2024-2025學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級(jí)、座號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“考號(hào)、姓名”與考生本人考號(hào)、姓名是否一致.2．回答選擇題時(shí)，選出答案后用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效.3．考試結(jié)束，考生只須將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)正確答案.1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，則B的坐標(biāo)為（）A. B. C. D.3.已知圓，則圓的半徑為（）A. B. C. D.4.如圖，在三棱錐中，平面，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.5.已知直線過點(diǎn)，其方向向量為，直線過點(diǎn)B2,1，其方向向量為，若，則（）A.－2 B.1C.－2或1 D.0或26.圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.7.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則（）A. B. C. D.8.正四面體棱長為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、多選題：本大題3小題，全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不答得0分.9.直線，的方程分別為，，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.， B.，C. D.10.若有一組圓：，下列命題正確是（）A.所有圓的半徑均為2B.所有的圓的圓心恒在直線上C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上D.經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)11.在四面體ABCD中，棱AB的長為4，，，，若該四面體的體積為，則（）A.異面直線AB與CD所成角的大小為B.AC的長可以為C.點(diǎn)D到平面ABC的距離為D.當(dāng)二面角是鈍角時(shí)，其正切值為三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角的余弦值為______．13.已知兩條平行直線間的距離為，則____.14.小明在街道散步時(shí)聽見呼救聲，發(fā)現(xiàn)道旁的湖中有落水者，準(zhǔn)備立即施救．如圖所示，小明位于人行道上的O0,0點(diǎn)，落水者位于；已知小明小跑的速度為，游泳速度為，則他到達(dá)落水者位置所用的最短時(shí)間為______s．四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置.15.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，求值．16.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：（2）若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，求動(dòng)點(diǎn)Q軌跡方程；17.已知的一條內(nèi)角平分線的方程為，一個(gè)頂點(diǎn)為，邊上的中線所在直線的方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求面積．18.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為.（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，.19.閱讀材料：折紙幾何學(xué)是指從數(shù)學(xué)的角度對(duì)折疊過程加以研究，如歐幾里德為平面幾何設(shè)計(jì)了公理一樣，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家藤田文章（HumiakiHuzita）和羽鳥公士郎（KoshiroHatori）設(shè)計(jì)了一套完整的公理體系來描述折紙操作——Huzita-Hatori公理，假定所有折紙操作均在理想的平面上進(jìn)行，并且所有折痕都是直線，這些公理描述了通過折疊紙張可能達(dá)成的所有操作，其中的第六條公理敘述如下：·給定兩個(gè)點(diǎn)，，和兩條相交直線，，存在一個(gè)折疊，可以使落在上，同時(shí)落在上．（如圖1）圖1不同于尺規(guī)作圖，折紙操作在折疊過程借用了三維空間，翻轉(zhuǎn)了“平面”，借助這些公理，可解決一些尺規(guī)作圖無法解決的作圖問題．（?。┍读⒎襟w問題：作出體積是給定正方體兩倍的正方體棱長①如圖19-2，首先將正方形ABCD三等分，②將B折到線段AD上，同時(shí)將M折到線段PQ上，③則點(diǎn)將AD分成兩段，其長度之比恰為所求．圖2（ⅱ）三等分銳角問題：（如圖19-3）①在矩形紙ABCD上折出銳角②在AD上標(biāo)注點(diǎn)M，對(duì)折AM，折痕記為NQ；③折疊紙張，使得點(diǎn)M落到AE上，點(diǎn)A落到NQ上，④把M、N、A落地點(diǎn)分別記為P、H、G，折痕記為RF；AH、AG就是的三等分線圖3結(jié)合閱讀材料解決以下問題：（1）在平面直角坐標(biāo)系中，已知，，若能通過折疊使A，B分別落在x軸，y軸上，求折痕所在直線l的方程；（2）求證：在倍立方體問題中，；（3）如圖4，直線的傾斜角為，若直線n過原點(diǎn)，且傾斜角為，請(qǐng)結(jié)合三等分銳角的案例，設(shè)計(jì)折出直線n的步驟，并加以證明．圖42024-2025學(xué)年福建省廈門市思明區(qū)高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)檢測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的班級(jí)、座號(hào)、姓名.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“考號(hào)、姓名”與考生本人考號(hào)、姓名是否一致.2．回答選擇題時(shí)，選出答案后用鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本卷上無效.3．考試結(jié)束，考生只須將答題卡交回.一、單項(xiàng)選擇題：本大題8小題，每小題5分，共40分.每小題只有一個(gè)正確答案.1.經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】求出過兩點(diǎn)的直線的斜率，結(jié)合傾斜角和斜率的關(guān)系，即可求得答案.【詳解】由題意得經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的斜率為，而直線傾斜角范圍為，故經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，故選：C2.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，則B坐標(biāo)為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)的特點(diǎn)，即可求出B的坐標(biāo).【詳解】由題意在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B與點(diǎn)關(guān)于平面對(duì)稱，則B的坐標(biāo)為，故選：C3.已知圓，則圓半徑為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程可求得其半徑詳解】解：由，得，所以圓半徑為3，故選：A4.如圖，在三棱錐中，平面，，且，則在方向上的投影向量為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系,從而在方向上的投影向量，即在軸正方向上的投影向量.【詳解】∵平面,，∴,,故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為建立空間直角坐標(biāo)系，令.則，則，∴在方向上的投影向量，即在軸正方向上的投影向量為.故選：C.5.已知直線過點(diǎn)，其方向向量為，直線過點(diǎn)B2,1，其方向向量為，若，則（）A.－2 B.1C.－2或1 D.0或2【正確答案】B【分析】通過方向向量平行，求得，再驗(yàn)證即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，解得：或，?dāng)時(shí)，兩直線的斜率為，此時(shí)，滿足題意；當(dāng)時(shí)，兩直線的斜率為，此時(shí)，即兩直線重合，故舍去；故選：B6.圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】圓關(guān)于直線對(duì)稱的圓之間的關(guān)系為：圓心關(guān)于直線對(duì)稱，半徑相等.所以求出關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)即可解題.【詳解】圓：的圓心為，半徑為2，設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得.關(guān)于直線對(duì)稱的對(duì)稱點(diǎn)為，圓：關(guān)于直線對(duì)稱的圓的方程為.故選：D.7.如圖，在三棱錐中，點(diǎn)G為底面的重心，點(diǎn)M是線段上靠近點(diǎn)G的三等分點(diǎn)，過點(diǎn)M的平面分別交棱，，于點(diǎn)D，E，F(xiàn)，若，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】由空間向量基本定理，用表示，由D，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，可得存在實(shí)數(shù)，使，再轉(zhuǎn)化為，由空間向量分解的唯一性，分析即得解.【詳解】由題意可知，因?yàn)镈，E，F(xiàn)，M四點(diǎn)共面，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，所以．故選：D8.正四面體的棱長為4，空間中的動(dòng)點(diǎn)P滿足，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，由題意可得點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，又，再求出的最值即可求解【詳解】分別取BC，AD的中點(diǎn)E，F(xiàn)，則，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為球心，以為半徑的球面，，又，所以，，所以的取值范圍為．故選：D．二、多選題：本大題3小題，全選對(duì)得6分，部分選對(duì)得部分分，選錯(cuò)或不答得0分.9.直線，的方程分別為，，它們?cè)谧鴺?biāo)系中的位置如圖所示，則下列結(jié)論中正確的是（）A.， B.，C. D.【正確答案】BD【分析】利用直線，的橫截距判斷AB；利用直線，斜率的大小判斷CD.【詳解】依題意，直線的橫截距，直線的橫截距，A錯(cuò)誤，B正確；直線的斜率，直線的斜率，則，于是，C錯(cuò)誤，D正確.故選：BD10.若有一組圓：，下列命題正確的是（）A.所有圓的半徑均為2B.所有的圓的圓心恒在直線上C.當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在圓上D.經(jīng)過點(diǎn)的圓有且只有一個(gè)【正確答案】AB【分析】根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和性質(zhì)逐項(xiàng)判斷求解；【詳解】選項(xiàng)A:，，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B:根據(jù)可得，圓心為，在，故選項(xiàng)正確；選項(xiàng)C:當(dāng)時(shí)，，代入不滿足方程，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)D:代入得：即有兩個(gè)解，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AB.11.在四面體ABCD中，棱AB的長為4，，，，若該四面體的體積為，則（）A.異面直線AB與CD所成角的大小為B.AC的長可以為C.點(diǎn)D到平面ABC的距離為D.當(dāng)二面角是鈍角時(shí)，其正切值為【正確答案】ACD【分析】根據(jù)等體積法可結(jié)合三角形的面積公式可得，即可由異面直線的角的定義求解A，根據(jù)余弦定理即可求解B，根據(jù)等體積法即可求解C，根據(jù)二面角的幾何法，結(jié)合同角關(guān)系即可求解D.【詳解】在平面內(nèi)過作，且,由于，故四邊形為矩形，，，，平面，平面，故平面，故，故，因此，由于，所以或，由于為異面直線與所成角或其補(bǔ)角，故異面直線與所成角的大小為，A正確，當(dāng)時(shí)，,由于平面，，∴平面，平面，故，此時(shí),當(dāng)時(shí)，,由于平面，，∴平面，平面，故，此時(shí),故B錯(cuò)誤，由于,,當(dāng)時(shí)，，故，,當(dāng)時(shí)，，故，,故點(diǎn)到平面的距離為,C正確，當(dāng)時(shí)，,,取中點(diǎn)為，連接,,則即為二面角的平面角，,所以,故為鈍角，符合題意，此時(shí)，當(dāng)，由于，點(diǎn)到平面的距離為,設(shè)在平面的投影為,則,故,,因此點(diǎn)為以,為圓心，以半徑為,為半徑的圓的交點(diǎn)，顯然交點(diǎn)位于,同的一側(cè)，故此時(shí)二面角為銳角，不符合要求，故D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知兩條異面直線的方向向量分別是，，則這兩條異面直線所成的角的余弦值為______．【正確答案】【分析】由已知兩條異面直線的方向向量的坐標(biāo)，利用數(shù)量積求夾角公式，即可求得答案.【詳解】因?yàn)閮蓷l異面直線的方向向量分別是,，所以,，,因?yàn)閮蓷l異面直線所成的角為，所以.故13.已知兩條平行直線間的距離為，則____.【正確答案】5【分析】先利用兩直線平行求得m的值，再利用兩平行直線間的距離公式求得n的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】根據(jù)題意，兩條直線平行，必有，解可得則即，變形可得，又由兩條平行直線間的距離為，則有，故，解之可得或，則時(shí)；時(shí).故5.14.小明在街道散步時(shí)聽見呼救聲，發(fā)現(xiàn)道旁的湖中有落水者，準(zhǔn)備立即施救．如圖所示，小明位于人行道上的O0,0點(diǎn)，落水者位于；已知小明小跑的速度為，游泳速度為，則他到達(dá)落水者位置所用的最短時(shí)間為______s．【正確答案】【分析】設(shè)，求得，，從而構(gòu)造時(shí)間函數(shù)，通過求導(dǎo)確定單調(diào)性即可求解.【詳解】如圖假設(shè)小明先跑到點(diǎn)，再游泳去點(diǎn)，設(shè)，可知，因?yàn)?，所以，所以，所以小明用時(shí)其中求導(dǎo)得：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)滿足范圍：所以可知當(dāng)時(shí)，取得最小值.故四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟，把解答過程填寫在答題卡的相應(yīng)位置.15.如圖，在空間四邊形中，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用向量，，表示向量；（2）若，，求的值．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）先把表示出來，然后由點(diǎn)E為的中點(diǎn)得，化簡即得結(jié)果；（2）把用表示，然后利用數(shù)量積的運(yùn)算律結(jié)合已知條件即可求出結(jié)果.【小問1詳解】因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E為的中點(diǎn)，所以.【小問2詳解】因?yàn)?，，所?16.已知點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足．（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程：（2）若動(dòng)點(diǎn)Q滿足，求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程；【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用兩點(diǎn)距離公式代入整理即可得解；（2）利用相關(guān)點(diǎn)法與平面向量的坐標(biāo)表示，結(jié)合（1）中結(jié)論即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)點(diǎn)，又，因?yàn)椋?，化簡可得，即，所以?dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為；【小問2詳解】設(shè)，又，因?yàn)?，所以，即，得，由?）知，所以，整理得動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程為.17.已知的一條內(nèi)角平分線的方程為，一個(gè)頂點(diǎn)為，邊上的中線所在直線的方程為．（1）求頂點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求的面積．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）由點(diǎn)在直線上，設(shè)，由為邊上的中線，得出線段的中點(diǎn)在直線上，根據(jù)中點(diǎn)公式求出中點(diǎn)，代入直線的方程即可求解；（2）由是的一條角平分線，得出點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，由點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱得出坐標(biāo)，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)求出直線的方程，再與直線聯(lián)立求出的坐標(biāo)，由兩點(diǎn)之間距離公式求出，由點(diǎn)到直線距離公式求出到直線的距離，即可根據(jù)三角形面積公式代入計(jì)算即可．【小問1詳解】因?yàn)橹本€方程為，設(shè)，又，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在直線上，所以，整理得，即，所以．【小問2詳解】因?yàn)槭堑囊粭l角平分線，所以點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在直線上，設(shè)，則，解得，所以，所以直線的方程為，整理得，聯(lián)立直線與直線的方程，，解得，即，所以，點(diǎn)到直線的距離，所以．18.如圖，在三棱錐中，側(cè)面底面，，是邊長為2的正三角形，，分別是的中點(diǎn)，記平面與平面的交線為.（1）證明：直線平面；（2）設(shè)點(diǎn)在直線上，直線與平面所成的角為，異面直線與所成的角為，求當(dāng)為何值時(shí)，.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）先得出，所以平面，由線面平行的性質(zhì)得，再由面面垂直的性質(zhì)得出平面，即可得證；（2）解法一：連接，則，，在中，在中，，因?yàn)?，可得的值；解法二：以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，分別表示和，結(jié)合可得.【小問1詳解】因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，則，因?yàn)槠矫?，平面，從而平面，因?yàn)槠矫?，平面平面，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，則平面，所以直線平面；【小問2詳解】解法一：因?yàn)槠矫?，平面，則，又，則，因?yàn)闉檎切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，，、平面，從而平面，連接，則，因?yàn)?，，則，在中，，在中，，因?yàn)椋瑒t，得，所以當(dāng)時(shí)，；解法二：以為原點(diǎn)，直線為軸，直線為軸，過點(diǎn)且垂直于平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)A2,0,0，，，，，從而，，設(shè)平面的法向量m=x,y,z則，取，得設(shè)點(diǎn)，則，所以，，因?yàn)?，則，得，所以當(dāng)時(shí)，.19.閱讀材料：折紙幾何學(xué)是指從數(shù)學(xué)的角度對(duì)折疊過程加以研究，如歐幾里德為平面幾何設(shè)計(jì)了公理一樣，現(xiàn)代數(shù)學(xué)家藤田文章（HumiakiHuzita）和羽鳥公士郎（KoshiroHatori）設(shè)計(jì)了一套完整的公理體系來描述折紙操作——Huzita-Hatori公理，假定所有折紙操作均在理想的平面上進(jìn)行，并且所有折痕都是直線，這些公理描述了通過折疊紙張可能達(dá)成的所有操作，其中的第六條公理敘述如下：·給定兩個(gè)點(diǎn)，，和兩條相交直線，，存在一個(gè)折疊，可以使落在上，同時(shí)落在上．（如圖1）圖1不同于尺規(guī)作圖，折紙操作在折疊過程借用了三維空間，翻轉(zhuǎn)了“平面”，借助這些公理，可解決一些尺規(guī)作圖無法解決的作圖問題．（?。┍读⒎襟w問題：作出體積是給定正方體兩倍的正方體棱長①如圖19-2，首先將正方形ABCD三等分，②將B折到線段AD上，同時(shí)將M折到線段PQ上，③則點(diǎn)將AD分成兩段，其長度之比恰為所求．圖2（ⅱ）三等分銳角問題：（如圖19-3）①在矩形紙ABCD上折