機(jī)電系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)控制

（28學(xué)時(shí)學(xué)位課）

主講：陳維山，董惠娟

教材：機(jī)電系統(tǒng)計(jì)算機(jī)控制

陳維山趙杰編著

哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社

1機(jī)電系統(tǒng)參數(shù)及動(dòng)力學(xué)基礎(chǔ)

performance-dependentmechanicalfactors:驅(qū)動(dòng)力矩、負(fù)載、摩擦力、

摩擦力矩、間隙、剛性、慣性、共振頻率、傳動(dòng)比對(duì)控制系統(tǒng)的影響，如摩擦對(duì)

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差的影響、對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性、快速性等動(dòng)態(tài)性能的影響。

2.機(jī)電系統(tǒng)的模擬控制技術(shù)

直流電機(jī)驅(qū)動(dòng)

直流電機(jī)的靜態(tài)方程以及動(dòng)態(tài)方程

轉(zhuǎn)速閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)設(shè)計(jì)

轉(zhuǎn)速閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)動(dòng)態(tài)分析與校正

電壓反饋直流調(diào)速系統(tǒng)的分析

雙閉環(huán)直流調(diào)速系統(tǒng)

3.步進(jìn)電機(jī)

步進(jìn)電機(jī)性能指標(biāo)

步進(jìn)電機(jī)性能分析

步進(jìn)電機(jī)驅(qū)動(dòng)

步進(jìn)電機(jī)環(huán)形分配器設(shè)計(jì)

1.緒論

?機(jī)電一體化技術(shù)的概念、特點(diǎn)、發(fā)展

?機(jī)電一體化產(chǎn)品及特點(diǎn)

?機(jī)電控制系統(tǒng)的分類(lèi)

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)一般要求

2信號(hào)采樣與Z變換

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)形式

?信號(hào)采樣與保持

采樣信號(hào)、采樣定理、量化與量化誤差、孔徑時(shí)間、零階采樣保持器

?z變換

Z變換與差分方程、Z變換定義、性質(zhì)、常用定理、方法、Z反變換的方法、求

解差分方程

3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分析

?脈沖傳遞函數(shù)

開(kāi)環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)、閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)

?計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)性能分析

穩(wěn)定性分析、穩(wěn)態(tài)誤差分析、動(dòng)態(tài)響應(yīng)分析

4數(shù)字控制器的模擬設(shè)計(jì)方法

?PID控制規(guī)律的離散化方法

模擬PID控制規(guī)律的離散化

PID控制規(guī)律的脈沖傳遞函數(shù)、

PID控制規(guī)律的其他離散化方法

PID控制規(guī)律的工程實(shí)現(xiàn)

PID控制器的設(shè)計(jì)舉例

按二階工程設(shè)計(jì)法設(shè)計(jì)數(shù)字PID控制器

控制器的前向差分、后向差分、圖斯汀變換的比較

?PID控制算法的改進(jìn)

防止積分飽和的方法、微分項(xiàng)的改進(jìn)、抑制干擾的數(shù)字PID、

數(shù)字濾波

?數(shù)字PID控制器的參數(shù)整定

?數(shù)字控制器的等價(jià)離散化設(shè)計(jì)

5最少拍無(wú)紋波系統(tǒng)設(shè)計(jì)

1.1機(jī)電一體化

機(jī)電一體化技術(shù)*

主要研究機(jī)械技術(shù)與電子技術(shù)的結(jié)合規(guī)律，又稱(chēng)機(jī)械電子

(mechatronics)，既不同于機(jī)械產(chǎn)品，又不同于電子產(chǎn)品，是與微處理器相結(jié)

合的電子產(chǎn)品。

泥舔罐般備多功能、高效率、高智能、

計(jì)算機(jī)外設(shè)、辦公自動(dòng)化設(shè)備、微細(xì)加工設(shè)備、數(shù)控機(jī)床、數(shù)控加工

中心、機(jī)器人、射壓成型設(shè)備、武器系統(tǒng)、航空航天、航海設(shè)備、家用電

子機(jī)械、電動(dòng)玩具等。

產(chǎn)品發(fā)展方向：輕、薄、細(xì)、巧

機(jī)電一體化系統(tǒng)：

是把電子、機(jī)械裝置、計(jì)算機(jī)、檢測(cè)與傳感裝置以及軟件等有機(jī)結(jié)合而構(gòu)

成的系統(tǒng)，即機(jī)械、電子、檢測(cè)與傳感、信息處理、接口和軟件等部分以系統(tǒng)

的觀點(diǎn)進(jìn)行結(jié)合而形成的一種新型機(jī)械系統(tǒng)

L2機(jī)電一體化系統(tǒng)分類(lèi)

控制系統(tǒng)按信號(hào)形式分類(lèi)：

1)連續(xù)控制系統(tǒng)：所有信號(hào)均為連續(xù)信號(hào)。

G(s)：負(fù)載、負(fù)載臺(tái)體、執(zhí)行電機(jī)、驅(qū)動(dòng)電路等

,,,

M=J0+B3+K3+M()

2

M(S)=JS3(S)+BSB(S)+K0(S)+Mo/S

e(s)1

M(S)-MJS~JS2+BS+K

其中，M)為工作力矩，

角位置伺服系統(tǒng)K為系統(tǒng)的剛度變形

K,〃為電機(jī)的轉(zhuǎn)矩系數(shù)

K”為放大器的放大倍數(shù)

?機(jī)電一體化系統(tǒng)分類(lèi)

2）離散控制系統(tǒng)：所有信號(hào)均為離散信號(hào)。

3）采樣控制系統(tǒng)：既有連續(xù)信號(hào)，又有離散信號(hào)。

4）數(shù)字控制系統(tǒng)：含有數(shù)字信號(hào)——計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

幣）+C儀/）I------1J--------1J⑻I------1%）,小）

>4A/D—*加0~*1D.AI~?5門(mén)------

采樣開(kāi)關(guān)可以在不同位置

信號(hào)

圖形表示圖中各點(diǎn)信號(hào)

時(shí)間幅值

/

連續(xù)模擬量A,1

f

T2T3T

離散連續(xù)e1B

T2T3T

q2q3q

離散離散C,G

1__4

T2T3T

i

(X)l()1()Oil

離散數(shù)字量t1D,F

T2T3T

------:

連續(xù)階梯形模擬量上H

T2T3T

13計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

1.3計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng):

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)：含有計(jì)算機(jī)并且由計(jì)算機(jī)完成部分或全部控制功

能的控制系統(tǒng)。

計(jì)算機(jī)在控制系統(tǒng)中的應(yīng)用分兩個(gè)方面：

離線應(yīng)用：對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行分析、設(shè)計(jì)、仿真以及建模——控制系

統(tǒng)CAD

在線應(yīng)用：用計(jì)算機(jī)代替模擬控制器，使其成為控制系統(tǒng)的一部分。

,3」計(jì)算機(jī)控,rpjj55^2東2

1.3.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)組成:

等

軟件組成：系統(tǒng)軟件、應(yīng)用軟件

1.3.2計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分類(lèi)：

1.按功能分類(lèi)

1）數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)（操作指導(dǎo)系統(tǒng)）

注意：可以用于輔助建模。也就是所有計(jì)算機(jī)控制系

統(tǒng)均有數(shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)處理的功能。

-

果

IT元x

計(jì)a件

A

算

對(duì)

機(jī)象

打印機(jī)I

圖1.3操作指導(dǎo)控制系統(tǒng)組成征圖

2)直接數(shù)字控制系統(tǒng)?DDC(directdigitalcontrol)

計(jì)A/D

轉(zhuǎn)換器采樣器元件

工

業(yè)

"卜輸出自描地址對(duì)

算

象

輸出執(zhí)行

轉(zhuǎn)帙群口描機(jī)構(gòu)

機(jī)

攤作臺(tái)

也出捫指地址j

計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分類(lèi)

3)監(jiān)督控制系統(tǒng)?SCC(supervisorycomputercontrol)

SCC+模擬調(diào)節(jié)系統(tǒng)

SCC+DDC系統(tǒng)

A?D

轉(zhuǎn)換器采伴器

TZ元件

數(shù)據(jù)工

業(yè)

輸出掃描地總對(duì)

象

錄

記DM輸出模報(bào)執(zhí)行

示

顯轉(zhuǎn)換器掃描調(diào)節(jié)器機(jī)構(gòu)

印

打

埔出門(mén)借地址

藝

據(jù)

SCC

計(jì)工

業(yè)

算對(duì)

家

機(jī)

記錄

顯示

打印

(b)

L32計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分類(lèi)

2.按控制規(guī)律分類(lèi)

1）程序和順序控制：程序控制是指根據(jù)輸入的指令和數(shù)據(jù)，控制生產(chǎn)

機(jī)械按規(guī)定的工作順序、運(yùn)動(dòng)軌跡、運(yùn)動(dòng)距離和運(yùn)動(dòng)速度等規(guī)律而

自動(dòng)完成工作的數(shù)字式自動(dòng)控制。主要用于機(jī)床的自動(dòng)控制。

2）比例積分微分控制（PID控制）：目前應(yīng)用最為廣泛、也是廣大工程

技術(shù)人員所熟悉的控制規(guī)律。

3）最少拍控制：調(diào)節(jié)時(shí)間最短為技術(shù)指標(biāo)。

4）復(fù)雜規(guī)律的控制：充分利用計(jì)算機(jī)的強(qiáng)大計(jì)算、邏輯判斷、中斷以

及學(xué)習(xí)功能。如串級(jí)控制、前饋控制、純滯后補(bǔ)償、多變量解耦控

制以及最優(yōu)、自適應(yīng)、自學(xué)習(xí)控制等。

5）智能控制。

6）模糊控制。

L32計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)分類(lèi)

4）分級(jí)計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求穩(wěn)定性精確性快速性

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

性能指標(biāo)(performancespecification)

(1)被控對(duì)象的最高運(yùn)行加速度

(2)被控對(duì)象的最高運(yùn)行速度

(3)最低平滑速度

(4)靜差率s或轉(zhuǎn)速降落：最低速度仍具有負(fù)載能力

(5)對(duì)階躍信號(hào)輸入下系統(tǒng)的響應(yīng)特性：在階躍信號(hào)作用下，系統(tǒng)的

最大超調(diào)量和響應(yīng)時(shí)間(wj。

(6)通頻帶寬要求：國(guó)內(nèi)一般用雙十指標(biāo)。

(7)對(duì)系統(tǒng)可靠性以及使用壽命等的要求。

(8)對(duì)環(huán)境、成本、通用性、標(biāo)準(zhǔn)化程度、效率、維護(hù)維修、結(jié)構(gòu)尺

寸以及安裝條件等的要求。

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

穩(wěn)定性、穩(wěn)態(tài)誤差、動(dòng)態(tài)響應(yīng)，與連續(xù)系統(tǒng)的區(qū)別是受采樣周期的影響。

1.穩(wěn)定性

對(duì)于穩(wěn)定系統(tǒng)，當(dāng)輸出量偏離平衡狀態(tài)，應(yīng)能隨著時(shí)間收斂，并

且最后回到初始的平衡狀態(tài)。穩(wěn)定性是保證控制系統(tǒng)正常工作的先

決條件，與系統(tǒng)輸入無(wú)關(guān)。

穩(wěn)定判據(jù)之一：（s平面和z平面的相互關(guān)系）

（定義）閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)在左半平面3閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點(diǎn)的模小于1

z=esT

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

線形連續(xù)系統(tǒng)和線形離散系統(tǒng)可以分別用高階微分方程和差分

方程來(lái)描述。例如，力矩平衡方程:

re

冊(cè)?〃)+冊(cè)—(〃T)+…?…+劭機(jī))+^-ir(m-1)+……+*+%

nx

(aGn+an_xs~+...+axs+a^Y(s)

=+2一5,1+…+仇s+d)H(s)+以(s)

yG)=---------------------------------

令輸入為0+4〃_]S50

ClnS+…+。]+。

M(s)

(s-p^s-p2)--(s-pn)

A

A.An

s—Pis-p2s-pn

n

i=\

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

n

Pit

y（t）=^Are

Z=1

其中，高次代數(shù)方程的根一般為復(fù)數(shù)，

假設(shè)Pi=S+jo）

.幾

則，y。）=Z4,=Z4.（c°scot+ysincot）］

Z=1Z=1

若所有的根具有負(fù)實(shí)部：｝吧y⑺=°

若特征根（極點(diǎn)）是在左半平面，離虛軸越近，阻尼越小，超調(diào)量越

大，系統(tǒng)達(dá)到穩(wěn)態(tài)所需的時(shí)間越長(zhǎng)，其穩(wěn)定性能差。

線形離散系統(tǒng)：特征根（極點(diǎn)）的模越大（小于1）。。。。。。

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

線形離散系統(tǒng)：

?向后差分

aQy(kT)+y(kT-T)+....+any(kT-nT)=

b()r(kT)+bxr(kT一T)+....+bmr(kT-mT)

D(s)穩(wěn)定，一定穩(wěn)定

?向前差分

aQy(kT+〃T)+%y(左T+nT-7)+....+〃〃、(左7)=

bGr(kT+mT)+b]MkT+mT-T)+....+bmr(kT)

其中，n>m

D(s)穩(wěn)定，。⑶不一定穩(wěn)定

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

穩(wěn)定判據(jù)之二：勞斯判據(jù)routh

穩(wěn)定判據(jù)之三：bode圖

asmwt-----?!~~GCv)->bsin(wr+0)

振幅比：g=201g(b/a)(db)

響應(yīng)滯后時(shí)間

相位差:e=360°x

輸入周期

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

穩(wěn)定判據(jù)之三：9雙線性變換令bode圖

穩(wěn)定裕度(幅值裕度,相位裕度)

UoG)

在相角-180°時(shí)，如果201g|G(s)|<0,即G(W)<-1,這時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=<-1,系統(tǒng)的輸出為收斂的。

Uj(s)

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

在相角-180°時(shí)，如果201g|G(s)|=0,

即G(加)=-1,這時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(s)=〃幽=-1,系統(tǒng)的輸出為等幅振蕩。

U,(s)

在相角-180°時(shí)，如果201g|G(s)|=0,

即G(jW)=-l,這時(shí)閉環(huán)傳遞函數(shù)的分母l+G(s)=0,系統(tǒng)的最后輸出為無(wú)窮。

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

在相角-180°時(shí)，如果201g|G(s)|>0,

即G(/w)〉-1,這時(shí)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)G(S)=〃3〉-1,系統(tǒng)的輸出為發(fā)散振蕩。

Uj(s)

注意：橫坐標(biāo)是對(duì)數(shù)坐標(biāo)。

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

系統(tǒng)的穩(wěn)定性由中頻段描述。

對(duì)于一個(gè)不穩(wěn)定的系統(tǒng)，常采用滯后校正(中頻率段)，

G(s)=^^(OY”1)

Ts+l

w

y=-201gw+201gy

?中頻段以-20dB/dec的斜率穿越零分貝線，而且這一頻段具有足夠的寬度,

則系統(tǒng)的穩(wěn)定性好。

?截止頻率(或稱(chēng)剪切頻率)越高，增系統(tǒng)的快速性越好。

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

2.精確性(steadystateerror)

即控制精度，以穩(wěn)態(tài)誤差來(lái)衡量。指以一定變化規(guī)律的輸入信號(hào)作

用于系統(tǒng)。當(dāng)調(diào)整過(guò)程結(jié)束，趨于穩(wěn)定時(shí)，輸出量的實(shí)際值與希望

值之間的差值。它反映了動(dòng)態(tài)過(guò)程的后期性能。

+K

2L=*-------1...........

u1+K1+7s/(l+K)

y(5)=』⑸U(s)=--—U(s)=k

a------U(s)

1+G(5)\+Ts+k\+k1+Ts/(1+左)

1+Ts1+T51

成-—小)=工^”

\+Ts+ks

e(oo)=limsDE(s)=——

—°\+k

如果開(kāi)環(huán)增益值為無(wú)窮大，則穩(wěn)態(tài)誤差就會(huì)變成。

y(oo)=lim5J7(5)=K0

Sf01+%

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

拉氏反變換得到e(t),則穩(wěn)態(tài)誤差G=lime⑺

r—>00

利用終值定理，則穩(wěn)態(tài)誤差:ess（°°）=lims.E（s）

5—>0

ess（°°）=lim（Z—1>E（Z）

說(shuō)明：求穩(wěn)態(tài)誤差的前提z->l

e（°）=limE（z）（初值定理）

穩(wěn)態(tài)誤差為0的含義z—>00

穩(wěn)態(tài)誤差為無(wú)窮的含義

終值定理的含義

系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度由低頻段描述。

低頻段斜率陡，增益高，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度高。

(低頻段斜率越陡，含有的積分因子越多，對(duì)于同一輸入，穩(wěn)態(tài)誤差越小)

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

3.快速性

系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)指標(biāo)，即當(dāng)系統(tǒng)的輸出和輸入之間產(chǎn)生偏差時(shí),

消除這種偏差的快慢程度。

動(dòng)態(tài)指標(biāo)包括：超調(diào)量o%(overshot)、調(diào)節(jié)時(shí)間ts、峰

值時(shí)間tp、振蕩次數(shù)N

U

y

0A

1.4計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的一般要求

y?p）-y（8）

y（8）

%=0.16+0.4x(吃+1)

71o

”一[2+1.5x(Mr-1)+2.5x("If]

為了提高快速性，常采用超前校正（中頻率段）：d5）=答1(1YOY15)

Ts+i

“L(W)

y=20lgvv-201g-^―

.aT

5

1/aT1/T

T

7-

2.1計(jì)算機(jī)控制系統(tǒng)的信號(hào)形式

例:對(duì)一非純阻性元件兩端的余弦電壓和電流信號(hào)進(jìn)行計(jì)算機(jī)采集，計(jì)

算其電壓和電流的相位差。

已知:余弦電壓頻率/，采樣頻率例（采樣周期（）,被采樣電壓U.5）和電流/〃5）

貝I」：U.5）=UmaxC0S%n=1,2,3......

電壓采樣值兩個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)極性不同過(guò)零點(diǎn)分別設(shè)為（％,U0）和

計(jì)算過(guò)零點(diǎn)時(shí)間：

r_tQul—tluoy

I-III

U「U°_/Illi:

一丁——__

貝U：q的相位囚=（匕T'）G=

的相位％=①（〃一1）（+0n=1,2,3……

同理，兩個(gè)連續(xù)采樣點(diǎn)極性不同過(guò)零點(diǎn)計(jì)算L的相位外

電壓上⑺和電流/〃⑺的相位差：=以〃一1）7；+0-外

如圖：n=5

2.2信號(hào)采樣與保持

2.2信號(hào)采樣與保持

2.2.1采樣信號(hào)

1）3函數(shù)及其性質(zhì)（脈沖函數(shù)）

foot=0

5。）=《

[0twO

3函數(shù)的采樣性質(zhì)或篩選性質(zhì)

，+00

W）力=/（o）

—00

2.2.1信號(hào)采樣

+00

5(。/。)力=/(0)

」一00

f+00

J—00

」■p+oo

同理：［kT)/⑺力二/(kT)

J—00

2）理想采樣開(kāi)關(guān)的數(shù)學(xué)描述--單位脈沖序列

5T6=……++女7)……+6(，)……+3(t-kT)

,00

=Eb(t—kT)

—oo

2.2.1信號(hào)采樣

3）理想采樣信號(hào)的時(shí)域描述

+00

+00

=E/（kHT）

—00

222采樣定理

222、采樣定理

1）采樣開(kāi)關(guān)的傅氏級(jí)數(shù)

給定任意周期函數(shù)，滿足狄里赫利條件，則可

以展成傅氏級(jí)數(shù)

+001X0k

其中，⑺^=—

—0012I

+00

例：將單位脈沖函數(shù)序列一左7）展成傅氏級(jí)數(shù)

一00

2.2.2采樣定理

<e）基流"十”三次諧波“十”五次謂波基波"+"三次清波“+”五次諧夜七次漕波

2.2.2采樣定理

2）理想采樣信號(hào)的傅氏積分:

（丁⑺為連續(xù)周期信號(hào)）

于飛）=?。┎虎?/p>

1丁00

1—00

1丁8

尸（S）尸。+共叫）

尺—00

2.2.2采樣定理

連續(xù)周期函數(shù)頻譜和其采樣函數(shù)的頻譜:

(-)連續(xù)頻譜

9,

2.2.2采樣定理

連續(xù)非周期函數(shù)（具有無(wú)限頻譜）頻譜:

隨著頻率的增加，正弦信號(hào)的幅值減小

w〈為）1

小。）

例：設(shè)連續(xù)函數(shù)/⑺=/oexp（T/u）"=O.Ol秒，取gJ靠x）=0.05,

￡為信息損失率，求最高有限頻譜？（答案：1997rad/s=320Hz）

2.2,2采樣定理

3）采樣定理

a）被采樣信號(hào)b）調(diào)制過(guò)程c）采樣信號(hào)

思考：什么時(shí)候不需要采樣保持器?

2.2.2采樣定理

采樣定理：

對(duì)于一個(gè)具有有限頻譜的連續(xù)信號(hào)（周期連續(xù)信號(hào)）/⑺進(jìn)行采樣，

若采樣頻率4滿足

①

s—2%1ax

再通過(guò)一個(gè)理想的低通濾波器，則采樣信號(hào)/⑺能夠不失真地復(fù)現(xiàn)

原來(lái)的連續(xù)信號(hào)/⑺。其中以皿為原信號(hào)/⑺有效頻譜中的最高頻率

2.2.2采樣定理

ToolsDesktopWindowHelp

加舉例：0C?建□目」□

loaddataOl.txt

load_data=dataOl

subplot(2,1,1)

plot(load_data)

Y=FFT(load_data,512)

/=100000*(0:256)/512

subplot(2,1,2)

p/o/(7,Q加(Y(1:257)))

gridon

采樣頻率100KHZ,采樣點(diǎn)數(shù)512。下圖頻譜分析圖中，基于采樣定理，只分析0-50KHZ,

50-100KHZ的頻譜是什么？為什么？

2.2.2采樣定理

問(wèn)題：采樣512數(shù)據(jù)，并進(jìn)行FFT,幅度譜有哪些特點(diǎn)？可以得到多少個(gè)頻率點(diǎn)

的譜密度？分別是哪些頻率點(diǎn)？（0?511）100000/512Hz

2.2.2采樣定理

FFT頻譜分析實(shí)例：對(duì)如下有限長(zhǎng)序列進(jìn)行了譜分析：

X(H)=sin(2?-100n)+sin(2??150”)+sin(2??250〃)

〃=1,2,...,100

r=0:0.001:1;

x=sin(2*pi*100*f)+sin(2*pi*150*。+sin(2*pi*250*r);

subplot(2,T,D;

plot(x);

y="(x,512);

f=1000*(0:255)/512;

subplot(2,1,2);

pE(/,“bs(y(l:256)));

gridOH;

2.2.2采樣定理

問(wèn)題：為什么下圖關(guān)于500Hz對(duì)稱(chēng)？與100Hz、150Hz相比，為什么250Hz

的頻率譜密度更窄?250/(1000/512)=128

150/(1000/512)=76.8

2.2.2采樣定理

對(duì)如下有限長(zhǎng)序列進(jìn)行了譜分析（采樣頻率1KHZ）:

X(H)=sin(2?-100H)+sin(2?-150H)+sin(2??650〃)

H=1,2,...,100

01002003004005006007008009001000

問(wèn)題：650Hz正弦信號(hào)幅度譜出現(xiàn)了嚴(yán)重的失真現(xiàn)象（頻譜混疊），為什么?

2.2.3量化和量化誤差

2.2.3量化和量化誤差

c-?/max-?Anin_?Anax-?Anin

二2一一N

f=Lq+s

其中L為整數(shù)。對(duì)于余?。ā?lt;q）有兩種處理方法,

截尾

0<8<q

舍入

-qll<8<qll

2.2.4孔徑時(shí)間及采樣保持

2.2.4孔徑時(shí)間及采樣保持

1）孔徑時(shí)間

例如：一個(gè)10位的A/。轉(zhuǎn)換器，量化精度為0.1%,孔徑時(shí)間為10

如果要求轉(zhuǎn)換誤差在轉(zhuǎn)換精度之內(nèi)，則允許轉(zhuǎn)換的正弦模擬信號(hào)的

最大頻率？

2.2.4孔徑時(shí)間及采樣保持

2）采樣保持

3）模擬量輸出保持器

2.2.4孔徑時(shí)間及采樣保持

4）零階保持器

%=1（f）-1（"7）

1—Ts1—Ts

拉氏變換："o（s）=L——二二一

SSS

Ho（s）=T/于（低頻,歐拉表達(dá)式）

H0（s）=—/（泰勒展開(kāi)）

1-F-S

2

采樣周期T的大小不同，注意外、入小的變化。

問(wèn)題：零階保持器等效為一個(gè)慣性環(huán)節(jié)，含義是什么？

2.3Z變換

2.3Z變換

線形連續(xù)系統(tǒng)：

d(〃)yd(〃T)yd(")r

a.+a,1--+....+ay=b+b1-+....+br

°dtn力〃T-l°(}力〃}力i"

線形離散系統(tǒng)：

aoy(kT)+axy{kT-T)+....+any(kT-nT)=bor(kT)+bxr(kT-T)+....+bmr(kT-mT)

aoy(kT+nT)+a1y(kT+nT-T)+....+any(kT)=bQr(kT+mT)+bxr(kT+mT-T)+....+bmr(kT)

其中，n>m

例：y(kT)+y(JcT-T)=r(kT)+2r(kT-2T)

kk>-f)

輸入序列：，(4)=L1n初始條用(0)=2

0k<0

試用迭代法求解差分癱。

2.3Z變換

例由傳遞函數(shù)求差分方程的表達(dá)式（用后向差分方法）

D(s)=3=kp+1

E(s)「

解：U(s)=k-E(s)+--E(s)

pTjS

k

用后向差分方法離散：u(k)=kp-e(k)+—

TTj=i

Tk-l

u(k-l)=kp-e(k-l)+--^e(j)

hj=i

u(k)=u(k-1)+kp(e(k)-e(k-1))+Je(k)

J-T

注意：可以用微分或積分的兩種方法離散

2.3.1Z變換的定義

2.3.1Z變換的定義

0000

/⑺的采樣信號(hào)表示為：/*?)=/⑺ZW%—kT)=Z以kT)3Q_kT)

k=0k=0

co

F*(s)=￡j(kT)e-kTs

k=0

引入新的變量：z=*，則

00

F(z)=F*(s)=Zf(kT)廠

k=0

=L"*(心

13

=/(O)Z°+/(T)r+F(2T)z-2+f(3T)r+....

2.3.2z變換的性質(zhì)和常用定理

2.3.2z變換的性質(zhì)和常用定理

1)線性性質(zhì)

若Z"]⑺]=F](z),Z[/2(r)]=外⑶,則

Z此⑺+隊(duì)⑺]=aFx⑶+/⑶

其中私月為任意實(shí)數(shù)。

2)位移定理(/(左)=0,左＜0)

滯后定理：若脈沖序列延遲〃個(gè)采樣周期，則

Z[f(k-n)T]=Z-nF(z)

超前定理：若脈沖序列超前〃個(gè)采樣周期，則

71-1

Z[f(k+n)T]=Z"尸(z)—Zz〃一"(")

/=o

2.3.2z變換的性質(zhì)和常用定理

3）初值定理：如果limb（z）存在，則〃［）或〃U）的初值/（。）為

Z->oo

J（O）=limFa）

z-00

4)終值定理：如果/*(%)的終值存在，則

limf(r)=f(oo)=lim[(z-l)F(z)]

z—>00Z—>1

例2-1：討論差分方程——=-l<a<l

式中k<0時(shí)，/（左）=0,且1（左）是單位階躍序列，求〃0）和/?

2.3.2z變換的性質(zhì)和常用定理

5)非一一對(duì)應(yīng)性：

z變換只能給出原函數(shù)的一連串離散的數(shù)值八左T),而不能給出

原函姆⑺，即z反變換的結(jié)果只和采樣時(shí)刻的信息一一對(duì)應(yīng)，而和

連續(xù)信號(hào)非一一對(duì)應(yīng)

k1

6)迭值定理：g(k)=￡y⑴，則G⑵==丫⑵

i=o1-z

2.3.3z變換方法

2.3.3z變換方法

表4.1N變換表

F3fST)或f(k\F5)

單位脈沖函數(shù)

1火力11%=01

六仃）=

Io"0

S^T-nT)=

5(.t-”丁)(1k=nN-*

\0A#兀

11_

1(*)

1(01—x-1

]1

e—“「MT

$+tl1一?一吟-1

17V7

tJtT

萬(wàn)(1-Z-1)2

7^7(1+1】)

2戶(仃/

T-(1一LA

2.3.3z變換方法

1）級(jí)數(shù)求和法：

例2-2求/>⑺=5⑺的z變換，其中5。）為單位脈沖函數(shù)o

例2-3求單位階躍函數(shù)f⑺=1⑺的z變換。

00

例2-4求單位理想脈沖序列分=Z3。-左T）的z變換。

k=0

注意：例2-3和2-4的z變換結(jié)果相同

2.3.3z變換方法

一八sinwtt>0,.

例2—5：求的z變換

0t<0

I

1

提示:sinwt=-(eJwt-e-Jwt)

2j

tt>0

例2-6：求〃力=一的z變換

0t<0

V

注意：下面的函數(shù)與例2-6的區(qū)別

求〃4)=[：的z變換。

[0左<0

、[kk>1,,

求人人)"的z變換

0%<1

2.3.3z變換方法

2）部分分式法

設(shè)連續(xù)信號(hào)/⑺的尸⑸

n

尸G)=ZA

Z=1s-ai

拉氏反變換得出/⑺為

n

Z=1

"z)=￡4z

a：T

1

Z=1z~e

2.3.3z變換方法

例2-7已知b(s)=―--,求方(z)。

S(S+Q)

例2-8已知/(s)=下J，求方(z)。

s乙+Ia乙

1

例2—9求/(s)=------甘生變換

2.3.4Z反變換

2.3.4z反變換

ZT[F(Z)]=//)=/(AT)

/*?)=/(⑦心⑺

1）部分分式展開(kāi)法

10z

例2-10已知方（z）=，求f（左）。

(z—l)(z—2)

2.3.4Z反變換

例2T已知姓）=1

,。為常數(shù)，丁為采樣周期，求“公。

2）長(zhǎng)除法

如果尸(z)是z的有理函數(shù)

7m.rm—1.7m—2.7

bz+》億+bz+???〃〃(、、

/(z)=Q~~~~2~------("Nm)

aoz+/z+電z+…4

并將商按ZT的升幕排列，

00

-1-2czk

F(Z)=CQ+qz+c2z+…qz"'+…=Zk~

k=0

f(O)=co,/⑴=0〃2)=。2，〃3)=q

2.3.4Z反變換

1A7

例2—11已知/(Z)=F—"--’求〃女)。

z—-3z+2

解：首先將分子分母按二的升幕排列，得

IQz-1

E(z)=

1-3/+2廠

采用長(zhǎng)除法

10z-1+30Z_2+70Z-3+

1—3/+2廠)10/

lOz7-30z-2+20Z”

30Z-2—20Z「3

30z--90尸+60z”

70Z-3-60Z-4

70廠-210Z"+140Z-5

因止匕尸(z)=10zT+30z-2+70z-3+…

指令：num=[0,10,0]J

den=[1,-3,2]J

[y,x]=dimpulse(num,den)J

2.3.4Z反變換

3)反演積分法(留數(shù)法)

若/⑺的z變換為/⑶,則/(仃)=ZRe#1尸(z)]=Xlim[zi%z)(z-pi)]

i=lz=piz=lz—>pi

Pi為尸(z)的極點(diǎn)，即/⑺的z反變換為zJ尸(z)的各留數(shù)之和。

當(dāng)尸(z)具有重極點(diǎn)，重極點(diǎn)的階數(shù)為/

n-l]。-1)

f*T)=Zlim々J尸(z)(z-pi)]+lim”……[zi“Xz-pj)1]

i=l—pi—PjdZ

例2-12,求/⑵=2zS-b)的z反變換〃仃%/*⑺

(z—a)(z—b)

f*T)=Umz-尸(z)(z—〃)+Rmd"尸(z)(z—b)

Z—z—>人

2zk(a-b)2z\a-b)

=-------------------------H----------------------------

(D』—a)日

=2(ak-bk)

2.3Z變換

例2—13,求b（z）=^^——的z反變物（左T）,「⑺

z-4z+3

〃b）=limzi/（z）（z-1）+limzi/（z）（z-3）

z-z~~^3

k—\k—\

zz

二-----H-------------

（z"

1--11

=—J------

22

2.3.5用z變換求解差分方程

2.3.5用z變換求解差分方程

例2-14設(shè)一階采樣離散控制系統(tǒng)的差分方程為

c(k-\-l)-b-c(k)=r(k)

已知輸入信號(hào)“女)=/,左20,初始條件為c(0)=0,求c(Z)。

解：對(duì)差分方程兩邊進(jìn)行z變換，應(yīng)用偏移定理得

7

zC(z)-zc(0)—人。(z)=R(z),R(z)=

z-a

代入初始條件c(0)=0

z1「Zz

Ci(z、)=-----------=-----------------

(z—〃)(z—b)a-b\_z-az-b_

進(jìn)行z反變換得c(k)=--一(ak-bk)

a-b

討論：c(k)的輸出形式？如何收斂?

2.3.5用z變換求解差分方程

例2-15用z變換解下面的差分方程

x(k+2)+3x(k+1)+2x(k)=0

已知初始條件x(0)=0,九⑴=1,求九女).

解：對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換，得

?x(z)-z2x(0)--⑴+3次(z)-3^(0)+2X(z)=0

代入初始條件，并簡(jiǎn)化得

777

x()=-——=--------—

zz?+3z+2z+1z+2

對(duì)上式進(jìn)行z反變換，得

%/)=(———(—2產(chǎn)

此方程的輸入信號(hào)「伏)=0,響應(yīng)是由初始條件激勵(lì)的。

思考：x(k)的輸出形式，即振蕩還是單調(diào)？若振蕩，則振蕩頻率是多少？是否收斂?

2.3.5用z變換求解差分方程

600

x(A)可以表示為：x(k)=cosk7i-2kcoskn

振蕩發(fā)散，且振蕩頻率='=振蕩周期Ts=2s

其中，采樣周期T=ls

2.3.5用z變換求解差分方程

例2-16用z變換解下面的差分方程

x(k+2)-4x(2+1)+3x(k)=d(k)

已知初始條件x(左)=0,左40,求x(左).

解：對(duì)方程兩邊進(jìn)行z變換，得

?X(z)-?x(0)-zx(l)-4zX(z)+4zx(0)+3X(z)=1

代入初始條件，x⑴=0并簡(jiǎn)化得

?X(z)-4次(z)+3X(z)=l

X(z)=-^——

z——4z+3

對(duì)上式進(jìn)行z反變換，得

x(k)=彳(3)1--

22

問(wèn)題:輸出X(k)是如何發(fā)散還是收斂?

2.3.5用z變換求解差分方程

單調(diào)發(fā)散

例2-17由脈沖傳遞函數(shù)求差分方程的表達(dá)式

D(z)=幽＞=/+女Fj+z+l

43