高一數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)同步高效課堂（人教A版2019）6.2.4向量的數(shù)量積第

6章平面向量及其應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)了解向量數(shù)量積的物理背景，即物體在力F的作用下產(chǎn)生位移s所做的功.掌握向量數(shù)量積的定義及投影向量.會(huì)計(jì)算平面向量的數(shù)量積．目錄CATALOG01.向量數(shù)量積的概念03.題型強(qiáng)化訓(xùn)練02.向量數(shù)量數(shù)量積的性質(zhì)04.小結(jié)及隨堂練習(xí)6.2.4向量的數(shù)量積01向量數(shù)量積的概念學(xué)習(xí)新知前面我們學(xué)習(xí)了向量的加、減運(yùn)算．類比數(shù)的運(yùn)算，出現(xiàn)了一個(gè)自然的問(wèn)題：向量能否相乘？如果能，那么向量的乘法該怎樣定義呢？在物理課中我們學(xué)過(guò)功的概念：一個(gè)物體在力F的作用下產(chǎn)生位移S，那么力F所做的功功是一個(gè)標(biāo)量，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定.這給我們一種啟示，能否把“功”看成是兩個(gè)向量“相乘”的結(jié)果呢？受此啟發(fā)，我們引入向量“數(shù)量積”的概念.其中θ是力F與位移S的夾角.學(xué)習(xí)新知如果我們將公式中的力與位移類比推廣到兩個(gè)一般向量，其結(jié)果又該如何表述？?jī)蓚€(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積.功是力與位移的大小及其夾角余弦的乘積；因?yàn)榱ψ龉Φ挠?jì)算公式中涉及力與位移的夾角，所以我們先要定義向量的夾角概念.學(xué)習(xí)新知1.向量的夾角

已知兩個(gè)非零向量

是平面上的任意一點(diǎn),作

則∠AOB=θ(0≤θ≤π)叫做向量

的夾角．

0≤θ≤π顯然，當(dāng)θ=0時(shí)，

同向;當(dāng)θ=π時(shí)，

反向.如果

的夾角是，我們說(shuō)

垂直，記作

.學(xué)習(xí)新知2.平面向量數(shù)量積的定義規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為0．對(duì)比向量的線性運(yùn)算，我們發(fā)現(xiàn)，向量線性運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)向量，而兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，這個(gè)數(shù)量的大小與兩個(gè)向量的長(zhǎng)度及其夾角有關(guān)．學(xué)習(xí)新知與以往運(yùn)算法則的區(qū)別及注意點(diǎn)：學(xué)習(xí)新知思考：兩個(gè)非零向量a與b的數(shù)量積符號(hào)和這兩向量夾角θ的取值范圍有什么關(guān)系？【練習(xí)】已知

ΔABC為銳角三角形，那么的值（

）A.小于零B.等于零C.大于零

D.不確定A學(xué)習(xí)新知例9：解：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知例10：解：02向量數(shù)量數(shù)量積的性質(zhì)6.2.4向量的數(shù)量積學(xué)習(xí)新知3.投影向量

我們可以在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作.過(guò)點(diǎn)M作直線ON的垂線，垂足為，則就是向量在向量上的投影向量設(shè)a，b是兩個(gè)非零向量，

，過(guò)

的起點(diǎn)A和終點(diǎn)B，分別作

所在直線的垂線，垂足分別為A1，B1，得到

，我們稱這種變換為向量

向向量

投影，

叫做向量

在向量

上的投影向量．MOM1N學(xué)習(xí)新知探究如圖，設(shè)與

方向相同的單位向量為

，

與

的夾角為θ，那么與

，

，θ之間有怎樣的關(guān)系？MOM1N學(xué)習(xí)新知圖6.2-21NM1OMNM1OMMOM1N學(xué)習(xí)新知從上面的討論可知，

學(xué)習(xí)新知探究從上面的探究我們看到，兩個(gè)非零向量a與b相互平行或垂直時(shí)，a在b上的投影具有特殊性．這時(shí)，它們的數(shù)量積又有怎樣的特殊性？a與b方向相同a與b方向相反a·b=|a||b|a⊥b如果a·b=0，不能得出a=0或b=0.若a，b為非零向量，則a⊥ba·b=0a·b=-|a||b|a·b=0如果a·b=0，是否有a=0，或b=0？學(xué)習(xí)新知4.數(shù)量積的性質(zhì)設(shè)a，b是非零向量，它們的夾角是θ，e是與b方向相同的單位向量，則:

aa常記為a學(xué)習(xí)新知與向量的線性運(yùn)算一樣，定義了向量的數(shù)量積后，就要研究數(shù)量積運(yùn)算是否滿足一些運(yùn)算律.探究類比數(shù)的乘法運(yùn)算律，結(jié)合向量的線性運(yùn)算律，你能得到數(shù)量積的哪些運(yùn)算律？對(duì)向量a，b，c和實(shí)數(shù)λ，有：學(xué)習(xí)新知平面向量的數(shù)量積證明向量的分配律：【證明】如圖，任取一點(diǎn)O，作

，

，

，.設(shè)

與

的夾角分別

為

1,

2,

,它們?cè)?/p>

上的投影分別為,,

與

方向相同的單位向量為

,則:

因?yàn)?/p>

，所以

，

則

，即:學(xué)習(xí)新知思考：設(shè)

是向量，

一定成立嗎？為什么？對(duì)于實(shí)數(shù)a，b，c，有(a·b)c=a(b·c)；但對(duì)于向量

，

不一定成立．這是因?yàn)槭且粋€(gè)數(shù)量，所以表示一個(gè)與

共線的向量，同理

表示一個(gè)與

共線的向量，而

與

不一定共線，所以

不一定成立．即使

與

共線，受，以及，模長(zhǎng)等影響，也不一定成立學(xué)習(xí)新知因此，上述結(jié)論是成立的．例11：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知02利用數(shù)量積求向量的模和夾角6.2.4向量的數(shù)量積第2課時(shí)向量的向量積學(xué)習(xí)新知例12：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知例13：學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知學(xué)習(xí)新知補(bǔ)充練習(xí)1