第七章平面問(wèn)題的差分解1第七章平面問(wèn)題的差分解平面問(wèn)題的差分解§7-1差分公式的推導(dǎo)§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-3不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解§7-5應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例§7-6溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)差分解§7-7位移的差分解§7-8位移差分解的實(shí)例§7-9多連體問(wèn)題的位移差分解習(xí)題課2平面問(wèn)題的差分解彈性力學(xué)的經(jīng)典解法存在一定的局限性，當(dāng)彈性體的邊界條件和受載情況復(fù)雜一點(diǎn)，往往無(wú)法求得偏微分方程的邊值問(wèn)題的解析解。因此，各種數(shù)值解法便具有重要的實(shí)際意義。差分法就是數(shù)值解法的一種。

所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般均為微分方程）近似地改用差分方程（代數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問(wèn)題改換成為求解代數(shù)方程的問(wèn)題。3§7-1差分公式的推導(dǎo)平面問(wèn)題的差分解

我們?cè)趶椥泽w上，用相隔等間距h而平行于坐標(biāo)軸的兩組平行線織成正方形網(wǎng)格，如圖7-1。

設(shè)f=f(x,y)為彈性體內(nèi)的某一個(gè)連續(xù)函數(shù)。該函數(shù)在平行于x軸的一根網(wǎng)線上，例如在3-０-１上，它只隨x坐標(biāo)的改變而變化。在鄰近結(jié)點(diǎn)０處，函數(shù)f可展為泰勒級(jí)數(shù)如下：圖7-14平面問(wèn)題的差分解

我們將只考慮離開(kāi)結(jié)點(diǎn)０充分近的那些結(jié)點(diǎn)，即（x-x0）充分小。于是可不計(jì)（x-x0）的三次及更高次冪的各項(xiàng)，則上式簡(jiǎn)寫為：在結(jié)點(diǎn)３，x=x0-h；在結(jié)點(diǎn)1，x=x0+h。代入(b)得：聯(lián)立（c）、（d），解得差分公式：5平面問(wèn)題的差分解同理，在網(wǎng)線4-0-2上可得到差分公式：

以上（１）—（４）是基本差分公式，從而可導(dǎo)出其它的差分公式如下：圖7-26平面問(wèn)題的差分解

差分公式(１)及(３)是以相隔2h的兩結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示中間結(jié)點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

以相鄰三結(jié)點(diǎn)處的函數(shù)值來(lái)表示一個(gè)端點(diǎn)處的一階導(dǎo)數(shù)值，可稱為端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式。

應(yīng)當(dāng)指出：中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式與端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式相比，精度較高。因?yàn)榍罢叻从沉私Y(jié)點(diǎn)兩邊的函數(shù)變化，而后者卻只反映了結(jié)點(diǎn)一邊的函數(shù)變化。因此，我們總是盡可能應(yīng)用前者，而只有在無(wú)法應(yīng)用前者時(shí)才不得不應(yīng)用后者。7§7-2穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解平面問(wèn)題的差分解本節(jié)以無(wú)熱源的、平面的、穩(wěn)定的溫度場(chǎng)為例，說(shuō)明差分法的應(yīng)用。在無(wú)熱源的平面穩(wěn)定場(chǎng)中，，所以熱傳導(dǎo)微分方程簡(jiǎn)化為調(diào)和方程，即：（a）為了用差分法求解，在溫度場(chǎng)的域內(nèi)織成網(wǎng)格，如圖7-1所示。在任意一個(gè)結(jié)點(diǎn)，如在結(jié)點(diǎn)0，由差分公式有：（c）（b）8平面問(wèn)題的差分解代入，即得差分方程：（1）（1）如果一個(gè)溫度場(chǎng)的全部邊界條件都具有第一類邊界條件，則所有邊界結(jié)點(diǎn)處的值都是已知的。這樣，只須在每一個(gè)內(nèi)結(jié)點(diǎn)處建立一個(gè)（1）型的差分方程，就可以由這些方程求得所有內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的未知值。（2）對(duì)于具有第二類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，如圖7-3a，由于該結(jié)點(diǎn)處的溫度是未知的，需要計(jì)算，因而也需要在該結(jié)點(diǎn)建立一個(gè)（1）型的差分方程。為了消去邊界外的虛結(jié)點(diǎn)1處的溫度，假定該邊界是垂直于軸的，而且該邊界的向外法線是沿軸的正向，如圖所示，則上述邊界條件成為：9平面問(wèn)題的差分解邊界內(nèi)邊界外32140邊界內(nèi)邊界外32140圖7-3（a）（b）其中是結(jié)點(diǎn)0處的沿方向的已知熱流密度。對(duì)應(yīng)用差分公式，則上式成為：解出，代入（1）式，即得修正的差分方程：（2）10平面問(wèn)題的差分解（3）對(duì)于具有第三類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，如圖7-3b，也須立出相應(yīng)于未知值的差分方程。為了消去該方程中的虛結(jié)點(diǎn)溫度，可利用邊界條件得：其中為邊界以外的介質(zhì)的已知溫度。應(yīng)用差分公式，可得：解出，代入（1）式，即得修正的差分方程：當(dāng)邊界垂直于軸時(shí)，也可導(dǎo)出與上式相似的修正差分方程。（4）對(duì)于具有第四類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)，在完全接觸的情（3）11平面問(wèn)題的差分解況下，由于兩個(gè)接觸體的溫度場(chǎng)是連續(xù)的，因此只要兩個(gè)接觸體具有相同的熱性常數(shù)，這個(gè)邊界結(jié)點(diǎn)就和內(nèi)結(jié)點(diǎn)完全一樣。如果接觸不完全，或者兩個(gè)接觸體具有不同的熱性常數(shù)，則問(wèn)題比較復(fù)雜，這里不進(jìn)行討論。例：設(shè)有矩形薄板，如圖7-4，長(zhǎng)8米，寬6米，右邊界為絕熱邊界，其余三邊界上的已知結(jié)點(diǎn)溫度標(biāo)在各結(jié)點(diǎn)上（單位為℃），試求板內(nèi)的結(jié)點(diǎn)溫度至。6m8mabcdefgi403530252016141210322418按照（1）式立出結(jié)點(diǎn)a至f處的差分方程：解：用的網(wǎng)格，米。圖7-412平面問(wèn)題的差分解按照（3）式立出結(jié)點(diǎn)g及i處的差分方程：聯(lián)立求解上列8個(gè)方程，得到（單位為℃）：當(dāng)溫度具有曲線邊界或斜邊界時(shí)，在靠近邊界處將出現(xiàn)不規(guī)則的內(nèi)結(jié)點(diǎn)，如圖7-5a中的結(jié)點(diǎn)0。13平面問(wèn)題的差分解邊界外邊界外圖7—514平面問(wèn)題的差分解

首先假定邊界是第一類邊界。將溫度在臨近結(jié)點(diǎn)0處沿方向展為泰勒級(jí)數(shù)，略去的三次冪及更高次的冪的項(xiàng)，得到：命依次等于及，即依次等于及,得：消去，得到：15平面問(wèn)題的差分解于是得到差分方程：同理可以導(dǎo)出圖7-5b中不規(guī)則結(jié)點(diǎn)0的差分方程為：

假定圖7-5a中的邊界是第二類邊界。將溫度在臨近結(jié)點(diǎn)處沿方向展為泰勒級(jí)數(shù)，略去的三次冪及更高次冪的項(xiàng)，得：命依次等于及，得到：（4）（5）16平面問(wèn)題的差分解消去，得：由邊界條件消去，得：代入（4）式，簡(jiǎn)化后得差分方程：同理可以導(dǎo)出圖7-5b中不規(guī)則結(jié)點(diǎn)0的差分方程為：（d）17平面問(wèn)題的差分解

假定圖7-5a中的邊界是第三類邊界，則可利用邊界條件得到：代入式（d），得：

如果圖7-5b中的邊界是第三類邊界，則除了方程（e）外還可以得出相似的方程：（e）解出代入式（4），即得差分方程。將式（e）和（f）代入式（5），即可得出差分方程。（f）18§7-3不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解平面問(wèn)題的差分解本節(jié)簡(jiǎn)單介紹平面不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的差分解法，主要為了說(shuō)明，如何計(jì)算混凝土體中由于混凝土凝結(jié)發(fā)熱而出現(xiàn)的不穩(wěn)定溫度場(chǎng)，供溫度應(yīng)力的計(jì)算及溫度控制用。圖7-6

在溫度場(chǎng)上織成網(wǎng)格，如圖7-6。將平面不穩(wěn)定溫度場(chǎng)的微分方程用于在任一瞬時(shí)的任意內(nèi)結(jié)點(diǎn)0，得到：（a）命結(jié)點(diǎn)0在時(shí)的溫度為，在時(shí)的溫度為。應(yīng)用向前線性差分公式，得：（b）19平面問(wèn)題的差分解對(duì)于，仍然采用拋物線差分公式，得：對(duì)于，也采用線性差分公式：（c）（d）將式（b）、（c）、（d）代入式（a），得差分方程：利用這個(gè)方程，可以根據(jù)結(jié)點(diǎn)0、1、2、3、4在時(shí)的溫度，以及結(jié)點(diǎn)0在時(shí)段內(nèi)的，求得結(jié)點(diǎn)0在時(shí)的溫度。(1)對(duì)于具有第一類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，結(jié)點(diǎn)溫度是已知的。（1）20平面問(wèn)題的差分解(2)對(duì)于具有第二類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，如圖7-7a。利用邊界條件：解出，代入式（1），得修正的差分方程：邊界內(nèi)邊界外32140圖7-7邊界內(nèi)邊界外32140(a)(b)(3)對(duì)于具有第三類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)0，如圖7-7b。利用邊界條件：解出，代入式（1），得修正的差分方程：21平面問(wèn)題的差分解(4)對(duì)于具有第四類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)，在完全接觸的情況下,邊界結(jié)點(diǎn)就和內(nèi)結(jié)點(diǎn)完全一樣。不論邊界條件如何，都可以由前的結(jié)點(diǎn)溫度求得后的結(jié)點(diǎn)溫度。具體計(jì)算時(shí)，可將溫度場(chǎng)的經(jīng)歷時(shí)間分為若干個(gè)相等或不相等的時(shí)段，從初瞬時(shí)開(kāi)始，依次利用差分方程算出各個(gè)時(shí)段終了時(shí)的結(jié)點(diǎn)溫度，從而確定各結(jié)點(diǎn)處的變溫過(guò)程。

對(duì)于內(nèi)結(jié)點(diǎn)及具有第二類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)，可由差分公式得收斂條件：從而得：由以上兩式可見(jiàn)總是決定于值最大的、具有第三類邊界條件的邊界結(jié)點(diǎn)。22平面問(wèn)題的差分解如果對(duì)于采用向后差分公式，則每一個(gè)差分方程中將包含多個(gè)結(jié)點(diǎn)在后的溫度，因而整個(gè)溫度場(chǎng)內(nèi)各結(jié)點(diǎn)處的差分方程成為聯(lián)立方程；對(duì)于每一個(gè)時(shí)段，都要求解一次聯(lián)立方程。這樣，雖然由于沒(méi)有收斂條件的限制，可以取得大一些，但計(jì)算工作量仍然可能很大。例：設(shè)有一混凝土墩，其水平橫截面為1.6米1.6米的正方形?；炷恋臐沧囟葹?℃，澆注以后，表面的溫度也大致保持為2℃（第一類邊界條件）。混凝土的導(dǎo)溫系數(shù)取為米2/時(shí)。試用差分法計(jì)算混凝土凝結(jié)發(fā)熱期間的不穩(wěn)定溫度場(chǎng)。解：假定混凝土墩的高度遠(yuǎn)大于1.6米，因而該溫度場(chǎng)的問(wèn)題可以近似地作為平面問(wèn)題。在橫截面上織成cbcbabcbc2℃圖7-823平面問(wèn)題的差分解米的網(wǎng)格，如圖7-8。在圖上，凡是根據(jù)對(duì)稱條件看出溫度應(yīng)當(dāng)相同的結(jié)點(diǎn)，均用相同的字母標(biāo)明。取：時(shí)取時(shí)，有：所以差分方程為：由于全部混凝土均屬于同一齡期，故有。于是上列三式簡(jiǎn)化為：24平面問(wèn)題的差分解假定由混凝土絕熱溫升試驗(yàn)得來(lái)的數(shù)據(jù)如下表所示：（℃）（℃）（時(shí)）006.05.512.08.09.75.52.51.71.10.80.80.70.718.024.030.036.042.048.010.811.612.413.113.8

按照上式分時(shí)段計(jì)算，結(jié)果為：第一時(shí)段(至),(初始溫度)第二時(shí)段(至),對(duì)其余各段進(jìn)行同樣的計(jì)算，結(jié)果如下表所示：25平面問(wèn)題的差分解結(jié)點(diǎn)a結(jié)點(diǎn)b結(jié)點(diǎn)c2.002.002.007.507.507.5010.009.318.638.848.528.067.747.417.158.698.999.359.659.9910.0111.3611.7911.6911.4711.1110.75三結(jié)點(diǎn)處溫度變化的過(guò)程如圖7-9所示：圖7—926§7-4應(yīng)力函數(shù)的差分解平面問(wèn)題的差分解當(dāng)不計(jì)體力時(shí)，平面問(wèn)題中的應(yīng)力分量可以用應(yīng)力函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)表示：如果在彈性體上織成如圖7-10所示的網(wǎng)格，應(yīng)用差分公式就可以把任一結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力分量表示成為：（a）圖7-10（b）27平面問(wèn)題的差分解可見(jiàn)，只要已知各結(jié)點(diǎn)處的值，就可以求得各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力分量。對(duì)于彈性體邊界以內(nèi)的每一結(jié)點(diǎn)，都可以建立這樣一個(gè)差分方程。但是對(duì)于邊界內(nèi)一行（距邊界為）的結(jié)點(diǎn)，差分方程中還將包含邊界上各結(jié)點(diǎn)處的值和邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)的值。因此必須將網(wǎng)格擴(kuò)展到邊界外，假想在邊界外還有一行結(jié)點(diǎn)。先算出邊界上各結(jié)點(diǎn)的，再求靠近邊界外面一行的各結(jié)點(diǎn)的，然后解出邊界內(nèi)各結(jié)點(diǎn)的聯(lián)立差分方程。得出：

為了求得彈性體邊界以內(nèi)各結(jié)點(diǎn)處的值，須利用應(yīng)力函數(shù)的雙調(diào)和方程，但也必須把它變換為差分方程。利用差分公式代入雙調(diào)和方程：（c）28平面問(wèn)題的差分解（一）邊界上各結(jié)點(diǎn)的值及導(dǎo)數(shù)值如圖7-11，點(diǎn)的值為：圖7-11（d）其中，（1）式右邊的積分表示與之間沿

方向的面力之和；（2）式右邊的積分表示與之間沿方向的面力之和的負(fù)數(shù)；（3）式右邊的積分表示與之間的面力對(duì)點(diǎn)力矩之和。29平面問(wèn)題的差分解(二)邊界外一行的虛結(jié)點(diǎn)處的值如圖7-10中的虛結(jié)點(diǎn)13和14：即用函數(shù)在邊界上的導(dǎo)數(shù)值和邊界內(nèi)一行的各結(jié)點(diǎn)處的值來(lái)表示。（三）有限差分法計(jì)算步驟（1）在邊界上任意選定一個(gè)結(jié)點(diǎn)作為基點(diǎn)A，?。喝缓笥桑╠）中（3）式算出邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處的值，以及應(yīng)用公式（e）時(shí)所必須的一些值及值。30平面問(wèn)題的差分解（5）按照公式（b），計(jì)算所需求的應(yīng)力分量。（2）應(yīng)用公式（e），將邊界外一行各虛結(jié)點(diǎn)處的值用邊界內(nèi)的相應(yīng)結(jié)點(diǎn)處的值來(lái)表示。（3）對(duì)邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程，聯(lián)立求解，從而求出各結(jié)點(diǎn)處的值。（4）按照公式（e），算出邊界外一行的各虛結(jié)點(diǎn)處的值。31§7-5應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例平面問(wèn)題的差分解解：假定反力是集中力。取坐標(biāo)軸如圖所示，取網(wǎng)格間距邊長(zhǎng)。由于對(duì)稱，只計(jì)算梁的左一半。（1）取底梁的中點(diǎn)作為基點(diǎn)，取：計(jì)算邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處的值以及必需的值和值，列表如下（不必需的導(dǎo)數(shù)值沒(méi)有計(jì)算，在表中用短橫線表示。圖7-12設(shè)有正方形的混凝土深梁，如圖7-12，上邊受均布向下的鉛直載荷，由下角點(diǎn)處的反力維持平衡,試用應(yīng)力函數(shù)的差分解求出應(yīng)力分量。32平面問(wèn)題的差分解結(jié)點(diǎn)(2)將邊界外一行各個(gè)虛結(jié)點(diǎn)處的值(至)用邊界內(nèi)一行各結(jié)點(diǎn)處的值表示。由于上下兩邊，所以有：在左邊，邊界上各點(diǎn)有：所以：33平面問(wèn)題的差分解同樣：（3）對(duì)邊界內(nèi)的各結(jié)點(diǎn)建立差分方程。例如對(duì)結(jié)點(diǎn)1（注意對(duì)稱性）：將上表中的的已知值代入，并注意：

，得：

對(duì)結(jié)點(diǎn)1—15可以列出15個(gè)差分方程，其中包含15各未知值，聯(lián)立求解，得：（4）計(jì)算邊界外一行各結(jié)點(diǎn)處的值。34平面問(wèn)題的差分解由式（a）、（b）、（c）可得（為單位）：（5）計(jì)算應(yīng)力。例如在結(jié)點(diǎn)，由（b）式可得：同樣可得：沿著梁的中線的變化如圖7-12中的曲線所示。

與材料力學(xué)的結(jié)果比較：

可見(jiàn)，對(duì)于象本例題中這樣的深梁，用材料力學(xué)公式算出的應(yīng)力遠(yuǎn)遠(yuǎn)不能反映實(shí)際情況。35§7-6溫度應(yīng)力問(wèn)題的應(yīng)力函數(shù)差分解平面問(wèn)題的差分解

對(duì)于溫度應(yīng)力的平面問(wèn)題，在平面應(yīng)力的情況下，物理方程為：其中是變溫（不是某一溫度場(chǎng)中的溫度）。代入形變相容方程，得：另一方面，在平衡方程中，命體力分量等于零，得：（a）（b）36平面問(wèn)題的差分解式（a）和（b）就是按應(yīng)力求解時(shí)的基本微分方程。將（b）中的第一式及第二式分別對(duì)及求導(dǎo)，然后相加，得：代入式（a），化簡(jiǎn)以后，得相容方程為：

在溫度應(yīng)力問(wèn)題中，沒(méi)有體力作用，因此也可以引用應(yīng)力函數(shù)使問(wèn)題得到進(jìn)一步的簡(jiǎn)化。命：則平衡微分方程（b）總能滿足。代入式（c），得用應(yīng)力函數(shù)表示的相容方程：對(duì)于平面應(yīng)變問(wèn)題，須將其中的換為，換為。（c）（d）（e）37平面問(wèn)題的差分解在溫度應(yīng)力問(wèn)題中，由于面力分量，所以在邊界的所有各點(diǎn)都有：于是求解溫度應(yīng)力的平面問(wèn)題，就簡(jiǎn)化為在式（f）所示的邊界條件下求解微分方程（e），然后按式（d）求出應(yīng)力分量。用差分法求解溫度應(yīng)力時(shí)，根據(jù)前面知識(shí)有：對(duì)于任一結(jié)點(diǎn)0，由式（e）有：將式（g）、（h）代入式（i），得所需的差分方程：（1）（f）（g）（h）（i）38平面問(wèn)題的差分解即：邊界上各結(jié)點(diǎn)處的值為零，而邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)處的值，就等于邊界內(nèi)一行相對(duì)結(jié)點(diǎn)處的值。

由前面公式有：按照邊界條件（f），有：代入式（j），得邊界條件的差分形式：（2）（j）

這樣，用差分法求解溫度應(yīng)力問(wèn)題，就是在（2）所示的邊界條件下求解（1）型的差分方程。這些方程中只包含內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的值作為未知量，因而可以用來(lái)求解這些未知值，從而求得各結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力分量。39平面問(wèn)題的差分解

此外，前后兩個(gè)無(wú)熱源的平面穩(wěn)定溫度場(chǎng)之差，不會(huì)在沒(méi)有邊界約束的單連體中引起任何溫度應(yīng)力（不論前一個(gè)穩(wěn)定溫度場(chǎng)經(jīng)過(guò)怎樣的不穩(wěn)定過(guò)程而過(guò)渡到后一個(gè)穩(wěn)定溫度場(chǎng)）。40§7-7位移的差分解平面問(wèn)題的差分解

對(duì)于只具有應(yīng)力邊界條件的單連體受有常體力時(shí)的平面問(wèn)題，可以通過(guò)應(yīng)力函數(shù)的差分解比較簡(jiǎn)單地求得應(yīng)力的數(shù)值。但是對(duì)于多連體，則求解比較繁。當(dāng)彈性體具有應(yīng)力邊界條件或混合邊界條件時(shí)，特別是在體力并非常量的情況下，則更難以利用應(yīng)力函數(shù)的差分解。另一方面，即使通過(guò)應(yīng)力函數(shù)差分解求得應(yīng)力的數(shù)值，要進(jìn)一步求出位移也是很繁的。

利用位移的差分解，則不論彈性體是單連體還是多連體，也不論它具有何種邊界，以及它所受的體力是否為常量，總可以比較簡(jiǎn)便地求得位移的數(shù)值，從而求得應(yīng)力的數(shù)值。

如圖7-13，設(shè)網(wǎng)線段0-1上有一點(diǎn)，距結(jié)點(diǎn)0的距離為。規(guī)定：一、求（代表位移分量或）在網(wǎng)線上一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值（一）函數(shù)沿網(wǎng)格線方向的導(dǎo)數(shù)，在該網(wǎng)線上各點(diǎn)（不包括41平面問(wèn)題的差分解結(jié)點(diǎn)）處的數(shù)值取為常量，據(jù)此有：（二）函數(shù)在垂直于網(wǎng)線方向的導(dǎo)數(shù)，在該網(wǎng)線上各點(diǎn)（不包括結(jié)點(diǎn)）處的數(shù)值取為按線性變化，據(jù)此有：其中，在結(jié)點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)值取為：對(duì)于網(wǎng)線段0-2上距結(jié)點(diǎn)0為的一點(diǎn)，同樣有：圖7—1342平面問(wèn)題的差分解其中：（三）對(duì)于不在網(wǎng)線上的任一點(diǎn)，則取為：這樣就有：43平面問(wèn)題的差分解二、領(lǐng)域某個(gè)結(jié)點(diǎn)的“領(lǐng)域”，是指環(huán)繞該結(jié)點(diǎn)的那兩段、三段或四段網(wǎng)線的垂直平分線所圍成的區(qū)域。例如圖7-14中，角隅結(jié)點(diǎn)1的領(lǐng)域是的正方形1；角隅結(jié)點(diǎn)2的領(lǐng)域是的矩形。三、推導(dǎo)內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的差分公式

在圖7-15中，內(nèi)結(jié)點(diǎn)0的領(lǐng)域是虛線所示的的正方形。在該領(lǐng)域上，作用于方向的外力總和用代表，以沿軸的正方向?yàn)檎?；作用于方向的?yīng)力有、、和。由該領(lǐng)域在方向的平衡條件得：圖7—14圖7—1544平面問(wèn)題的差分解由差分公式，有：以平面應(yīng)力問(wèn)題為例，上式成為：(1)45平面問(wèn)題的差分解代入式（1），簡(jiǎn)化得：與上相似，可由該結(jié)點(diǎn)領(lǐng)域在方向的平衡條件得出：為了計(jì)算方便，將上列兩個(gè)差分方程分別用圖7-16和圖7-17的差分圖式來(lái)表示。46平面問(wèn)題的差分解圖7—16圖7—1747平面問(wèn)題的差分解四、邊界結(jié)點(diǎn)處的差分方程(1)設(shè)彈性體具有垂直于軸的某一邊界，如圖7-18，其向外法線系沿軸的正向。邊界結(jié)點(diǎn)0的領(lǐng)域?yàn)榈木匦危鐖D中虛線所示。用表示該領(lǐng)域所受的方向的外力總和（包括體力和面力，以沿的正向?yàn)檎Ｆ叫杏谳S的應(yīng)力分量有、、。由該領(lǐng)域在方向的平衡條件：得：(2)Bxy402837Aejkfid圖7-1848平面問(wèn)題的差分解應(yīng)用差分公式，有：49平面問(wèn)題的差分解代入式（2），簡(jiǎn)化后得：其差分圖式如圖7-19所示。邊界邊界圖7-1950平面問(wèn)題的差分解

如果結(jié)點(diǎn)0在方向的位移分量是未知值，同理可以得到如圖7-20所示的圖式。如果邊界的向外法線是沿軸的負(fù)向，則作用于邊界結(jié)點(diǎn)0的領(lǐng)域的應(yīng)力分量及外力分量如圖7-21所示。與前面運(yùn)算相似，可得出相應(yīng)于未知值及的差分方程，它們的差分圖式分別如圖7-22、7-23所示。邊界圖7—20圖7—2151平面問(wèn)題的差分解（2）假定彈性體具有垂直于軸的一個(gè)邊界。如果邊界的向外法線是沿的正向，而該邊界上某一結(jié)點(diǎn)0的位移分量或是未知值，則得出相應(yīng)于或的差分圖式如圖7-24或圖7-25所示。如果該邊界的向外法線是沿軸的負(fù)向，則得出相應(yīng)于或的差分圖式如圖7-26或圖7-27所示。邊界邊界邊界邊界圖7-22圖7-2352平面問(wèn)題的差分解邊界邊界邊界邊界圖7-25圖7-2453平面問(wèn)題的差分解邊界邊界圖7-27邊界邊界圖7-2654平面問(wèn)題的差分解在兩個(gè)邊界的交點(diǎn)(角點(diǎn)),結(jié)點(diǎn)0的領(lǐng)域?qū)⑹堑恼叫?。假定該二邊界的向外法線都沿著坐標(biāo)軸的正向，如圖7-28。在虛線所示的結(jié)點(diǎn)領(lǐng)域上，作用于方向的外力總和仍用表示，平行于軸的應(yīng)力分量只有和。如果是未知的，則相應(yīng)于的差分方程可由該領(lǐng)域在方向的平衡條件得來(lái)，該平衡條件為：利用物理方程和幾何方程改換為：由差分公式可得：55平面問(wèn)題的差分解xy8cj4ge3dkifOba圖7-2856平面問(wèn)題的差分解代入上式簡(jiǎn)化后，得相應(yīng)于未知值的差分方程：其圖式如圖7-29所示。同樣可得相應(yīng)于未知值的差分方程，其圖式如圖7-30所示。同理，如果在角隅結(jié)點(diǎn)0處，一個(gè)邊界或兩個(gè)邊界的向外法線是沿坐標(biāo)軸的負(fù)向，也可得出相應(yīng)于和的差分圖式。57平面問(wèn)題的差分解如圖7-31至7-36。圖7-30邊界邊界邊界邊界圖7-2958平面問(wèn)題的差分解[]=[]=圖7-31圖7-32xyxy邊界邊界邊界邊界59平面問(wèn)題的差分解[]=[]=圖7-33圖7-34xyxy邊界邊界邊界邊界60平面問(wèn)題的差分解y[]=[]=圖7-35圖7-36xxy邊界邊界邊界邊界61平面問(wèn)題的差分解§7-8位移的差分解的實(shí)例例1：設(shè)有四邊固定的矩形薄板，如圖7-37，長(zhǎng)度與寬度之比為，密度為，為簡(jiǎn)單起見(jiàn)取。試用的網(wǎng)格計(jì)算自重引起的位移和應(yīng)力。解：由于對(duì)稱，只有三個(gè)獨(dú)立的未知值，即、、（）。相應(yīng)于、、的差分方程為：x圖7-37cedbagfy62平面問(wèn)題的差分解簡(jiǎn)化后得：由于，利用物理、幾何方程及中點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式，得：對(duì)于邊界上的結(jié)點(diǎn)，利用端點(diǎn)導(dǎo)數(shù)公式，得：63平面問(wèn)題的差分解通過(guò)同樣的計(jì)算，可見(jiàn)在所有各結(jié)點(diǎn)處都得到：例2：設(shè)例1中的薄板改在下邊受連干支承（光滑支承），如圖7-38，試求自重引起的位移及應(yīng)力。解：在該題中，獨(dú)立的未知值有

。相應(yīng)的差分方程為：簡(jiǎn)化后求解，得：圖7-3864平面問(wèn)題的差分解

的計(jì)算同例1。下面計(jì)算幾點(diǎn)處的及：65平面問(wèn)題的差分解例3：設(shè)有矩形深梁，左右兩邊固定，上邊受均布載荷，如圖7-39。試求位移及應(yīng)力。取。解：由于對(duì)稱，獨(dú)立的未知值有6個(gè)：的差分方程為：相應(yīng)于和圖7-3966平面問(wèn)題的差分解相應(yīng)于和的差分方程為：相應(yīng)于和的差分方程為：67平面問(wèn)題的差分解將上列6個(gè)方程簡(jiǎn)化后聯(lián)立求解，得位移分量為：應(yīng)力分量為：68平面問(wèn)題的差分解69平面問(wèn)題的差分解而由應(yīng)力邊界條件有。所以誤差為。其它應(yīng)力數(shù)值的誤差大致也屬于這個(gè)量階。為了得到較精確的應(yīng)力數(shù)值，必須把網(wǎng)格加密。說(shuō)明：對(duì)于只具有應(yīng)力邊界條件的單連體平面問(wèn)題，雖然也可以用位移差分解求得應(yīng)力分量，但是，改用應(yīng)力函數(shù)差分解時(shí)，同樣的網(wǎng)格可以給出較精確的應(yīng)力數(shù)值，而且計(jì)算工作量較少。因此，如果不須求出位移而只需求出應(yīng)力，則毫無(wú)疑問(wèn)的應(yīng)當(dāng)用應(yīng)力函數(shù)差分解，而完全不必用位移差分解。70平面問(wèn)題的差分解§7-9多連體問(wèn)題的位移差分解一、內(nèi)尖角處的結(jié)點(diǎn)位移差分方程圖7-40所示內(nèi)尖角，兩邊的向外法線分別沿軸及軸的正向。結(jié)點(diǎn)0的領(lǐng)域如圖中虛線所示，面積為。該領(lǐng)域所受的沿和方向的外力總和（包括體力、面力）用

和表示。由方向的平衡條件有：用位移分量的導(dǎo)數(shù)來(lái)表示應(yīng)力分量，則上式成為：（a）邊界邊界圖7—40eik71平面問(wèn)題的差分解按照差分公式，有：72平面問(wèn)題的差分解代入式（a），簡(jiǎn)化后，得相應(yīng)于未知值的差分方程：差分式如圖7-41所示。邊界圖7—42邊界邊界圖7—41邊界73平面問(wèn)題的差分解同理，可得相應(yīng)于未知值的差分方程，差分式如圖7-42所示。二、多連體的位移差分解

設(shè)有的正方形薄板，如圖7-43，中間有的正方形孔口，在上下兩邊受均布?jí)毫Α?/p>

由于對(duì)稱，只需計(jì)算四分之一部分。獨(dú)立的未知位移分量有12個(gè)，即：

。

取，相應(yīng)于的差分方程為：圖7-4374平面問(wèn)題的差分解其余11個(gè)差分方程按§7-7中的差分圖式列出。聯(lián)立求解上述12個(gè)方程，得（以為單位）：應(yīng)力分量可以和以前一樣求得。但是，由于網(wǎng)格太疏，算出的應(yīng)力數(shù)值只是粗略近似的，而內(nèi)結(jié)點(diǎn)處的應(yīng)力數(shù)值將具有特別大的誤差。75平面問(wèn)題的差分解《平面問(wèn)題的差分解》習(xí)題課[練習(xí)1]用差分法計(jì)算如圖1所示基礎(chǔ)梁的最大拉應(yīng)力，并與材料力學(xué)的解答進(jìn)行對(duì)比，采用的網(wǎng)格，各結(jié)點(diǎn)編號(hào)如圖所示。解：由于對(duì)稱，只需計(jì)算梁的一半，所以，只有兩個(gè)獨(dú)立的未知數(shù)和。1.取梁底中點(diǎn)作為基點(diǎn)，設(shè)，利用邊界結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)公式，計(jì)算邊界上所有各結(jié)點(diǎn)處的值。結(jié)果見(jiàn)下表。圖176平面問(wèn)題的差分解2.計(jì)算各虛結(jié)點(diǎn)的