19.2菱形第19章矩形、菱形與正方形第2課時

菱形的判定定理2

2.菱形的判定問題：上一課我們學(xué)習(xí)的菱形的判定方法有哪些？1.定義：有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形.2.定理：四邊相等的四邊形是菱形.復(fù)習(xí)引入菱形的特有性質(zhì)：對角線互相垂直平分對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.能否判定？思考：還有其他的判定方法嗎？做一做：先將一張長方形的紙對折，再對折，然后沿圖中的虛線剪下，將紙展開，就得到了一個菱形.(1)(2)(3)(4)你能說說這樣做的道理嗎?猜想：對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.你能證明這一猜想嗎？我們用一長一短兩根細木條，在它們的中點處固定一個小釘，做成一個可以轉(zhuǎn)動的十字，四周圍上一根橡皮筋，可得到一個平行四邊形.那么轉(zhuǎn)動木條，這個平行四邊形什么時候變成菱形?對此你有什么猜想？對角線互相垂直的平行四邊形是菱形作一條兩條對角線互相垂直的平行四邊形.步驟:1.作兩條互相垂直的直線

m、n，記交點為點

O；2.以點O

為圓心、適當(dāng)長為半徑畫弧，在直線

m，n上分別截取相等的兩組線段

OA、OC和

OB、OD；3.連結(jié)

A、B、C、D四點，顯然，它是一個對角線互相垂直的平行四邊形.nmDCBA畫圖探究思考：所畫平行四邊形是菱形嗎？O證明：∵

四邊形

ABCD是平行四邊形，

∴

OA=OC.

又∵

AC⊥BD，

∴

BD是線段

AC的垂直平分線.

∴

BA=BC.

∴

□ABCD是菱形（菱形的定義）.ABCOD

已知：如圖，四邊形

ABCD是平行四邊形，對角線

AC與

BD相交于點

O

，AC⊥BD.求證：□ABCD是菱形.證一證對角線互相垂直的平行四邊形是菱形.AC⊥BD幾何語言描述：

在

□ABCD中，∵AC⊥BD，∴□ABCD是菱形.ABCD菱形

ABCDABCD□ABCD菱形的判定定理2：歸納總結(jié)思考與動手:1.在一張紙上用尺規(guī)作圖作出邊長為10cm的菱形；2.想辦法用一張長方形紙剪出一個菱形；3.利用長方形紙你還能想到哪些制作菱形的方法？請向同學(xué)們展示你的作品，全班交流.

例4

如圖，□ABCD的兩條對角線

AC、BD

相交于點

O，AB=5，AO=4，BO=3.

求證：四邊形

ABCD是菱形.ABCDO又∵四邊形

ABCD是平行四邊形，∵

OA=4，OB=3，AB=5，證明：即

AC⊥BD.∴

AB2=OA2+OB2.∴△AOB是直角三角形，典例精析∴四邊形

ABCD是菱形.例4如圖，矩形

ABCD的對角線

AC的垂直平分線與邊

AD、BC分別交于點

E、F，求證：四邊形

AFCE是菱形.

ABCDEFO12證明：∵四邊形

ABCD是矩形，

∴

AE∥FC，∴∠1=∠2.

∵

EF垂直平分

AC，

∴

AO=OC.

又∠AOE=∠COF，

∴△AOE≌△COF.∴EO=FO.

∴

四邊形

AFCE是平行四邊形.

又∵

EF⊥AC，∴四邊形

AFCE是菱形.練一練在四邊形

ABCD

中，對角線

AC，BD

互相平分，若添加一個條件使得四邊形

ABCD

是菱形，則這個條件可以是

（

）A．∠ABC

=

90°B．AC⊥BDC．AB

=

CDD．AB∥CDB練一練如圖，在

□ABCD

中，AC

平分∠DAB，AB

=

2，求

□ABCD

的周長.解：在

□ABCD

中，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC=∠ACB，∠BAC=∠ACD.∵

AC

平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC.∴∠DAC=∠ACD.∴

AD

=

CD.∴

平行四邊形

ABCD

為菱形.∴

菱形

ABCD

的周長為4AB=4×2

=

8.菱形的性質(zhì)與判定的綜合運用2.一邊長為13cm的平行四邊形的兩條對角線的長分別為24cm和10cm，則其面積為

cm2.

1201.判斷下列說法是否正確：(1)對角線互相垂直的四邊形是菱形；(2)對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形；(3)對角線互相垂直，且有一組鄰邊相等的

四邊形是菱形；(4)兩條鄰邊相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形．√

╳

╳

╳

3.如圖，將△ABC沿BC方向平移得到△DCE，連結(jié)

AD，增加下列條件能夠判定四邊形ACED為菱形的是（）A．AB

=

BC

B．AC

=

BC

C．∠B

=

60°

D．∠ACB

=

60°

B解析：∵

將△ABC

沿

BC

方向平移得到△DCE，∴

AC∥DE，AC=DE.∴

四邊形

ACED

為平行四邊形.當(dāng)

AC

=

BC

時，平行四邊形

ACED

是菱形．故選

B．4.如圖，在平行四邊形

ABCD

中，AC=

6，BD=8，AD=5.求

AB

的長.解:∵四邊形

ABCD為平行四邊形，∴△DAO是直角三角形.∴∠DOA=90°，即DB⊥AC.∴平行四邊形

ABCD是菱形.（對角線互相垂直的平行四邊形是菱形）∴又∵AD=5，滿足∴AB=AD=

5.BCADOEMN證明：∵MN是

AC的垂直平分線，∴AE=CE，AD=CD，OA=OC，∠AOD=∠EOC=90°.∵CE∥AB，∴∠DAO=∠ECO.∴△ADO≌△CEO(A.S.A.).∴AD=CE.∴四邊形

ADCE是平行四邊形.又∵DE⊥AC，∴四邊形

ADCE是菱形.

5.如圖，△ABC中，AC的垂