福建省福州市八中2024年高三第二次診斷性檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類(lèi)型（B）

填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處”。

2.作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦

干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。

3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先

劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。

4.考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將木試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1

1.在ZVIBC中，D為BC中點(diǎn),且4￡二5￡。，若BE=+,則義+〃=（）

213

A.1B.----C.——D.——

334

2.過(guò)拋物線(xiàn)）P=2px（p>0）的焦點(diǎn)F作直線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn)A,與準(zhǔn)線(xiàn)在第三象限交于點(diǎn)從過(guò)點(diǎn)A作

\AF\

準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足為〃.若tanN/VH=2,則班;（）

543

A.—B.一C.~D.2

43

3.已知見(jiàn)〃表示兩條不同的直線(xiàn)，〃表示兩個(gè)不同的平面，且掰JLa,〃u〃，則“aJL〃”是“田〃〃”的（）條

件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要

4.設(shè)(l+i)a=l+4,其中〃，，是實(shí)數(shù)，貝ij|a+2/?Z|=()

A.1B.2C.73D.75

5.已知向量43=（3,2）,AC=（5,-1）,則向量與BC的夾角為（）

A.45°B.60°C.900D.120°

TT

6.函數(shù)f（x）=2sin（2x-w）的圖象為C,以下結(jié)論中正確的是（）

①圖象C關(guān)于直線(xiàn)x=±乃對(duì)稱(chēng)；

12

jr

②圖象C關(guān)于點(diǎn)0）對(duì)稱(chēng)；

③由），=2s加2x的圖象向右平移g個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象C.

A.①B.(D@C.②③D.①②③

4+3/

7.復(fù)數(shù)z=的虛部為（）

i-2

A.2iC.2

8.圓心為（2,1）且和X軸相切的圓的方程是（）

(X-2)2+(J-1)2=1B.(X+2『+()，+1)2=1

C.(x-2)2+(y-l)2=5D.(/+2『+(y+l)2=5

9.設(shè)雙曲線(xiàn)C:三-二=1的右頂點(diǎn)為A,右焦點(diǎn)為尸，過(guò)點(diǎn)R作平行。的一條漸近線(xiàn)的直線(xiàn)與C交于點(diǎn)8,則

916

△A所的面積為（）

3264

A.B.—C.5D.6

1515

10.已知等差數(shù)列｛見(jiàn)｝的前〃項(xiàng)和為S”，且$25=50,則4+。缶=（）

B.8C.16D.2

某幾何體的三視圖如圖所示，若圖中小正方形的邊長(zhǎng)均為1,則該幾何體的體積是（）

3283216

C.—十一不D.一+—71

333333

雙曲線(xiàn)三一寸=1的漸近線(xiàn)方程是（

12.)

4-

B.I當(dāng)c.tD.y=±2x

-2,3

填空題：本題共4小題，每小題5分,共20分。

13.若函數(shù)f（x）=（x-a）（x+3）為偶函數(shù)，則/（2）=

zxz,xcS”3〃+5，唬二

14.記等差數(shù)列｛4｝和｛勿｝的前〃項(xiàng)和分別為S,和7；,若黃=二y

ln

15.利用等面積法可以推導(dǎo)出在邊長(zhǎng)為。的正三角形內(nèi)任意一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值上上，類(lèi)比上述結(jié)論，利用

2

等體積法進(jìn)行推導(dǎo)，在棱長(zhǎng)為。的正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和也為定值，則這個(gè)定值是

16.如圖所示梯子結(jié)構(gòu)的點(diǎn)數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{q},則。⑼二.

????????????

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17.（12分）對(duì)于非負(fù)整數(shù)集合S（非空），若對(duì)任意x,），￡S,或者x+yeS,或者則稱(chēng)S為一個(gè)好集

合.以下記|S|為S的元素個(gè)數(shù).

（1）給出所有的元素均小于3的好集合.（給出結(jié)論即可）

（2）求出所有滿(mǎn)足間=4的好集合.（同時(shí)說(shuō)明理由）

（3）若好集合S滿(mǎn)足網(wǎng)=2019,求證：S中存在元素〃?，使得S中所有元素均為〃?的整數(shù)倍.

x=\怎

2

18.（12分）在直角坐標(biāo)系X?！分?，直線(xiàn)/的參數(shù)方程為a為參數(shù)），以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，以x軸正

-22t

半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線(xiàn)。的極坐標(biāo)方程為夕=4cos，.

（1）寫(xiě)出直線(xiàn)/的普通方程和曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程；

（2）設(shè)直線(xiàn)/與曲線(xiàn)C相交于4,8兩點(diǎn)，ARAB的頂點(diǎn)戶(hù)也在曲線(xiàn)C上運(yùn)動(dòng)，求面積的最大值.

-n

19.（12分）已知（x+1）"=4+q（x-l）+〃式x-1尸+1）^----1an{x—V）,（其中〃sN*）

Sn=4+生+生+…+〃”.

⑴求S”；

⑵求證：當(dāng)〃之4時(shí)，S”＞（〃-2）2"+2〃2.

20.（12分）山東省2020年高考將實(shí)施新的高考改革方案.考生的高考總成績(jī)將由3門(mén)統(tǒng)一高考科目成績(jī)和自主選擇的

3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目成績(jī)組成，總分為750分.其中，統(tǒng)一高考科目為語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、外語(yǔ)，自主選擇的

3門(mén)普通高中學(xué)業(yè)水平等級(jí)考試科目是從物理、化學(xué)、生物、歷史、政治、地理6科中選擇3門(mén)作為選考科目，語(yǔ)、

數(shù)、外三科各占150分，選考科目成績(jī)采用“賦分制”，即原始分?jǐn)?shù)不直接用，而是按照學(xué)生分?jǐn)?shù)在本科目考試的排名

來(lái)劃分等級(jí)并以此打分得到最后得分.根據(jù)高考綜合改革方案，將每門(mén)等級(jí)考試科目中考生的原始成績(jī)從高到低分為一、

二4■、二、二十、二、二十、二、二共8個(gè)等級(jí)。參照正態(tài)分布原則，確定各等級(jí)人數(shù)所占比例分別為釬汨二.、二」之、

」.、底、.等級(jí)考試科目成績(jī)計(jì)入考生總成績(jī)時(shí)，將二至「等級(jí)內(nèi)的考生原始成績(jī)，依照等比例轉(zhuǎn)換法則，

分別轉(zhuǎn)換到91400、81-90>71-80,61-70>51?60、41?50、31-40、21?30八個(gè)分?jǐn)?shù)區(qū)間，得到考生的等級(jí)成績(jī).

舉例說(shuō)明.

某同學(xué)化學(xué)學(xué)科原始分為65分，該學(xué)科二,等級(jí)的原始分分布區(qū)間為58?69,則該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的原始成績(jī)屬二,等

級(jí).而二_等級(jí)的轉(zhuǎn)換分區(qū)間為61?70,那么該同學(xué)化學(xué)學(xué)科的轉(zhuǎn)換分為：

設(shè)該同學(xué)化學(xué)科的轉(zhuǎn)換等級(jí)分為二，二Y,二，求得二*必Y

一二

四舍五入后該同學(xué)化學(xué)學(xué)科賦分成績(jī)?yōu)?7.

（1）某校高一年級(jí)共2000人，為給高一學(xué)生合理選科提供依據(jù),對(duì)六個(gè)選考科目進(jìn)行測(cè)試，其中物理考試原始成績(jī)

基本服從正態(tài)分布-、-:

（i）若小明同學(xué)在這次考試中物理原始分為84分，等級(jí)為二五其所在原始分分布區(qū)間為82?93,求小明轉(zhuǎn)換后的

物理成績(jī)；

（ii）求物理原始分在區(qū)間」的人數(shù)；

（2）按高考改革方案，若從全省考生中隨機(jī)抽取4人，記二表示這4人中等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間巧：so的人數(shù)，求-的分布

列和數(shù)學(xué)期望.

（附：若隨機(jī)變量口~則二（二一二〈二<匚+二）=0.6S2fC（Z-2二〈二〈口十二二）=0954,

I二（二-3.二《二<口+3二）：=。.為°

2

21.（12分）已知橢圓C:'+y2=］的右頂點(diǎn)為A,點(diǎn)尸在〉軸上，線(xiàn)段AP與橢圓C的交點(diǎn)B在第一象限，過(guò)點(diǎn)8

的直線(xiàn)/與橢圓C相切，且直線(xiàn)/交x軸于".設(shè)過(guò)點(diǎn)A且平行于直線(xiàn)/的直線(xiàn)交.V軸于點(diǎn)。.

（I）當(dāng)8為線(xiàn)段4P的中點(diǎn)時(shí)，求直線(xiàn)A8的方程；

（II）記MPQ的面積為H，AOMB的面積為5z，求S1+S2的最小值.

22.（10分）已知橢圓。:今+三二血〉〃〉。）的左右焦點(diǎn)分別是6，工，點(diǎn)尸（1,3）在橢圓。上，滿(mǎn)足分;二7

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)直線(xiàn)乙過(guò)點(diǎn)尸，且與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，直線(xiàn)4與4的傾斜角互補(bǔ)，且與橢圓交于異于點(diǎn)。的兩點(diǎn)M,N,與

直線(xiàn)工-1交于點(diǎn)K(K介于M,N兩點(diǎn)之間)，是否存在直線(xiàn)(，使得直線(xiàn)4，k，PM，PN的斜率按某種排序能構(gòu)

成等比數(shù)列？若能，求出〃的方程，若不能，請(qǐng)說(shuō)理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1、B

【解析】

選取向量A3，AC為基底，由向量線(xiàn)性運(yùn)算，求出3E，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=-AD-ABtAD=-(AB+AC),

5—1—

/.BE=--AB+-AC=AAB+juACf

,512

??—，U——9??％+〃=?

663

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

2、C

【解析】

需結(jié)合拋物線(xiàn)第一定義和圖形，得一4,為等腰三角形，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)b作％_L47,再由三角

函數(shù)定義和幾何關(guān)系分別表示轉(zhuǎn)化出B目二p

cos（左一2a）

W下匕案:黑）,結(jié)合比值與正切二倍角公式化簡(jiǎn)即可

【詳解】

如圖，設(shè)準(zhǔn)線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為M,過(guò)點(diǎn)/作小_LA〃.由拋物線(xiàn)定義知|Aq=k川，

II1^1P

所以NAHF=NAFH=a,NFAH=7r—2a=NOFB,\BF\=—\~!-?=—盧——-

cos（萬(wàn)一2a）cos（4一2a）

〔AFI_I。目_|C//|tan6r_ptana

sin（^--2cr）sin（4一2a）sin（乃一2a）

?，A/tanatanatan2?-l3

Sr以------------------=---------=----------=—.

\BF\lan（乃一2a）-tanla22,

故選：C

【點(diǎn)睛】

本題考查拋物線(xiàn)的幾何性質(zhì)，三角函數(shù)的性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想，屬于中檔題

3、B

【解析】

根據(jù)充分必要條件的概念進(jìn)行判斷.

【詳解】

對(duì)于充分性：若八0,則機(jī),〃可以平行，相交，異面，故充分性不成立;

若加〃〃，則〃,a,〃u小可得o_L￡,必要性成立.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查空間中線(xiàn)線(xiàn)，線(xiàn)面，面面的位置關(guān)系，以及充要條件的判斷，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力.解決充要條

件判斷問(wèn)題，關(guān)鍵是要弄清楚誰(shuí)是條件，誰(shuí)是結(jié)論.

4、D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)相等，可得然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：(l+i)a=l+〃，

即a+ai-1+bi,所以a=l,b=l

則M+2/?z|=|l+2z|=Vl2+22=舊

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考驗(yàn)計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.

5、C

【解析】

求出BC=AC-AB=(2,—3),進(jìn)而可求/W-8C=3x2+2x(—3)=0,即能求出向量夾角.

【詳解】

解：由題意知，3C=AC_48=(2,—3).則A8.8C=3x2+2x(—3)=0

所以A8_L3C，則向量A3與的夾角為90。.

故選:C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，考查了數(shù)量積的坐標(biāo)表示.求向量夾角時(shí)，通常代入公式cos(〃,b)=而進(jìn)行計(jì)算.

6、B

【解析】

根據(jù)三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心和圖象變換的知識(shí)，判斷出正確的結(jié)論.

【詳解】

7T

因?yàn)橐騒)=2sin(2x--),

又/帝=2sin(2x*?)=2si吟=2,所以①正確.

/(-y)=2sin(2x^-^)=2sin(r)=0,所以②正確.

將)，=2sin2x的圖象向右平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得y=2sin[2(x—g)]=2sin(2x-4),所以③錯(cuò)諛

所以①?正確，③錯(cuò)誤.

故選:B

【點(diǎn)睛】

本小題主要考查三角函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸、對(duì)稱(chēng)中心，考查三角函數(shù)圖象變換，屬于基礎(chǔ)題.

7、D

【解析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，化簡(jiǎn)出z,即可得出虛部.

【詳解】

=4^=(4t3Q(/12)=5110/=_i_2.

解:

i-2(/-2)(/+2)-5

故虛部為2

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)的概念.

8、A

【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

【詳解】

圓心為(2,1)且和X軸相切的圓的半徑為1,因此，所求圓的方程為(i-2『+(y-l)2=l.

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

9、A

【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程求出右頂點(diǎn)A、右焦點(diǎn)廠的坐標(biāo)，再求出過(guò)點(diǎn)尸與C的一條漸近線(xiàn)的平行的直線(xiàn)方程，通過(guò)

解方程組求出點(diǎn)B的坐標(biāo)，最后利用三角形的面積公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

由雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程可知中：a=3,〃=4.x=J/+/=5,因此右頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0),右焦點(diǎn)尸的坐標(biāo)為

44

(5,0),雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為：)，=±-x,根據(jù)雙曲線(xiàn)和漸近線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性不妨設(shè)點(diǎn)卜作平行C的一條漸近線(xiàn)y=-x

JJ

44

的直線(xiàn)與C交于點(diǎn)8,所以直線(xiàn)網(wǎng)的斜率為不，因此直線(xiàn)陽(yáng)方程為：y=-(x-5),因此點(diǎn)8的坐標(biāo)是方程組：

JJ

417

=-(x-5)x=一

y51732

,,,的解，解得方程組的解為：，”，即以工?，-二：)，所以△AM的面積為:

32513

工上=1y=---

91615

gx（5一3）x32_32

L5-L5

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考杳了雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的應(yīng)用，考查了兩直線(xiàn)平行的性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

10、A

【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)即可求得.

【詳解】

s25==5()nq+生5=4=41+q5=4?

故選:A.

【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質(zhì)，考查基本量的計(jì)算，難度容易.

11>B

【解析】

該幾何體是直三棱柱和半圓錐的組合體，其中三棱柱的高為2,底面是高和底邊均為4的等腰三角形，圓錐的高為4,

底面半徑為2,則其體積為V=2x4x4x2+Lx_Lx；rx4x4,

223

〃8

=16+一開(kāi).

3

故選B

點(diǎn)睛：由三視圖畫(huà)出直觀圖的步驟和思考方法：1、首先看俯視圖，根據(jù)俯視圖畫(huà)出幾何體地面的直觀圖；2、觀察正

視圖和側(cè)視圖找到幾何體前、后、左、右的高度；3、畫(huà)出整體，然后再根據(jù)三視圖進(jìn)行調(diào)整.

12、C

【解析】

根據(jù)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程.

【詳解】

2

由題意可知，雙曲線(xiàn)三-y2=i的漸近線(xiàn)方程是丁=±±.

42

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考直雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、-5

【解析】

二次函數(shù)為偶函數(shù)說(shuō)明一次項(xiàng)系數(shù)為0,求得參數(shù)將戈=2代入表達(dá)式即可求解

【詳解】

由/3)=/+(3一。八一34為偶函數(shù)，知其一次項(xiàng)的系數(shù)為0,所以=。=3,所以/(x)=f—9,

/(2)=22-9=-5

故答案為：?5

【點(diǎn)睛】

本題考查由奇偶性求解參數(shù)，求函數(shù)值，屬于基礎(chǔ)題

14、U

5

【解析】

13(4+q)

結(jié)合等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式，可得?二粵=C=糞，求解即可.

413413(々+%)幾

2

【詳解】

由題意,5,3=?(《”，)=13%,%==13%

S”3〃+513%S]?3x13+511

因?yàn)樾“?，所以丁西二丁下萬(wàn)、

故答案為：?■?

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式及等差中項(xiàng)的應(yīng)用，考查了學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.

限

15、---a

3

【解析】

計(jì)算正四面體的高，并計(jì)算該正四面體的體積，利用等體積法，可得結(jié)果.

【詳解】

作/O_L平面ABC,O為AA8C的重心

如圖

所以/。=jA/t—ACP=&a

3

設(shè)正四面體內(nèi)任意一點(diǎn)到四個(gè)面的距離之和為x

II久

故答案為：旦a

3

【點(diǎn)睛】

本題考查類(lèi)比推理的應(yīng)用，還考查等體積法，考驗(yàn)理解能力以及計(jì)算能力，屬基礎(chǔ)題.

16、5252

【解析】

根據(jù)圖像歸納=2+3+4+...+〃+2,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.

【詳解】

根據(jù)圖像：q=2+3,。2=2+3+4,故%=2+3+4+...+〃+2,

從(2+102)x101

故4Go=2+3+4+...+102=^----------------=5252.

2

故答案為：5252.

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列的應(yīng)用，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.

三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。

17、(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2).(2){0也Qb+c}；證明見(jiàn)解析.(3)證明見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)好集合的定義列舉即可得到結(jié)果；

(2)設(shè)5={。,〃,。"/},其中a<b<c<d,由OwS知。=0；由Ovd-cwS可知4一。=?；?分別討論

兩種情況可的結(jié)果；

(3)記〃=1009,則|S|=2幾+1,設(shè)§={0,4毛,…由歸納推理可求得七=加(14區(qū)〃)，從而得到

M=2xn=2nm,從而得到S,可知存在元素〃?滿(mǎn)足題意.

【詳解】

(1){0},{0,1},{0,2},{0,1,2).

(2)設(shè)S=,,〃,導(dǎo)/},其中

則由題意：d+dwS,故0$S,即。=0,

考慮c,",可知：Ovd-ccS,.,.〃一。=?；?一。=人，

若d-c=c,則考慮"c,

*:c<b-\-c<2c=d,:.c-beS,則。一〃=〃，

.?.S={a,反為4。},但此時(shí)勸，5b/S,不滿(mǎn)足題意；

若d-c=b,此時(shí)S={O,Z?,c,〃+c},滿(mǎn)足題意，

.?.S={O,A,c”+c},其中"c為相異正整數(shù).

(3)記〃=1009,則網(wǎng)=2〃+1,

首先，OwS,設(shè)5={0,5,天產(chǎn)?,毛〃}，其中0<%="?<"2=M，

分別考慮M和其他任一元素超，由題意可得：〃一七也在S中，

而()<M_W"-i<M-x2n_2<M-％<M,/.〃_可=(1<Z<?),

M

???天二?，

對(duì)于考慮％2小，x2n-j，其和大于M，故其差工2,1一々”_/='一天eS,

特別的，x2-X)eS,?.x2=2x,=2m,

由—X|￡S,且X[v不-X]<毛，/.X3=X2+X]=3〃?,

以此類(lèi)推：X,=im[\<i<n),

/.M=2xn=2nm,此時(shí)S={0,幾2m,??nm,(〃+1)利…,2〃m},

故S中存在元素〃?,使得S中所有元素均為用的整數(shù)倍.

【點(diǎn)睛】

本題考查集合中的新定義問(wèn)題的求解，關(guān)鍵是明確己知中所給的新定義的具體要求，根據(jù)集合元素的要求進(jìn)行推理說(shuō)

明，對(duì)于學(xué)生分析和解決問(wèn)題能力、邏輯推理能力有較高的要求，屬于校難題.

18、(1)/：x+y-3=0,C：x2+y2-4x=0；(2)2而+:

2

【解析】

(1)由直線(xiàn)參數(shù)方程消去參數(shù)即可得直線(xiàn)/的普通方程，根據(jù)極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程互化的公式即可得曲線(xiàn)C的

直角坐標(biāo)方程；

(2)由|A3|=2d產(chǎn)一d2即可得"AB的底|A3|=舊,由點(diǎn)尸到直線(xiàn)/的距離的最大值為〃+d即可得AE48高的

最大值，即可得解.

【詳解】

i旦

2

(1)由L消去參數(shù)得直線(xiàn)/的普通方程為x+)」3=0,

由。=4cos0得"=4夕cos。，曲線(xiàn)C的直角坐標(biāo)方程為x2+-4x=0；

(2)曲線(xiàn)C即(％—2『+_/=4,

圓心(2,0)到直線(xiàn)/的距離4=與尋=*<2=〃，

所以|蝴二2乃丁=/，

又點(diǎn)P到直線(xiàn)/的距離的最大值為「+"=2+立，

2

所以△/月3面積的最大值為;|4卻什+4)=2"+".

【點(diǎn)睛】

本題考查了參數(shù)方程、極坐標(biāo)方程和直角坐標(biāo)方程的互化，考查了直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.

19、(1)3”—2"(2)見(jiàn)解析

【解析】

(1)取x=l,則%=2"；取x=2,則%+4+出+生+…=3".

:.S*=q+%+%++1“=3"-2"；

22

⑵要證Sn>(/?-2)2"+2n,只需證3">(〃—1)2”+2n,

當(dāng)〃=4時(shí)，81>80；

假設(shè)當(dāng)〃=攵伙之4)時(shí)，結(jié)論成立，即3人>(攵-1)2人’+2公，

兩邊同乘以3得：>3[伏-1)2"+2/]=女2川+2(2+1)2+[伏-3)2"+4/一4左一2]

而(左一3)2"+4左2一4攵-2二伏-3)2?+4(&2一％-2)+6=伏-3)2,+4伏-2)伏+1)+6>0

3*+,>((I+1)—1)2*+,+2(7+,即〃=〃+1時(shí)結(jié)論也成立，

???當(dāng)〃24時(shí)，3〃>5-1)2、2/成立.

綜上原不等式獲證.

20>(1)(i)83.;(ii)272.(2)見(jiàn)解析.

【解析】

(1)根據(jù)原始分?jǐn)?shù)分布區(qū)間及轉(zhuǎn)換分區(qū)間，結(jié)合所給示例，即可求得小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)；根據(jù)正態(tài)分布滿(mǎn)足

?二(九：.;：，結(jié)合正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性即可求得-二”內(nèi)的概率，根據(jù)總?cè)藬?shù)即可求得在該區(qū)間的人數(shù)。

（2）根據(jù)各等級(jí)人數(shù)所占比例可知在區(qū)間打,3。內(nèi)的概率為，由二項(xiàng)分布即可求得二的分布列及各情況下的概率，結(jié)

合數(shù)學(xué)期望的公式即可求解。

【詳解】

ci）（i）設(shè)小明轉(zhuǎn)換后的物理等級(jí)分為-，

力-'=::-二'

求得二士匕心

小明轉(zhuǎn)換后的物理成績(jī)?yōu)?3分；

（ii）因?yàn)槲锢砜荚囋挤只痉恼龖B(tài)分布匚：八一.；，

所以《口＜功=口@＜口〈”?0（。＜0＜Z2J

=口＜幽一＜口（轉(zhuǎn)＜口＜77）

/（必54-OdV）

=二夕

所以物理原始分在區(qū)間二：-的人數(shù)為.頂也*。,萬(wàn)6=二二1（人）；

（2）由題意得，隨機(jī)抽取1人，其等級(jí)成績(jī)?cè)趨^(qū)間-打,加-內(nèi)的概率為

隨機(jī)抽取4人，則,八.

如口（百

匚（二--券，二（二=/）=?二片.G）'=今，

0（D=2）=Di@JQS=^□（口=；）=山券

口二=抄=（9'=第

-的分布列為

n0i234

nai2162169616

初五305625

數(shù)學(xué)期望.

二（二）,w

【點(diǎn)睛】

本題考查了統(tǒng)計(jì)的綜合應(yīng)用，正態(tài)分布下求某區(qū)間概率的方法，分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，文字多，數(shù)據(jù)多，需要細(xì)

心的分析和理解，屬于中檔題。

21、（I）直線(xiàn)的方程為），=一手卜一女）（II）O

【解析】

（1）設(shè)點(diǎn)尸（0,%）（%>。），利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式表示點(diǎn)凡并代入橢圓方程解得先，從而求出直線(xiàn)A4的方程；（2）

設(shè)直線(xiàn)/的方程為：），="+〃?（攵<0,加工0）,表示點(diǎn)加（堂,0）,然后聯(lián)立方程，利用相切得出療=2公十1,然

后求出切點(diǎn)8--,再設(shè)出設(shè)直線(xiàn)AQ的方程，求出點(diǎn)。（0,一及%）,利用A8兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出直線(xiàn)A3的方

ImmJ\>

程，從而求出產(chǎn)°，T——,最后利用以上已求點(diǎn)的坐標(biāo)表示面積，根據(jù)基本不等式求最值即可.

\\J2k+fn

【詳解】

解：（I）由橢圓C:,+y2=i,可得：A（V2,0）

由題意：設(shè)點(diǎn)尸（。,%）（%>0），當(dāng)區(qū)為期的中點(diǎn)時(shí)，可得：—

2

代入橢圓方程，可得：為二日所以：BfV2且］

2'2

旦

所以原A=廠2=一工二.故直線(xiàn)AB的方程為y=

四一叵2

2

（II）由題意，直線(xiàn)/的斜率存在且不為0,

故設(shè)直線(xiàn)/的方程為：y=foc+m（k<^m^O）

令y=0,得：x=-^-，所以：加（掾，0）

k

聯(lián)立：/、,消y,整理得：（2公十］）f+4初a+2〃『-2=0.

X2+2/-2=0'7

因?yàn)橹本€(xiàn)/與橢圓相切，所以A=16&2m2-4（2公+1）（2療-2）=0.

即m2=2k2+\.

-2km-2km1

設(shè)3（%,y）,則夕=,X=依+Hl=

2k2+1m2k2+1m

-2k1

所以8

\tntn

又直線(xiàn)4Q//直線(xiàn)/,所以設(shè)直線(xiàn)AQ的方程為：），=攵（尤一百）.

令x=0,得y=-gk,所以：Q（0,-0'.

m1

因?yàn)椋B=

3—正-2k->/2m'