專題08三角函數(shù)的應(yīng)用選題介紹本題型屬于河南省中招考試的必考題型，每年解答題中均有體現(xiàn)。本專題整理的三角函數(shù)的應(yīng)用主要是解答題型，所考知識點(diǎn)主要是銳角三角函數(shù)在直角三角形中的應(yīng)用，本題型首先會引入一個(gè)環(huán)境，然后讓學(xué)生通過利用解直角三角型的思想求長度。該題一般為解答題，分值9分，難度系數(shù)中等，得分率偏高。利用三角函數(shù)解直角三角形的解題思路：①找直角三角形（注意找哪些角所在的直角三角形）；②構(gòu)造直角三角形（題目中涉及的角如果在直角三角形中不需構(gòu)造，直接解直角三角形，如果不再則需作垂線構(gòu)造）；③解直角三角形；④設(shè)直角邊為x；（直角三角形中有邊長時(shí)直接求其它邊，沒有邊長時(shí)需要設(shè)x）；⑤利用三角函數(shù)構(gòu)造關(guān)于x的方程。真題展現(xiàn)2022年河南中招填空題第19題開封清明上河園是依照北宋著名畫家張擇端的《清明上河圖》建造的，拂云閣是園內(nèi)最高的建筑。某數(shù)學(xué)小組測量拂云閣DC的高度，如圖，在A處用測角儀測得浮云閣頂端D的仰角兒為34°，沿AC方向前進(jìn)15m到達(dá)B處，又測得拂云閣頂端D的仰角為45°。已知測角儀的高度為1.5m，測量點(diǎn)A、B與拂云閣DC的底部C在同一水平線上，求浮云閣DC的高度。（結(jié)果精確到1m，參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°≈0.83，tan34°≈0.67）.【答案】32m【解析】延長EF交DC與M點(diǎn)，在Rt△DMF、Rt△DME中，利用三角函數(shù)即可解決問題。【詳解】解：如圖所示，延長EF交DC與M點(diǎn)，∠DFM=45°，∠DEM=45°在Rt△DMF中，設(shè)DM=x，∵△DMF為等腰直角三角形，∴DM=MF=x在Rt△DME中，∵EF=15m,∴EM=EF+FM=15+xtan34°=DMME=xx+15∴x≈30.5m∴DC=DM+MC=30.5+1.5=32m答：浮云閣DC的高度為32m.【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，仰俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形。2021年河南中招填空題第19題19．（9分）開鑿于北魏孝文帝年間的龍門石窟是中國石刻藝術(shù)瑰寶，盧舍那佛像是石窟中最大的佛像．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到龍門石窟景區(qū)測量這尊佛像的高度．如圖，他們選取的測量點(diǎn)A與佛像BD的底部D在同一水平線上．已知佛像頭部BC為4m，在A處測得佛像頭頂部B的仰角為45°，頭底部C的仰角為37.5°，求佛像BD的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin37.5°≈0.61，cos37.5°≈0.79，tan37.5°≈0.77）．【答案】17.4m【解析】根據(jù)tan∠DAC＝＝tan37.5°≈0.77，列出方程即可解決問題．【詳解】解：根據(jù)題意可知：∠DAB＝45°，∴BD＝AD，在Rt△ADC中，DC＝BD﹣BC＝（AD﹣4）m，∠DAC＝37.5°，∵tan∠DAC＝，∴tan37.5°＝≈0.77，解得AD≈17.4m，答：佛像的高度約為17.4m．【總結(jié)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣仰角俯角問題，銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題．2020年河南中招填空題第18題18．（9分）位于河南省登封市境內(nèi)的元代觀星臺，是中國現(xiàn)存最早的天文臺，也是世界文化遺產(chǎn)之一．某校數(shù)學(xué)社團(tuán)的同學(xué)們使用卷尺和自制的測角儀測量觀星臺的高度．如圖所示，他們在地面一條水平步道MP上架設(shè)測角儀，先在點(diǎn)M處測得觀星臺最高點(diǎn)A的仰角為22°，然后沿MP方向前進(jìn)16m到達(dá)點(diǎn)N處，測得點(diǎn)A的仰角為45°．測角儀的高度為1.6m．（1）求觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，≈1.41）；（2）“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m．請計(jì)算本次測量結(jié)果的誤差，并提出一條減小誤差的合理化建議．【答案】（1）12.3m；（2）0.3m，減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【解析】（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，于是得到BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，求得CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，得到BE＝16+x，解直角三角形即可得到結(jié)論；（2）建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【詳解】解：（1）過A作AD⊥PM于D，延長BC交AD于E，則四邊形BMNC，四邊形BMDE是矩形，∴BC＝MN＝16m，DE＝CN＝BM＝1.6m，∵∠AED＝90°，∠ACE＝45°，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AE，設(shè)AE＝CE＝x，∴BE＝16+x，∵∠ABE＝22°，∴tan22°＝＝＝0.40，∴x≈10.7（m），∴AD＝10.7+1.6＝12.3（m），答：觀星臺最高點(diǎn)A距離地面的高度約為12.3m；（2）∵“景點(diǎn)簡介”顯示，觀星臺的高度為12.6m，∴本次測量結(jié)果的誤差為12.6﹣12.3＝0.3m，減小誤差的合理化建議為：為了減小誤差可以通過多次測量取平均值的方法．【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣﹣仰角俯角問題，要求學(xué)生能借助仰角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．2019年河南中招填空題第19題19．（9分）數(shù)學(xué)興趣小組到黃河風(fēng)景名勝區(qū)測量炎帝塑像（塑像中高者）的高度．如圖所示，炎帝塑像DE在高55m的小山EC上，在A處測得塑像底部E的仰角為34°，再沿AC方向前進(jìn)21m到達(dá)B處，測得塑像頂部D的仰角為60°，求炎帝塑像DE的高度．（精確到1m．參考數(shù)據(jù)：sin34°≈0.56，cos34°＝0.83，tan34°≈0.67，≈1.73）【答案】51m【解析】由三角函數(shù)求出AC＝≈82.1m，得出BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，由三角函數(shù)得出CD＝BC≈105.7m，即可得出答案．【詳解】解：∵∠ACE＝90°，∠CAE＝34°，CE＝55m，∴tan∠CAE＝，∴AC＝＝≈82.1m，∵AB＝21m，∴BC＝AC﹣AB＝61.1m，在Rt△BCD中，tan60°＝＝，∴CD＝BC≈1.73×61.1≈105.7m，∴DE＝CD﹣EC＝105.7﹣55≈51m，答：炎帝塑像DE的高度約為51m．【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)仰角和俯角構(gòu)造直角三角形，利用三角函數(shù)的知識求解，難度適中．2018年河南中招填空題第20題20．（9分）“高低杠”是女子體操特有的一個(gè)競技項(xiàng)目，其比賽器材由高、低兩根平行杠及若干支架組成，運(yùn)動(dòng)員可根據(jù)自己的身高和習(xí)慣在規(guī)定范圍內(nèi)調(diào)節(jié)高、低兩杠間的距離．某興趣小組根據(jù)高低杠器材的一種截面圖編制了如下數(shù)學(xué)問題，請你解答．如圖所示，底座上A，B兩點(diǎn)間的距離為90cm．低杠上點(diǎn)C到直線AB的距離CE的長為155cm，高杠上點(diǎn)D到直線AB的距離DF的長為234cm，已知低杠的支架AC與直線AB的夾角∠CAE為82.4°，高杠的支架BD與直線AB的夾角∠DBF為80.3°．求高、低杠間的水平距離CH的長．（結(jié)果精確到1cm，參考數(shù)據(jù)sin82.4°≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168，tan80.3°≈5.850）【答案】151cm【解析】利用銳角三角函數(shù)，在Rt△ACE和Rt△DBF中，分別求出AE、BF的長．計(jì)算出EF．通過矩形CEFH得到CH的長．【詳解】解：在Rt△ACE中，∵tan∠CAE=，∴AE==≈≈21（cm）在Rt△DBF中，∵tan∠DBF=，∴BF==≈=40（cm）∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm）∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF∴四邊形CEFH是矩形，∴CH=EF=151cm答：高、低杠間的水平距離CH的長為151cm．【總結(jié)】本題考查了銳角三角函數(shù)解直角三角形．題目難度不大，注意精確度．模擬演練字母型1.黃河全長約5464千米，是中國第二長河．位于鄭州市黃河文化公園東部的黃河灘地公園，集休閑觀光、農(nóng)業(yè)采摘、林間漫步、親子研學(xué)等多項(xiàng)功能，成為省會鄭州的“大氧吧”“后花園”和網(wǎng)紅打卡地．周末，小明一家來到黃河灘地公園游玩，小明想測量某段黃河的寬度．如圖，小明利用自制測角儀，在河岸A處測得對岸C處在南偏東40°方向，沿岸邊向東走100步到達(dá)B處，并測得對岸C處在南偏東30°方向，請根據(jù)以上信息，估算此段黃河的寬度．（結(jié)果精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：一步，）【答案】303.8m【解析】過點(diǎn)C作，垂足為D，設(shè)，分別利用解直角三角形得到AD、BD的長度，根據(jù)，代入求解即可．【詳解】解：過點(diǎn)C作，垂足為D，如解圖所示．由題意，易知，．設(shè)．在中，∴，在中，∵，∵，解得答：此段黃河的寬度約為303.8m．（不同算法，結(jié)果不一樣．誤差范圍內(nèi)即可）【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，準(zhǔn)確理解題意，能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．2.無塔位于河南汝南城南，俗傳冬至正午無塔影，故稱無影塔．某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組到汝南測無影塔的高度．如圖，他們在點(diǎn)D處測得塔頂A的仰角為，沿直線前行23米至點(diǎn)C，在點(diǎn)C處測得塔頂4的仰角為．已如點(diǎn)B，C，D在同一直線上，請依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)求無影塔的商度（結(jié)果精確到．參考數(shù)據(jù)：）．【答案】無影塔的高度約為25.8米．【解析】設(shè)無影塔的高度為x米，先將BD與BC用含x的代數(shù)式表示，再利用三角函數(shù)建立方程，最后求解即可．【詳解】解：設(shè)無影塔的高度為x米，在中，，∴，∵，∴，在中，，∴，∴，解得：，答：無影塔的高度約為25.8米．【總結(jié)】本題考查解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問題，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的應(yīng)用．背靠背型3．如圖，小明在某森林公園的一處觀景臺觀賞垂直而下的瀑布，從點(diǎn)看到瀑布頂端的仰角為，看到瀑布底端的俯角為，若瀑布底有一水潭，點(diǎn)到水潭水平面的距離為，求瀑布頂端到水潭水平面的距離的長．（結(jié)果保留整數(shù)．參考數(shù)據(jù)：，解：如圖，過作，垂足為，則四邊形為矩形，，由題意得：，，，在中，，即，，在中，，，，答：瀑布頂端到水潭水平面的距離的長約為．4.被譽(yù)為“天下第一塔”的開封鐵塔，八角十三層，其設(shè)計(jì)精巧，單是塔磚就有數(shù)十種圖案．鐵塔位于鐵塔公園的東半部，是園內(nèi)重要的文物，也是主要的景點(diǎn)，始建于公元年北宋皇祐元年，是年我國首批公布的國家重點(diǎn)保護(hù)文物之一，素有“天下第一塔”之稱．某數(shù)學(xué)興趣小組開展了“測量開封鐵塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具體過程如下：工具準(zhǔn)備：皮尺，測角儀．方案設(shè)計(jì)：如圖，開封鐵塔垂直于地面，在地面上選取，兩處分別測得和的度數(shù)（在同一條直線上）數(shù)據(jù)收集：通過實(shí)地測量：地面上，兩點(diǎn)的距離為，，．問題解決：（1）求開封鐵塔的高度精確到景點(diǎn)介紹開封鐵塔的高度為米，則計(jì)算結(jié)果的誤差為多少？并說出一條導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因可能是什么？（參考數(shù)據(jù)：，，，）（2）根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請你完成求解過程．【答案】（1）0.92m，皮尺未拉直（答案不唯一）；（2）見解析【解析】（1）設(shè)，先證，則，再由銳角三角函數(shù)定義得，然后由得，解得，即；即開封鐵塔的高度約為；誤差為；導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因可能是：皮尺未拉直；測角儀擺放不平衡等．（2）同（1）．【小問1詳解】解：設(shè)，在中，，，，，在中，，，，，，解得：，即開封鐵塔的高度約為m；，即計(jì)算結(jié)果的誤差為m；導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因可能是：皮尺未拉直；測角儀擺放不平衡等．【小問2詳解】解：設(shè)，在中，，，，，在中，，，，，，解得：，即開封鐵塔的高度約為m；，即計(jì)算結(jié)果的誤差為m；導(dǎo)致計(jì)算結(jié)果產(chǎn)生誤差的原因可能是：皮尺未拉直；測角儀擺放不平衡等．【總結(jié)】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用中仰角俯角問題，熟練掌握仰角俯角的定義是解題的關(guān)鍵．活動(dòng)閱讀型5.嵩岳寺塔位于登封市區(qū)西北6千米嵩山南麓嵩岳寺院內(nèi)，為北魏時(shí)期佛塔．該塔是我國現(xiàn)存最早的磚塔，反映了中外建筑文化交流融合創(chuàng)新的歷程，在結(jié)構(gòu)、造型等方面具有很大價(jià)值，對后世磚塔建筑有著巨大影響．某數(shù)學(xué)興趣小組通過調(diào)查研究把“如何測量嵩岳寺塔的高度”作為一項(xiàng)課題活動(dòng)，他們制訂了測量方案，并利用課余時(shí)間實(shí)地測量．課題測量嵩岳寺塔的高度測量工具測量角度的儀器，皮尺等測量方案在點(diǎn)C處放置高為1.3米的測角儀CD，此時(shí)測得塔頂端A的仰角為45°，再沿BC方向走22米到達(dá)點(diǎn)E處，此時(shí)測得塔頂端A的仰角為32°．說明：點(diǎn)E、C、B三點(diǎn)在同一水平線上．請你根據(jù)表中信息結(jié)合示意圖幫助該數(shù)學(xué)興趣小組求嵩岳寺塔AB的高度．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，）【答案】嵩岳寺塔的高度約為37.2m【解析】如圖所示，延長FD到G與AB交于點(diǎn)G，先證AG=GD，然后設(shè)，則，再由，得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，延長FD到G與AB交于點(diǎn)G，由題意得：，∠AGD=90°，∵∠ADG=45°，∴∠GAD=45°，∴AG=GD，設(shè)，則，∵，∴，解得，∴，∴，∴嵩岳寺塔的高度約為37.2m．【總結(jié)】本題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于能夠根據(jù)題意作出輔助線構(gòu)造直角三角形．6.手機(jī)測距可以測量物體高度、寬度等，這些測距軟件是基于幾何學(xué)原理設(shè)計(jì)的．測量時(shí)只需要輸入身高，再用手機(jī)拍攝功能將準(zhǔn)星對準(zhǔn)物體頂端和底部拍攝圖片，程序就會計(jì)算出物體的高度．某款測距提供的測高模式如下：點(diǎn)都在同一平面內(nèi)，手機(jī)位置為點(diǎn)，待測物體為，且和均與地面垂直．從點(diǎn)處測得頂端的仰角為，底部的俯角為．奮進(jìn)小組的同學(xué)想用上述方式手動(dòng)計(jì)算某景區(qū)宣傳廣告牌的高度．如圖2，經(jīng)過測量得到，仰角，俯角，求出廣告牌的高度（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果精確到0.1）．【答案】3.8m【解析】通過矩形ABCD的性質(zhì)可得AB=ED，通過銳角三角函數(shù)的定義求得AE和CE的長度，進(jìn)而求得CD的長度，即可求得最終結(jié)果．【詳解】解：如答圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)．則．，．∴四邊形是矩形．，．∵在中，，．∵在中，，．．答：廣告牌高度約為．【總結(jié)】本題主要考查了直角三角形中銳角三角函數(shù)的應(yīng)用，掌握三角函數(shù)是解題的關(guān)鍵．垂直構(gòu)造型7．寶輪寺塔中國四大回音建筑之一，位于三門峽市陜州風(fēng)景區(qū)，始建于隋唐時(shí)期，因能發(fā)出“呱呱”的聲音而俗稱“蛤蟆塔”．當(dāng)?shù)啬承?shù)學(xué)實(shí)踐活動(dòng)小組的同學(xué)們一起對該塔的高度進(jìn)行測量．因塔底部無法直接到達(dá)，制定了如下的測量方案：先在該塔正前方廣場地面處測得塔尖的仰角為，因廣場面積有限，無法再向點(diǎn)的正后方移動(dòng)，故操控?zé)o人機(jī)飛到點(diǎn)正上方10米的處測得塔尖的仰角為，，，，四點(diǎn)在同一個(gè)平面內(nèi)，求塔高為多少米．（結(jié)果精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：，，【答案】26.3米【解析】過點(diǎn)作，垂足為，構(gòu)造直角三角形，然后里利用三角函數(shù)進(jìn)行求解?！驹斀狻拷猓哼^點(diǎn)作，垂足為，則四邊形是矩形，米，由題意可知，，再中，由于，，設(shè)米，則米，米，在中，由得，，解得（米，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即米，答：塔高約為26.3米．【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用?仰角俯角問題，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．8.如圖，活動(dòng)課上，小玥想要利用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量某個(gè)建筑地所在山坡AE的高度，她先在山腳下的點(diǎn)E處測得山頂A的仰角是30°，然后，她沿著坡度i=1：1的斜坡按速度20米/分步行15分鐘到達(dá)C處，此時(shí)，測得點(diǎn)A的俯角是15°．圖中點(diǎn)A、B、E、D、C在同一平面內(nèi)，且點(diǎn)D、E、B在同一水平直線上，求出建筑地所在山坡AE的高度AB．（精確到0.1米，參考數(shù)據(jù)：≈1.41）．【答案】建筑地所在山坡AE的高度AB約為105.8米．【解析】作EF⊥AC于點(diǎn)F，RT△CDE中根據(jù)i=1：1知∠CED=∠DCE=45°，RT△CEF中知∠ECF=30°、CE=300米，進(jìn)而可得EF=150米，由∠CEF=60°、∠AEB=30°知∠AEF=45°，在RT△AEF中根據(jù)勾股定理可得AB的長度．【詳解】解：作EF⊥AC于點(diǎn)F，根據(jù)題意，CE=20×15=300米，∵i=1：1，∴tan∠CED=1，∴∠CED=∠DCE=45°，∵∠ECF=90°﹣45°﹣15°=30°，∴EF=CE=150米，∵∠CEF=60°，∠AEB=30°，∴∠AEF=180°﹣45°﹣60°﹣30°=45°，∴AF=EF=150米，∴AE=（米），∴AB=×150≈105.8（米）．答：建筑地所在山坡AE的高度AB約為105.8米．【點(diǎn)睛】考查了仰角和俯角的應(yīng)用，正確作出輔助線構(gòu)造直角三角形，理解解直角三角形的條件是關(guān)鍵．不規(guī)則圖形構(gòu)造直角三角形9.鄭州外國語中學(xué)數(shù)學(xué)興趣小組借助無人機(jī)測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機(jī)在處測得正前方河流的左岸處的俯角為，無人機(jī)沿水平線方向繼續(xù)飛行60米至處，測得正前方河流右岸處的俯角為．線段的長為無人機(jī)距地面的鉛直高度，點(diǎn)、、在同一條直線上．其中，米．（1）求無人機(jī)的飛行高度；（結(jié)果保留根號）（2）求河流的寬度．（結(jié)果精確到1米，參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）米（2）316米【解析】（1）根據(jù)題意可得，從而可得∠ACM＝α，然后在Rt△ACM中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出AM的長，即可解答；（2）過點(diǎn)B作BN⊥DM，