點(diǎn)D，使得以點(diǎn)A，C，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）將A（﹣1，0），B（3，0）代入y＝x2+bx+c，得到解得，∴y＝x2﹣2x﹣3．（2）將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)x＝2代入y＝x2﹣2x﹣3，得y＝﹣3，∴C（2，﹣3）；∴直線(xiàn)AC的函數(shù)解析式是y＝﹣x﹣1．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x（﹣1≤x≤2），則P、E的坐標(biāo)分別為：P（x，﹣x﹣1），E（x，x2﹣2x﹣3）；∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE＝（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）＝﹣x2+x+2，＝﹣（x﹣）2+，∵﹣1＜0，∴當(dāng)x＝時(shí)，PE的最大值＝，此時(shí)P（，﹣）．（3）存在．理由：如圖，設(shè)拋物線(xiàn)與y的交點(diǎn)為K，由題意K（0，﹣3），∵C（2，﹣3），∴CK∥x軸，CK＝2，當(dāng)AC是平行四邊形ACF1D1的邊時(shí)，可得D1（﹣3，0）．當(dāng)AC是平行四邊形AF1CD2的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，AD2＝CK，可得D2（1，0），當(dāng)點(diǎn)F在x軸的上方時(shí)，令y＝3，3＝x2﹣2x﹣3，解得x＝1±，∴F3（1﹣，3），F(xiàn)4（1+，3），由平移的性質(zhì)可知D3（4﹣，0），D4（4+，0）．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣3，0）或（1，0）或（4﹣，0）或（4+，0）．8．（2020?阜新）如圖，二次函數(shù)的圖象交軸于點(diǎn)，，交軸于點(diǎn)．點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，軸，交直線(xiàn)于點(diǎn)，交拋物線(xiàn)于點(diǎn)．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）①若點(diǎn)僅在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，如圖，求線(xiàn)段的最大值；②若點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng)，則在軸上是否存在點(diǎn)，使以，，，為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解析】解：（1）把，代入中，得，解得，．（2）①設(shè)直線(xiàn)的表達(dá)式為，把，代入．得，解得，，點(diǎn)是軸上的一動(dòng)點(diǎn)，且軸．，，，，此函數(shù)有最大值．又點(diǎn)在線(xiàn)段上運(yùn)動(dòng)，且，當(dāng)時(shí)，有最大值．②如圖中，當(dāng)點(diǎn)在線(xiàn)段上，，四邊形是菱形時(shí)．，，，解得或0（舍棄），，，．如圖中，當(dāng)是菱形的對(duì)角線(xiàn)時(shí)，四邊形是正方形，此時(shí)，可得．如圖中，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線(xiàn)上時(shí)，，四邊形是菱形時(shí)，則有，，解得或0（舍棄），，，，．當(dāng)點(diǎn)在軸的右側(cè)時(shí)，顯然，此時(shí)滿(mǎn)足條件的菱形不存在．綜上所述，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)的坐標(biāo)為或或，．9．（2020?攀枝花）如圖，開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)與x軸交于點(diǎn)A（﹣1，0）、B（2，0），與y軸交于點(diǎn)C（0，4），點(diǎn)P是第一象限內(nèi)拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)．（1）求該拋物線(xiàn)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式；（2）設(shè)四邊形CABP的面積為S，求S的最大值．【解析】解：（1）∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），設(shè)拋物線(xiàn)表達(dá)式為：y＝a（x+1）（x﹣2），將C代入得：4＝﹣2a，解得：a＝﹣2，∴該拋物線(xiàn)的解析式為：y＝﹣2（x+1）（x﹣2）＝﹣2x2+2x+4；（2）連接OP，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，﹣2m2+2m+4），m＞0，∵A（﹣1，0），B（2，0），C（0，4），可得：OA＝1，OC＝4，OB＝2，∴S＝S四邊形CABP＝S△OAC+S△OCP+S△OPB＝×1×4+×4m+×2×（﹣2m2+2m+4）＝﹣2m2+4m+6＝﹣2（m﹣1）2+8，當(dāng)m＝1時(shí)，S最大，最大值為8．10．（2020?襄陽(yáng)）如圖，直線(xiàn)y＝﹣x+2交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)C，拋物線(xiàn)y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，點(diǎn)C，且交x軸于另一點(diǎn)B．（1）直接寫(xiě)出點(diǎn)A，點(diǎn)B，點(diǎn)C的坐標(biāo)及拋物線(xiàn)的解析式；（2）在直線(xiàn)AC上方的拋物線(xiàn)上有一點(diǎn)M，求四邊形ABCM面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）將線(xiàn)段OA繞x軸上的動(dòng)點(diǎn)P（m，0）順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線(xiàn)段O′A′，若線(xiàn)段O′A′與拋物線(xiàn)只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)結(jié)合函數(shù)圖象，求m的取值范圍．【解析】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，∴A（0，2），令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，∴C（4，0），把A、C兩點(diǎn)代入y＝﹣x2+bx+c得，，解得，∴拋物線(xiàn)的解析式為，令y＝0，得＝0，解得，x＝4，或x＝﹣2，∴B（﹣2，0）；（2）過(guò)M點(diǎn)作MN⊥x軸，與AC交于點(diǎn)N，如圖1，設(shè)M（a，），則N（a，），∴＝，∵，∴S四邊形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，∴當(dāng)a