用因式分解法求解一元二次方程第二章

一元二次方程九年級數(shù)學(xué)上冊?北師大版復(fù)習(xí)導(dǎo)入將下列各式分解因式：(1)5x2－4x＝_____________；(2)x2－4x＋4＝___________；(3)4x(x－1)－2＋2x＝_________________；(4)x2－4＝_______________；(5)(2x－1)2－x2＝________________．x(5x－4)(x－2)22(x－1)(2x＋1)(x＋2)(x－2)(3x－1)(x－1)實(shí)踐探究一個(gè)數(shù)的平方與這個(gè)數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個(gè)數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？小穎、小明、小亮都設(shè)這個(gè)數(shù)為x.根據(jù)題意，可得方程x2＝3x.但他們的解法各不相同：小穎的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0.這里a＝1，b＝－3，c＝0.∵b2－4ac＝(－3)2－4×1×0＝9＞0，∴x＝.即x1＝3，x2＝0，∴這個(gè)數(shù)是3或0.

小明的解法：方程x2＝3x兩邊同時(shí)約去x，得x＝3，∴這個(gè)數(shù)是3.小亮的解法：由方程x2＝3x，得x2－3x＝0，即x(x－3)＝0.于是x＝0，或x－3＝0.∴x1＝3，x2＝0，∴這個(gè)數(shù)是3或0.解法分析(1)以上三種解法對嗎？為什么？(2)三種解法分別用的是什么方法？(3)小亮的解法是我們以前學(xué)過的哪種變形？利用這種方法解方程的依據(jù)是什么？(4)你能總結(jié)一下什么是因式分解法嗎？對于這道題，哪種解法更簡便？當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個(gè)一次因式的乘積時(shí)，我們就可以用小亮的方法求解．這種解一元二次方程的方法稱為因式分解法．引例：根據(jù)物理學(xué)規(guī)律，如果把一個(gè)物體從地面以10m/s的速度豎直上拋，那么經(jīng)過xs物體離地面的高度(單位：m)為10x-4.9x2.你能根據(jù)上述規(guī)律求出物體經(jīng)過多少秒落回地面嗎(精確到0.01s)?分析：設(shè)物體經(jīng)過xs落回地面，這時(shí)它離地面的高度為0，即10x-4.9x2=0①

解：解：∵a=4.9,b=-10,c=0.

∴

b2－4ac=(－10)2－4×4.9×0

=100.公式法解方程10x-4.9x2=0.配方法解方程10x-4.9x2=0.4.9x2-10x=0.化為一般形式為因式分解如果a·

b=0，那么a=0或b=0.兩個(gè)因式乘積為0，說明什么？或降次，化為兩個(gè)一次方程解兩個(gè)一次方程，得出原方程的根因式分解法是不是很簡單？10x-4.9x2=0①

x(10-4.9x)=0②

x=010-4.9x=0歸納總結(jié)

這種通過因式分解，將一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來求解的方法叫做因式分解法.因式分解法的概念因式分解法的基本步驟一移—方程的右邊=0;二分—方程的左邊因式分解;三化—方程化為兩個(gè)一元一次方程;四解—寫出方程兩個(gè)解;簡記歌訣：右化零左分解兩因式各求解應(yīng)用舉例

解下列方程：(1)5x2=4x；

(2)x(x–2)=x–2.解：(1)原方程可變形為5x2–4x=0，x(5x–4)=0，x=0，或5x–4=0.(2)原方程可變形為x(x–2)–(x–2)=0，(x–2)(x–1)=0，x–2

=0，或x

–1=0.x1

=2，x2=1.例1

用適當(dāng)?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)3x(x＋5)＝5(x＋5)；

(2)3x2＝4x＋1；

(3)5x2＝4x－1.方法指導(dǎo)：解一元二次方程時(shí)，若沒有具體的要求，應(yīng)盡量選擇最簡便的方法去解．能用因式分解法或直接開平方法的，選用因式分解法或直接開平方法；若不能用上述方法，可用公式法求解．在用公式法時(shí)，要先計(jì)算b2－4ac的值，若b2－4ac＜0，則判斷原方程沒有實(shí)數(shù)根．沒有特殊要求時(shí)，一般不用配方法.例2解：(1)原方程可變形為3x(x＋5)－5(x＋5)＝0，(x＋5)(3x－5)＝0，x＋5＝0，或3x－5＝0，∴x1＝－5，x2＝

；

(2)將方程化為一般形式，得3x2－4x－1＝0.這里a＝3，b＝－4，c＝－1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×3×(－1)＝28＞0，∴x＝

＝

＝

，即x1＝

，x2＝

；

(3)將方程化為一般形式，得5x2－4x＋1＝0.這里a＝5，b＝－4，c＝1.∵b2－4ac＝(－4)2－4×5×1＝－4＜0，∴原方程沒有實(shí)數(shù)根．

用適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠蹋?1)（5x+1）2=1；

(2)x2-12x=4.分析：方程一邊以平方形式出現(xiàn)，另一邊是常數(shù)，可直接開平方法.解：開平方，得5x+1=±1.

解得，

x1=0,x2=

分析：二次項(xiàng)的系數(shù)為1，可用配方法來解題較快.解：配方,得

x2-12x+62=4+62,即(x-6)2=40.開平方,得

解得x1=,x2=練一練填一填各種一元二次方程的解法及適用類型.一元二次方程的解法適用的方程類型直接開平方法配方法公式法因式分解x2+px+q=0

（p2-4q≥0）(x+m)2＝n（n≥0）ax2+bx+c=0(a≠0,b2-4ac≥0)(x+m)

（x+n）＝0隨堂練習(xí)用因式分解法解下列方程：

(1)(x+2)(x-4)=0；

(2)4x(2x+1)=3(2x+1).解：(1)x+2=0或x-4=0x1=-2，x2=4.(2)原方程可變形為4x(2x+1)-3(2x+1)=0(2x+1)(4x-3)=02x+1=0或4x-3=0(3)(2x+3)2=4(2x+3)；

(4)2(x-3)2=x2-9.(3)原方程可變形為(2x+3)2-4(2x+3)=0(2x+3)(2x+3-4)=02x+3=0或2x–1=0(4)原方程可變形為2(x-3)2=(x+3)(x-3)2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0(x-3)[2(x-3)-(x+3)]=0(x-3)(x-9)=0x1=3，x2=9.2.一個(gè)數(shù)平方的2倍等于這個(gè)數(shù)的7倍，這個(gè)數(shù)是________.3.解方程x(x+1)=2時(shí)，要先把方程化為___________；再選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼?，得方程的兩根為x1=_____,x2=_____.x2+x–2=0－210或

4．已知三角形的兩邊分別為3和7，第三邊長是方程x(x－7)－10(x－7)＝0的一個(gè)根，求這個(gè)三角形的周長．解：解方程x(x－7)－10(x－7)＝0，得x1＝7，x2＝10.∵當(dāng)x＝10時(shí)，3＋7＝10，不符合三角形的三邊關(guān)系，∴x2＝10不合題意，舍去．∴x＝7，∴這個(gè)三角形的周長為3＋7＋7＝17.5.把小圓形場地的半徑增加5m得到大圓形場地，場地面積增加了一倍，求小圓形場地的半徑．解：設(shè)小圓形場地的半徑為r，根據(jù)題意(r+5)2×π=2r2π