2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺：圓的綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

1、如圖，在QO中，為QO的直徑，。為OO上一點(diǎn)，尸是8C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作AC的垂

線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)。.

(1)求證：。尸是O。的切線；

(2)若AC=5,sinZAPC=—f求AP的長(zhǎng).

2、如圖，已知AB是。。的直徑，直線BC與。。相切于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作AD〃0C交。。于點(diǎn)D,

連接CD.

(1)求證：CD是。。的切線.

(2)若4?=4,直徑AB=12,求線段BC的長(zhǎng).

3、如圖，點(diǎn)。在以鉆為直徑的。。上，點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn)，連接AC,BC,AD,BD.過(guò)

點(diǎn)D作/AB交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃.

(1)求證：直線?！ㄊ恰?。的切線；

(2)若:BC=6,求4),的長(zhǎng).

D

B

H

4、如圖，△力比'是。。的內(nèi)接三角形，N8AC=75°,/力80=45°.連接/。并延長(zhǎng)，交。。

于點(diǎn)〃，連接過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，與物的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)反

(1)求證：AD//EC；

(2)若49=12,求線段比的長(zhǎng).

5、如圖，力8是。。的直徑，。是。。上一點(diǎn)，OABC7點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，交如

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡,連結(jié)龍

(1)求證：況是。。的切線;

(2)設(shè)廢'交。。于點(diǎn)凡若DF=2,BC=A+，求線段序的長(zhǎng)；

(3)在(2)的條件下，求陰影部分的面積.

6、如圖，是O。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)(與點(diǎn)力，8不重合)，過(guò)點(diǎn)C作直線PQ,使

得乙ACQ=N4BC.

(1)求證：直線。。是OO的切線.

(2)過(guò)點(diǎn)人作人。，。。于點(diǎn)。，交OO于點(diǎn)石，若OO的半徑為2,sin/D4C=g,求圖中陰影

部分的面積.

7、如圖，在。。中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使CD=CA,且NO=30。.

(1)求證：CO是。。的切線.

(2)分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線，垂足

為點(diǎn)G.求證：CG?=AEBF.

8、如圖，在。。中，點(diǎn)尸為AB的中點(diǎn)，弦AD、PC互相垂直，垂足為M,3C分別與AD、PD

相交于點(diǎn)石、N,連接BD、MN.

(1)求證：N為3七的中點(diǎn).

(2)若。。的半徑為8,AB的度數(shù)為90。，求線段MN的長(zhǎng).

D

9、如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,。為AB邊上的一點(diǎn)，以4)為直徑的交8C于點(diǎn)石，

交AC于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)。作CG_LA3交回于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)〃，過(guò)點(diǎn)￡的弦石尸交45于點(diǎn)Q(EP

不是直徑)，點(diǎn)Q為弦EP的中點(diǎn)，連結(jié)8P,80恰好為。。的切線.

(1)求證：8C是。0的切線.

(2)求證：EF=ED.

(3)若sinZA8C=5，AC=\5,求四邊形C〃QE的面積.

10、如圖，為。。的直徑，四邊形ABCD內(nèi)接于OO,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,。0的切

線A廣交口)的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，切點(diǎn)為A,且NC4P=Z/W。.

(1)求證：AD=CD;

(2)若/W=4,BF=5,求sinNBDC的俏.

11、如圖，48為半圓。的直徑，C為半圓。上一點(diǎn)，與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D,AD

交半圓。于點(diǎn)E.

B

(1)求證：AC平分NDW；

(2)若AE=2DE,試判斷以O(shè),A￡C為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由.

12、如圖，。。是ZAABC的外接圓，A8為直徑，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，且PA=PC=0A8,

連接。。交AC于點(diǎn)。，延長(zhǎng)P。交。。于點(diǎn)b.

⑴.證明：AF=CF：

(2).若tanNABC=2及，證明：Q4是。。的切線；

(3).在⑵的條件下，連接依交。。于點(diǎn)E,連接OE;若BC=2,求。E的長(zhǎng).

13、在中，ZACB=90°,小平分4AC交比'于點(diǎn)0,以。為圓心，％長(zhǎng)為半徑作圓

交火于點(diǎn)〃.

(1)如圖1,求證：AB為。。的切線;

(2)如圖2,力8與。。相切于點(diǎn)E,連接四交勿于點(diǎn)正

①試判斷線段力與四的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若OF:R7=1:2,OC=3,求tanB的值.

14、如圖，在AABC中，NACB=90。，將AABC沿直線AB翻折得到MBD，連接C。交于點(diǎn)M.E

是線段CM上的點(diǎn)，連接8E.尸是岫無(wú)1的外接圓與4)的另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF,BF.

(1)求證：她所是直角三角形；

(2)求證：^BEF^^BCA；

(3)當(dāng)AB=6,BC=〃z時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)石，使得所和AA互相平分，求〃!的值.

備用圖

15、問(wèn)題提出

(1)如圖1,在RtZ\/〃C中，NACB=90。，AOBCN/1W的平分線交團(tuán)于點(diǎn)〃.過(guò)點(diǎn)〃

分別作DELAC,DFLBC.垂足分別為E,F,則圖1中與線段一相等的線段是一CF、DE、

DF,

問(wèn)題探究

(2)如圖2,是半圓。的直徑，AB=8.尸是崩上一點(diǎn)，且m=2⑸，連接仍BP.Z

.4分的平分線交力8于點(diǎn)C,過(guò)點(diǎn)。分別作CELAP.垂足分別為E,F,求線段CF

的長(zhǎng).

問(wèn)題解決

(3)如圖3,是某公園內(nèi)“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)示意圖.已知。。的直徑/必=70/〃，點(diǎn)。

在。。上，且CA=CB.P為AB工一點(diǎn)、,連接以并延長(zhǎng)，交。。于點(diǎn)〃.連接力〃BD.過(guò)點(diǎn)

Q分別作/_L/W，PFIBD,重足分別為反F.按設(shè)計(jì)要求，四邊形必爐內(nèi)部為室內(nèi)活動(dòng)區(qū)，

陰影部分是戶外活動(dòng)區(qū)，圓內(nèi)其余部分為綠化區(qū).設(shè)力，的長(zhǎng)為火(加，陰影部分的面積為

y(扁.

①求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

②按照“少兒活動(dòng)中心”的設(shè)計(jì)要求，發(fā)現(xiàn)當(dāng)力尸的長(zhǎng)度為30m時(shí)，整體布局比較合理.試

求當(dāng)4P=300時(shí).室內(nèi)活動(dòng)區(qū)(四邊形物W)的面積.

c

圖1圖2圖3

參考答案

2021年中考數(shù)學(xué)第三輪壓軸題沖刺：圓的綜合專題復(fù)習(xí)練習(xí)

1、如圖，在0O中，為OO的直徑，C為0O上一點(diǎn)，。是8C的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作AC的垂

線，交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)￡>.

(1)求證：DP是。。的切線;

(2)若AC=5,sinZAPC=-^,求AP的長(zhǎng).

D

【解答】(1)證明：是8c的中點(diǎn),

/.PC=PB,

:.ZPAD=ZPABf

,/OA=OP，

:.ZAPO=ZPAO,

:.ZDAP=ZAPO,

:.AD//OP>

?.尸D_LAD,

:.PD工OP,

.?.O尸是。。的切線；

(2)解：連接8C交OP于E,

?.?/W為0O的直徑，

.-.Z4CB=90°,

?.?/＞是5c的中點(diǎn),

:.OP±BC,CE=BE,

四邊形CD跳是矩形，

:.CD=PE,PD=CE,

\rs

sinAAPC=sinNABC,

AB13

???AC=5,

/.AB=13,

「.60=12,

:.PD=CE=BE=6,

|513

?/OE=-AC=-,OP=-

222f

135

,-.CD=PE=—--=4,

22

.\AD=9,

:.AP=^AD1+PD2=X/92+62=3而.

2、如圖，已知AB是。。的直徑，直線BC與。。相切于點(diǎn)B,過(guò)點(diǎn)A作AD〃OC交。。于點(diǎn)D,

連接CD.

(1)求證：CD是OO的切線.

(2)若AO=4,直徑AB=12,求線段BC的長(zhǎng).

【詳解】(1)如圖，連接0D,則04=05=。。

:.ZDAO=ZADO

QAD//OC

ZDAO=/BOC,ZADO=/DOC

:"BOC=NDOC

v直線BC與。。相切于點(diǎn)B

ZOBC=90°

0D=0B

在MOD和/XCOB中，■/DOC=4B0C

0C=0C

「.△CO。=△C04(SAS)

AODC=ZOBC=9(r

又「0C是。。的半徑

.?.C。是。。的切線；

(2)如圖，連接BD

由圓周角定理得：ZADB=90°

-.Ar>=4,AB=12

：.BD=\lAB2-AD2=\l\22-42=8>/2，O8=；A8=；xl2=6

ZB0C=ZDAB

在AOC3和中，＜

ZOBC=ZADB=90°

:.?SBD

OBBC6BC

—=—，BniIJ-=-7=

ADBD48V2

解得BC=12五.

3、如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的0。上，點(diǎn)。是半圓AB的中點(diǎn)，連接AC,BC,AD,BD.過(guò)

點(diǎn)D作OH〃A3交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃.

(1)求證：直線。〃是。。的切線；

(2)若AB=10,BC=6,求4),8"的長(zhǎng).

【解答】(1)證明：連接OD,

?.?AB為。。的直徑，點(diǎn)。是半圓的中點(diǎn),

ZAOD=-ZAOB=90°

2f

「.NOD"=90。，

:.ODYDH,

.?.直線?！笔?O的切線；

(2)解：連接CD,

?.?AB為。0的直徑，

:.ZADB=ZACB=9^.

?.?點(diǎn)。是半圓反的中點(diǎn)，

AD=DB,

：.AD=DB，

.??M3。是等腰直用三角形，

?AZ?=10,

，AD=10sinZABD=1Osin45°=10x—=5x/2,

2

?"8=10,BC=6,

AC=V102-62=8,

???四邊形A8CD是圓內(nèi)接四邊形，

.?.NC4D+NCW=180°,

?/ZDBH+ZCBD=180°,

:,Z.CAD=ZDBH,

由（1）知NAO0=9O°,ZOBZ）=45°,

Z4CD=45°,

:.NBDH=NOBD=45。，

:.ZACD=ZBDHf

:.^ACD^^BDH,

AC_AD

麗一麗’

85&

??-?=---，

5及BH

解得：BH=-.

4

4、如圖，△力8。是?！ǖ膬?nèi)接三角形，/BAC=75°,/力a=45°.連接4。并延長(zhǎng)，交。。

于點(diǎn)〃，連接BD.過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，與力的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)反

(1)求證：AD//ECx

(2)若/4=12,求線段笈的長(zhǎng).

E

【解答】證明：（1）連接優(yōu);

?.?G5■與。。相切于點(diǎn)C,

：?/OCE=90°,

TN極=45°,

.9.ZMC=90°,

?.?/力。仆/0綾=180°,

A：,AD//EC

(2)如圖，過(guò)點(diǎn)/作"1.星交尾于月

E

???/胡0=75°,N極=45°,

：.ZACB=60°,

???/〃=/力%=60°,

???sinN但霽=泉

12x2

：.AD==8b,

：?0A=0C=4W,

?:AFLEC,NOCE=90°,ZA0C=90°,

???四邊形》先是矩形，

又,：0A=0C,

???四邊形勿尸。是正方形，

:?CF=AF=4?

???/翻9=90°-ZZ?=30o,

，N劭Q180。-90°-30°=60°,

VtanZ^4^=^=V3,

:?EF=aAF=12,

:?CE=CREF=\2+A?

5、如圖，4?是。。的直徑，C是。。上一點(diǎn),ODABC亍點(diǎn)、D,過(guò)點(diǎn)。作。。的切線，交必

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)與連結(jié)應(yīng)：

(1)求證：膜是?！ǖ那芯€；

（2）設(shè)龍交。。于點(diǎn)凡若DF=2,BC=4欄,求線段即的長(zhǎng);

（3）在（2）的條件下，求陰影部分的面積.

【詳解】(1)證明：連接0C,如圖，

V0D1BC,

ACD=BD,

???0E為BC的垂直平分線，

AEB=EC,

AZEBC=ZECB,

VOB=OC,

???ZOBC=ZOCB,

???ZOBC+ZEBC=ZOCB+ZECB,即NOBE=NOCE,

???CE為。。的切線，

Z.OC±CE,

???/OCE=90°,

AZ0BE=90°,

AOB±BE,

???BE與。0相切.

(2)設(shè)。。的半徑為R,則0D=R-DF=R-2,OB=R,

在Rt^OBD中，BD=yBC=2>/3

VOD2+BD2=OB2,

???%一2)2+(26)2=R,解得R=4,

A0D=2,0B=4,

AZ0BD=30°,

AZB0D=60°,

???在RtZXOBE中，NBE0=30°,0E=20B=8,

AEF=0E-0F=8-4=4,

即EF=4；

(3)由NOCD二NOBD=30°和OD_LBC知：ZC0D=ZB0D=60o,

AZB0C=120°,又BC=46，0E=8,

S陰影=S四邊形-S扇形OBC

土2看

=I6g智

6、如圖，A3是的直徑，點(diǎn)。是G）O上一點(diǎn)（與點(diǎn)4，"不重合），過(guò)點(diǎn)C作直線PQ,使

得ZACQ=ZA8C.

（1）求證：直線PQ是。。的切線.

（2）過(guò)點(diǎn)A作AO_LPQ于點(diǎn)。，交0O于點(diǎn)E,若0O的半徑為2,sin/D4C=；,求圖中陰影

部分的面積.

【解答】解：（1）證明：如圖，連接OC,

Q

?.?人“是。。的直徑,

.-.ZAC6=90°,

???Q4=0C,

:.ZCAB=ZACO.

???ZACQ=ZABC,

NCAB+ZABC=ZACO+ZACQ=ZOCQ=90°,即OC_LPQ,

，直線。。是OO的切線.

(2)連接OE,

?/sinZDAC=-,AO_LPQ,

.-.zmc=3()°,ZACD=ar.

又「OA=OE,

.??AAEO為等邊三角形,

.-.Z4OE=60°.

4i影=s礴形―5以60

=S(i^-^OAOEsin600

60不小I…G

=——x2"--x2x2x—

36022

卷一6

，圖中陰影部分的面積為予-6

7、如圖，在。。中，AB為直徑，點(diǎn)C為圓上一點(diǎn)，延長(zhǎng)AB到點(diǎn)D,使CD=CA,且NQ=30。.

c

（1）求證：CO是。。的切線.

（2）分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作直線CD的垂線，垂足分別為E、F兩點(diǎn)，過(guò)C點(diǎn)作AB的垂線，垂足

為點(diǎn)G.求證：CG?=AEBF.

【詳解】解：（1）連接0C,如下圖所示:

VCA=CD,且ND=30°,

???NCAD=ND=30°,

?.?OA=OC,

???ZCAD=ZAC0=30°,

???/COD=NCAD+NAC0=300+30°=60°,

AZ0CD=180°-ZD-ZC0D=180°-30°-60°=90°,

OC±CD,

???CD是。。的切線.

⑵連接BC,如下圖所示：

VZC0B=60°,且OC=OB,

???△OCB為等邊三角形,NCBG=60。，

又CGJ_AD,AZCGB=90°,

???/GCB=NCGB-NCBG=30°,

又/GCD=60°,

???CB是NGCD的角平分線，且BF_LCD,BG±CG,

/.BF=BG,

又BC=BC,

.,.△BCG^ABCF,

???CF=CG.

VZD=30°,AE1ED,ZE=90°,

???/EAD=60°,

又/CAD=30°,

???AC是NEAG角平分線，且CE_LAE,CG±AB

/.CE=CG,

VZE=ZBFC=90°,ZEAC=30°=NBCF,

AAAEC^ACFB,

APCE

：.——=—,BPAEBF=CFCE

CFBFt

乂CE=CG,CF=CG,

:.AEBF=CG2.

8、如圖，在0O中，點(diǎn)。為48的中點(diǎn)，弦4）、PC互相垂直，垂足為v，8c分別與4）、PD

相交于點(diǎn)E、N,連接BD、MN.

（1）求證：N為廉的中點(diǎn).

（2）若。。的半徑為8,的度數(shù)為90。，求線段的長(zhǎng).

D

【解答】(1)證明：????!￡)_L?C,

.?./EMC=90。，

?.?點(diǎn)2為A4的中點(diǎn)，

/.PA=PB,

:,ZADP=ABCP.

?;NCEM=ADEN,

:ZDNE=/EMC=90°=ZDNB,

PA=PB,

:.ABDP=ZADP,

:.ZDEN=ZDBNf

DE=DB，

:.EN=BN,

二./V為跖的中點(diǎn)；

(2)解：連接04,OB,AB.AC,

???AB的度數(shù)為90。,

.?.Z4O"=90°,

\-OA=OB=S,

AB=8x/2,

由(1)同理得：=

?;EN=BN,

「.MN是AA砂的中位線，

:.MN=>AB=40.

2

9、如圖，在RtAABC中，ZACB=90。，。為A3邊上的一點(diǎn)，以40為直徑的OO交于點(diǎn)￡,

交AC于點(diǎn)、F,過(guò)點(diǎn)C作CG_LA8交A4于點(diǎn)G,交AE于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)石的弦樣交A,于點(diǎn)Q(EP

不是直徑)，點(diǎn)。為弦稗的中點(diǎn)，連結(jié)AP,“尸恰好為00的切線.

(1)求證：BC是。。的切線.

(2)求證：EF=ED.

(3)若sinNABC=],AC=\5,求四邊形C77Q石的面積.

【解答】(1)證明：連接OP,

點(diǎn)Q為弦砂的中點(diǎn)，

.?.A"垂直平分樣，

:.PB=BE,

?;OE=()P,()B=OB,

ABEO"BPO(SSS),

:.ZBEO=ZBPC)f

?.?即為。。的切線，

/.ZBPO=90°,

/.ZBEO=90°,

:.OE±BCf

二.6。是OO的切線.

(2)解：?/ZBEO=ZAC^=9(P,

:.AC//OEf

:.ZCAE=ZOEAt

?：OA=OE,

:.AEAO=ZAE().

:.ZCAE=ZEAO,

EF=ED.

(3)解：?:4)為的6)直徑，點(diǎn)。為弦石尸的中點(diǎn),

.'.EPA.AB,

???CG_LA8,

:.CG//EP,

?.?ZACB=NBEO=90°,

:.ACHOE,

:.ZCAE=ZAEOf

?M)A=OE,

：.ZEAQ=ZAEO,

:.ZCAE=ZEAO.

?/ZACE=ZAQE=90°,AE=AEy

.5CE二AAQ￡(A4S),

/.CE=QE，

Z4EC+ZCAE=ZEAQ+ZAHG=90°,

:.NCEH=ZAHG,

?;ZAHG=4CHE,

:.NCHE=/CEH,

:.CH=CE,

CH=EQ,

：.四邊形CHQE是平行四邊形，

?;CH=CE,

四邊形C4QE是菱形，

Af；3

?/sin/ABC=sinZACG=——=-,

AC5

?/AC=15,

:,AG=9f

:.CG=dAC?-AG?=12,

.\AQ=AC=\5,

/.(2G=6,

HQ2=HG2+QG2,

222

:.HQ=(\2-HQ)+6f

解得：HQ=*

...CH=HQ=*

/.四邊形C〃QE的面積=C”?G2=5x6=45.

10、如圖，AB為。。的直徑，四邊形A3CZ)內(nèi)接于(DO,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)E,。。的切

線A廠交8。的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，切點(diǎn)為A,且NC4D=ZAB。.

(1)求證：AD=CD}

(2)若AB=4,BF=5,求sinNBOC的值.

A

【解答】解：（1）證明：?.?NCW=ZABQ,

:.ZACD=ZCADf

:.AD=CD\

(2)?「AF是0。的切線，

.?.NE48=90。，

???AB是。。的直徑，

ZACB=ZADB=ZADF=90°,

/.ZABD+ZBAD=ZBAD+ZFAD=9(r，

.\ZABD=ZFAD,

\-ZABD=ZCAD,

.\ZFAD=ZEAD,

,,,AD=ADt

MLDF^ADE(ASA),

：.AF=AE,DF=DE,

?.?AB=4,BF=5,

AF=yjBF2-AB2=3,

,-.A￡=AF=3,

-S^F=^AI3.AF^I3F.ADf

ABMF4x3_12

AD=

BF~~T~~5

：.DE=ylAE2-AD2=^32-(y)2=1,

7

:.BE=BF-2DE=-,

5

?.?ZAED=ZBEC,Z/U)E=ZBCE=90°,

/.ABEC^MED,

BEBC

「?--=---,

AEAD

,8C=如/生，

AE25

YZBDC二ABAC,

sinZ.BDC=—.

11、如圖，43為半圓0的直徑，C為半圓0上一點(diǎn)，4。與過(guò)點(diǎn)C的切線垂直，垂足為D,AD

交半圓0于點(diǎn)E.

（1）求證：4c平分NZM8；

（2）若AE=2DE,試判斷以O(shè),A,瓦。為頂點(diǎn)的四邊形的形狀，并說(shuō)明理由.

【詳解】解：（1）證明：連接03如下圖所示：

?；CD為圓。的切線,r.Z0CD=90o,

AZD+Z0CD=180°,

???0C〃AD,

???ZDAC=ZACO,

又OC=OA,

AZACO=ZOAC,

AZDAC=ZOAC,

???AC平分NDAB.

(2；四邊形EAOC為菱形，理由如下：

連接EC、BC、E0,過(guò)C點(diǎn)作CH_LAB于H點(diǎn)，如下圖所示,

由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)可知，ZB+ZAEC=180°,

又/AEC+NDEC=180°,

AZDEC=ZB,

又/13+/。\13=90°,

ZDEC+ZDCE=90°,

???ZCAB=ZDCE,

又/CAB=/CAE,

AZDCE=ZCAE,且ND=ND,

AADCE^ADAC,

設(shè)DE=x,則AE=2x,AD=AE+DE=3x,

.CDDE.,、

??K="，--CD-=AD-DE=3x2,

ADCD

:.CD=43x,

在RSACD中，tanZDAC=—=—=—,

AD3x3

/.ZDAC=30°,

AZDA0=2ZDAC=60°,且OA=OE,

AAOAE為等邊三角形，

由同弧所對(duì)的圓周角等于圓心角的一半可知：ZE0C=2ZEAC=60°,

.,.△EOC為等邊三角形，

.e.EA=AO=OE=EC=CO,

即EA=AO=OC=CE,

???四邊形EAOC為菱形.

12、如圖，。。是A8c的外接圓，A8為直徑，點(diǎn)P是。。外一點(diǎn)，且PA=PC=043,

連接P。交4c于點(diǎn)。，延長(zhǎng)P。交。。于點(diǎn)尸.

⑴.證明:AF=CFi

(2).若tan乙43。=2近，證明：是。。的切線；

(3).在⑵的條件下，連接廢交＜3。于點(diǎn)E,連接。E;若BC=2,求OE的長(zhǎng).

【詳解】解：(1)證明：如圖，連接CO,

在△PCO和△PAO中，

CO=AO

,PO=PO,

PA=PC

AAPCO^APAO(SSS),

???/CPONAPO,即PO為NAPC的角平分線，

VPA=PC,

.??CD;AD,PF±AC,

??'AC為00的弦,PF過(guò)圓心0,

??.F為優(yōu)弧AC中點(diǎn)，

?*-AF=CF，

(2)證明：???AB是。。的直密，且弦AB所對(duì)圓周角為/ACB,

/.ZACB=90°,

VtanZABC=2\/2，

/.sinZABC=—,cosNABO!,

33

設(shè)。。的半徑為r,則AB=2r,

.\BC=ABcosZABC=^,AOABsinNABC二生豆，

33

:.OD=ylcO2-CD2=-r,

3

VPA=PC=V2AB,

???PA=PC=2后，

:.PD=yJPA^-AD2=-r,

3

AP0=PD+0D=3r,

/.PA2+AO2=PO2，即PA±0A,

又???0A是。。半徑，

???PA是。。的切線；

2

(3)由(2)可得3C=§〃=2,

:.廠=3,

在RtZkPBA中，PB7P#+A4=,8J+4)=2后,連接AE,可得NAEB=90°,

AZPEA=ZPAB=90°，又NAPE二NAPB,

AAPEA^APAB,

.PE_PA

??PA~PB'

?DC_46

??PE=----r,

3

過(guò)E作EN_LPD于N,過(guò)B作BHJ_PF于H,如圖所示，

AZBCD=ZCDF=ZBHD=90°,

???四邊形BCDH是矩形，

???BH二CD二辿r,

3

2V2

在RtZ\BPH中，sin/BPH=，，二亍“二新，

PB~2回一9

在RtZ\PEN中，sinZBPH=—,AEN=—r,

PE9

PN=yJPE2-EN2=—r

9

8?04

AND=PD-PN=-r——r=-r,

399

在RSNED中，DE=yjND2+EN2=—r,

9

*.*r=3,

/.DE=^^

3

13、在心“tBC中，ZACB=9()\04平分/BAC交BC于點(diǎn)、0,以。為圓心,%長(zhǎng)為半徑作圓

交理于點(diǎn)〃.

(1)如圖1,求證：AB為。。的切線；

(2)如圖2,力夕與0。相切于點(diǎn)E,連接成交物于點(diǎn)E

①試判斷線段力與四的關(guān)系，并說(shuō)明理由.

②若O尸：爪=1:2,OC=3,求tan8的值.

【詳解】解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)。作OG_LAB,垂足為G,

0A平分/BAC交勿于點(diǎn)0,

/.OG=OC,

???點(diǎn)G在。。上，

即AB與GX9相切;

（2）①0A垂直平分CE,理由是：

連接0E,

???也與0O相切于點(diǎn)E,力。與。。相切于點(diǎn)C,

JAE二AC,

VOE=OC,

AOA垂直平分CE；

②OF:FC=1:2,OC=3,

則FO20F,在△OCF中,

。產(chǎn)？+（2。尸『=3?,

解得：OF二主叵，則CF二述，

55

由①得：OAXCE,

則/OCF+NCOF=90°,又N0CF+NACF=90°,

：.ZCOF=ZACF,而/?「0二/40）二90°,

AAOCF^AOAC,

3x/5675

.PCOFCF

即3.丁_丁

'~dA~~OC~~AC

~OA~~T~~AC

解得：AC=6,

???AB與圓0切于點(diǎn)E,

???NBEO90°,AC=AE=6,而/B=NB,

AABEO^ABCA,

.BEOEBO

設(shè)BO=x,BE=y,

y3x

則

3+x6y+6'

6y=9+3x

可得：

6/=3y+18'

x=5

解得：,,即BOW,BE=4,

y=4

OE3

tanB=~BE4

14、如圖，在MBC中,ZACB=9O。,將AABC沿直線AB翻折得到AABZ),連接CD交AB于點(diǎn)、M.E

是線段CM上的點(diǎn)，連接8E.廠是AfiZ比1的外接圓與4)的另一個(gè)交點(diǎn)，連接EF,BF.

(1)求證：的即是直角三角形；

(2)求證：^BEF^ABCA;

(3)當(dāng)AB=6,8C=〃z時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E,使得即和45互相平分，求刖的值.

備用圖

【解答】（1）證明：?;ZEFB=/ZEDB,ZEBF=ZEDFf

NEFB+/EBF=ZEDI3+NEDF=ZADB=90°,

;.NBE尸=90°,

二.Afi石尸是直角三角形.

(2)證明：?.?BC=BD,

NBDC=/BCD,

?."FB=ZEDB，

:.NEFB=NRCD,

?/AC=ADfBC=BD,

.\AB1CD,

.\Z4MC=90o,

ABCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90°,

:.ZBCD=ZCABf

;2BFE=NCAB,

?.?ZACB=NFEB=90°,

:.M3EF^M3CA.

(3)解：設(shè)所交A8于J.連接AE.

?.?￡F與44互相平分，

/.四邊形A/7語(yǔ)是平行四邊形，

.?.NEFA=NFEB=9(甲，^EFLAD,

\'BDVAD,

:.EF//BD,

,;AJ=JB,

:.AF=DF.

..FJ=-BD=—,

22

/.EF=m，

?.AABCSACBM,

:.BC:MB=AB:BC,

6

/.BE:BM=BJ:BE,

in

BE--^=,

?.gEFs^BCA,

ACBC

~EF~~BE

即xl36-m2_m

mm

五

解得機(jī)=26(負(fù)根已經(jīng)舍棄).

15、問(wèn)題提出

(1)如圖1,在Rt△力比中，ZACB=90°,AOBC,N力％的平分線交力8于點(diǎn)〃.過(guò)點(diǎn)〃

分別作DEA.AQDFIBC.垂足分別為E,/，；則圖1中與線段一相等的線段是CF、DE、

DF.

問(wèn)題探究

(2)如圖2,四是半圓。的直徑，/8=8.〃是AS上一點(diǎn)，且麗=2⑸，連接仍BP.Z

.4所的平分線交加于點(diǎn)。，過(guò)點(diǎn)。分別作血/RCFLBP