一、定積分應(yīng)用的類(lèi)型1．幾何應(yīng)用

平面圖形的面積特殊立體的體積平面曲線弧長(zhǎng)旋轉(zhuǎn)體的體積平行截面面積為已知立體的體積2．物理應(yīng)用

變力作功水壓力引力二、構(gòu)造微元的基本思想及解題步驟1.構(gòu)造微元的基本思想無(wú)論是幾何應(yīng)用還是物理應(yīng)用通常采用元素法。元素法的實(shí)質(zhì)是局部上“以直代曲”、“以不變代變”、“以均勻變化代不均勻變化”的方法，其“代替”的原則必須是無(wú)窮小量之間的代替。將局部

上所對(duì)應(yīng)的這些微元無(wú)限積累，通過(guò)取極限，把所求的量表示成定積分．2.在求解定積分應(yīng)用問(wèn)題時(shí)，主要有四個(gè)步驟：

①選取適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；三、典型例題1.幾何應(yīng)用定積分的幾何應(yīng)用包括求平面圖形的面積、特殊立體的體積和平面曲線的弧長(zhǎng)。解決這些問(wèn)題的關(guān)鍵是確定面積元素、體積元素和弧長(zhǎng)元素。③在

上求出微元解析式④把所求的量表示成定積分

②確定積分變量和變化范圍；（2）求微元：任取

如果將圖形上方直線的縱坐標(biāo)記為,將圖形下方拋物線的縱坐標(biāo)記為,那么，就是區(qū)間所對(duì)應(yīng)的矩形的面積。因此（3）求定積分：所求的幾何圖形的面積表示為計(jì)算上面的積分得：

【例2】求由擺線,

的一拱與軸所圍成圖形的面積.分析：曲線的方程為參數(shù)方程，圍成圖形如圖所示，設(shè)區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲邊梯形面積為

則面積元素就是在上“以直代曲”

所形成的矩形面積。

如果取

為積分變量,則.解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：選取

為積分變量，(2)求微元：,,那么面積元素就是區(qū)間

所對(duì)應(yīng)的矩形的面積，即.

(3)求定積分：所求的幾何圖形的面積可表示為：【例3】設(shè)由曲線，及圍成平面圖形

繞軸,軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積。分析：此題為求解旋轉(zhuǎn)體體積的問(wèn)題，繞

軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，取為積分變量;繞軸旋轉(zhuǎn)時(shí),取為積分變量。設(shè)區(qū)間對(duì)

或?qū)蛩鶎?duì)應(yīng)的曲邊梯形為

是以直代曲所形成的矩形為則繞

軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋

轉(zhuǎn)體的體積微元就是矩形分別繞

軸、軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.解:(一)求繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積

（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞

軸旋轉(zhuǎn)如圖,旋轉(zhuǎn)體體積元素是對(duì)應(yīng)的矩形繞軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積，即

（2）求微元：對(duì)取為積分變量,則（3）求定積分：繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為計(jì)算積分得：（1）確定積分變量和積分區(qū)間：繞軸旋轉(zhuǎn)如圖,

取為積分變量,則(二)求繞

軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積（2）求微元：對(duì)旋轉(zhuǎn)體的體積元素

是對(duì)應(yīng)的矩形繞

軸所得的旋轉(zhuǎn)體體積,即（3）求定積分：繞軸所得的旋轉(zhuǎn)體的體積表示為

計(jì)算積分得:

【例4】計(jì)算底面是半徑為2的圓，而垂直于底面上一條固定直徑的所有截面都是等邊三角形的立體的體積。分析：此題為平行截面面積為已知的立體的體積。若選擇積分變量為

,如果能求出平面

所截立體的截面面積那么，

所對(duì)應(yīng)的體積元素為.

建立如圖所示的坐標(biāo)系，解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：則底圓方程為

取為積分變量,所以

（2）求微元：因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)的截面為等邊三角形（如圖），其邊長(zhǎng)為高為所以截面積為

因此,對(duì)所對(duì)應(yīng)的體積元素為

（3）求定積分：所求立體的體積為【例6】計(jì)算半立方拋物線了被拋物線

截得的一段弧的長(zhǎng)度。分析：所給定的曲線弧如圖所示。對(duì)把區(qū)間上

所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替，則得到弧長(zhǎng)的微元

的解析式.取積分變量為則取為積分變量,則解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間：計(jì)算兩曲線的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)得(2)求微元：

區(qū)間所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

來(lái)代替,得弧長(zhǎng)元素由于從而(3)求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得【例7】求星形線的全長(zhǎng).分析：曲線為參數(shù)方程，由于星形線關(guān)于

軸都對(duì)稱(chēng)所以只須考慮第一象限中的情況。取參數(shù)

為積分變量，

對(duì)把區(qū)間

上所對(duì)應(yīng)的曲線段長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替,則得到曲線弧長(zhǎng)的微元

的解析式。

解:(1)確定積分變量和積分區(qū)間:取參數(shù)為積分變量,

(2)求微元：把區(qū)間

上所對(duì)應(yīng)的曲線弧長(zhǎng)用切線段長(zhǎng)

代替,得弧長(zhǎng)元微元

(3)求定積分：所求的曲線弧長(zhǎng)可表示成定積分計(jì)算得則所求曲線弧長(zhǎng)為

注：若曲線用極坐標(biāo)的形式表出，也可轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)來(lái)做，但積分時(shí)要注意積分上下限的確定。6.3定積分在物理學(xué)上的應(yīng)用定積分的物理應(yīng)用包括作功、水壓力和引力等問(wèn)題。本節(jié)僅給出作功、水壓力和引力問(wèn)題的例子。重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)應(yīng)用元素法如何確定功元素、水壓力元素和引力元素。特別指出的是，在應(yīng)用定積分解決物理應(yīng)用方面的問(wèn)題時(shí)，選取合適的坐標(biāo)系，有利于積分式的簡(jiǎn)化，從而實(shí)現(xiàn)計(jì)算簡(jiǎn)單。一、變力沿直線所作的功求物體沿直線從a移動(dòng)到b時(shí)，變力F(x)所作的功W由定積分的物理意義變力所作的功功的元素：一個(gè)單求電場(chǎng)力所作的功.解:當(dāng)單位正電荷距離原點(diǎn)r時(shí),由庫(kù)侖定律電場(chǎng)力為則功的元素為所求功為位正電荷沿直線從距離點(diǎn)電荷a處移動(dòng)到b處(a<b),在一個(gè)帶+q電荷所產(chǎn)生的電場(chǎng)作用下,例1.體,求移動(dòng)過(guò)程中氣體壓力所由于氣體的膨脹,把容器中的一個(gè)面積為S的活塞從點(diǎn)a處移動(dòng)到點(diǎn)b

處(如圖),作的功.在底面積為S的圓柱形容器中盛有一定量的氣例2.解:建立坐標(biāo)系如圖.

壓強(qiáng)p與體積V成反比,即功元素為故作用在活塞上的力為所求功為恒溫時(shí),建立坐標(biāo)系如圖.解:例3.設(shè)水的密度為一蓄滿(mǎn)水的圓柱形水桶高為5m,底圓半徑為3m,試問(wèn)要把桶中的水全部吸出需作多少功?x(kN)這薄層水吸出桶外所作的功(功元素)為故所求功為(kJ

)二、水壓力面積為A的平板設(shè)水密度為

在水深h處的壓強(qiáng):當(dāng)平板與水面平行時(shí),當(dāng)平板不與水面平行時(shí),所受壓力因平板上各點(diǎn)處處于不同水深所以壓強(qiáng)不等,從而問(wèn)題就需用積分解決.平板一側(cè)所受的壓力為??小窄條[x,x+dx]上各點(diǎn)的壓強(qiáng)近似為

的液體,

求桶的一個(gè)端面所受的壓力.解:建立坐標(biāo)系如圖.端面圓的故壓力元素端面所受壓力為方程為一水平橫放的半徑為R

的圓桶,內(nèi)盛半桶密度為例4.取x為積分變量,其變化區(qū)間為[0,R]三、引力質(zhì)量分別為的質(zhì)點(diǎn),相距r,二者間的引力:大小:方