第3講等比數(shù)列第六章數(shù)列考向預(yù)測核心素養(yǎng)等比數(shù)列也是高考的?？純?nèi)容，以等比數(shù)列的基本公式及基本運(yùn)算為基礎(chǔ)，可考查單一的等比數(shù)列問題，但更傾向于與等差數(shù)列或其他內(nèi)容相結(jié)合的問題.數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算01基礎(chǔ)知識(shí)回顧一、知識(shí)梳理1．等比數(shù)列的概念(1)定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于____________，那么這個(gè)數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的______，通常用字母q表示(q≠0)．(2)等比中項(xiàng)如果在a與b中間插入一個(gè)數(shù)G，使a，G，b成__________，那么G叫做a與b的等比中項(xiàng)，此時(shí)，G2＝ab.同一個(gè)常數(shù)公比等比數(shù)列2．等比數(shù)列的有關(guān)公式(1)通項(xiàng)公式：an＝______________．na1(2)等比數(shù)列的單調(diào)性當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a1＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列；當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列．(3)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝A＋B·Cn?A＋B＝0，公比q＝C(A，B，C均不為零)．

常用結(jié)論3．在等比數(shù)列{an}中，等距離取出若干項(xiàng)也構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…為等比數(shù)列，公比為qk.4．等比數(shù)列{an}中，Sk表示它的前k項(xiàng)和．當(dāng)Sk≠0，k∈N*時(shí)，有Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…也成等比數(shù)列，公比為qk.√二、教材衍化1．(鏈接常用結(jié)論1)(人A選擇性必修第二冊(cè)P31練習(xí)T5改編)對(duì)任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是(

)A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則a3＝a1q2，a6＝a1q5，a9＝a1q8，滿足(a1q5)2＝a1q2·a1q8，√3．(人A選擇性必修第二冊(cè)P37練習(xí)T3改編)已知數(shù)列{an}為等比數(shù)列，a2＝6，6a1＋a3＝30，則a4＝________．答案：54或24一、思考辨析判斷正誤(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)等比數(shù)列{an}的公比q＞1，則該數(shù)列單調(diào)遞增．(

)(2)三個(gè)數(shù)a，b，c成等比數(shù)列的充要條件是b2＝ac.(

)(3)如果數(shù)列{an}為等比數(shù)列，則數(shù)列{lnan}是等差數(shù)列．(

)××××二、易錯(cuò)糾偏1．(多選)(忽略q＝±1致誤)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，那么下列數(shù)列一定是等比數(shù)列的是(

)√√√2．(忽略q＝1致誤)已知在等比數(shù)列{an}中，a3＝7，前三項(xiàng)之和S3＝21，則公比q的值是(

)3．(混淆等比數(shù)列的項(xiàng)和等比中項(xiàng)致誤)已知在等比數(shù)列{an}中，a2a3a4＝1，a6a7a8＝64，則a5＝(

)A．－2

B.±2

C.2

D.解析：因?yàn)閍2a3a4＝1，所以a3＝1，因?yàn)閍6a7a8＝64，所以a7＝4，又

＝a3a7＝4，又a5與a3同號(hào)，所以a5＝2.√02核心考點(diǎn)共研考點(diǎn)一等比數(shù)列的基本運(yùn)算(自主練透)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的公式．1．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}的前4項(xiàng)和為15，且a5＝3a3＋4a1，則a3＝(

)A．16B.8C.4D.2√解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q(q>0)，由a5＝3a3＋4a1，得a1q4＝3a1q2＋4a1，得q4－3q2－4＝0，令q2＝t，則t2－3t－4＝0，解得t＝4或t＝－1(舍去)，所以q2＝4，即q＝2或q＝－2(舍去)．又S4＝

＝15，所以a1＝1，所以a3＝a1q2＝4.√2．(2022·湘東五校聯(lián)考)十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學(xué)家朱載堉發(fā)明的．十二平均律的數(shù)學(xué)意義是：在1和2之間插入11個(gè)正數(shù)，使包含1和2的這13個(gè)數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列，依此規(guī)則，插入的第四個(gè)數(shù)應(yīng)為(

)3．(2020·高考全國卷Ⅱ)數(shù)列{an}中，a1＝2，am＋n＝aman，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k＝(

)A．2B.3C.4D.5解析：a1＝2，am＋n＝aman，令m＝1，則an＋1＝a1an＝2an，所以數(shù)列{an}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以an＝2×2n－1＝2n.又因?yàn)閍k＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，即2k＋1(210－1)＝25(210－1)，所以2k＋1＝25，所以k＋1＝5，所以k＝4.√4．記Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，a1＝1，且S4＝a5－1，則公比q＝________．答案：2或－1解決等比數(shù)列有關(guān)問題的兩種常用思想(1)方程的思想：等比數(shù)列中有五個(gè)量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．考點(diǎn)二等比數(shù)列的判定與證明(思維發(fā)散)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：理解等比數(shù)列的概念，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，體會(huì)等比數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系．

已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，Sn＋1＝4an＋2(n∈N*)，若bn＝an＋1－2an，求證：{bn}是等比數(shù)列．因?yàn)镾2＝a1＋a2＝4a1＋2，所以a2＝5.所以b1＝a2－2a1＝3.所以數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列．1．若本例中的條件不變，試求{an}的通項(xiàng)公式．解：由例1知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，所以an＝(3n－1)·2n－2.(2)等比數(shù)列的其他判定方法①通項(xiàng)公式法：若數(shù)列的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均為不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列．②前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0，1)，則{an}是等比數(shù)列．[提醒]等比數(shù)列的其他判定方法常用于選擇題、填空題中的判定．√2．(2021·新高考八省聯(lián)考?？?已知各項(xiàng)都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.(1)證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；解：(1)證明：由an＋2＝2an＋1＋3an可得an＋2＋an＋1＝3an＋1＋3an＝3(an＋1＋an)，

因?yàn)楦黜?xiàng)都為正數(shù)，所以a1＋a2>0，所以{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列．解：

(2)構(gòu)造an＋2－3an＋1＝k(an＋1－3an)，整理得an＋2＝(k＋3)an＋1－3kan，所以k＝－1，即an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，因?yàn)閍2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，即an＋1＝3an，考點(diǎn)三等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用(多維探究)復(fù)習(xí)指導(dǎo)：能用等比數(shù)列的有關(guān)知識(shí)解決相應(yīng)的問題．√(2)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且a1a5＝4，則log2a1＋log2a2＋log2a3＋log2a4＋log2a5＝________．【答案】

(2)5角度2等比數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)(1)已知等比數(shù)列{an}共有2n項(xiàng)，其和為－240，且奇數(shù)項(xiàng)的和比偶數(shù)項(xiàng)的和大80，則公比q＝________．等比數(shù)列性質(zhì)應(yīng)用問題的解題突破口等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項(xiàng)公式的變形，二是等比中項(xiàng)的變形，三是前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征，即可找出解決問題的突破口．[提醒]在應(yīng)用相應(yīng)性質(zhì)解題時(shí)，要注意性質(zhì)成立的前提條件，有時(shí)需要對(duì)性質(zhì)進(jìn)行適當(dāng)變形．此外，解題時(shí)注意“設(shè)而不求”的運(yùn)用．|跟蹤訓(xùn)練|1．在等比數(shù)列{an}中，an>0，且a1＋a2＝1，a3＋a4＝9，則a4＋a5的值為(

)A．16B.27C.36D.81解析：因?yàn)閍1＋a2＝1，a3＋a4＝9，所以q2＝9.所以q＝3(q＝－3舍去)，所以a4＋a5＝(a3＋a4)q＝27.√03課后達(dá)標(biāo)檢測√√2．在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝(

)A．12B.13C.14D.15解析：因?yàn)閿?shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，所以a1a2a3，a4a5a6，…，an－1anan＋1也成等比數(shù)列．所以bm＝4×3m－1.令bm＝324，即4×3m－1＝324，解得m＝5，所以b5＝324，即a13a14a15＝324.所以n＝14.√√5．(多選)在公比為q的等比數(shù)列{an}中，Sn為其前n項(xiàng)和，若a1＝1，a5＝27a2，則下列說法正確的是(

)A．q＝3B．?dāng)?shù)列{2Sn－3n}是等差數(shù)列C．?dāng)?shù)列{an－3n}是等比數(shù)列D．?dāng)?shù)列{log3an－3n}是等比數(shù)列√√√解析：因?yàn)榈缺葦?shù)列{an}的公比為q，a5＝27a2，則a1q4＝27a1q，而q≠0，解得q＝3，A正確；所以a1q6＝22，所以a15＝a1q14＝a1q6(q2)4＝26，則log2a15＝log226＝6.答案：68．(2022·鄭州市高三第二次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n(n∈N*)，若{an＋λ}成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)λ＝________．解析：數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝3an－2n(n∈N*)，①則n≥2時(shí)，Sn－1＝3an－1－2(n－1)，②①－②，得an＝3an－3an－1－2，所以2an＝3an－1＋2，答案：29．在等比數(shù)列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通項(xiàng)公式；解：(1)設(shè){an}的公比為q，由題設(shè)得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)記Sn為{an}的前n項(xiàng)和．若Sm＝63，求m.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程沒有正整數(shù)解．若an＝2n－1，則Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.綜上，m＝6.解：(1)證明：2Sn＝－an＋n，當(dāng)n≥2時(shí)，2Sn－1＝－an－1＋n－1，兩式相減，得2an＝－an＋an－1＋1，(2)求數(shù)列{an－1}的前n項(xiàng)和Tn.[B綜合應(yīng)用]11．(多選)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，an＋1＝2Sn(n∈N*)，則有(

)A．Sn＝3n－1 B.{Sn}為等比數(shù)列C．a(chǎn)n＝2·3n－1 D.an＝解析：由題意，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和滿足an＋1＝2Sn(n∈N*)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝2Sn－1，兩式相減，可得an＋1－an＝2(Sn－Sn－1)＝2an，√√√又由n＝1時(shí)，S1＝a1＝1，適合上式，所以數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝3n－1；所