第3章圓錐曲線(xiàn)與方程綜合測(cè)試第Ⅰ卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)是，則的值是（

）A． B．1 C． D．【答案】B【解析】顯然，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為，由焦點(diǎn)坐標(biāo)可知，解得：，故選：B.2．（2023·河南·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程為，由題意可得，解得.故選：B.3．（2023·四川宜賓·高二宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校?？计谀┮阎獟佄锞€(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)為，且點(diǎn)在拋物線(xiàn)上，則點(diǎn)A到準(zhǔn)線(xiàn)的距離為（

）A．5 B．4 C．3 D．2【答案】A【解析】由題意知，，所以，所以?huà)佄锞€(xiàn)方程為，則拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l為，所以點(diǎn)A到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為.故選：A.4．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）已知點(diǎn)P為橢圓上動(dòng)點(diǎn)，分別是橢圓C的焦點(diǎn)，則的最大值為（

）A．2 B．3 C． D．4【答案】D【解析】由橢圓，可得，所以，又由橢圓的定義可得，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最大值為.故選：D.5．（2023·甘肅張掖·高二高臺(tái)縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是（

）A．圓 B．橢圓 C．雙曲線(xiàn) D．拋物線(xiàn)【答案】B【解析】設(shè)，因?yàn)?，所以；因?yàn)?，所以，即，所以，整理得，其軌跡是橢圓.故選：B.6．（2023·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓，點(diǎn)與的焦點(diǎn)不重合，若關(guān)于的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為，，線(xiàn)段的中點(diǎn)在上，則（

）A．10 B．15 C．20 D．25【答案】C【解析】設(shè)的中點(diǎn)為，橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，則為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以，同理，所以.故選:C7．（2023·北京·高二北京師大附中?？计谥校┰O(shè)點(diǎn)A，，的坐標(biāo)分別為，，，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足：，給出下列四個(gè)結(jié)論：①點(diǎn)P的軌跡方程為；②；③存在4個(gè)點(diǎn)P，使得的面積為；④.則正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【解析】由得,所以點(diǎn)的軌跡為以，為焦點(diǎn)的橢圓，且，故點(diǎn)P的軌跡方程為，①正確，當(dāng)將代入橢圓方程中得，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以,當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)，等號(hào)成立，，由于,所以,當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)等號(hào)成立，故②錯(cuò)誤④正確，，其中為點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，若，由于當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取最大值3，故滿(mǎn)足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，③錯(cuò)誤，故選：B.8．（2023·江蘇南通·高二海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)為是與軸的交點(diǎn)，.過(guò)此拋物線(xiàn)上一點(diǎn)作直線(xiàn)的垂線(xiàn)，垂足記為點(diǎn)與相交于點(diǎn)，若，則點(diǎn)到軸的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】作圖如下

由得，又因?yàn)闉?，的中點(diǎn)，所以為的三等分點(diǎn)，且，又因?yàn)?，所以，且，所以，不妨設(shè)，且在第一象限，，，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線(xiàn)上，所以，所以根據(jù)相似關(guān)系，即點(diǎn)到軸的距離為.故選：B.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分。9．（2023·江西贛州·高二統(tǒng)考期末）已知曲線(xiàn)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則曲線(xiàn)C是圓B．若，則曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓C．若，則曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)D．曲線(xiàn)C可以是拋物線(xiàn)【答案】AC【解析】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)，表示圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，曲線(xiàn)表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線(xiàn)，C選項(xiàng)正確.D選項(xiàng)，由于是非零實(shí)數(shù)，所以的最高次項(xiàng)都是，所以曲線(xiàn)不可能是拋物線(xiàn)，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC10．（2023·江西撫州·高二南城縣第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線(xiàn)一條漸近線(xiàn)與實(shí)軸夾角為，且，則離心率e的可能取值是（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】由于，所以，依題意，所以，所以.故選：BC11．（2023·安徽·高二校聯(lián)考期末）已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線(xiàn)的距離為4，過(guò)點(diǎn)作直線(xiàn)交于，兩點(diǎn)，則（

）A．的準(zhǔn)線(xiàn)為 B．的大小可能為C．的最小值為8 D．【答案】ACD【解析】由題意得，，則的準(zhǔn)線(xiàn)為，故A正確；,設(shè)，整理得，，所以，，，所以，故B錯(cuò)誤；，當(dāng)時(shí)，的最小值為8，故C正確；∵，∴，故D正確.故選：ACD.12．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎本€(xiàn)與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的左、右焦點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有（

）A．橢圓的離心率為B．橢圓上存在點(diǎn)，使得C．當(dāng)時(shí)，，使得D．當(dāng)，，【答案】AD【解析】橢圓，則對(duì)于A，，故A正確；對(duì)于B，在中，，

由余弦定理得，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，最大，則最小值為，因?yàn)?，函?shù)在遞減，即最大為，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，時(shí)，，即直線(xiàn)過(guò)右焦點(diǎn)，設(shè)，則，恒成立，所以，

又，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，時(shí)，，設(shè)，聯(lián)立，得；所以，

所以，當(dāng)時(shí)，取到最小值為，故，故D正確.故選：AD.第Ⅱ卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．（2023·高二單元測(cè)試）請(qǐng)寫(xiě)出離心率為的一個(gè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程_______.【答案】=1（答案不唯一）【解析】離心率為的一個(gè)雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為.此時(shí)，所以，所以，符合題意.故答案為：（答案不唯一）.14．（2023·高二課時(shí)練習(xí)）橢圓的焦點(diǎn)為，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍是__________．【答案】【解析】設(shè)，,則，又，所以，故答案為：15．（2023·四川廣元·高二廣元中學(xué)?？计谥校┮阎狥是拋物線(xiàn)C：y2=4x的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)AB的中點(diǎn)M作y軸的垂線(xiàn)與拋物線(xiàn)在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P，若，則M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為_(kāi)_____【答案】2【解析】拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線(xiàn)方程為，若，可得，即有，，可得的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，設(shè)，，，，則，若斜率不存在，不合題意，所以過(guò)點(diǎn)F的直線(xiàn)l的斜率存在故直線(xiàn)的方程設(shè)為，代入拋物線(xiàn)的方程可得：，即有，解得，所以直線(xiàn)的方程為．又的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2．故答案為：2．16．（2023·江蘇鹽城·高二統(tǒng)考期末）設(shè)雙曲線(xiàn)，焦點(diǎn)為，坐標(biāo)原點(diǎn)為，為上任意一點(diǎn)，則_________．【答案】1【解析】由雙曲線(xiàn)，得，，所以左右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為，設(shè)點(diǎn)，由雙曲線(xiàn)的定義得，平方得，，又，所以，所以．故答案為：1.四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。17．（10分）（2023·青海西寧·高二校聯(lián)考期末）（1）已知拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，設(shè)過(guò)焦點(diǎn)且傾斜角為的直線(xiàn)交拋物線(xiàn)于兩點(diǎn)，求線(xiàn)段的長(zhǎng)．（2）已知是雙曲線(xiàn)C的兩個(gè)焦點(diǎn)，P為C上一點(diǎn)，且，求雙曲線(xiàn)C的離心率.【解析】（1）拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，直線(xiàn)的斜率為，則直線(xiàn)的方程為，設(shè)點(diǎn)、，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，因此，.（2）因?yàn)?，由雙曲線(xiàn)的定義可得，所以，；因?yàn)?由余弦定理可得，整理可得，所以，即.18．（12分）（2023·江蘇鹽城·高二江蘇省阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C：交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線(xiàn)l過(guò)拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn)，線(xiàn)段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，求AB的長(zhǎng)；(2)若直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)點(diǎn)，求的值．【解析】（1）設(shè)，，線(xiàn)段中點(diǎn)設(shè)為，則，由題意，拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為，，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義得；（2）當(dāng)直線(xiàn)斜率不存在時(shí)，，與拋物線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意.所以直線(xiàn)斜率必存在，設(shè)為，與拋物線(xiàn)聯(lián)立得：，，得，所以.19．（12分）（2023·內(nèi)蒙古包頭·高二包頭市第四中學(xué)校考期末）已知雙曲線(xiàn)與有相同的焦點(diǎn)，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)若直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)坐標(biāo)為，求直線(xiàn)的斜率.【解析】（1）由的焦點(diǎn)坐標(biāo)為

由雙曲線(xiàn)與有相同的焦點(diǎn)所以雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為故，在雙曲線(xiàn)中：

①又雙曲線(xiàn)經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以

②解得：所以雙曲線(xiàn)的方程為：（2）由題知直線(xiàn)斜率存在且不為0，設(shè)直線(xiàn)的方程為：由直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)交于兩點(diǎn)，設(shè)所以消去整理得：所以所以由的中點(diǎn)坐標(biāo)為所以所以.20．（12分）（2023·新疆烏魯木齊·高二烏魯木齊市第70中?？计谥校┮阎獧E圓C關(guān)于x軸?y軸都對(duì)稱(chēng)，并且經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，.(1)求橢圓C的離心率和焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)線(xiàn)段l經(jīng)過(guò)橢圓的左焦點(diǎn)且垂直橢圓的長(zhǎng)軸，與橢圓交于D?E兩點(diǎn)，求BDE的面積.【解析】（1）設(shè)橢圓方程為：，將，代入，，解得：，故橢圓方程為，顯然焦點(diǎn)在軸上，離心率為，焦點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）由題意得：左焦點(diǎn)為，故線(xiàn)段l所在直線(xiàn)方程為：，將代入中，解得：，不妨設(shè)，故，點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，所以.21．（12分）（2023·高二課時(shí)練習(xí)）如圖,點(diǎn)A、B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左、右端點(diǎn),點(diǎn)F是橢圓的右焦點(diǎn),點(diǎn)P在橢圓上,且位于x軸上方,．(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo);(2)設(shè)M是橢圓長(zhǎng)軸上的一點(diǎn),M到直線(xiàn)的距離等于,求橢圓上的點(diǎn)到點(diǎn)M的距離d的最小值．【解析】（1）解:由題知,P在橢圓上,不妨設(shè),,,,即,兩式聯(lián)立可得:,故點(diǎn)P的坐標(biāo)為;（2）M是橢圓長(zhǎng)軸上的一點(diǎn),不妨設(shè),,,,M到直線(xiàn)的距離等于,,即,因?yàn)樗越獾迷O(shè)為橢圓任一點(diǎn),則滿(mǎn)足,即,則,故當(dāng)時(shí)有最小值為.22．（12分）（2023·浙江杭州·高二統(tǒng)考期末）設(shè)拋物線(xiàn)，過(guò)焦點(diǎn)的直線(xiàn)與拋物線(xiàn)交于點(diǎn)，.當(dāng)直線(xiàn)垂直于軸時(shí)，.

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