北京市東城區(qū)2024-2025學年高三（上）期末數(shù)學試題本試卷共6頁，150分。考試時長120分鐘?？忌鷦毡貙⒋鸢复鹪诖痤}卡上，在試卷上作答無效?？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項。（1）已知集合，，則（A） （B）（C） （D）（2）在復平面內，復數(shù)，則的共軛復數(shù)對應的點的坐標是（A）（B）（C）（D）（3）在平面直角坐標系xOy中，角以Ox為始邊，它的終邊繞著原點逆時針旋轉后與軸的非負半軸重合，則（A） （B）（C） （D）（4）近年來，人工智能快速發(fā)展，AI算法是人工智能的核心技術之一.現(xiàn)有一臺計算機平均每秒可進行次運算，在這臺計算機上運行某個AI算法來生成一個文案需要次運算，則生成這個文案需要的時間約為（本題取）（A）秒 （B）秒（C）秒 （D）秒（5）設等比數(shù)列的公比為，前項和為，使有最小值的一組和可以為（A）， （B），（C），（D）， （6）已知平面向量，，為兩兩不共線的單位向量，則“”是“與共線”的（A）充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C）充要條件 （D）既不充分也不必要條件（7）下列函數(shù)中，使既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（A） （B）（C） （D）（8）在平面直角坐標系中，整點是指橫、縱坐標都是整數(shù)的點.已知一個圓經(jīng)過，，三點，則該圓經(jīng)過的整點共有（A）個 （B）個（C）個 （D）個（9）如圖，在棱長為6的正四面體中，以為頂點的圓錐在正四面體的內部（含表面），則該圓錐體積的最大值為（A） （B） （C） （D）（10）已知.用表示中的最大值，設.若函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為（A）（B）（C）（D）第二部分（非選擇題共110分）二、填空題5小題，每小題5分，共25分．（11）函數(shù)的定義域為.（12）在的展開式中，的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）（13）寫出一個焦點在軸上且離心率為的雙曲線的標準方程：.（14）大衍數(shù)列來源于《乾坤譜》，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理.大衍數(shù)列中，對于，數(shù)列，，是公差為的等差數(shù)列，且也是等差數(shù)列.已知，，，則_________；的前9項和等于_______.（15）已知非空數(shù)集,滿足：（=1\*romani），有；（=2\*romanii），，有；（=3\*romaniii）且，有，則稱是的“理想子集”.給出下列四個結論：=1\*GB3①若,則是的“理想子集”；=2\*GB3②若是的“理想子集”，且存在非零實數(shù)，則；=3\*GB3③若，是的“理想子集”，則也是的“理想子集”；=4\*GB3④若，是的“理想子集”，則也是的“理想子集”.其中所有正確結論的序號是______________．解答題共6小題，共85分。解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程。（16）（本小題13分）在△ABC中，為鈍角，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，再從條件①、條件②、條件③這三個條件中選擇一個作為已知，使得△ABC存在，求．條件①：；條件②：；條件③：△ABC的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問得0分；如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個解答計分．（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，側面與底面垂直，△為正三角形，底面為菱形，，，分別為棱，的中點．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求直線與平面所成角的正弦值．（18）（本小題13分）某甜品店打算推出三款新品，在前期市場調研時，將顧客按照年齡分為青少年組、中年組和老年組.隨機調查了200名顧客對這三款新品的購買意愿，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下（單位：人）：青少年組中年組老年組愿意不愿意愿意不愿意愿意不愿意第一款402080202020第二款303060403010第三款501080201030假設顧客購買的意愿相互獨立.用頻率來估計概率.（Ⅰ）從顧客中隨機抽取1人，估計該名顧客愿意購買第一款新品的概率；（Ⅱ）從三個不同年齡組的顧客中各隨機抽取1人，記為這3人中愿意購買第二款新品的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；（Ⅲ）用“”表示顧客愿意購買第款新品，“”表示顧客不愿意購買第款新品．直接寫出方差，，的大小關系．（19）（本小題15分）設函數(shù)．（Ⅰ）求曲線在點處的切線方程；（Ⅱ）求的極值點個數(shù)；（Ⅲ）若時，，求的取值范圍．（20）（本小題15分）已知橢圓的一個頂點為，且焦距為2.為第一象限內上的動點，過點作斜率為的直線分別與交于點（均異于點），直線與軸交于點，點為線段的中點，直線與軸交于點．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）當時,求點橫坐標．

（21）（本小題15分）已知有窮正整數(shù)數(shù)列滿足：，且當時，總有.定義數(shù)列,其中，.當時，稱數(shù)列具有性質.（Ⅰ）判斷下列數(shù)列是否具有性質；=1\*GB3①4，3，2，1；=2\*GB3②1，2，3，5，4.（Ⅱ）已知數(shù)列具有性質，求的最小值；（Ⅲ）是否存在數(shù)列具有性質，且？若存在，請找到使最小的一個數(shù)列；若不存在，請說明理由.（考生務必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無效）

參考答案一、選擇題（共10小題，每小題4分，共40分）（1）A （2）D （3）A （4）B（5）B（6）C （7）B （8）D （9）A（10）C二、填空題（共5小題，每小題5分，共25分）（

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） （12）（13）（答案不唯一）（14）12,140（15）=1\*GB3①=2\*GB3②=4\*GB3④ 三、解答題（共6小題，共85分）（16）（共13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，因為，由正弦定理得又因為，所以因為，所以因為，所以．………………7分（Ⅱ）若選條件=1\*GB3①：因為，所以．因為，所以.所以．此時，為鈍角，符合題意．……13分若選條件=3\*GB3③：因為△ABC的面積為，所以.由（=1\*ROMANI）知，所以.由余弦定理得，即.所以.因為為鈍角，所以.此時，為鈍角，符合題意．…13分（17）（共14分）解：（Ⅰ）取的中點，連接.在中，因為分別為的中點，所以且.因為為的中點，底面為菱形，所以且.所以且.所以四邊形為平行四邊形.所以.又因為，，所以平面.………………6分（Ⅱ）連接,.因為為正三角形，所以.因為側面與底面垂直，側面底面,平面，所以底面.所以.由題知為正三角形，為的中點,所以.建立如圖所示的空間直角坐標系.設，則．于是，，，，，，.所以,.設是平面的法向量，則即令，則，.于是．因為，所以.所以直線與平面所成角的正弦值為.…………14分（18）（共13分）解：（Ⅰ）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，在200人中愿意購買第一款新品的人數(shù)為，所以該名顧客愿意購買第一款新品的概率可估計為.………4分（Ⅱ）由題設，的所有可能值為0，1，2，3.根據(jù)題中數(shù)據(jù)，得青少年組的人數(shù)為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.中年組的人數(shù)為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.老年組的人數(shù)為.隨機抽取1人，此人愿意購買第二款新品的概率可估計為，此人不愿意購買第二款新品的概率可估計為.所以可估計為，可估計為，可估計為，可估計為.的分布列為：0123所以.………10分（Ⅲ）.………13分（19）（共15分）解：（Ⅰ）的定義域為，.，．所以曲線在點處的切線方程為，即．………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）知．令，．由知，在區(qū)間上單調遞減，又，則存在唯一，使得．當變化時，的情況如下：↗極大值↘由上表可知，的極值點個數(shù)為1.………………11分（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，且時，.若，則，符合題意；若，則由知.當，且時，，因此，與題設矛盾.綜上，的取值范圍為．………………15分（20）（共15分）解：（Ⅰ）由題意得解得，．所以的方程為．………………5分（Ⅱ）設，，，，.則直線，.由得.所以，故．由得.所以，故．因為為線段中點，所以，故直線．令，則，所以．設直線與軸交于點，因為，，，共線，所以.解得．所以.因為，所以．綜上，點的橫坐標為．………………15分（21）（共15分）解：（Ⅰ）=1\*GB3①4，3，2，1不具有性質；=2\*GB3②1，2，3，5，4具