目錄

一元二次方程................................................................1

配方法......................................................................4

一元二次方程根的判別式.....................................................7

用公式法解一元二次方程....................................................11

因式分解法.................................................................14

一元二次方程的根與系數(shù)的關系..............................................19

關于方案優(yōu)化、增長率問題的應用題..........................................23

關于圖形問題的應用題......................................................27

二十一章綜合訓練..........................................................31

二次函數(shù)...................................................................36

二次函數(shù)y=ax2的圖象和性質.................................................39

二次函數(shù)y=ax2+k的圖象和性質..............................................43

二次函數(shù)y=a(x-h)2和y=a(x-h)2+k的圖象和性質................................50

二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象和性質...........................................54

二次函數(shù)與一元二次方程....................................................59

實際問題與二次函數(shù)⑴......................................................64

實際問題與二次函數(shù)(2)..........................................................................................................68

二十二章綜合訓練..........................................................74

圖形的旋轉.................................................................80

用圖形的旋轉設計圖案......................................................85

中心對稱...................................................................88

中心對稱圖形..............................................................93

關于原點對稱的點的坐標....................................................97

課題學習圖案設計........................................................102

二十三章綜合訓練..........................................................105

圓........................................................................113

垂直于弦的直徑............................................................117

弧、弦、圓心角............................................................122

圓周角....................................................................126

點和圓的位置關系..........................................................132

直線和圓的位置關系........................................................137

切線的判定和性質..........................................................141

正多邊形和圓..............................................................149

弧長和扇形面積............................................................153

圓錐的側面積和全面積.....................................................159

二十四章綜合訓練..........................................................164

隨機事件..................................................................172

概率......................................................................175

用列舉法或列表法求概率...................................................179

用樹狀圖法求概率..........................................................183

用頻率估計概率............................................................187

二十五章綜合訓練..........................................................192

末綜合訓練................................................................196

21.1一元二次方程

一、能力提升

1.方程--2（3心2）+。+1）=0的一般形式是（）

A.X2-5X+5=0B.X2+5X+5=0

C.?+5x-5=0Df+5=0

2.下列是方程+心2=0的解的是（）

A.x=-1B..r=l

C.x=-2D.x=2

3.已知實數(shù)”,〃滿足〃2-3a+i=0,廬3〃+]=o,則關于一元二次方程『-3工+1=o的根的說法

王確的是（）

A.x=aj=b都不是該方程的解

B.x=a是該方程的解不是該方程的解

C.X=4不是該方程的解是該方程的解

D.x=a,x=b都是該方程的解

4.（2021?山東聊城中考）關于x的方程/+4依+23=4的一個解是2則k值為（）

A.2或4B.0或4

C.-2或0D.-2或2

5.已知方程:f+x=），,通x-7f=8f+）2=l,（x-l）（x-2）=0X*=6,其中一元二次方程的個數(shù)

為.

6.中國古代數(shù)學家楊輝的《田畝比數(shù)乘除捷法》中記載:“直田積八百六十四步.只云闊

不及長一十二步，問闊及長各幾步?，，翻譯成數(shù)學問題是:一塊矩形田地的面積為864平方

步,它的寬比長少12步，問它的長與寬各多少步?利用方程思想，設寬為x步則依題意列

方程為.（“步''是非標準計量單位）

7.小剛在寫作業(yè)時.一不小心，方程3/-口『5=0的一次項系數(shù)被墨水蓋住了.但從題目的答

案中，他知道方程的一個解為廣5,請你幫助小剛求出被覆蓋的數(shù).

8.根據(jù)下列問題，列出關于A-的方程.并將其化成以2+bx+c、=03#））的形式.

⑴兩個連續(xù)偶數(shù)的積為168,求較小的偶數(shù)x;

⑵一個直角三角形的兩條直角邊的長的和是20.面積是25,求其中一條直角邊的長x

9.已知關于X的一元二次方程且滿足VH^I+(〃-2)2+|a+〃+c|=0,求滿足

條件的一元二次方程的表達式.

★10.已知a是方程x1-x-\=0的一^1^根，求-/+加2+5021的值.

二、創(chuàng)新應用

★11.某教學資料出現(xiàn)了一道這樣的題目:把方程"-x=2化為一元二次方程的一般形式,

并寫出它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)項.現(xiàn)在把上面的題目改編成下面的兩個小

題,請回答問題：

⑴下列式子中有哪些是方程32?x=2化為一元二次方程的一般形式?.(填序

號)

@V-x-2=0,0-^r+x+2=0,@A2-2x=4,@-,v2+2v+4=0,0V3x2-2V3A-4V3=0.

⑵方程步一=2化為一元二次方程的一般形式后，它的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)和常數(shù)

項之間具有什么關系？

答案

一、能力提升

l.A2,A3.D4,B

5.26.X(A+12)=864

工解設口=〃.

45是關于1的方程3/-辦5=0的一個解.有3x52-54-5=0,解得“14.即被覆蓋的數(shù)是14.

8.解(l)x(.r+2)=168.化成ad+加:+c=0(a/))的形式為W+Zr-168=().

(2)夕(20j)=25,化成ai+bx+cuOla和)的形式為x2-20.v+50=0.

9.分析關鍵是理解算術平方根、完全平方數(shù)和絕對值的意義，即R>0，S-2)220,|a+/升c|、0.

只有使各項都為0時，其和才為0.

(a-1=0,(a=1,

解由疝T+(b-2)2+|a+b+d=0.得物-2=0,解得6=2,

?+b+c=0,(c=-3.

由于。是二次項系數(shù)力是一次項系數(shù),c是常數(shù)項，故所求方程的表達式為W+2「3=0.

10.分析由方程根的定義可知/01=0.利用條件的變形對所求代數(shù)式中的字母逐漸降次,不難求

得最后的結果.

解由方程根的定義知/.4/=0,

從而cT=a+\,cr-a=\,

故-/+2。2+5021

=-a2-a+2a2+5021

=cr-a+5021

=1+5021=5022.

二、創(chuàng)新應用

11.解(I)①②④⑤；

⑵若設它的二次項系數(shù)為則一次項系數(shù)為-2”、常數(shù)項為4如或說:這個方程的二次項系

數(shù)一次項系數(shù),常數(shù)項二I.gMd)).

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1.2.1配方法

一、能力提升

1.若將一元二次方程爐-8工-5=0化成(尤+〃)2/為常數(shù))的形式，則a,b的值分別是

()

A.-4,21B.-4J1C.4,21D.-8,69

2.一元二次方程)，2?)0=0配方后可化為()

A.(y制)IBQ.#]

C?(y+3)WD.(y-廣；

3.一個三角形的兩邊長分別為3和6,第三邊長是方程f-IO"21=O的根廁三角形的周

長為.

4.方程(x-3)2=(5x+2)2的解為.

5.若關于x的一元二次方程加=〃(。/?>0)的兩個根分別是6+1與2〃卜4,則

ab

6.對于4個數(shù)。力定義一種新運算：=〃6c,上述記號就叫做2階行列式.若

cd

x+1x-1

=6,貝Ux二.

1-xx+1

7.用配方法解下列方程：

⑴f+4片4=0;

(2)f+3*18=0;

(3)23-7x+6=0.

★8.試說明:不論m為何值,關于工的方程(〃?2-8〃?+17)/+2〃。+1=0都是一元二次方程.

二、創(chuàng)新應用

★9.有n個方程+2X-8=0;X2_2X2A_8X22=0；……x2+2zir-8/?2=O.

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小莉同學解第1個方程f+2x-8=0的步驟為:“①f+2x=8;②f+2x+l=8+1;③。+1）2=9;

?x+l=±3;@x=l±3;@口=4/2=-2.”

⑴小莉的解法是從步驟開始出現(xiàn)錯誤的；

⑵用配方法解第n個方程＞￥2+2心-8/=0.（用含〃的式子表示方程的根）

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答案

一、能力提升

l.A2.B3.16

4.XI=-^2=7直接開平方.得x-3=±(5x+2),

4O

故.r-3=5x+2或x-3=-5x-2,

解得Xi=?Jj2=1.

46

5.4由題意，得”-%。>0),.工-，歸方程的兩個根互為相反數(shù),〃+1+2〃?-4-0,解得/“-1,則

ayja

元二次方程ad二力(H?0)的兩個根分別是2與-2,

故b,2

6.±V2根據(jù)運算規(guī)則，卜皿-反,

噬mM+Da/

故(x+l)2-(x-l)(l5)=6,解得x=±42.

7.解⑴移項.得/十曲-4,

配方.得f+4x+4=4+4,

即(X+2)2=8,

解得X+2=±2A/I

故x)=-2+2>/2,

乃二2271

⑵移項.得F+3尤=18,

配方,得,/+3%+==18*,即(%十,〕=2

44\2?4

解得那=與

故Xi=3/2=6

⑶原式可化為x2-1=3

配方，得F夕+M-3+和即&丁=2

解得日=4

3

故XI=2^2=-.

8.解因為加:-8〃?+17=(〃?-4)'+1>0,所以不論m為何值，關于x的方程(加-8〃?+17)/+2/〃戈+1=0都

是一元二次方程.

二、創(chuàng)新應用

9.解⑴⑤

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⑵移項，得f+2m=8",

配方，得f+2MX+〃2=8〃2+〃2,(X+〃『二9〃2,

由此可得x+n=±3n,

解得XI=-4〃/2=2〃.

1課時一元二次方程根的判別式

一、能力提升

1.若關于X的方程小6什9=0有實數(shù)根，則攵的取值范圍是()

八.&<1,且厚()B.k<\

C.2W1,且墳)D.ZW1

2.已知直線產不經過第二象限.則關于x的方程aF+2x+1=()實數(shù)解的個數(shù)是()

A.OB.lC.2D.I或2

3.定義運算:/〃☆〃=〃.例如:4☆2=4x2?-4x2-l=7,貝I］方程1☆.r=0的根的情況為

()

A.有兩個不相等的實數(shù)根

B.有兩個相等的實數(shù)根

C.無實數(shù)根

D.只有一個實數(shù)根

4.若關于x的方程『+2?工-1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則攵的取值范圍是()

A.Q-1BQ-1

C.Q1D.kBO

5.已知關于x的一元二次方程2A■2-4X+〃Z-|=0有實數(shù)根.則實數(shù)〃?的取值范圍

是.

6.已知關于r的一元二次方程吹1)f+2x-1=0有兩個不相等的實數(shù)根,則的取值范圍

是.

7.證明不論相為何值，關于x的方程23(4”1)*〃尸-〃『0總有兩個不相等的實數(shù)根.

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★8.已知關于X的方程dF+（2匕l(fā)）x+1=0有兩個實數(shù)根，求上的取值范圍.

9.已知“A3C。的兩邊AB,AD的長是關于x的方程火吟一的兩個實數(shù)根.

⑴當〃?為何值時四邊形ABCD是菱形?求出此時菱形的邊長；

⑵若AB的長為2,則。48co的周長是多少？

二、創(chuàng)新應用

★10.已知關于x的一元二次方程（a-6）f-8x+9=0有實數(shù)根.

⑴求。的最大整數(shù)值；

⑵當。取最大整數(shù)值時，求正-聿、的值.

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答案

一、能力提升

l.D2,D

3.A根據(jù)定義得,v=v2-x-1=0,

,j=/A4ac=(-l)2-4xlx(-l)=5>0,

.?源方程有兩個不相等的實數(shù)根、故選A.

4.D由題意得(案-4>

解得kNO.

由關于x的一元二次方程2T-4A+/M-1=0有實數(shù)根，

知』二(-4)2<x2x(〃?-|)二16-8帆+1220,解得故答案為

6.機>0,且根據(jù)題意.得/〃-1/),且/=22-4(〃?-1)*(-1)>0,解得血>0,且*1.

工證明^-4t/c=[-(4m-1)]2-4x2x(-M2-m)=24m2+1>0,

因此不論m為何值.方程總有兩個不相等的實數(shù)根.

8.解依題意有

(2/C-1)2-4/C2x1>0,

必芋0,

解得k的取值范圍是攵W；,且AM.

9.解(1)因為四邊形ABCQ是菱形，

所以AB=AD.

又A=w2-4(y-=m2-2m+1=(m-1)2,

則當(m-l)2=0.即m=]時,四邊形ABC。是菱形.

把m=]代入W-mx+B—J=0,得r-.v+|=0.

244

1

Xl=X2=-.

即菱形ABC。的邊長是去

(2)把AB=2代入x2加注+?-得22-2/〃+;-；=0,解得

24242

把"3代入X2-"a+?-9=0.得1=0.解得X|=2,X2=1.

22422

.AD=^.°ABCD的周長是2乂(24鄉(xiāng)=5.

二、創(chuàng)新應用

10.解(1)因為關于大的一元二次方程3-6)f-8x+9=0有實數(shù)根，所以a-6#),/=(-8F4x(a-6)x920,

解得W，且"6.

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故。的最大整數(shù)值為7.

(2)因為x是一元二次方程入2-8》+9=0的根，

所以A2-8A=-9.

32X7222

?~=2A--^^=2X-I6A+-=2(A--8X)+-=2X(-9)+-=-—.

X2-8X+11-9+112'。川2\'22

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2課時用公式法解一元二次方程

一、能力提升

1.若關于X的方程加以-4=0（厚0）有解，則解為（）

.-b±y/b2-4<tcnC±Jc2+^ab

A.x=--------Bx二-------

2a2b

--c±Jc2-4abcc±y/h2+4ah

C.x=--------D.x=--------

2b2b

2.已知x=\是一元二次方程（〃>2）『+4『〃72=0的一個根則加的值為（）

A.-I或2B.-1C.2D.0

3.若實數(shù)a,b滿足（。+〃）2+。+力_2=0,貝1］（。+/?）2的值為（）

A.4B.l

C.2或1D.4或1

4.當產時,多項式P2A-3的值等于12.

5.已知^+（c+3）2=0,則關于x的方程ar-x+c=0的兩根分別為.

6.有一張長方形的桌子，長為3m.寬為2m,長方形桌布的面積是桌面面積的2倍.且將桌

布鋪到桌面上時各邊垂下的長度相同，則桌布長為，寬為.

7.若關于x的一元二次方程of+加+c=0中二次項系數(shù)與常數(shù)項之和等于一次項系數(shù)則

方程必有一根為.

8.用公式法解方程：

（l）f+x-l=0;

（2）2X2=1-3X.

★9.已知關于x的方程2^+正10=0的一個根為;，求它的另一個根及k的值.

二、創(chuàng)新應用

★10.初三一數(shù)學興趣小組對關于x的方程（"z+Dx^+i+gb2*1=0提出了下列問題:

⑴是否存在用的值,使方程為一元二次方程。若存在，求出〃?的值.并解此方程：

⑵是否存在m的值，使方程為一元一次方程，若存在，求出〃?的值，并解此方程

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答案

一、能力提升

l.B2.B

3.D把a+Z?看成一個整體.解得a+/?=-2或a+/?=l,所以(“+?的值為4或1.

4.5或-3

5.即=弄2=-1由題意，得依工=0,(c+3>=0,即a=2?=-3.貝IJ加"c=0為2?孑3=0.這里a=2,b=-

l,c=-3,〃-4ac=(-l產-4x2x(-3)=25,得即Xi=^V2=-L

42

6.4m3m臬布的面積為3x2x2=12(nf).設垂下的長度為xm,則(3+2x)(2+2r)=12,解得

1二?負根舍去).

故桌布的長為4m,寬為3m.

7.-1一元二次方程加+隊+c=0(a#))的根有下列基本結論若a+/?+c=0則方程必有一根為1;若

”-〃+c=0.則方程必有一根為-1.

8.解(1)由方程可得a=\,b=\,c=-\,b'-4ac=\+4=5>0,

-1±\^5-1±\^Bn-1+、石-1-V5

占=五丁=—,gP.n=—,x2=—.

⑵整理，得2A2+3『l=0.

tt=2,/>=3,c=-l,/>2-46/c=32-4x2x(-l)=9+8=17>0,

-3±yfl7-3+/17-3+/173a7

.”二^-=即nnA1=^^=—

9.解把x三代入2?+收10=0,得2x,+[10=0,解得仁1.

242

故原方程為Zv-x-10=0.

<7=2,/?=-1,C=-10,

.7>2-4flc=(-l)2-4x2x(-10)=81.

_1±>/81_1±9

-"-V=^F=-?

5c

?制=產=-2.

答:它的另一根為-2#的值為-1.

二、創(chuàng)新應用

10.解⑴存在.

根據(jù)題意.得〃/+1=2,

即"，=1,〃?=士1,

當m=\時.〃i+l=l+1=2和；

當m=-\時，〃?+1=-1+1=0(不合題意,舍去).

當”1=1時.方程為2.『*1=0.解得片=1/2=-/

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因此，該方程是一元二次方程時刖=1,其兩根分別為即=1足=等

⑵存在.

根據(jù)題意.得①〃F+1=1.〃F=(),〃?=0.

當加=0時,(〃?+1)+(〃a2)=2〃7-1=-1邦，

故"1=0滿足題意.

②當1+1=0時M不存在.

③當〃?+1=0.即m=-\時."b2=-3M,

故也滿足題意.

當n1=0時,一元一次方程是x-2x-\=0,解得

當in=-\時,一元一次方程是-3x-l=0,解得％=f.

因此，該方程是一元一次方程時盟=0或〃?=“,并且當w=0時,其根為x=-1;當/〃=-1時,其根為

1

廣號

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1.2.3因式分解法

一、能力提升

L已知關于x的方程f+px+方0的兩根為笛=3足=4則二次三項式_?+px+q可分解為

()

A.(x+3)(x-4)B.(x-3)(x+4i

C.(x+3)(x+4)D.(x-3)(x-4)

2.若分式看言的值為0,則x的值為()

A.1或-1B.-3或1

C.-3D.-3或-1

3.一個正方體的表面展開圖如圖所示,已知正方體相對兩個面上的數(shù)相同.則“★外面上的

數(shù)為()

x+2

x+1

B.1或2

D.2或3

4.用因式分解法解關于x的方程P〃叱7=0時,將左邊分解后有一個因式為文+1則m的

值為

A.7

5.已知關于x的方程/+〃認-2〃2=0的一個根為-1,則關于x的方程入2-6〃八二0的根為()

A.x=2B.x=0

C.xi=2^2=0D.以上答案都不對

6.已知一元二次方程的兩根分別是2和-3,則這個一元二次方程可以是.

7.已知關于K的一元二次方程〃*+5x+〃z2-2〃『0有一個根為0,則m=.

8.對于實數(shù)〃力,我們定義一種運算“※”為:?！?=/_出例如保3=12/X3.若工※4:0,則

x-.

9.用適當?shù)姆椒ń庀铝幸辉畏匠?

(l)(2x+3)(2x-3)=16;(2)3X2-5X+1=0.

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10.小張和小林一起解方程x(3x+2)-6(3x+2)=0.小張將方程左邊分解因式.得(31+2)(上

6)=0,所以31+2=0或x-6=0.方程的兩個解為XI=-|/2=6.小林的解法是這樣的:移項，得

i(3x+2)=6(3x+2),方程兩邊都除以(3x+2),得x=6.

小林說:“我的方法多簡便!”可另一個解心=-|哪里去了？你能解開這個謎嗎？

★11.在因式分解中，有一類形如f+(加+〃)聲"〃?的多項式.其常數(shù)項是兩個因數(shù)的積，而

它的一次項系數(shù)恰是這兩個因數(shù)的和，則我們可以把它分解成

f+(/〃+〃)工+/〃〃=(工+〃?)(4+〃),例如:/+54+6=*+(2+3)工+2'3=(工+2)(工+3);^2-5工-6=/+(1-

6)x+1x(-6)=(x+1)(x-6).

艱據(jù)上面的材料,用因式分解法解下列方程.

(1)X2+3X+2=0;⑵/-右凸=0.

二、創(chuàng)新應用

★12.閱讀下面提供的內容：

已知關于X的方程以2+/?工+。=0(6學0)滿足。+/?+。=0,求證：它的兩根分別是工|=1/2=￡.

a

證明：：x+/7+c=0,.：c=-〃-〃.將其代入aF+Zzr+c：。,得a)r+bx-a-b=0,EP?(A2-1)+b(x-1)=0,(-^-

l)Gzx+a+Z>)=0,.：vi=U2=—=￡.

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⑴請利用上面推導出來的結論.快速求解下列方程：

①5f-4x-1=0R=；

②2X2-3X+1=0,xi=/2=;

③f-(或-l)x-2+或=0R=J2=;

2

?(?-/>)X+(/2-C)X+e-a=O(^O)r￥l=,X2=.

⑵請你寫出3個一元二次方程.使它們都有一個根是r=l.

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答案

一、能力提升

1.B

2.C由題意，得2%：=0,解得x=3注意:分式的值為零的條件是分子等于零且分母不等

(x2-l/0,

于零.

3.D要熟悉正方體的11種展開圖.由題意.得d與3x-2相等,于是有W=3x-2.解得

X[=1yX2-L★=x+1=2或3.

故選D.

4.C由題意可得x+l=0,則x=?l,即方程％2切必7=0有一個解為-1.因此(“尸.〃兇”).7=0.故〃『6.

5.C：寸+/心2/〃=0的一>根為1.：(“尸-">2〃?=0,得〃?二g.二方程.V-6/?LV=0即為解得

J)=2^2=0.

6.如A-2+X-6=0等因為方程的兩根分別是2和3所以滿足(x-2)(_r+3)=0,即x2+x-6=0.

7.2

8.0或4：〃※〃=片-<山”了派4=工24丫=0,解得工=0或x=4.

9.解⑴原方程可變形為謂-9=16.4e二25胃咚解得x=4

即Xi=|^2=-1-

(2):a=3,/>=-5,c=l,

/><4?C=(-5)2-4X3x1=25-12=13,

.5±7T35±舊

?二-2x3=6，

10.解小林忽略了M+2可能為0的情況.等式兩邊不能同時除以一個等于零的整式.

11.解(l)：f+3x+2

=A-2+(I+2)A+1X2

=(X+1)(A+2)=0,

u+l=0或x+2=0.

』=-1/2=2

(2):f-Zt-3

=W+(-3+l)x+lx(-3)

=(X+I)(A-3)=0.

口+1=0或x-3=0.

Ul=-1/2=3.

二、創(chuàng)新應用

12.⑴①1[②1j③1-2+或01胃

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(2)答案不唯一，如4d-5x+l=0,3足2。1=0f_3x+2=0.

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21.2.4一元二次方程的根與系數(shù)的關系

一、能力提升

L若關于x的方程0的兩個根是-2和1,則心的值為（）

A.-8B.8C.16D.-16

2.若.口內是方程『-2"優(yōu)=0的兩個根且X]+X2=1-MM,則的值為（）

A.-1或2B.1或-2

C.-2D.1

3.（2021?四川宜賓中考）若/〃,/?是一元二次方程『+3『9=0的兩個根廁m2+4m+n的值是

（）

A.4B.5C.6D.12

4.已知關于x的方程F（a+如+而-1=0/32是此方程的兩個實數(shù)根.現(xiàn)給出三個結論:①

x\txr,?x\x2<ab\@xl4-據(jù)</+/則正確結論的序號是.

5.在解一元二次方程F+云+c=0時，小明看錯了一次項系數(shù)仇得到的解為笛=2不=3;小

剛看錯了常數(shù)項c,得到的解為用=1m=4.請你寫出正確的一元二次方程.

6.已知X!,X2為方程f+3x+1=0的兩個實數(shù)根.則婢+&門+20=.

7.已知關于x的方程,r+（2k-\）x+k2-\=0有兩個實數(shù)根Mq

⑴求實數(shù)A的取值范圍；

⑵若XI滿足*+W=16+X1X2,求實數(shù)&的值.

★8.若實數(shù)xi足滿足*-3巾+1=0石-3x2+1=0,求產+:的值.

二、創(chuàng)新應用

★9.如圖.菱形ABCD的邊長是5,兩條對角線交于點O,且OA,Ofi的長分別是關于X的方

程x2+（2/n-l）x+w2+3=0的根津m的值.

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答案

一、能力提升

1.C:關于x的方程Zr2+"a+〃=0的兩個根是-2和1,

±=.1n_9

2'2='

.：/??=2,w=-4,

.”*=(-4)2=16.故選C.

2.D即9是方程r-lnix+nr-ni-1=0的兩個根+x2-lmyx\X2=nr-m-1.

'X\+X2=I-X\X2,

.\2m=1-(nr-m-1),fiP〃P+〃?-2=(〃?+2)("b1)=0,解得〃?I=2〃?2=1.由方程r-2mx+nr-m-1=0有實數(shù)

艱.

得4=(-2⑼2?4(M?/M?l)=47n+42。,解得〃口

故m=1.故選D.

3.C:選為f+349=0的實數(shù)根，.笳+3加9=0.

.加+3m=9.

')ii,n為方程f+3x-9=0的兩個根,.："i+〃=-3.

.Jir+4m+n=(m2+3m)+Q〃+〃)=9-3=6.

4.①②/=3+。)2-4(6必-1)="2+爐_2?！?4=(“6)2+4>0,貝110成立；

XIX2=6//?-UVI+X2=a+b,

.LXIM1va4②成立；

*+后=(即+x2)2-2x|X2=3+/?2-2(a〃-1)=a2+/+2>a2+/72故③不成立

5..r-5.r+6=0

6.-1由xg是方程-r+3x+1=0的兩實數(shù)根，

可知x\+x2=-3,xf+3XI+1=0,fiPxi=-3xi-1.

因此婢+8x2+20

=%i-xi+8x2+20

=(-3X|-l)A'i+8X1+20

=-3xf-xi+8x2+20

=9xi+3-%i+8x2+20

=甌+&門+23

=-24+23=-1.

7.解⑴關于x的方程d+(2hl).rHEl=0有兩個實數(shù)根加4/=(2七1六4(六-1)=4+510,解得

上實數(shù)攵的取值范圍為攵W).

(2)關于A-的方程f+(2hlM+F-l=0有兩個實數(shù)根X12R+X2=1-2AHX2=F-1.

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W+詔=（為+”2）2-2￥a2=16+的及,.：（1-2冷2-2（e1）=16+倍-1）,即質4&-12=0,解得k=-2或*=6（不

符合題意.舍去）.故實數(shù)k的值為2

8.解當X#X2時41,也是方程F3X+1=0的兩根，有.V1+X2=3,X|A-2=1.

2

故2+3=x1+x彳=02+肛）2-2肛》2_3-2xl_7

XJX2XjX2x\x21

當XI=M時，原式=1+1=2.

綜上、原式的值是7或2.

二、創(chuàng)新應用

9.分析將直角三角形中的勾股定理、完全平方式的基本變形以及一元二次方程根與系數(shù)的關系

結合起來求解.

解因為0A,08的長是關于x的方程*+（2〃?/）氏+/+3=0的兩個實數(shù)根，所以。4+08=12兒

OAOB=m2+3.

在菱形ABC。中，

OA2+OB2=AB2,

（OA+OB）2-2OAOB=AB2,

即（L2〃?）2.2（"戶+3）=25,

化簡得nr-2m-\5=0.

解得/川=5M2=-3.

而方程有兩實數(shù)根.

則b2-4ac=（2m-1）2-4（/n2+3）>0.

從而可知mW

二4.

因此〃?=5不合題意,舍去.

故m=-3.

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1課時關于方案優(yōu)化、增長率問題的應用題

一、能力提升

1.在一次酒會上，每兩人都只碰一次杯，若一共碰杯55次，則參加酒會的人數(shù)為()

A.9B.10C.llD.12

2.若兩個連續(xù)整數(shù)的積是56,則它們的和是()

A.±15B.15C.-15D.11

3.(2021?廣西貴港中考)某蔬菜種植基地2018年的蔬菜產量為800噸,2020年的蔬菜產量

為968噸，設每年蔬菜產量的年平均增長率都為元則年平均增長率x應滿足的方程為

()

A.800(l㈤2=968B.800(l+工六968

C.968(l-X)2=8OOD.968(l+.r):=800

4.某商場將進價為2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8臺，為了增加銷售

量,商場決定采取適當?shù)慕祪r措施.調查表明:這種冰箱的售價每降低50元,平均每天就能

多售出4臺.商場要想在這種K箱銷售中每天盈利4800元同時又要使百姓得到實惠,每

臺冰箱應降價元.

5.小麗為校合唱隊購買某種服裝時,商店經理給出了如下優(yōu)惠條件,若一次性購買不超過

10件，則單價為80元:若一次性購買多于10件.則每增加1件.購買的所有服裝的單價降

低2元，但單價不得低于50元按此優(yōu)惠條件，小麗一次性購買這種服裝付了1200元.請

問她購買了多少件這種服裝？

6.去年某商店“十一黃金周一進行促銷活動期間，前六天的總營業(yè)額為450萬元，第七天的

營業(yè)額是前六天總營業(yè)額的12%.

⑴求該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額：

(2)去年該商店7月份的營業(yè)額為35()萬元,8、9月份營業(yè)額的月增長率相同，“十一黃金

周”這七天的總營業(yè)額與9月份的營業(yè)額相等.求該商店去年X、9月份營業(yè)額的月增長

率.

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7.某種電腦病毒傳播非?？?若一臺電腦被感染則經過兩輪感染后就會有81臺電腦被

感染.請你用學過的知識分析.每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦?若病毒得不到

有效控制,3輪感染后.被感染的電腦會不會超過700臺？

★8.“低碳生活,綠色出行”，自行車正逐漸成為人們喜愛的交通工具.某運動商城的自行車

哨售量逐月增加、據(jù)統(tǒng)計,該商城1月份銷售自行車64輛.3月份銷售了10()輛.

⑴若該商城前4個月的自行車銷售的月平均增長率相同，則該商城4月份賣出多少輛自

行車？

⑵考慮到自行車需求不斷增加.該商城準備投入3萬元再購進一批兩種規(guī)格的自行車.

已知A型自行車的進價為500元輛.售價為700元刷.B型自行車的進價為1000元刷,

售價為1300元輛.根據(jù)銷售經驗.A型自行車不少于B型自行車的2倍.但不超過B型

自行車的2.8倍.假設所進自行車全部售完，為使利潤最大.該商城應如何進貨？

二、創(chuàng)新應用

★9.某旅行社為吸引市民組團去甲風景區(qū)旅游.推出了如下收費標準:

如果人數(shù)不超過25人，那么

7人均旅游費麗為1000元.

(1(如果人數(shù)超過25人，那么〈湘■

每增加1人，人均旅游費

用降低20元，但人均旅游

費用不得低于700元.

某單位組織員工去甲風景區(qū)旅游.共支付給旅行社旅游費用27000元.請問該單位這次

共有多少員工去甲風景區(qū)旅游？

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答案

一、能力提升

1.C設參加酒會的人數(shù)為X,根據(jù)題意，得》（六1）=55,

整理，得10=0,

解得X1=11盟=-1（）（不合題意，舍去）.

故參加酒會的人數(shù)為11人.

故選C.

2.A設兩個連續(xù)的整數(shù)分別是4-L由題意得x（x+l）=56,解得?=7/2=8.

3.B

4.200設每臺冰箱應降價x元，

艱據(jù)題意得

（8+熱x4）（400-.v）=4800,

解得足=100溫=200.

所以使百姓得到實惠、每臺冰箱應降價200元.

5.解因為80x10=800（元）<1200元，

所以小麗買的服裝數(shù)大于10件.

設她購買了x件這種服裝.根據(jù)題意得耳80-2（六10）］=1200.解得M=20g=30.

因為1200子30=40<50,

所以X2=30不合題意,舍去.

答:她購買了20件這種服裝.

6.解（l）43U+430xl2%=304（萬元）.

答:該商店去年“十一黃金周”這七天的總營業(yè)額為504萬元.

⑵設該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為％

依題意，得350（1+X）2=504,

解得用=0.2=20%/2=-2.2（不合題意，舍去）.

答:該商店去年8、9月份營業(yè)額的月增長率為20%.

7.解設每輪感染中平均每一臺電腦會感染x臺電腦，依題意，得l+x+（l+x）x=81.

（1+X）2=8I.

.r+1=9或x+1=-9.

解得片=842=-10（舍去）.

（1+A）3=（1+8）3=729>700.

答:每輪感染中平均每一臺電腦會感染8臺電腦、3輪感染后,被感染的電腦會超過70（）臺.

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8.解（1）設前4個月自行車銷量的月平均增長率為x,

根據(jù)題意列方程，得64（1+.1）2=100,

解得內=-225%（不合題意.舍去）,總=25%.

100x(1+25%)=125(輛).

答:該商城4月份賣出125輛自行車.

⑵設進B型自行車x輛，則進A型自行車輛

3嗎O:UU‘

根據(jù)題意.得

2后亞爵&W2.8X,

解得1Z54W15,

因為自行車輛數(shù)為整數(shù).

所以I3WXW15.銷售利潤yV=(7GO-5()O)x301300-1000比

整理得VV=-100.v+l2000.

因為W隨著x的增大而減小，

所以當x=I3時，銷售利潤W有最大值，

此時,蛆嚙詈=34,

所以該商城應進A型自行車34輛.B型自行車13輛.

二、創(chuàng)新應用

9.解設該單位這次共有x名員工去甲風景區(qū)旅游.

因為1000x25=2500（X27（XX）,

所以員工人數(shù)一定超過25人.

可得方程［1OOO-2O（x-25）k=270CQ

整理，得P75X+1350=0,

解得鶯=45M=30.

當x=45時,1000-20（.25）=600<?00,故舍去；

當x=30時.1000-20（『25）=900>?00,符合題意.

答:該單位這次共有30名員工去甲風景區(qū)旅游.

2課時關于圖形問題的應用題

一、能力提升

1.如圖.把一塊長為40cm.寬為30cm的矩形硬紙板的四角剪去四個相同的小正方形，然

后把紙板的四邊沿虛線折起，并用膠帶粘好.即可做成一個無蓋紙盒.若該無蓋紙盒的底

面積為600cmL設剪去小正方形的邊長為xcm,則可列方程為（）

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A.(30-2X)(40-A:)=600B.(30-x)(40-x)=600

C.(30-x)(40-2x)=600D.(30-2r)(40-2r)=600

2.如圖.某小區(qū)規(guī)劃在一塊長為30m,寬為20m的長方形空地A8CD上修建三條同樣寬

的通道，使其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種花草.要使每一塊花草地的

面積都為78nR那么通道的寬應設計成多少米?設通道的寬為xm,由題意列得的方程

為

3.若直角三角形的三條邊長為三個連續(xù)偶數(shù)，且面積為24cr?,則此三角形的三條邊長分

別為

4.如圖.若某幼兒園有一面長為16m的墻、計劃用32m長的圍欄靠墻圍成一個面積為

120m2的矩形草坪A8CD則該矩形草坪8C邊的長為

5.如圖.在ZkABC中/8=90°,點P從點A開始沿43邊向點B以1cm/s的速度移動，點Q

從點B開始，沿8c邊向點C以2cm/s的速度移動,如果點P,Q分別從點A,8同時出發(fā).

那么幾秒后APB。的面積等于8cm2?

★6.在一塊長為16m,寬為12m的矩形荒地上.要建造一個花園，要求花園面積是荒地面

積的一半，下面分別是小華與小芳的設計方案.

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我的設計方案：如圖①，矩〕（

形荒地四個角均為兩I'［角我的設計方案：如羽②,其

邊分別是6m,8m的宜角中花園四周小路的寬度均

［三角形.二乂為Im.

小華小芳

（1）同學們都認為小華的方案是正確的，但對小芳的方案是否符合條件有不同意見，你認

為小芳的方案符合條件嗎?若不符合,請用方程的方法說明理由;

⑵你還有其他的設計方案嗎?請在圖③中畫出你所設計的草圖.將花園部分涂上陰影.并

加以說明.

二、創(chuàng)新應用

★7.如圖.在寬為20山,長為32山的矩形地面上修建同樣寬的道路（圖中陰影部分），余下

的部分種上草坪.要使草坪的面積為540m2,求道路的寬.（參考數(shù)據(jù):322=1024,522=2

704,482=2304）

32m

20m

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答案

一、能力提升

1.D

2.f-35x+66=0由題意可知.每一塊小矩形花草地的長都是華m,寬都是當m.

所以可得*X竿二78.

化簡，得?-35A+66=0.

3.6cm.8cm,10cm

4.1?.rn設AC功的長為xm、根據(jù)題章得丫.要=|?。解得r,=l2,r2=20,-9.0>16,

.J：2=20不合題意.舍去.

故該矩形草坪8C邊的長為12m.

5.解設xs后aPB。的面積等于8cm）則;（6-x>2x=8,

解得鶯=242=4.

經檢驗.這兩個解都符合題意.所以點P,Q分別從點A上同時出發(fā).2s或4s后,BQ的面積等于

8cm2.

6.解（1）不符合.

設小路寬度均為xm,根據(jù)題意，得（16-26（12么）二916乂12,解這個方程.得月=22=12.但312

不符合題意，應舍去，

所以工=2.故小芳的方案不符合條件，小路的寬度應為2m.

（2）答案不唯一.例如:

二、創(chuàng)新應用

工解法一由題意轉化為圖①.設道路寬為xm.根據(jù)題意.得（20-x）（32-x）=540,整理得x2-

52x+lOO=O,解得片=50（不合題意，舍去）q=2.故道路寬為2m.

解法二由題意轉化為圖②,設道路寬為xm,根據(jù)題意，得20x32-Q0+32）x+f=540.整理得

52x+100=0,解得M=2Z2=50（不合題意，舍去）.

故道路寬為2m.

國①用②

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二十一章綜合訓練

一、選擇題

1.如果x=4是關于x的一元二次方程的一個根.那么常數(shù)a的值是()

A.2B.-2

C.±2D.V-4

2.一元二次方程(六1/=2的解是()

A.AI=-1-V2,A-2=-1+42

B.xi=1-或K2=1+V2

C.XI=3^2=-1

D.XI=1/2=-3

3.用配方法解方程X2+2A-1=0時，配方結果正確的是()

A.(X+2)2=2

B.(X+1)2=2

C.(X+2)2=3

D.(X+1)2=3

4.一種藥品原價25元每盒.經過兩次降價后16元每盒.設兩次降價的百分率都為工,則x滿足()

A.16(14-2x)=25

B.25(l-21)=16

C.16(1+X)2=25

D.25(1-X)2=I6

5.下列選項中，能使關于x的一元二次方程ar-4x+c=0一定有實數(shù)根的是()

A.?>0B.a=0

C.c>0D.c=0

6.關于x的一元二次方程心+2〃?-l=0的兩個實數(shù)根分別是即心且好+右=7,則(XE)2的值是

()

A.lB.12

C.13D.25

工在正數(shù)范圍內定義一種新運算其運算規(guī)則是“%=23+辦3他,根據(jù)這個規(guī)則,方程x*(x+l)=0的

解是()

A.x=1B.x=1

C.x=-|^x=lD.,r=|或尤=/

8.定義:如果一元二次方程ad+Zu+cRa#))滿足“+〃+c=0,那么我們稱這個方程為''鳳凰''方程.已知

aF+bx+c=Om#))是'同凰'方程.且有兩個相等的實數(shù)根.則下列結論正確的是()

A.?=cB.a=b

C.b=cD.a=b=c

二、填空題

9.若關于x的一元二次方程/+2kC=0有兩個相等的實數(shù)根.則實數(shù)c的值為.

10.如圖，一農戶要建一個矩形雞舍、雞舍的一邊利用長為12m的住房墻.另外三邊用25m長的建筑材

料圍成，為方便進出，在垂直于住房墻的一邊留一個Im寬的門.當所圍矩形雞舍的長為m、

寬為m時、雞舍面積為8Gn?.