小學(xué)奧數(shù)

優(yōu)等生培養(yǎng)教程6級

第1講字典排列法和樹形圖.............................................1

第2講等量代換.........................................................4

第3講角度初識.........................................................7

第4講速算巧算之四則運(yùn)算............................................11

第5講字母表示數(shù)........................................................15

第6講和差倍............................................................18

第7講倒推與圖示........................................................21

第8講方陣...............................................................24

第9講巧填算符...........................................................28

第10講小數(shù)的認(rèn)識........................................................31

第11講平行四邊形與梯形.................................................36

第12講年齡問題.........................................................41

第13講帶余除法初步....................................................44

第14講簡單統(tǒng)計.........................................................47

第15講點(diǎn)線排布..........................................................53

第16講等差數(shù)列初步....................................................57

第17講頁碼問題.........................................................60

第18講標(biāo)數(shù)法............................................................63

第19講圖形計數(shù)初步......................................................67

第20講簡易方程..........................................................71

第21講簡易方程的應(yīng)用..................................................73

第22講路程、速度與時間................................................76

答案與提示...............................................................80

第1講字典排列法和樹形圖

前輔知識：數(shù)數(shù)與比較枚舉法的妙用

本講內(nèi)容：

1.學(xué)會簡單的字典排列法和樹形圖

2.學(xué)習(xí)有序的分類思想。

LI字典排列法和分類枚舉

例)1(1)有超個房間，艾迪和薇兒各住一間，有多少種不同的住法？

(2)有3個房間，艾迪、薇兒和大寬各住一間，有多少種不同的住法？

(3)有3個房間，艾迪和薇兒各住一間，有多少種不同的住法？

分析：住房間的人位置互換后，又拙?種新的住法，有特殊要求時，要優(yōu)先考慮。

例J2(l)用1,2,3三張數(shù)字卡片可以組成多少個不同的三位數(shù)？

(2)用1,2,3三種數(shù)字卡，每種都有足夠數(shù)量，可以組成多少個不同的三位數(shù)？

分析：（1）三張數(shù)字卡片放的位置不同，則組成的三位數(shù)不同，從高位到低位或從低位到高位依次有序選擇每個數(shù)位上放的

數(shù)字卡片。

（2）三種數(shù)字卡片，每種都有足夠多的數(shù)量，相同數(shù)字的卡片可以重復(fù)使用。

練習(xí)1

春游的時候，老師給同學(xué)們準(zhǔn)備了蘋果、香蕉和橘子3種水果，每種都有足夠多個。學(xué)學(xué)想挑3個水果吃，請問：她一共有

多少種選擇？

例）3在某地有四種不同面值的硬幣如圖1T所示，假如你恰有這四種硬幣各1枚。問共能組成多少種不同的錢數(shù)？請你用加

法算式一個一個列舉出來。

r248

圖1-1

分析：選擇硬幣時，沒有先后順序的差別，按所用硬幣數(shù)量從少到多或從多到少的順序有序組成不同的錢數(shù)。

例“小悅、冬冬、阿奇三個人一共有7本課外書，每個人至少有一本。問小悅、冬冬、阿奇分別有幾本課外書?請寫出全

部可能的情況。

分析：將7本書分給三個人，7本書沒有差別，只是每人分得的數(shù)量會有多種情況，可將7拆成三個整數(shù)，每個數(shù)分別對應(yīng)

這三個人每人分得的書的數(shù)量，找出所有可能的情況。

1.2樹形圖

例15—個學(xué)生假期到A,B,C三個城市游覽。他今天在這個城市"明天就到另一個城市。如果他第一天

在A市，第五天又回到A市。問他的游覽路線共有幾種不同的方案？

分析：已知起點(diǎn)和終點(diǎn)以及要選擇的步驟的數(shù)量和每步選擇的要求，可以用樹形圖來枚舉所有的方案。

練習(xí)2

甲、乙、丙3個人傳球。第一次傳球是由甲開始，將球傳給乙或丙……經(jīng)過4次傳球后，球正好回到甲手中。那么?共有

多少種不同的傳球方式？

開放試題

艾迪、薇兒、大寬、加加、減減五個人排隊照相，其中艾迪必須站在正中間，如圖1-2所示，總共有多少種排法？

圖1?2

筆記整理

1?枚舉法：使用各種枚舉法需要注意有條理、不重復(fù)、不遺漏，使人一目了然。

2.字典排列法：從首位開始，按一定的順序（比如從小到大）枚舉第一位，對于每種情況再按從小到大的順序枚舉第二位，

依此類推。

3.運(yùn)用字典排列法一定要能分辨“有次序”和“無次序”的情形。

4.樹形圖：樹形圖法，又叫“枚舉樹”，是借助樹狀結(jié)構(gòu)的分層特征來羅列所有可能的一種方法。

5.利用枚舉樹進(jìn)行枚舉的一般步睇和技巧：

（1）明確條件（2）確定范圍（3）確定次序（4）逐一枚舉

本講鞏占

1小明決定去香山、頤和園、圓明園這三個景點(diǎn)旅游。要走遍這三個景點(diǎn)，他一共有多少種不同的游覽路線？

2用數(shù)字1,2,3,4可以組成多少個各位數(shù)字互不相同的兩位數(shù)？

3用3,7,5三種數(shù)字可以組成多少個不同的兩位數(shù)？

4小李擺攤賣貨，小木偶每個賣1元，大木偶每個賣2元，小李今天一共賣出了5個木偶。小李今天一共賣的淺數(shù)有幾種可

能？

5艾辿、薇兒、大寬3人互相傳球，從艾迪開始第1次傳球，經(jīng)過了4次傳球后，球恰巧乂回到艾迪手中，那么不同的傳球

方式共多少種？

第2講等量代換

前輔知識：我會換一換等式加減法

本講內(nèi)容=

i.通過等式的基本性質(zhì)，對天平的兩端進(jìn)行操作

2.利用代換解決實(shí)際問題，培養(yǎng)學(xué)生的代換思想

21簡單代換

例如圖2T,一只貓相當(dāng)于幾只甲蟲的重量呢？

分析：觀察問題，將問題中沒有提到的動物，逐個用問題中提到的動物替換掉。即可找出貓和甲蟲的關(guān)系。

例12觀察圖2-2,看看誰最重。

圖

圖2-2

分析：根據(jù)問題和圖2-2,找出兔與雞，鳴與鴨的重量關(guān)系v

例）3艾迪的重量等于1只流民仇和1只飛天豬的重量，1只飛天豬的重量等于1只流氓兔和2只唐老鴨

的重量，1只流氓兔的重量等于3只唐老鴨的重量，算一算艾迪的體重與幾只唐老鴨的重量一樣？

分析：列圖文算式，根據(jù)已知條件，找出艾迪的體重與唐老鴨的重量關(guān)系。

例4一大，小東一卜子吃『4大包外加14小包餅十，一共70塊。如果3大包的餅十?dāng)?shù)量和7小包餅十

數(shù)量相同，那么1小包餅干有幾塊？

分析：列圖文算式，找出大包餅干和小包餅干的關(guān)系。

練習(xí)1

如果1個筆記本的價錢等于5塊橡皮的價錢，4個文具盒的價錢等于40塊橡皮的價錢。已知1個筆記本的

價錢是3元，那么購買一個文具盒、一個筆記本、五塊橡皮共需要多少元？

22復(fù)雜代換

例J5博士第一次買回2個籃球和1個排球，用去240元。第二次又買回5個籃球和2個排球，用去570元。問：1個籃球

和1個排球的價格各是多少元？

分析：根據(jù)題意，列圖文算式，抵消掉一種球，使圖文算式中只剩一種球，計算出這種球的價錢。

練習(xí)2

如果魚尾重4千克，魚頭重量等于魚尾加上魚身一半的市量，而魚身重量等于魚頭加魚尾的雨量。問這條魚市多少千克？

開放試題

艾迪和薇兒聯(lián)合辦/個玻璃球制造廠。由于監(jiān)管不嚴(yán)出現(xiàn)劣質(zhì)小球。劣質(zhì)小球質(zhì)量比標(biāo)準(zhǔn)小球質(zhì)量要輕。為「挑出劣質(zhì)小球,

艾迫挑選了8個編號為①一⑧的小球，其中有6個小球重量相同，另外兩個各輕1克。為了挑出這兩個輕球，用天平稱了

三次,結(jié)果如下：

第一次：①+②重于③+④：

第二次：⑤+⑥輕于⑦+⑧；

第三次：①+③輕于⑤+⑦；

你能判斷出劣質(zhì)小球是哪兩個嗎？

艷記整理

等量代換是指用一種量來代替和它相等的另一種量，它是數(shù)學(xué)中一種基本的思想方法，也是代數(shù)思想方法的基礎(chǔ)。等量代換

思想用等式的性質(zhì)來體現(xiàn)就是：

1.等式的傳遞性：如果a二b,b=c，那么a二c。

2.等式的性質(zhì)：（1）等式的兩邊同時加上或減去同一個數(shù)或字母，等式仍成立。

（2）等式的兩邊同時乘或除以相同的數(shù)或字母（0除外）等式仍成立。

本濟(jì)鞏

1圖2-3中，最后一個盤f?里應(yīng)放兒粒玻璃球才能使天平平衡？

2三個原始人在部落里進(jìn)行物品交換。甲：“我想用一頭豬換你10只雞?！币遥骸安恍校抑幌胗?只雞換1張羊皮，別的我

不要。”丙：“羊皮換豬了，3張羊皮換1頭豬。那么請問：甲能不能換到10只雞？

3已知13個李子的重量等十2個蘋果和1個桃子的重量，血4個李子和1個蘋果的重量相等。問多少個李子的重量等寸1

個桃子的重量？

4一天，小東一下子吃了2大包外加17小包餅干，?共35塊。如果3大包的餅干數(shù)目和7小包餅干數(shù)目

相同，那么1小包餅干有幾塊？

5艾迪買水果回來，他買4千克梨和5T?克荔枝，正好花掉了58元。大寬問：“你買的梨和荔枝各多少錢一「?克？”艾迪一

臉神秘地說：“如果我買6千克梨和5千克荔枝，就需要花掉62元。"你知道答案嗎？

第3講角度初識

前輔知識:線、角初識有趣的平面圖形

本講內(nèi)容=

1.消的定義。

2.甭的分類。

3.角度的計算。

4.互余與互補(bǔ)。

3?1角的認(rèn)識

例M判斷對錯

⑴一個飩角減去一個直角，得到的角一定是銳角。（）

（2）一個鈍角流去一個銳角，得到的角不可能還是鈍角。0

（3）25°的角用10倍的放大鏡看就變成7250°0（）

例）2找出圖37中所有的角（只考慮小于平角的角），并將它們表示出來。

分析：按從小到大的順序?qū)⑺薪敲杜e出來。

練習(xí)】

將圖3-2中所有的角表示出來。（只考慮小于平角的角）

3.2簡單的角度計算——互余和互補(bǔ)

例3如圖3-3所示,己知Z4的度數(shù)是ZI度數(shù)的3倍,求Z1,Z2,Z3,Z4分別是多少度?

圖3-3

分析；找特殊角，互補(bǔ)關(guān)系的角，轉(zhuǎn)化為和倍問題求射。

練習(xí)2

如圖3-4,ZI=0.Z2=°,Z3=

圖3?4

例4如圖3-5,己知0是直線AD上一點(diǎn)，ZA0B,ZB0C,/C0D三個角從小到大依次相差25。，求這三個角的度數(shù)。

圖3?5

分析：找特殊角，互補(bǔ)關(guān)系的角，轉(zhuǎn)化為和差問題求解。

例）5如圖3-6所示，三個正方形疊放在一起，有一個公共點(diǎn)，并且已知其中兩個角的度數(shù)分別是45°和

30°,求上1的度數(shù)。

分析：找特殊角，互余關(guān)系的角。

開放試題

如圖3-7,從點(diǎn)。引出6條射線OA,OB,OC,OD,OE,OF,.U.ZAOB二100",OF平分ZBOC,0E平分ZAOD,ZE0F-140。，求

ZCOD的度數(shù)。

圖3?7

筆記整理

角的定義：具有公共端點(diǎn)的兩條射線組成的圖形叫作角，這個公共端點(diǎn)叫作角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫作角的兩條邊。

角度：表示角的大小的量或形容角的兩達(dá)張口大小的量。

注意：角的大小與兩邊長短無關(guān)，與角的兩邊張口大小有關(guān)。

互余：如果兩角之和為90。,那么我們戟說這兩個角互為余角,簡稱互余,也可以說其中一個角是另一個角的余角。

互補(bǔ)：如果兩角之和為180°,那么我們就說這兩個角互為補(bǔ)角，簡稱互補(bǔ)，也可以說其中一個角是另一個角的補(bǔ)角。

本湃鞏固

1判斷對錯。

（1）角越大，角的兩邊就越長。（）

（2）大于90°的角叫作鈍角。0

（3）一個直角減去一個銳角，得到的角一定是銳角。0

（4）20。的角用5倍的放大鏡看還是20°o（）

2如圖3-8所示，已知Z1的度數(shù)是上2度數(shù)的2倍，求Z1,Z2,Z3,Z4分別是多少度？

圖3?8

3如圖3?9,已知ZBOC,ZAOB,ZAOC分別相差50°,求ZBOC的度數(shù)。

4如圖3JO所示，已知OE與OF垂直，過。點(diǎn)作直線48,若=

A圖3*10

5如圖3-11,兩個正方形重疊放在一起，己知Zl=70°，求上3的度數(shù)。

圖371

前軸知識：巧算乘法本講內(nèi)巧算除法

容=

1.加減乘除法的運(yùn)算律。

2.提取公因數(shù)。

3.拆數(shù)重組的技巧。

第4講速算巧算之四則運(yùn)算

4.1湊整

例1算一算:

(1)256+78-56=(2)13+44+37=

(3)121-78-21=

分析：觀察個位，找個位可以湊卜的先相加，個位相同的先相減。

例2算一算：

(1)134+187-87=(2)358-139-61=

(3)38X25X4二(4)284-35X5=

分析：加減同級運(yùn)算，乘除同級運(yùn)算，可通過帶符號搬家或加括號的方法，讓能夠湊整的數(shù)優(yōu)先計算。

例3算一算：

(1)165+(86+135)=(2)587-(87-125)=

(3)150X(24-15)=(4)7504-(754-10)=

分析：去括號時，括號前面是加號或者乘號，括號里面的運(yùn)算符號不用變號：括號前面是減號或者除號，括號里面的運(yùn)算符

號要變號。

練習(xí)1

算算

(1)200-123+23=⑵30+24X4二

(3)253-(53-100)=(4)354-(354-4)=

4.2乘法分配律和提取公I(xiàn)大I數(shù)

例11下面這些題你會算嗎？

(1)125X(40+8)(2)(100-4)X25

分析：先算括號里的加減法，再用它們的和或者差去乘括號外的數(shù)很麻煩，而用乘法分配率去括號，有時更簡便。

練習(xí)2

利用乘法分配律將25X(40-2)去括號的正確結(jié)果是()

A.25X40-2B.25X40+2C.25X40-25X2D.25X40+25X2

例5計算:

(1)33X66+33X34(2)155X83-55X83

⑶67X22467X77+67

分析先算乘積，再算加減法，會很麻煩。當(dāng)每個乘法算式中有相同因數(shù)時，可以用提取公因數(shù)的方法，有時更笥便。

開放試題

計算：33X34+34X35+68X66二

筆記整理

本市生耍要掌握以下運(yùn)算定理：

1.力口法交換律:a+b=b+a

2.加法結(jié)合律：(a+b)+c=d+(b+c)

3.減法的性質(zhì)：a—h-<=a—(Z?+c)

4.乘法交換律：axb=bxa

5.乘法結(jié)合律：(axb)xc=ax(bxc)

6.乘法分配律：ax(Ah±c)=axb±axc(反過來就是提取公因數(shù))

7.除法的性質(zhì)：ci+(bxc)=a十b-c

(a-@+c=a+c-b+c

以上這些運(yùn)算律，既可以從左到右順著用，乂可以從右到左逆著用。

本講鞏固

1算一算：

⑴149+38-49=

(2)12+46+38-

(3)126-37-26=

2算一算：

(1)257+139-39=

(2)113-32-68=

⑶83X2X5=

(4)244-9X3=

3算一算：

⑴174+(98+126)=

(2)234-(34-210)=

(3)13X(4—13)=

(4)364-(364-7)=

4用簡便方法計算下面各題。

⑴125X(80+4)(2)(100-8)X25

5算一算:

68X45+68X55=

11

第5講字母表示數(shù)

前軸知識：圖文算式等量代換

木講內(nèi)容：

i.字母表示數(shù)和化簡。

2.用字母表示數(shù)量關(guān)系。

3.用字母列等式。

5.1字母表示數(shù)與化與

例11觀察下面的數(shù)列

(1)1,2,3,ci,5,6,7,b.9,10.......a='b=

(2)2,4,6,8,a,12,14,bJ8……a=\b=

分析：根據(jù)數(shù)列的規(guī)律，找出相應(yīng)位置的字母代表的數(shù)應(yīng)該是多少。

例)2(1)一只手有5個手指，兩只手有個手指，三只手有個手指，…

只于有個于指。于指的數(shù)量與于的數(shù)量有什么關(guān)系呢？

(2)1只螃蟹1張嘴，2只眼睛8條腿:

2只―噩2張嘴，4只眼睛16條腿;

3只螃蟹3張嘴，6只眼暗24條腿；

4只螃蟹4張嘴，8只眼睛32條腿：

斤只螃蟹張嘴，只眼睛條腿。

分析：根據(jù)前面的計算找規(guī)律，觀察如何用字母表示計算結(jié)果。

例13用簡便方法表示下列各式。

"5=a+a=nvcn=axhxx=hxl=

a+a-l-a=a.xa=4+/?xb=4xbxh=

分析：在字母表達(dá)式中，乘號省略不寫，省略乘號后，數(shù)要寫在字母的前面。

練習(xí)1

判斷正誤：

(D6ZX5=5x6/()(2)mxm=()

(3\cibe=axbxc()(4)axa-2a()

5?2用字母表示數(shù)量關(guān)系

例J4用字母表示下面題目中所求的量。

(1)甲數(shù)是x,乙數(shù)是y,甲乙兩數(shù)Z和是，兩數(shù)Z差是

(2)一個等邊三角形，每邊長。米，它的周長是米。

(3)一個正方形的周上是C厘又，它的邊長是厘米。

分析：用字母表示所求的量時，注意要寫成最簡便形式。

練習(xí)2

用字母表示下面題目中所求的量。

(1)學(xué)校有圖書4000本，又買來d本，現(xiàn)在一共有本木。

(2)李師傅每小時生產(chǎn)兀個零件，10小時生產(chǎn)個。

(3)三年級(2)班有學(xué)牛.46人，其中多牛.有兀人，那么班里女生有人。

例15寫出下面題目中的字母表示的意義。

(1)某班共有50名學(xué)生，女生有(50V)名，C表示o

(2)一天早晨的溫度是bC.中午比早晨高8°C,b+8,C表示0

開放試題在有余數(shù)的整數(shù)除法算式中，除數(shù)足”，商是c,(b,c均不為0),被除數(shù)最大為笠少？請用含有b,C的式了表示。

筆記整理

字母可以表示任意的數(shù)，也可以表示特定意義的公式，還可以表示符合條件的某一個數(shù)，甚至可以表示具

有屎些規(guī)律的數(shù)，總之，字母可以簡明地將數(shù)量關(guān)系表示出米。

1.數(shù)字與字母之間的X號，可以省略。

2.字母與字母之間的X號，可以省略。

3.相同字母的乘積可以寫成平方或幾次方的形式。

本講鞏占

第6講和差倍

前輔知識：和差問題和者問題差倍問題

本講內(nèi)容=

5h-3h=y+9y=mxm=

1.和差、和倍、差倍問題綜合。

2.利用線段圖解決和差倍問題。

6.1和差問題_________________________________

例11有三塊布料一共190米，第二塊比第一塊長20米，第三塊比第二塊長30米。每塊布料各長多少米？

分析：畫線段圖分析。

練習(xí)1

把￡14元的獎金獎給甲、乙、丙三人；甲比乙多得24元，比丙多得16元：甲、乙、丙各得獎金多少元？

例J2三條船共運(yùn)磚9800塊，第一條鉛比其余兩條船共運(yùn)的少1400塊，第二條船比第三條船多運(yùn)200塊，三條船各運(yùn)多少

塊？

分析：將第二條船和第三條船當(dāng)作一個整體，根據(jù)“第一條船比其余兩條船共運(yùn)的少1400塊”這個差先畫線段圖，再分析。

6.2和倍問

例J3甲、乙、丙三個糧倉一共存有109噸糧食。其中甲糧倉的糧食總量比乙糧倉的3倍多1噸，而乙糧

倉的糧食總量則是丙糧倉的2倍。問：甲糧倉比丙糧倉多存多少噸糧？

分析：根據(jù)倍數(shù)關(guān)系，畫線段圖分析。

例；4把324分為甲、乙、丙、丁四個數(shù)，如果甲數(shù)加上2,乙數(shù)減去2,丙數(shù)乘以2,丁數(shù)除以2后，R

個數(shù)相等，求這四個數(shù)原來分別是多少？

分析：先找到相等的位置，用線段圖畫出甲、乙、丙、丁四個數(shù)和相等位置的關(guān)系，然后找數(shù)量關(guān)系求解。

6.3差倍問

例J5數(shù)學(xué)老師將參加學(xué)而思林的學(xué)生分成紅藍(lán)兩個小組，結(jié)杲發(fā)現(xiàn)紅組學(xué)生人數(shù)恰好是藍(lán)組的3倍，而

小明發(fā)現(xiàn)，藍(lán)組人數(shù)比紅組的2倍少50人，那么紅組學(xué)生人數(shù)是多少？藍(lán)組學(xué)生人數(shù)是多少？

分析：根據(jù)兩個倍數(shù)關(guān)系，分別畫線段圖，對應(yīng)分析。

練習(xí)2

小云比小雨少20本書，后來小云丟了5本書，小雨新買了11本書，這時小雨的書比小云的書多2倍。問：原來兩人各有多

少本書？

開放試題

甲、乙兩個書架，甲書架取30本放入乙書架，則兩書架的本數(shù)一樣多：如果乙書架取30本放到甲書架,

則甲書架上的書是乙書架的3倍，兩書架原來各有書多少木？

筆記整理

1.和差問題:

基木公式:

（1）:和-差）十2二較小數(shù)較小數(shù)+差二較大數(shù)和-較小數(shù)二較大數(shù)

（2）［和+差）一2二較大數(shù)較大數(shù)-差二較小數(shù)和-較大數(shù)二較小數(shù)

2.和倍問題:

基本公式：和一（倍數(shù)+1）二小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)和一小數(shù)二大數(shù)

3.差倍問題：

基本公式：差一（倍數(shù)T）二小數(shù)小數(shù)X倍數(shù)二大數(shù)小數(shù)+差二大數(shù)

4.常用方法：線段圖法

本講鞏固

1育才小學(xué)三年級有三個班，一共有學(xué)生126人。如果一班比二班多4人，二班比三班多4人，那么這

三個班分別有多少人？

2甲、乙兩堆貨物一共有160件，已知甲堆貨物比乙堆的3倍還多40件。甲、乙兩堆各有多少件貨物？

3甲、乙、丙三數(shù)的和是64,已知甲數(shù)是乙數(shù)的2倍，丙數(shù)是乙數(shù)的5倍，求甲、乙、丙三個數(shù)。

4三塊布一共長220米，第一塊和第三塊的總長是第二塊的3倍，第一塊；匕第三塊長35米，求三塊布分

別長多少？

5某單位舉行迎春茶話會，買求4箱同樣重的蘋果，從每箱取山24T克后，把各箱所剩的蘋果合起求，恰好是整箱，那么

原來每箱蘋果重多少千克?

第7講倒推與圖示

前用知識：逆向思考邏輯推理初步

本講內(nèi)容=

i.用順序圖解決單量還原問題。

2.用列表法解決多量還原問題。

7.1單個量的還原問題

例J：艾迪做了這樣一道題：某數(shù)加上10,再乘以10,再減去10,再除以10,其結(jié)果等于10,求這個數(shù)。你知道答案嗎？

分析：根據(jù)題意，畫順序圖，再倒推.

練習(xí)1

少先隊員采集樹種子，采得的種子數(shù)是一個有趣的數(shù)。把這個數(shù)除以5,再減去25,還剩25,你算一算，共采集了多少個樹種

子？

例J2—次數(shù)學(xué)競賽頒獎會上，小剛問老師：“我得了多少分？”老師說：“你的得分減去6后，除以2,再加上10后，擴(kuò)大2

倍，恰好是100分?！毙傔@次競賽得「多少分？

分析：根據(jù)題意，畫順序圖，再倒推。

例J3一捆電線，第一次用去全長的一半條3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米,最后還剩7米.這捆

電線原來有多少米？

分析：根據(jù)題意可以畫出線段圖分析。

7.2多個量的還原問題

例）4一群小朋友玩扔沙袋游戲，他們分為甲、乙兩個組，共有140只沙袋。如果甲組先給

乙組5只，乙組又給甲組8只，這時兩組沙袋數(shù)相等。兩個組原來各有多少只沙袋？

分析：畫圖列表，進(jìn)行倒推。

練習(xí)2

3個籠子里共養(yǎng)了36只兔子，如果從笫1個籠子里“又出8只放到第2個籠子里，再從第2個籠子里U又出6只放到第3個籠

子里，那么3個籠子里的兔子一樣多。求3個籠子里原來各養(yǎng)了多少只兔了？

例J5有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆?，F(xiàn)在按如下方法移動棋子：第一次從甲堆中拿111和乙堆一樣多的棋子

放到乙堆：第一次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的機(jī)于放到甲堆；第三次乂從甲堆中拿出和乙堆同樣多的根子放到乙堆。

照此移法，移動三次后，甲、乙兩堆棋子數(shù)恰好都是32個。問甲、乙兩培棋子原來各有多少個？

分析：畫圖列表，進(jìn)行倒推.

開放試題

A.B.C三個油桶各盛油若干千克。第一次把A桶的一部分油倒入BC兩桶，使B,C兩桶內(nèi)的油分別增加到原來的2倍；

第二次從B桶把油倒入C,A兩桶，使C,A兩桶內(nèi)的油分別增加到第二次倒之前桶內(nèi)油的2倍；第三次從C桶把油倒入A,B

兩柏，使A,B兩桶內(nèi)的油分別增加到第三次倒Z前桶內(nèi)油的2倍。這樣，各桶的油都為16千克。問A.B,C三個油桶原來

各有油多少千克？

篤記整理

已知一個數(shù)，經(jīng)過某些運(yùn)算Z后，得到了一個新數(shù)，求原來的數(shù)是多少的應(yīng)用問題，它的解法常常是以新數(shù)為基礎(chǔ)，按運(yùn)

算I順序倒推回去，解出原數(shù)，這種方法叫作逆推法或還原法，這種問題就是還原問題。倒推問題主耍分為兩類：

1.做個變量的還原問題：畫出順序圖，再逐步逆推回去。

2.多個變量的還原問題：列表法。

1有一個數(shù)，如果用它加上6,然后乘以6,再減去6,最后除以6,所得的商還是6,那么這個數(shù)是

2有一個數(shù)加上1,減去10,乘以2,除以3,最后結(jié)果等于4。問這個數(shù)是幾？

3思思看到織女在織布，她把一段五彩府第一次剪去一半，第二次乂剪去余下的一半，這時還剩下8米，你知道這段五彩布原

來長多少米嗎？

4小新在做一道加法題，由于粗心，將個位上的5看作9,把十位上的8看作3,結(jié)果所得的和是123。正確的答案是多少？

5甲、乙、丙三個小組共有圖書】20本，如果乙小組向甲小組借20本后，乂借給內(nèi)9木，這時甲、乙、內(nèi)三個小組的圖書

本數(shù)相同。問甲、乙、丙三個小組/有圖書各多少本？

第8講方陣

前輯知識:有趣的植樹問題排隊中的學(xué)問

本講內(nèi)容=

1.方陣中邊與層之間的關(guān)系。

2.實(shí)心方陣的應(yīng)用。

3.空心方陣的應(yīng)用。

8.1逢心方陣

例］1一個實(shí)心方陣，最外一層每邊18人，

(1)那么整個方陣一共人；

(2)最外面一層有人，

(3)從外向內(nèi)數(shù)，第2層每邊有人，一共有人：

(4)如果考慮最外面三層，那么這三層共有人。

分析：方陣問題，審題要細(xì)心，分清最外層、最外邊和方陣的總?cè)藬?shù)。

例2一個實(shí)心體操方陣，最外層有72人。這個體操方陣有多少人？

分析：先根據(jù)最外層的人數(shù)算出最外邊的人數(shù)，然后根據(jù)實(shí)心方陣總?cè)藬?shù)二最外邊X最外邊，計算出方陣的總?cè)藬?shù)。

練習(xí)1

有225枚棋子，擺成一個15X15的正方形，甲、乙兩人從最外一層起，輪流取走每一層的全部棋子，直到取完為止，甲比

乙多取了多少枚棋子？

例)3如圖8-1所示，小剛在用棋子擺好的實(shí)心方陣上又填了17枚棋子，使它的橫豎各增加一排，成了

大一點(diǎn)的實(shí)心方陣，求原來的實(shí)心方陣有多少枚棋子？

分析：畫圖分析，找規(guī)律進(jìn)行計算。

8.2空心方陣____________________________________

例14節(jié)H來臨，同學(xué)們用盆花在操場上擺了一個空心方陣花壇，最外面的一層每邊擺了12盆花，一共3層，一共用去多少

盆花？

分析：根據(jù)最外層每邊盆花的數(shù)量，可以求出最外層盆花的數(shù)量，根據(jù)方陣的規(guī)律，層層向內(nèi)，每層盆花的數(shù)量依次減少8

盆，分別求出其他兩層的數(shù)量，然后相加求出這個空心方陣盆花的總數(shù)。或者根據(jù)等差數(shù)列求和的方法，奇數(shù)層，空心方陣

盆花總數(shù)二中間層的盆花數(shù)（第二次）X層數(shù)。

練習(xí)2

某學(xué)校三年級同學(xué)180人，排成一個三層空心方陣，這個方陣最外層每邊多少人？

例15用64枚棋子擺成?個兩層中空方陣，如果想在外而再增加?層，問需要增加多少枚棋子？

分析：這個空心方陣只有兩層，說明這兩層棋f數(shù)量的和64枚，相鄰兩層棋子數(shù)相差為8枚，可以轉(zhuǎn)化為和差問題，求出

最外層的棋子數(shù)。新加層的棋子數(shù)比現(xiàn)在的最外層多8枚棋子。

開放成題

如圖8-2,用10枚棋子可以擺出一個正三角形點(diǎn)陣，每邊4枚棋子：用9枚棋子可以擺成一個正方形點(diǎn)陣，每邊3枚棋子。今

行一堆棋子，棋子總數(shù)小于100,用這堆棋子既可以擺出一個正三角形點(diǎn)陣，也可以擺出一個正方形點(diǎn)陣，問這堆棋子共有

多少枚？

筆記整理

1,方陣問題

（1）實(shí)心方陣：①總數(shù)二邊數(shù)X邊數(shù)

12）空心方陣：①奇數(shù)層：總?cè)藬?shù)二中間層總數(shù)X層數(shù)

②偶數(shù)層：總?cè)藬?shù)二（外層+內(nèi)層）X層數(shù)-2

③若最外層每邊有Q人，內(nèi)部虛方陣每邊有b人，則空心方陣共cr-b'人；

④總?cè)藬?shù)二（最外層每邊人數(shù)-層數(shù)）X層數(shù)X4

2.掌握計算層數(shù)、每層個數(shù)、總個數(shù)的方法及每層個數(shù)的變化規(guī)律

<1）每層人數(shù)二每邊人數(shù)x4-4=（每邊人數(shù)T）X4

（2）相鄰兩邊之間相差2

13）相鄰兩層之間相差8

本講鞏固

1同學(xué)們參加了廣播操比賽，排成每行9人，每列9人的實(shí)心方陣，問方阱中共有多少學(xué)生？

2三年級學(xué)生排成一個實(shí)心方陣進(jìn)行體操表演，最外一層的人數(shù)為32人，問這個方陣最外層每邊有多少人？這個方陣共有

三年級學(xué)生多少人？

3在一個實(shí)心學(xué)生方陣中加入13人，可將原來的方陣變成一個多一行、多一列的大方陣，則原來的方陣有學(xué)生多少人？

4曉曉愛好圍棋，他用棋子在棋盤上擺了一個二層空心方陣，如圖87,外層每邊有14個棋子，你知道他一共用了多少個棋

子嗎？

5120個棋子搓成一個三層空心方陣，最外層每邊有多少個棋子？

第9講巧填算符

前輔知識：巧填算符本講內(nèi)容:倒推與圖示

1.填寫運(yùn)算符號完成算式。

2.學(xué)會24點(diǎn)游戲。

9.1經(jīng)典方法

例1在-F列算式中，填.上+、-、X、一或(:)，使結(jié)果成立。

(1)4444=1(5)4444=5

(2)4444=2(6)4444=6

(3)4444=3(7)4444=7

(4)4444=4(8)4444=8

分析：本題既可以用倒推法，也可以用湊數(shù)法來解。常用湊數(shù)的方法來分析思考。湊數(shù)時要注意等式右邊的結(jié)果，要有目的

地湊數(shù)。

練習(xí)1

在五個3之間，添上適當(dāng)?shù)倪\(yùn)算符號+、-、X、十和()，使得下面的算式成立。

303030303=6

例)2在八個8之間的適當(dāng)?shù)胤?，填上運(yùn)算符號+、-、X、=，使算式成立。

88888888=1000

分析：本題所給出的算式中，數(shù)字較多，結(jié)果也較大，如果用倒推的方法，就比較繁雜，那么應(yīng)如何分析思考呢?我們可以

先選一個與1000比較接近的數(shù)，如888,它與1000相差門2,這樣問題就變成：只要將剩下的五個8經(jīng)過適當(dāng)?shù)奶钸\(yùn)算符號

后，得出一個等于112的算式就可以了。

例)3在兩個數(shù)字Z間添上運(yùn)算符號，使等式成立。

823=33

分析：苜先考慮右端“33”，它有四種添法：3+3=6;3-3=0:3X3=9;34~3=1再觀察左端“823”，嘗試湊出和右端相等的數(shù)。

例）4在下面算式的適當(dāng)?shù)胤?，添上運(yùn)算符號+、-、X、使算式成立。

087654321=1000

分析：湊數(shù)法，先湊出一個與1000接近的數(shù)，如987。而1000與987差13,再用剩下的數(shù)湊出13即可。

______________________________9,224點(diǎn)游戲_______________________________例）5請在2,

O你能做

到嗎？

分析：在四個數(shù)之間填加、減、乘、除運(yùn)算符號，使列出的算式結(jié)果等于24,這種算式有很多，一般可以

從結(jié)果等于24的一些算式中去考慮，常用的算式有：4X6二24、3X8二24、2X12二24、24X1二24、24F1二24、

12412二24、18+6二24、16+8二24、30-6=24.

練習(xí)2

請在6,5,10,2四個數(shù)Z間任意添上+、-、X、三和（），并且每個數(shù)都只能用一次，使它們的結(jié)果等于24。

開放試題

老師在批改作業(yè)時，發(fā)現(xiàn)小虎同學(xué)抄題時忘了括?號，請你給算式填上括?號，使結(jié)果仍是正確的。5+7X8+124-4-2=75

筆記整理

1.倒推法：是從算式中的最后一個數(shù)字開始，由后往前，逐步求解，我們把這種方法稱為倒推法。此方法的思路比較固定,

但是分析起來頭緒繁多，因此適合于數(shù)字比較少，結(jié)果比較小的巧填算符問題。

2.湊數(shù)法：此方法杲先渚汕?個與結(jié)果比較接近的數(shù)，然后再對符號講行調(diào)整，他算式增大或減少。常用

3.稱象法：將相鄰的幾個數(shù)看成一個多位數(shù)。

本洋鞏古

1從+、-、X、*和()中，挑選出合適的符號，添入下面的算式合適的地方，使等式成立。

66666=19

2在卜面算式的適當(dāng)?shù)胤?，添上運(yùn)算符弓，使算式成立。

9999999=1000

3在下式的相鄰兩數(shù)之間填上四則運(yùn)算符號，使等式成立。

923=33

4在適當(dāng)?shù)牡胤教钌稀?”，使等式成立。

12345=60

5用3,9,9,5四個數(shù)字,在它們之間填上+、-、X、一或0,使得結(jié)果等于24。(每個數(shù)字只能用一次)

第10講小數(shù)的認(rèn)識

前輔知識：分屬初識本講內(nèi)容:

1.小數(shù)的定義。

2.小數(shù)大小的比較。

3.小數(shù)點(diǎn)的含義和位移。

4.小數(shù)的加減計算。

10.1小數(shù)的意義

例M請找出圖10T中的小數(shù),并讀出夾。

圖10T

分析：先讀整數(shù)部分，再讀小數(shù)部分，整數(shù)部分按整數(shù)的讀法讀，小數(shù)部分從左到右順次讀出每一位上的

數(shù)字。

練習(xí)1

（1）0.5讀作

⑵1.2讀作

(d)

分?jǐn)?shù)（）

小數(shù)（）

2看圖10-2(a)、⑹、（c）、(d)、(e)先寫出分?jǐn)?shù)，再寫出小數(shù)。

練習(xí)2

你能在圖103的口里填上小數(shù)嗎:

3比較大小

0.3()2.31.1()0.93.8()3

4.5()5.42.5()2.40.8米（)0.9米

1.6元（）6元1角

分析：先比較整數(shù)部分，再比較小數(shù)部分，整數(shù)部分按整數(shù)比較大小的方法比較，小數(shù)部分從高位向低位，順次比較。

例④⑴旦—

如。，X10A

-

⑵X100X100

(3)xiooo,-X1000-

一--

(4)+104?10.+10.

⑸上10°HOC

■.....i

+1000

(6)

10.2小數(shù)點(diǎn)的移動

分析：小數(shù)點(diǎn)向左移動，小數(shù)縮小。小數(shù)點(diǎn)向左移動一位，縮小到原來的右。小數(shù)點(diǎn)向左移動兩位，縮小到原來的上。

2.01356looX10

小數(shù)點(diǎn)向左移動2..0135縮小到原來的上。

2.013561000

小數(shù)點(diǎn)向右移動，123書大。

小數(shù)點(diǎn)向右移動+2345步大到原來的1。倍。

4邈點(diǎn)向右移動兩徑45護(hù)大到原來的100倍。

小數(shù)點(diǎn)向右移動三位，擴(kuò)大到原來的1000倍。

例J5單位換算：

(1)1元3分二()元137角二()元

17.03兀-()兀()角0分

(2)()分米二1.5米510米二O千米5米16厘米二0米

(3)0.15千克二()克3.001噸二0噸0千克

9千克750克二。千克

分析：1元二10角：1角二10分：1千米二1000米：1米二10分米：1分米二10厘米：1噸二1000千克；1千克

=1000克。

開放試題

請在圖10-4(a)、(b)、(c)下面。處填上適當(dāng)數(shù)。

(1)

)+0=0

圖I(M(b)

0+0=(

圖10-4(c)

(i+()=()

維記整理

小數(shù)的組成：整數(shù)部分、小數(shù)點(diǎn)和小數(shù)部分三部分組成。小數(shù)中間的點(diǎn)叫作小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊是整數(shù)部分，右邊是小數(shù)部

分。

小數(shù)的讀法：例如（1）3.5讀作三點(diǎn)五（2）2013.27讀作網(wǎng)干零一十三點(diǎn)二七

小數(shù)的意義：我們知道，小數(shù)是十進(jìn)分?jǐn)?shù)的另外一種表示形式，