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導(dǎo)數(shù)三角雙交織，任意存在兩相爭—2025年全國一卷19題目錄1、說原題經(jīng)典重現(xiàn)2、說出處追本溯源3、說考點(diǎn)依標(biāo)靠本4、說解法一題多解5、說改編拓展延伸6、說價值挖掘內(nèi)涵一、說原題經(jīng)典重現(xiàn)2025年全國一卷19題導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)（難題）含參不等式問題三角函數(shù)與導(dǎo)數(shù)結(jié)合任意存在問題函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題二、說出處追本溯源高考真題

源于教材高于教材人教A版選擇性必修第二冊P97第1題人教A版必修第一冊P68例6三、說考點(diǎn)依標(biāo)靠本考察內(nèi)容：三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)運(yùn)算，聚焦單調(diào)性、極值最值以及恒成立能成

立問題。核心素養(yǎng)：數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、直觀想象。四、說解法一題多解

求最值.

三角函數(shù)

求導(dǎo)分析

三角恒等變換四、說解法一題多解思路一

求導(dǎo)分析

和差化積求根

分析單調(diào)性

求最大值

函數(shù)名相同

求導(dǎo)方法一

和差化積優(yōu)點(diǎn)：學(xué)生容易想到邏輯鏈條清晰，符合學(xué)生對函數(shù)最值求解的常規(guī)認(rèn)知缺點(diǎn)：對和差化積公式的記憶要求高0四、說解法一題多解

誘導(dǎo)公式求根

分析單調(diào)性

求最大值

系數(shù)相同

求導(dǎo)方法二

誘導(dǎo)公式思路一

求導(dǎo)分析優(yōu)點(diǎn)：誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)的基礎(chǔ)公式，學(xué)生日常接觸多、記憶難度低于和差化積公式缺點(diǎn)：對誘導(dǎo)公式的靈活運(yùn)用要求高，需準(zhǔn)確判斷導(dǎo)函數(shù)中三角函數(shù)等式對應(yīng)的角度關(guān)系15四、說解法一題多解

思路二

三角恒等變換四、說解法一題多解

換元求導(dǎo)求根

分析單調(diào)性

求最大值

單變量函數(shù)

三角恒等變換思路二

三角恒等變換優(yōu)點(diǎn)：將多變量三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為單變量函數(shù)，降低了函數(shù)復(fù)雜度，后續(xù)求導(dǎo)和分析更直觀缺點(diǎn)：對三角恒等變換的變形技巧要求高，計算量大1/3四、說解法一題多解已知定義域和函數(shù)表達(dá)式，求函數(shù)最大值思路1：求導(dǎo)分析思路2：三角恒等變換方法1：和差化積方法2：誘導(dǎo)公式方法1：倍角公式單變量的函數(shù)問題求導(dǎo)求得函數(shù)的極大值求得函數(shù)的最大值第一題思維導(dǎo)圖四、說解法一題多解

證明

給定參數(shù)

幾何直觀

函數(shù)思想

單位圓定義三角函數(shù)圖象反證法構(gòu)造函數(shù)四、說解法一題多解思路一

單位圓定義方法一

數(shù)形結(jié)合

有重疊部分

恒成立

數(shù)形結(jié)合

畫單位圓四、說解法一題多解思路二

三角函數(shù)圖象方法二

抽屜原理

抽屜原理

區(qū)間有交集

證明結(jié)論優(yōu)點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合，直觀形象缺點(diǎn)：對學(xué)生的知識儲備和綜合運(yùn)用多知識能力要求高1四、說解法一題多解方法三

反證法

先作假設(shè)

建立關(guān)系

推翻假設(shè)

逆向思維

證明結(jié)論優(yōu)點(diǎn)：正難則反，逆向思維降低難度缺點(diǎn)：對邏輯推理的嚴(yán)謹(jǐn)性要求極高3四、說解法一題多解思路三

構(gòu)造函數(shù)方法四

零點(diǎn)存在定理

構(gòu)造函數(shù)

零點(diǎn)存在定理

和差化積

證明結(jié)論優(yōu)點(diǎn)：將不等式問題轉(zhuǎn)化為零點(diǎn)問題，易于理解缺點(diǎn)：函數(shù)構(gòu)造難度過大四、說解法一題多解含參不等式的證明幾何直觀函數(shù)思想思路1：單位圓思路2：三角函數(shù)圖象思路3：構(gòu)造函數(shù)零點(diǎn)存在定理、和差化積、不等式性質(zhì)第二題思維導(dǎo)圖數(shù)形結(jié)合抽屜原理反證法

四、說解法一題多解

求最值

給定參數(shù)

主元思想

前后聯(lián)系

求導(dǎo)分析

先猜后證四、說解法一題多解思路一

求導(dǎo)分析方法一

主元思想

構(gòu)造函數(shù)

求導(dǎo)分析

求極值點(diǎn)多個極值點(diǎn)四、說解法一題多解思路一

求導(dǎo)分析方法一

主元思想

多個極值點(diǎn)

分類討論

構(gòu)造函數(shù)

結(jié)合性質(zhì)研究優(yōu)點(diǎn)：主元思想明確，能將多變量問題轉(zhuǎn)化為單變量問題，降低問題復(fù)雜度缺點(diǎn)：多極值點(diǎn)的分析和分類討論難度極大,計算量過大四、說解法一題多解思路二

先猜后證方法一

前后聯(lián)系前后聯(lián)系，大膽猜想四、說解法一題多解思路二

先猜后證方法一

前后聯(lián)系

前后聯(lián)系

取特殊點(diǎn)

找臨界值

最小值取特殊點(diǎn)優(yōu)點(diǎn)：解題效率高，能利用前面問題的結(jié)論快速鎖定參數(shù)范圍，避免盲目分析缺點(diǎn)：對“前后題關(guān)聯(lián)”的敏感度要求高四、說解法一題多解含參雙重最值問題思路1：主元思想思路2：先猜后證方法1：求導(dǎo)第三題思維導(dǎo)圖

周期性縮小范圍，求導(dǎo)分析函數(shù)極值方法1：前后聯(lián)系方法2：數(shù)形結(jié)合借助第一問猜測臨界值，通過第二問取特殊點(diǎn)五、說變式拓展延伸改編意圖：針對基礎(chǔ)薄弱或剛接觸導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)結(jié)合知識點(diǎn)的學(xué)生，通過簡化數(shù)據(jù)，降低對復(fù)雜三角公式（和差化積）的依賴，聚焦“求導(dǎo)找零點(diǎn)以確定函數(shù)單調(diào)性與最值”這一核心方法，幫助學(xué)生夯實(shí)基礎(chǔ)，建立解題信心，同時關(guān)聯(lián)教材例題，引導(dǎo)學(xué)生重視教材、回歸教材，掌握從教材例題遷移解題思路的能力。改編一：換背景（易）試題價值：將原題的數(shù)據(jù)變小，降低計算量和難度，此時無需使用和差化積公式進(jìn)行化簡，關(guān)鍵在于學(xué)生求導(dǎo)函數(shù)之后能否找到函數(shù)的極值點(diǎn)，突出函數(shù)的本質(zhì)：求導(dǎo)是手段，關(guān)鍵是零點(diǎn)的處理，把握問題本質(zhì)，優(yōu)化運(yùn)算過程，鍛煉學(xué)生對于題干信息的分析轉(zhuǎn)換能力。與人教A版新教材高中數(shù)學(xué)必修第一冊第227頁例9第2題類似，體現(xiàn)教材的示范作用。五、說變式拓展延伸改編二：換結(jié)構(gòu)（稍難）改編意圖：在保留原題“三角函數(shù)與恒成立”核心考點(diǎn)的基礎(chǔ)上，將動態(tài)參數(shù)改為定值，簡化問題變量維度。一方面，引導(dǎo)學(xué)生從“處理動態(tài)參數(shù)”轉(zhuǎn)向“精準(zhǔn)分析三角函數(shù)解集范圍”，深入理解三角函數(shù)的周期性與取值邊界；另一方面，鼓勵學(xué)生嘗試“代數(shù)計算”與“數(shù)形結(jié)合”兩種解題路徑，培養(yǎng)多樣化思維，同時為后續(xù)解決更復(fù)雜的多參數(shù)問題做好能力鋪墊，提升知識遷移與靈活解題的能力。

五、說變式拓展延伸改編三：換條件（難）改編意圖：通過互換“任意”與“存在”的邏輯關(guān)系，打破學(xué)生對“恒成立問題”的思維定式。要求學(xué)生重新梳理“對任意x存在t滿足條件”的邏輯內(nèi)涵，倒逼學(xué)生深入理解邏輯量詞的本質(zhì)區(qū)別，同時綜合運(yùn)用三角函數(shù)周期性、導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性等知識，提升分析復(fù)雜邏輯問題與綜合運(yùn)用多知識點(diǎn)解題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維與創(chuàng)新思維，契合高階思維能力的考查要求。改編價值：題干信息不變，將第（3）問的任意變?yōu)榇嬖?，存在變?yōu)槿我?，考察學(xué)生對任意與存在的恒成立與能成立問題的理解，打破傳統(tǒng)單一知識點(diǎn)考查模式，涉及周期性轉(zhuǎn)化、導(dǎo)數(shù)單調(diào)性判斷及復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)等高階思維。試題突出數(shù)學(xué)問題本質(zhì)，考查創(chuàng)新思維，體現(xiàn)學(xué)科價值，突出探究性、創(chuàng)新性的要求。五、說變式拓展延伸試題推廣六、說價值挖掘內(nèi)涵

（一）現(xiàn)實(shí)背景

諧波疊加數(shù)學(xué)建模最小化合成信號的峰值幅度

數(shù)學(xué)建模

六、說價值挖掘內(nèi)涵（一）現(xiàn)實(shí)背景試題反思1.回歸課標(biāo)教材，強(qiáng)化教考銜接

新高考數(shù)學(xué)日益強(qiáng)調(diào)對基礎(chǔ)知識和核心原理、方法的考查。備考應(yīng)以課標(biāo)為綱、教材為本，做好教學(xué)與考試的銜接。以本題為例，研究三角函數(shù)最值問題，既要掌握導(dǎo)數(shù)等工具分析函數(shù)性質(zhì)，更要深入理解其原始定義和圖象本質(zhì)。2.注重通法本質(zhì)，拓展解題視野

解決三角函數(shù)問題需關(guān)注定義、圖象、對稱性、周期性等要素；處理函數(shù)與導(dǎo)數(shù)問題則聚焦單調(diào)性、極值最值、恒成立問題等核心，并貫穿參變分離、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化化歸等思想方法。教學(xué)中應(yīng)強(qiáng)調(diào)通法和普遍規(guī)律，在拓展解題視野的同時，深入探索數(shù)