專題05尺規(guī)作圖與平面幾何結(jié)合題型選題介紹本題型在河南省近五年的中招試卷中考了4次，分別為2021年第23題，2020年第10題，2019年第9題，2018年第9題。該題一般為選擇題型，分值3分，但2021年中招試題中，尺規(guī)作圖融入到幾何探究題型中，增加了試題的難度和閱讀量。本題屬于幾何題型，側(cè)重于對(duì)題意的閱讀理解，難度系數(shù)中等，得分率偏高。本題型一般綜合考查了幾何圖形性質(zhì)和尺規(guī)作圖的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)，一是角平分線的尺規(guī)作圖，而是線段垂直平分線的尺規(guī)作圖。根據(jù)已有的圖像與文字提供的信息，按照以下思維過(guò)程解體：①根據(jù)作圖痕跡理解所考知識(shí)點(diǎn)，明確作的是線段垂直平分線還是角平分線；②熟練掌握應(yīng)用兩種尺規(guī)作圖的性質(zhì)定理；③結(jié)合幾何圖形求解相應(yīng)的量。真題展現(xiàn)2021年河南中招填空題第23題23．（10分）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究用不同方法作一個(gè)角的平分線的討論片段，請(qǐng)仔細(xì)閱讀，并完成相應(yīng)的任務(wù)．小明：如圖1，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）分別作線段CE，DF的垂直平分線l1，l2，交點(diǎn)為P，垂足分別為點(diǎn)G，H；（3）作射線OP，射線OP即為∠AOB的平分線．簡(jiǎn)述理由如下：由作圖知，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，所以Rt△PGO≌Rt△PHO，則∠POG＝∠POH，即射線OP是∠AOB的平分線．小軍：我認(rèn)為小明的作圖方法很有創(chuàng)意，但是太麻煩了，可以改進(jìn)如下，如圖2，（1）分別在射線OA，OB上截取OC＝OD，OE＝OF（點(diǎn)C，E不重合）；（2）連接DE，CF，交點(diǎn)為P；（3）作射線OP．射線OP即為∠AOB的平分線．……任務(wù)：（1）小明得出Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)是⑤（填序號(hào)）．①SSS②SAS③AAS④ASA⑤HL（2）小軍作圖得到的射線OP是∠AOB的平分線嗎？請(qǐng)判斷并說(shuō)明理由．（3）如圖3，已知∠AOB＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在射線OA，OB上，且OE＝OF＝+1．點(diǎn)C，D分別為射線OA，OB上的動(dòng)點(diǎn)，且OC＝OD，連接DE，CF，交點(diǎn)為P，當(dāng)∠CPE＝30°時(shí)，直接寫(xiě)出線段OC的長(zhǎng)．【解析】（1）由作圖得，∠PGO＝∠PHO＝90°，OG＝OH，OP＝OP，可知Rt△PGO≌Rt△PHO的依據(jù)HL；（2）由作圖得，OC＝OC，OE＝OF，再根據(jù)對(duì)頂角相等、公共角等條件可依次證明△DOE≌△COF、△CPE≌△DPF、△OPE≌△OPF，從而得到∠POE＝∠POF，所以O(shè)P是∠AOB的平分線；（3）連接OP，由已知條件可證明∠OPC＝∠OCP＝75°，從而得OP＝OC，再過(guò)點(diǎn)P作OA的垂線構(gòu)造含有特殊角的直角三角形，利用其三邊的特殊關(guān)系求出OC的長(zhǎng)．【解答】解：（1）如圖1，由作圖得，OC＝OD，OE＝OF，PG垂直平分CE，PH垂直平分DF，∴∠PGO＝∠PHO＝90°，∵OE﹣OC＝OF﹣OD，∴CE＝DF，∵CG＝CE，DH＝DF，∴CG＝DH，∴OC+CG＝OD+DH，∴OG＝OH，∵OP＝OP，∴Rt△PGO≌Rt△PHO（HL），故答案為：⑤．（2）射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：如圖2，∵OC＝OD，∠DOE＝∠COF，OE＝OF，∴△DOE≌△COF（SAS），∴∠PEC＝∠PFD，∵∠CPE＝∠DPF，CE＝DF，∴△CPE≌△DPF（AAS），∴PE＝PF，∵OE＝OF，∠PEO＝∠PFO，PE＝PF，∴△OPE≌△OPF（SAS），∴∠POE＝∠POF，即∠POA＝∠POB，∴射線OP是∠AOB的平分線．（3）如圖3，OC＜OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PME＝90°，由（2）得，OP平分∠AOB，∠PEC＝∠PFD，∴∠PEC+30°＝∠PFD+30°，∵∠AOB＝60°，∴∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∵∠CPE＝30°，∴∠OCP＝∠PEC+∠CPE＝∠PEC+30°，∠OPC＝∠PFD+∠POF＝∠PFD+30°，∴∠OCP＝∠OPC＝（180°﹣∠POE）＝×（180°﹣30°）＝75°，∴OC＝OP，∠OPE＝75°+30°＝105°，∴∠OPM＝90°﹣30°＝60°，∴∠MPE＝105°﹣60°＝45°，∴∠MEP＝90°﹣45°＝45°，∴MP＝ME，設(shè)MP＝ME＝m，則OM＝MP?tan60°＝m，由OE＝+1，得m+m＝+1，解得m＝1，∴MP＝ME＝1，∴OP＝2MP＝2，∴OC＝OP＝2；如圖4，OC＞OE，連接OP，作PM⊥OA，則∠PMO＝∠PMC＝90°，同理可得，∠POE＝∠POF＝∠AOB＝30°，∠OEP＝∠OPE＝75°，∠OPM＝60°，∠MPC＝∠MCP＝45°，∴OE＝OP＝+1，∵M(jìn)C＝MP＝OP＝OE＝，∴OM＝MP?tan60°＝×＝，∴OC＝OM+MC＝+＝2+．綜上所述，OC的長(zhǎng)為2或2+．【總結(jié)】此題重點(diǎn)考查角平分線的作法、全等三角形的判定與性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值、解直角三角形、二次根式的化簡(jiǎn)等知識(shí)與方法，根據(jù)三角形全等的判定定理證明三角形全等是解題的關(guān)鍵，解第（3）題需作輔助線構(gòu)造含特殊角的直角三角形，且需要分類討論，求出所有符合條件的值．2020年河南中招填空題第10題10．（3分）如圖，在△ABC中，AB＝BC＝，∠BAC＝30°，分別以點(diǎn)A，C為圓心，AC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，連接DA，DC，則四邊形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．6 D．3【答案】D【解析】連接BD交AC于O，根據(jù)已知條件得到BD垂直平分AC，求得BD⊥AC，AO＝CO，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到∠ACB＝∠BAC＝30°，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到∠DAC＝∠DCA＝60°，求得AD＝CD＝AB＝3，于是得到結(jié)論．【解答】解：連接BD交AC于O，∵AD＝CD，AB＝BC，∴BD垂直平分AC，∴BD⊥AC，AO＝CO，∵AB＝BC，∴∠ACB＝∠BAC＝30°，∵AC＝AD＝CD，∴△ACD是等邊三角形，∴∠DAC＝∠DCA＝60°，∴∠BAD＝∠BCD＝90°，∠ADB＝∠CDB＝30°，∵AB＝BC＝，∴AD＝CD＝AB＝3，∴四邊形ABCD的面積＝2×＝3，故選：D．【總結(jié)】本題考查了含30°角的直角三角形，等腰三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2019年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝4，BC＝3．分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于AC長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)E，作射線BE交AD于點(diǎn)F，交AC于點(diǎn)O．若點(diǎn)O是AC的中點(diǎn)，則CD的長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．3 D．【答案】A【解析】連接FC，根據(jù)基本作圖，可得OE垂直平分AC，由垂直平分線的性質(zhì)得出AF＝FC．再根據(jù)ASA證明△FOA≌△BOC，那么AF＝BC＝3，等量代換得到FC＝AF＝3，利用線段的和差關(guān)系求出FD＝AD﹣AF＝1．然后在直角△FDC中利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)．【解答】解：如圖，連接FC，則AF＝FC．∵AD∥BC，∴∠FAO＝∠BCO．在△FOA與△BOC中，，∴△FOA≌△BOC（ASA），∴AF＝BC＝3，∴FC＝AF＝3，F(xiàn)D＝AD﹣AF＝4﹣3＝1．在△FDC中，∵∠D＝90°，∴CD2+DF2＝FC2，∴CD2+12＝32，∴CD＝2．故選：A．【總結(jié)】本題考查了作圖﹣基本作圖，勾股定理，線段垂直平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，難度適中．求出CF與DF是解題的關(guān)鍵．2018年河南中招填空題第9題9．（3分）如圖，已知?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），點(diǎn)B在x軸正半軸上按以下步驟作圖：①以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)度為半徑作弧，分別交邊OA，OB于點(diǎn)D，E；②分別以點(diǎn)D，E為圓心，大于DE的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧在∠AOB內(nèi)交于點(diǎn)F；③作射線OF，交邊AC于點(diǎn)G，則點(diǎn)G的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，2） B．（，2） C．（3﹣，2） D．（﹣2，2） 【答案】A【解析】依據(jù)勾股定理即可得到Rt△AOH中，AO=，依據(jù)∠AGO=∠AOG，即可得到AG=AO=，進(jìn)而得出HG=﹣1，可得G（﹣1，2）．【解答】解：∵?AOBC的頂點(diǎn)O（0，0），A（﹣1，2），∴AH=1，HO=2，∴Rt△AOH中，AO=，由題可得，OF平分∠AOB，∴∠AOG=∠EOG，又∵AG∥OE，∴∠AGO=∠EOG，∴∠AGO=∠AOG，∴AG=AO=，∴HG=﹣1，∴G（﹣1，2），故選：A．【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的作法，勾股定理以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意：求圖形中一些點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，過(guò)已知點(diǎn)向坐標(biāo)軸作垂線，然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．模擬演練1．如圖，在中，，連接，分別以點(diǎn)，為圓心，大于長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)和點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，點(diǎn)恰為的中點(diǎn)，連接，則的長(zhǎng)為A． B．6 C．7 D．【答案】A【解析】如圖，連接，根據(jù)作圖過(guò)程可知：是線段的垂直平分線，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，在中，，，，是等邊三角形，，在中，，，，，，，，．故選：．【總結(jié)】本題主要考查了線段垂直平分線的作法以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意，利用二者性質(zhì)的結(jié)合然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．2．如圖，在中，，分別以點(diǎn)和點(diǎn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于、兩點(diǎn)，作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，連接．若，，則的長(zhǎng)為A． B．2 C．3 D．【答案】B【解析】由作圖過(guò)程可知：是的垂直平分線，，，，，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，是的中位線，，在中，根據(jù)勾股定理，得．答：的長(zhǎng)為2．故選：．【總結(jié)】本題主要考查了線段垂直平分線的作法、勾股定理的應(yīng)用以及直角三角形的相關(guān)性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意，利用幾者性質(zhì)的結(jié)合然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．3．如圖，在平行四邊形中，用直尺和圓規(guī)作的平分線，若，，則的長(zhǎng)是A．15 B．16 C．18 D．20【答案】B【解析】連接，與相交于點(diǎn)，由作圖可知，是的平分線，，，，．四邊形是平行四邊形，，，，，，，，在中，，．故選：．【總結(jié)】本題主要考查了角平分線的作法以及平行四邊形的性質(zhì)的運(yùn)用，解題時(shí)注意，利用二者性質(zhì)的結(jié)合然后求出相關(guān)的線段長(zhǎng)，是解決這類問(wèn)題的基本方法和規(guī)律．4.如圖，在已知的△ABC中，按以下步驟作圖：①分別以B、C為圓心，以大于BC的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N；②作直線MN交AB于點(diǎn)D，連接CD，則下列結(jié)論正確的是（）A.CD+DB=AB B.CD+AD=AB C.CD+AC=AB D.AD+AC=AB【答案】B【解析】作弧后可知MN⊥CB，且CD=DB.【詳解】由題意性質(zhì)可知MN是BC的垂直平分線，則MN⊥CB，且CD=DB，則CD+AD=AB.【點(diǎn)睛】了解中垂線的作圖規(guī)則是解題的關(guān)鍵.5.如圖，在中，．按以下步驟作圖：①以點(diǎn)為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交，于點(diǎn)，；②分別以，為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)交于點(diǎn)；③作射線．若，為邊的中點(diǎn)，為射線上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.3 B. C. D.5【答案】B【解析】由題意得，CG為的角平分線，在CB上截取CA1=CA，可得是等腰直角三角形，繼而得到CG垂直平分AA1，則A1為點(diǎn)A關(guān)于CG的對(duì)稱點(diǎn)，連接A1D，交CG于點(diǎn)E，此時(shí)最小，即A1D的值，利用勾股定理求解即可．【詳解】由題意得，CG為的角平分線，在CB上截取CA1=CA，，是等腰直角三角形，，即CG垂直平分AA1，A1為點(diǎn)A關(guān)于CG的對(duì)稱點(diǎn)，連接A1D，交CG于點(diǎn)E，，此時(shí)最小，即A1D值，，為邊的中點(diǎn)，，，即，故選：B．【總結(jié)】本題考查了角平分線的定義、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．6.如圖，在平行四邊形中，，，．按以下步驟作圖：①以為圓心，以適當(dāng)長(zhǎng)為半徑作弧，交、于、兩點(diǎn)；②分別以、為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)，作射線交于點(diǎn)，交邊于點(diǎn)；則的長(zhǎng)度為（）

A. B. C. D.【答案】A【解析】由作圖知，BP平分∠ABC，根據(jù)角平分線的定義得到∠ABP=∠PBC=60°，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到，AD=BC=8，求得∠APB=∠PBC=60°，推出△ABP是等邊三角形，得到AB=AP=BP=4，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求得，過(guò)A作AG⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于G，根據(jù)勾股定理得到AC的長(zhǎng)，于是得到結(jié)論．【詳解】由作圖知，BP平分∠ABC，∵∠ABC=120°，∴∠ABP=∠PBC=60°，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，AD=BC=8，∴∠APB=∠PBC=60°，∴△ABP是等邊三角形，∴AB=AP=BP=4，∵，∴△AOP∽△COB，∴，過(guò)A作AG⊥BC交CB的延長(zhǎng)線于G，

∴∠AGB=90°，∠ABG=60°，∴BG=AB=2，AG=AB=，∴AC=，∴OC=AC=，故選：A．【總結(jié)】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，角平分線的定義，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．7.如圖，在中，,是的中點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，大于點(diǎn)到的距離為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)，射線分別與，交于點(diǎn)，，若，，則的長(zhǎng)為（）A. B.5 C. D.10【答案】C【解析】由基本作圖可得HE是MN的垂直平分線，可得HE∥CD，可得△BGE∽△BDC，由是的中點(diǎn)可得，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例即可得解.【詳解】解：由基本作圖可得HE是MN的垂直平分線，∴BD⊥HE，∵，∴HE∥CD，∴△BGE∽△BDC，∴，∵是的中點(diǎn)∴∴BG=3，BD=BG+DG=6，在Rt△BDC中，由勾股定理得，，故答案選：C.【總結(jié)】本題考查相似三角形的性質(zhì)和判定，由基本作圖得HE是MN的垂直平分線并證出△BGE∽△BDC是解題的關(guān)鍵.8.如圖所示，中，，，按以下步驟作圖：①以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交BA于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F；②分別以點(diǎn)E，F(xiàn)為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧在內(nèi)相交于點(diǎn)P；③畫(huà)射線BP，交AD于點(diǎn)Q，交對(duì)角線AC于點(diǎn)O．若，則AO的長(zhǎng)度為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由作法得BP平分，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，等量代換可得，繼而可得，由勾股定理可得AC的長(zhǎng)度，由相似三角形的判定及其性質(zhì)可得，代入數(shù)據(jù)求解即可．【詳解】由作法得BP平分，則．∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴△AOQ～△COB，∴，即，解得．故選：C．【總結(jié)】本題考查尺規(guī)作圖-角平分線及其性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定及其性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是正確理解由作法得BP平分，熟練運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．9.如圖所示，矩形ABCD中AB＝3，BC＝4，連接AC，按下列方法作圖：以點(diǎn)C為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交CA、CD于點(diǎn)E、F；分別以點(diǎn)E、F為圓心，大于EF的長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)G；作射線CG交AD于點(diǎn)H，則DH的長(zhǎng)度為（）A. B. C.1 D.【答案】D【解析】過(guò)H點(diǎn)作HM⊥AC于M，得CH平分∠ACD，故HM＝HD，在Rt△ABC中由勾股定理得AC=5，由HL得Rt△CHD≌Rt△CHM，設(shè)HM＝DH＝t，則AH＝4﹣t，在Rt△AHM中，由勾股定理得t2+22＝