專題13.10軸對稱章末十大題型總結（拔尖篇）

【人教版】

＞題型梳理

【題型1設計軸對稱圖案】......................................................................1

【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】...............................................................4

【題型3翻折變換】...........................................................................12

【題型4兩圓一線畫等腰】.....................................................................21

【題型5等邊三角形手拉手問題】..............................................................23

【題型6分身等腰】...........................................................................31

【題型7一線分二腰】........................................................................35

【題型8角平分線的綜合應用】................................................................42

【題型9垂直平分線的綜合應用】..............................................................53

【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應用】......................................................65

〉舉一反三

【題型1設計軸對稱圖案】

【例1】（2023?全國?八年級假期作業(yè)）如圖，點4、B、C都在方格紙的格點上，請你再找一個格點使

點A、8、C、。組成一個軸對稱圖形，并畫出對稱軸.

【答案】見解析

【分析】如圖1,以線段48的垂直平分線為對稱軸，找出點C的對稱點然后順次連接即可;

如圖2,以線段AB所在的直線為對稱軸，找出點。的對稱點D,然后順次連接即可；

如圖3,以線段BC的垂直平分線為對稱軸，找出點A的對稱點。，然后順次連接即可；

如圖4,以線段BC所在的直線為對稱軸，找出點A的對稱點￡）,然后順次連接即可.

【詳解】解：如圖所示:

【點睛】此題考查利用軸對稱設計圖案，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)，利用軸對稱的作圖方法作圖是解此題的關

鍵.

【變式1-1］（2023春?八年級單元測試）圖形設計：請將網(wǎng)格中的某些小方格涂黑，使它與已涂黑的小方格

組成軸對稱圖形，并且有兩條對稱軸.（要求用兩種不同的方法）

圖1

【答案】見解析

【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)來畫軸對稱圖形，先確定對稱軸，再找出陰影部分圖形關鍵點的對稱點，畫

出圖形即可，圖形的兩部分沿對稱軸折疊后可完全重合

【詳解】解：畫圖如下:

圖1圖2

【點睛】此題主要考查了作圖--軸對稱變換，關鍵是掌握軸對稱圖形的定義.

【變式1-2］（2023春?吉林延邊?八年級階段練習）圖①、圖②都是4x4的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點

稱為格點，每個小正方形的邊長均為1,在每個網(wǎng)格中標注了5個格點，按下列要求畫圖.

圖①圖②

（1）在圖①中，以格點為頂點畫一個等腰三角形，使其內(nèi)部已標注的格點只有4個；

（2）在圖②中，以格點為頂點，畫一個軸對稱圖形，使其內(nèi)部已標注的格點只有3個.

【答案】見解析

【詳解】試題分析：（1）根據(jù)要求畫圖即可.因為畫的是等腰三角形，因此至少要有兩條邊相等;

（2）利用已知結合軸對稱圖形性質(zhì)畫出一個等腰三角形即可.

解：U）如圖①所示：

圖①圖②

考點：利用軸對稱設計圖案.

【變式1-3］（2023春,八年級單元測試）請你分別在下面的三個網(wǎng)格（兩相鄰格點的距離均為1個單位長度）

中，各補畫一個小正方形，要求：

①三個圖形形狀各不相同，②所設計的圖案是軸對稱圖形.

【答案】詳見解析

【分析】利用軸對稱圖形性質(zhì)分別得出圖第即可.

【詳解】如圖所示:

【點睛】本題考查了利用軸對稱性質(zhì)設計圖案，利用軸對稱圖形是沿某條直線折疊后能夠與直線的另一邊完

全重合的圖形設計圖案是解題的關鍵.

【題型2利用軸對稱性質(zhì)求最值】

【例2】（2023春?全國?八年級專題練習）如圖，邊長為〃的等邊△48C中，B尸是AC上的中線且BF=b,

點。在8戶上，連接A。，在A。的右側作等邊△40E,連接ER則△/￡1尸周長的最小值是，此時

乙CFE=

【答案】\a+b90。/90度

【分析】通過分析點石的運動軌跡，點E在射線CE上運動（乙4CE=30。），作點A關于直線CE的對稱點

連接FM交CE于點ET此時4。+的值最小

【詳解】解：???△ABC,ZkADE均為等邊三角形，

：.AB=AC=a,AD=AE,LBAC=Z.DAE=乙ABC=60°,

J.￡BAD=Z.CAE,

/.6.BADCAE,

：./-ABD=Z.ACE,

??AF=CF=^a,BF=b,

工乙ABD=乙CBD=Z.ACE=30。，BF1AC

，點E在射線CE上運動（NACE=30。）

作點A關于直線CE的對稱點M,連接FM交CE于點E',此時力守+/口的值最小，NCFE'=90。

*：CA=CM.Z-ACM=60°

:.△ACM是等邊三角形，

：.AM=AC,

9：BFLAC,

：.FM=BF=b,

.*.△尸周長的最小值是4尸+FEr+AE'=AF+FM=^a+b,

故答案為：：Q+b，90°

【點睛】本題考查軸對稱最短問題、等邊三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關

鍵是證明點E的運動軌跡，本題難度比較大，屬于中考填空題中的壓軸題.

【變式2-1］（2U23春?湖北武漢?八年級?？计谀┤鐖D，等腰直角△48。中，AC=BC,Z.ACB=90°,D為

BC中點,AD=6,P為AB上一個動點,當尸點運動時，PC+PD的最小值為.

【答案】6

【分析】作出點C關于AB的對稱點凡連接FD,根據(jù)對稱性，得至帖C=B"，乙。24=乙48尸=45。，證明股△

ACDRt^FBD,得到PC+PD的最小值為OR計算即可.

【詳解】如圖，*：AC=BCt乙4c8=90。，D為BC中點,

ABD=CD,/.CAB=ACBA=45°：

作點C關于AB的對稱點尸，連接尸。，交于點￡當點P與點E重合時，PC+PD取得最小值，且最小值

為DF,

根據(jù)對稱性，得到BC=B居NCBA=ZM8F=45。，

；?FB=AC/FBD=90°；

AC=FB

LACD=乙FBD=90°,

CD=BD

：.Rt^ACD三RtAFBD,

：.AD=FD,

*：AD=6t

：.FD=6,

???PC+PZ）的最小值為6,

故答案為：6.

【點睛】本題考查了軸對稱性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握軸對稱性質(zhì)

是解題的關鍵.

【變式2-2］（2023春?河北張家口?八年級統(tǒng)考期末）如圖，方格圖中每個小正方形的邊長為1,點4、B、C、

(1)畫出△ABC關于直線MN對稱的△力iaG：

(2)在直線MN上找點P使P8+PC最小，在圖形上畫出點P的位置：

(3)在直線MN上找點。使IQB-Q川最大，目毯寫出這個最大值.

【答案】(1)見解析

(2)見解析

(3)作圖見解析；|QB—Q川最大值為3

【分析】(1)利用網(wǎng)格特點，先畫出A、B、C關于直線MN的對稱點4、Ci，再順次連接即可；

(2)作點C關于MN的對稱點O,連接3。交MN于一點，該點即為點P；

(3)由于QA=QA],則|Q8-QA|=|QB-QAi|,而由三角形的三邊關系可得|QB-QA/W當Q、A

8三點共線時取等號，從而可得答案.

【詳解】(1)解：AABIG即為所求作的三角形，如圖所示：

：一.；L..'LA\.J：.J：…上：二

1二tWf

in…[Bi…

(2)解：如圖，作點C關于MN的對稱點。，連接80交MN于一13該點即為所求作的點P；

_____11

?xx'?'?'??'

\:B

?::：:?iD:?\:?NF!\x:

??,點C與。關于MN的對稱，

：.PC=PD,

；?PB+PC=PD+PB,

,：PB+PD>BD,只有當點P、B、。三點共線時等號成立,

???當點P、B、。三點共線時，PB+P。最小，即PB+PC最小;

（3）解：先作出4關于直線MN的對稱點4，連接并延長交MN于一點，該點即為點Q,如圖所示:

：.\QB-QA\=\QB-QA^,

根據(jù)三角形的三邊關系可得IQB-QAilWA18,當Q、4、B三點共線時取等號，

???|Q8-QA|的最大值為=3.

【點睛】本題主要考查了作圖一軸對稱變換、軸對稱的性質(zhì)和三角形的三邊關系，屬于?？碱}型，熟練掌握

上述知識是解題的關鍵.

【變式2-3］（2023春?廣東深圳?八年級?？奸_學考試）【初步感知】

（1）如圖1,已知AABC為等邊三角形，點。為邊8C上一動點（點。不與點8,點C重合）.以為邊向右

側作等邊A/OE,連接CE.求證：^ABD^ACE；

圖1

【類比探究】

（2）如圖2,若點。在邊BC的延長線上，隨著動點。的運動位置不同，猜想并證明:

①AB與CE的位置關系為：

②線段EC、AC.CO之間的數(shù)量關系為：；

【拓展應用】

(3)如圖3,在等邊A48C中，A8=3,點P是邊AC上一定點且4P=1,若點0為射線BC上動點，以DP為邊

向右側作等邊AOPE,連接CE、BE.請問：PE+8E是否有最小值？若有，靖直接寫出其最小值；若沒有,

請說明理由.

【答案】(1)見解析

(2)平行EC=AC+CD

(3)有最小值，5

(分析］(1)由A4BC和△力DE是等邊三角形，推出48=AC,AD=4E,/.BAC=/.DAE=60°,又因為2B4C=

乙DAE,則乙3力C一4/MC=/O4E—204C,^Z.BAD=Z.CAE,從而利用“SAS”證明AA80三AACE；

(2)①由(1)得A4BO三A4CE(SAS),得出=々ACE=60°,CE=BD,LBAC=/.ACE,則4B||CE；

②因為CE=BD,AC=BC,所以CE=BD=BC+CD=AC+CD；

(3)在BC上取一點M,使得OM=PC,連差EM,口Ji止AEPC三AEDM(SAS),EC=EM,求得/CEM=60°,

得出ACEM是等邊三角形，則NECD=60。，即點E在乙4CD角平分線上運動，在射線CD上截取CP，=CP,當

點E與點。重合時，BE+PE=BE+P,E>BP,=5,進而解答此題.

【詳解】(1)證明：??地4"和A4DE是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,

Z.BAC=Z.DAE=60°,

*：Z.BAC=LDAE,

：.￡.BAC一乙DAC=Z.DAE-LDAC

乙BAD=Z.CAE

在&4B0和A/ICE中，

AB-AC

Z.BAD=Z.CAE，

,AD=AE

：.^ABD^/^ACE(SAS)；

(2)平行，EC=AC+CD,理由如下：

由(1)^LABD^LACE(SAS),

?"B=NACE=60。，CE=BD,

：.Z.BAC=Z-ACE,

：.AB\\CE,

a：CE=BD,AC=BC,

：.CE=BD=BC+CD=AC+CO；

(3)有最小值，理由如下：

如圖，在射線8C上取一點M,使得DM=PC,連接EM,

??"BC和ADPE是等邊三角形，

:?PE=ED,乙DEP=LACB=60°,

：.Z-ACD=180°-Z.ACB=180°-60°=120°,

：.￡.ACD+Z.DEP=120°+60°=180°,

由三角形內(nèi)角和為180。，可知：Z-PCE+LCEP+Z.EPC=180°,Z.ECD+Z.CDE+Z.CED=180%

：.Z.PCE+乙CEP+乙EPC+Z.ECD+Z.CDE+乙CED=360°,

又?:乙PCE+Z,ECD4-乙CEP+LCED=Z.ACD+Z-DEP=180°,

：.￡.EPC+乙CDE=360°-180°=180°,

'：Z.EDM+LCDE=180°,

:?乙EPC=乙EDM,

在AEPC和AEOM中,

PE=ED

Z.EPC=Z-EDM，

PC=DM

LEPC^EDM(SAS),

：.EC=EM,乙PEC=LDEM,

■:乙PEC+乙CED=^DEP=60°,

:2CEM=LDEM+MED=60°,

，ACEM是等邊三角形，

：.Z.ECD=60°,Z-ACE=1800-Z-ECD-Z.ACB=180°-60°-60°=60°,

即點E在乙4CD的角平分線上運動，

在射線CD上截取CP'=CP,連接EPt

在ACEP和AC"'中，

PC=P'C

乙PCE=Z.P'CE=60°,

CE=CE

△CEP三AC"'(SAS),

:,PE=P'E,

則BE+PE=BE+PE,

由三角形三邊關系可知，BE+P'E>BP\

即當點E與點C重合，+=PE+BE有最小值BP，，

,:BP，=BE+CPf=BC+CP=3+2=5,

：-BE+PE=BE+PlE>BP'=5,

???8E+PE最小值為5.

DPM

【點睛】本題考查三角形綜合，全等三角形的判定，正確添加輔助線、掌握相關圖形的性質(zhì)定理是解題的關

鍵.

【題型3翻折變換】

【例3】(2023春?福建泉州?八年級統(tǒng)考期末)在△ABC中，乙4cB=90。，乙4=50。，點。是4B邊上一點,

將4ACD沿CD翻折后得到△ECD.

⑴如圖1,當點E落在BC上時，求NBDE的度數(shù)：

(2)當點E落在BC下方時，設DE與BC相交于點F.

①如圖2,若DE工BC,試說明：CEUB；

②如圖3,連接BE,EG平分NBED交C。的延長線于點G,交BC于點H.若BEIICG,試判斷乙C/E與/G之間

的數(shù)量關系，并說明理由.

【答案】(1)10。

(2)①見解析；②44G-Z.CFE=40°

【分析】(1)根據(jù)翻折可得乙4=4。瓦)=50。，再利用外角即可求出乙BDE的度數(shù)：

(2)①根據(jù)翻折可得乙4=/CED=50。，再利用垂直可得乙B=4EC尸=40。，即可得到。EIIAB；

②設/G=x,根據(jù)角平分線和平行線可得NG=NDEG=4BEG=x,Z.ADC=Z.CDE=Z.DEB=2x,可求

得乙BCD=90°-Z-ACD=90°-(180°-LA-乙4DC)=2x-40°,再利用外角可得“FE=LBCD+

Z-CDE=4x-40°,即可得到4/G-乙CFE=40°.

【詳解】(1)*：Z-ACB=90°,乙4=50。,

?"B=40。，

??,將△AC。沿CD翻折后得到△ECD,

，乙4="EO=50。，

???△BDE=Z.CED-￡A=50°-40°=10'：

(2)①根據(jù)翻折可得4A=乙CED=50°,LADC=LCDE

<DEA.BC,

：.AECP=90°-zF=40°=AB.

^CEWAB,

②4/G—4CFE=40。，理由如下：

設NG=x,

VBEICG,

Z.G=乙BEG=x?Z-CDE=Z-DEB

"G平分4BE。，

Z.G=乙DEG—乙BEG—x,乙ADC—乙CDE=乙DEB—2x?

：.Z.ACD=1800-LA-LADC=130°-2x,

:?乙BCD=90°-Z.ACD=90°-(130°-2x)=2x-40°,

工乙CFE=乙BCD+乙CDE=4x-40%

.?.zCFF=4zG-40°,即4NG-NC產(chǎn)E=40°.

【點睛】本題考查折疊的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)與判定，三角形的外角性質(zhì)，解題的關鍵是理清角度之間的關

系.

【變式3-1](2023春?遼寧丹東?八年級統(tǒng)考期末)在銳角△ABC中，4B=AC,48c沿力C翻折得到^ABrC,

直線4B與直線相交于點E,若夕是等腰三角形，則N84C的度數(shù)為.

【答案】手或36。

【分析】分三種情形：當B'A=B'E,點E在C8'和BA的延長線上，當AE=B'E,點E在力B和8'C的延長線

上，分別畫出圖形，分別求解即可.

【詳解】解：①如圖，當B’4=B'E,點E在C8'和BA的延長線上，

圖3

?：AB=AC,

Z-B=乙BCA,

由折疊得：zB=AAB'C.ABCA=AB'CA.

設4B=x,^AB'C=Z.BCA=LB'CA=x,LAEB1=Z.EAB1=4EAC=2%,

在△/￡(;中，由三角形內(nèi)角和定理得：x+2x+1x=180°,

?360°

?.X=-----,

7

即匕8=?.

：.^BAC=180°-LB-zL4cB=手，

???隨〈幽<90。，

77

???此時△ABC為銳角三角形，符合題意；

②如圖，當AE=8'E,點E在AB和B'C的延長線上，

?：AB=AC,

???乙48。=48。4,

由折疊得：LABC=LAB'C,￡.BCA=Z.B'CA,

'：AE=BrE,

?"AB'C=Z.BAB',

：.Z.ABC=/.ACB=/.ACS'=Z.ABfC=Z-SAB1,

*：Z.ABC+Z-ACB+Z,ACB'+Z-AB'C+Z.BABf=360°,

：.Z.ABC=Z.ACB=乙ACB'=Z-AB/C=Z,3AB'=72°,

：.Z-BAC=1800-/-ABC-Z-ACB=36°,

V36°<72°<90°,

???此時△ABC為銳角三角形，符合題意；

綜上所述，滿足條件的NB4C的度數(shù)為亭或36。.

故答案為：拳或36。.

【點睛】本題考查翻折變換，等腰三角形的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角和定理、三角形的外角性質(zhì)等知識，解題的

關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，學會利用參數(shù)構建方程解決問題.

【變式3-2](2023春?江蘇?八年級期末)如圖1,在AABC中，ZC=90°,乙4=40。，。為AC的中點，E

為邊48上一動點，連接OE,將沿OE翻折，點A落在AC上方點尸處，連接ERCF.

(1)判斷N1與N2是否相等并說明理由；

(2)若ADE/與以點C,D,尸為頂點的三角形全等，求出乙4OE的度數(shù)：

(3)翻折后，當AOEF和△48C的重疊部分為等腰三角形時，直接寫出乙4OE的度數(shù).

【答案】⑴乙1=22,理由見解析

(2)70°

(3呼或等或70。

【分析】(1)由△AOE沿DE翻折可知A。=DF=C。，4/。E=乙40￡=Z,1,可知△CDF為等腰三角形，

乙DFC=乙DCF=N2,乙CDF+zFDF+LEDA=180°,計算求解即可；

⑵&DEF與ACDF全等,分兩種情況討論；?DF=DE=AD,/-A=Z.DEA,/-ADE=180°-/.A-Z.DEA,

求乙4DE的值然后判斷此時△DEF與△CDF是否全等，若全等，則乙4DE的值即為所求；@DF=FE=AD,

180DFE

LA=ZDFF,乙EDF=^ADE,LADE=LFDE=^T求NADE的值然后判斷此時△DE尸與△CO尸是

否全等，若全等，則乙4DE的值即為所求；

(3)分情況討論①由題意知(2)中乙40E=70。時符合題意，②如圖3,重合部分的等腰三角形中，DE=DG,

乙DEG=LDGE,根據(jù)三角形的外角性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即"。￡=〃?！?匕1,^DEG=Z.ADE+

/-A,Z1+4OEG+4OGE=180。計算求解即可；③如圖4,重合部分的等腰三角形DE=EG,乙EDG=

ADGE=Z.1,根據(jù)三角形的外角性原，三角形的內(nèi)角和定理即NOEG=Z.ADE+/.A,A1+ADEG+ADGE=1QQ°

計算求解即可.

【詳解】(1)解：匕1=42

由^ADE沿。E翻折可知AO=DF,乙FDE=Z.ADE=41

???。為4C的中點

：.AD=CD=DF

???△CDF為等腰三角形

AzOFC=乙DCF=42

?:(CDF+乙FDE+Z-EDA=180°

1800-2z2+zl+zl=180°

Az.1=z.2.

(2)解：,:CD=DF,△CDF是等腰三角形，△。￡尸與△CDF全等

.??①如圖1,當DF=DE=AD時，AADE為等腰三角形，△DEF為等腰三角形

圖1

：./LA=LDEA=40°,Z.ADE=180°-乙4-乙DEA=100°

'：^ADE=LEDF=100°

：.Z-ADE+乙EDF=200°>180°

???當DF=DE時，點尸在4c的下方，不符合題意；

XVZCDF=200°-180°=20°,乙CDF聲上FDE

.?.△05戶與4。0尸不全等，乙4DE=100°舍去；

②如圖2

B

圖2

當。尸=尸￡=力。時，△ADE為等腰三角形，△DE尸為等腰三角形

180fDFE180°-40°

=CDFE,Z.EDF=Z.ADE乙FDE=乙FED=------------=——T——=70

22

：,EF||AD,EF=AD=CD

???四邊形AE尸。、CQEF均是平行四邊形

:?&EFD與ACDF全等

???乙4DE=乙FDE=70°

，當DF=FE時，△EFD與ACDF全等,LADE=70°；

綜上所述，若ADEF與以點C,D,r為頂點的三角形全等，4ADE的值為70。.

(3)解：①由(2)中圖2可知當=ADE尸在AABC內(nèi)，此時兩個三角形的重疊部分為等腰三

角形;

②如圖3,4OEG為aDEF與△48c重合的等腰三角形

圖3

:?DE=DG,乙DEG=^DGE

*：Z.FDE=N4DE=N1,乙DEG=Z.ADE+/.A,Z1+ZDFG+ZDGF=18O°

1800-zl

：.Z-DEG==zl+z/1=zl+40°

2

?"l=g

：.Z-ADE=—

③如圖4,△ZJEG為與△4BC重合的等腰三角形

圖4

:,DE=EG,Z-EDG=/.DGE=^1

'：Z.FDE=Z/1DF=Z1,乙DEG=N/1DE+44,Z14-ZDFG+ZDGF=18O°

???NOEG=180。一241=+乙力=匕1+400

Azi=—

,,八人口

..ZJ1DE=——140°

綜上所述，當ADEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時，NADE的值為*或等或70。.

【點睛】本題考查了等腰一角形，幾何圖形折疊對稱，三角形全等，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角等

知識.解題的關鍵在于正確的分析可能存在的情況.

【變式3-3］（2023春?湖北武漢?八年級統(tǒng)考期末）已知。是等邊三角形力BC中A3邊上一點，將C8沿直線

CO翻折得到CE，連接EA并延長交直線CD于點尸.

⑴如圖1,若NBCD=40。，直接寫出NC正的度數(shù);

(2)如圖1,若C尸=10,AF=4,求AE的長;

（3）如圖2,連接5F,當點。在運動過程中，請?zhí)骄烤€段AF,BF,C尸之間的數(shù)量關系，并證明.

【答案】（1）60。

(2)2

(3)AF+BF=CF,證明見解析

【分析】（1）根據(jù)等邊三角形及翻折的性質(zhì)可求出乙4CE的值以及/C4E=/及在△/（?￡?根據(jù)三角形內(nèi)角和

定理求出/E的值，然后在△C""中根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解“FE的值即可；

（2）方法同（1）先求出/。尸￡二60。，然后在CF上截取使rH=EF,連接EH,BF,如圖1,可知△EF”

是等邊三角形，根據(jù)2力8r=180°-Z.CFB-乙BCF-LABC=60°-乙BCF,乙CEH=Z.AEC-60°=120°-

48c/一60。=60°—NBCF,得到N/1B尸=NCE”，證明△4BFCE”（SAS）,最后根據(jù)AE=EF—4尸=

尸”—4尸計算求解即可；

（3）由（2）可得AF+8F=C尸，證明過程同（2）.

【詳解】（1）解：由等邊三角形及翻折的性質(zhì)得BC=CE=4C,Z-ACB=z5=ABAC=60°,Z-BCF=

Z.ECF=40°,

：.^.CAE=4E,LACD=LACB-Z.BCF=20°,

：.Z-ACE=乙ECF-LACD=20°,

：.Z-CAE=ZE="E=go。，

,:(CFE=180°-乙ECF-Z.E=180°-40°-80°=60°,

??,“FE的度數(shù)為60°.

(2)解：由(I)可得NCFE=180°-Z.E-Z-ECF=180°-zE-乙BCF,

180°-/ACE

VzF=Z-ACE=Z.ECF-Z-ACF=乙BCF-(60°-乙BCF)=2乙BCF-60°,

2

18O0-2zfiCF+6O0

Z-E=120°-zFCF,

:.乙CFE=180°-120°+乙BCF-乙BCF=60%

如圖1,在CF」二截取FH,使FH=EF,連接EH,BF,

由題意知BF=EF,Z.CFB=Z.CFE=60°,

???△EFH是等邊三角形，

'：/.ABF=180°-乙CFB-乙BCF-/-ABC=60°-乙BCF,乙CEH=￡AEC-60°=120°-乙BCF-60°

600-ZBCF,

：.AABF=Z.CEH,

在△W和△CEH中

BF=EH

*/Z.ABF=乙CEH,

AB=CE

J.LABFCEH(SAS),

：.CH=AF=4,

：.FH=CF-CH=6,

：.AE=EF-AF=2,

???A￡的長為2.

(3)解：AF+BF=CF；

證明如下：由(2)可得，點。在運動過程中，/CFE=60。是定值,

如圖3在CF上截取FH,使FH=EF,連接E”，

，同理(2)可知是等邊三角形，

???〃BF=180°-乙CFB-乙BCF-4ABC=60°-乙BCF,乙CEH=^AEC-60。=120°-乙BCF-60°=

60。一4BCF,

：.^ABF=乙CEH,

在A4BF和中

BF=EH

,/乙力8產(chǎn)=乙CEH,

AB=CE

：.△ABF=△CEH(SAS),

：.CH=AF,

：.CF=FH+CH=BF+AF,

：.AF4-BF=CF.

【點睛】本題主要考查了等邊三角的性質(zhì)，翻折的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理及全等三角形的判定與性質(zhì).熟

練掌握知識并正確的作輔助線是解題的關鍵.

【題型4兩圓一線畫等腰】

【例4】（2023春?廣西欽州?八年級校考期中）如圖，在小△ABC中,乙4cB=90度，BC=4,AC=3,在

直線4C上取一點P,使得△P4B為等腰三角形，則符合條件的點P共有（）

K

Ch-----------------

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】D

【分析】根據(jù)等腰三角形的判定定理，分情況討論，正確作圖，即可得到結論.

【詳解】解：如下圖，

作48垂直平分線與AC相交于點P,可得PA=PB,

以A為圓心，48為半徑畫圓，交AC有匕、P?兩個交點，可得A力==4氏

以B為圓心，AB為半徑畫圓，交AC有P3一個交點，可得「3力=48,

故選：D.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關鍵是E確作圖，分情況討論.

【變式4-1］（2023春?河南駐馬店?八年級統(tǒng)考期中）如圖，直線小〃相交于點4,點8是直線外一點，在

直線力、，2上找一點C，使AABC為一個等腰三角形.滿足條件的點。有（）

/1

/?

/B

-AII2

A.2個B.4個C.6個D.8個

【答案】D

【詳解】以4為圓心，48長為半徑畫弧，交力、/2于4個點；

以B為圓心，長為半徑畫弧交。、6于2個點，

再作A8的垂直平分線交小6于2個點，

共有8個點，

故選：D.

【變式4-2］（2023春?山東泰安?八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知每個小方格的邊長為1,A、3兩點都在小方

格的格點（頂點）上，請在圖中找一個格點C,使△ABC是等腰三角形，這樣的格點。有個。

-4.-------------------

_______2

【答案】8

【分析】分別以A、B點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可（A、B、C共線除外）；此外加上在AB

的垂直平分線上有兩個格點，即可得到答案.

【詳解】解：以A點為圓心，AB為半徑作圓，找到格點即可，（A、B、C共線除外）；以B點為圓心，

AB為半徑作圓，在OB上的格點為C點；在AB的垂直平分線上有兩個格點.故使△ABC是等腰三角形的

格點C有8個.

【點睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關鍵是畫出圖形，利用數(shù)形結合解決問題.

【變式4-3］（2023春?廣東湛江?八年級統(tǒng)考期末）如圖，△4BC中，乙4cB=90。，￡.CAB=60°,動點P在

斜邊48所在的直線機上運動，連結尸C,那點尸在直線，〃上運動時，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點尸的位

A.6個B.5個C.4個D.3個

【答案】C

【分析】根據(jù)等腰三角形的定義利用作圖的方法找出符合條件的點即可.

以A為圓心，AC長為半徑畫弧，交直線陽于點丹；以B為圓心，BC長為半徑畫弧，交直線m于點尸4,

P2；以C為圓心，BC為半徑畫弧，交直線小于點尸5與P/兩點重合.

因此出現(xiàn)等腰三角形的點P的位置有4個.

故選：C.

【點睛】此題考查等腰三角形的定義和判定，利用作圖找等腰三角形是一種常見的方法.

【題型5等邊三角形手拉手問題】

【例5】（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級?？计谥校┮讶鐖D，AABC、aCDE均為等邊三角形，連接BE,

4。交于點。，4c與BE交于點P求證:

(l)BE=AD

(2)NA0B的度數(shù)

【答案】(1)證明見詳解

(2)60°

【分析】(1)利用“邊角邊”證明△ACO和ABCE全等，即可得出5E=AO

(2)由△BCE04AC。可得NCW=/CBE,根據(jù)“八字型”證明NAOP=NPCB=60。即可.

【詳解】(1)證明：二?△ABC和AECD都是等邊三角形，

???AC=BC,CD=CE,NAC8=NOCE=60。，

???ZACB+^ACE=/DCE+/ACE

即NBCE=NACO,

在^BCE和△ACO中，

(AC=BC

4BCE=Z.ACD,

(CE=CD

【△BC噲AACDISAS),

：.BE=AD

(2)由(1)可得ABCEg/XACO

：?4CAD=4CBE,

*：NAPO=NBPC,

：.ZAOP=N8CP=60。，即ZAOB=60°.

【點睛】本題考杳等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形

解決問題，屬于中考?？碱}型.

【變式5-1](2023春?山東濟寧?八年級濟寧市第十五中學校考階段練習)閱讀與理解：

圖1是邊長分別為。和力(a>b)的兩個等邊三角形紙片4BC和C'DE疊放在一起(C與C，重合)的圖形.

圖2

操作與證明：

(I)操作：固定A4BC,將AC'DE繞點C按順時針方向旋轉25。，連接力D,BE,如圖2；在圖2中，線段BE與

之間具有怎樣的大小關系？證明你的結論；

(2)操作：若將圖1中的△UDE,繞點。按順時針方向任意旋轉一個角度40。工aW360。)，連接AD,BE,

如圖3；在圖3中，線段8E與之間具有怎樣的大小關系？證明你的結論；

猜想與發(fā)現(xiàn)：

(3)根據(jù)上面的操作過程，請你猜想當a為多少度時，線段40的長度最大是多少？當a為多少度時，線段4。長

度最小是多少？

【答案】(l)8E=40,證明見解析

(2)BE=AD,證明見解析

(3)當a=180。時，線段AO的長度最大為a+b,當a=0?；騛=360。時，線段的長度最小為a-b

【分析】(1)根據(jù)旋轉的性質(zhì)及等邊三角形的性質(zhì)，證明ABCE會AACD,根據(jù)全等三角形的對應邊相等，

可得到BE=AD；

(2)與(1)的思路方法一樣，證明ABCE會△ACD,根據(jù)全等三角形的對應邊相等，可得到BE=AD；

(3)根據(jù)前面的旋轉得到當點。旋轉到以的反向延長線上時，此時線段40的長度最大，等于Q+b,則此

時旋轉的角度為180。，當點。旋轉后重新回到人。邊上時，此時線段4。長度最小，等于Q-b,旋轉的角度0。

或360。.

【詳解】(1)解：BE=AD,理由如下：

???△C'DE繞點C按順時針方向旋轉25。，

???4BCE=Z.ACD=25°,

???△ABC^hC'DE等邊三角形,

???CA=CB,CE=CD,

在ABCE和△4C0中，

(CA=CB

\ABCE=Z-ACD

(CE=CD

BCE=△ACD?

BE=AD\

(2)BE=AD,理由如下：

???△C'DE繞點C按順時針方向旋轉a,

:.乙BCE—Z.ACD—Q,

???△48。與4C'DE等邊三角形,

ACA=CB,CE—CD,

在△BCE和△ACD中，

(CA=CB

△8CE=Z.ACD

(CE=CD

BCE=△ACDt

:.BE=AD；

(3)由題意可知：當點。旋轉到CA的反向延長線上時，此時線段4。的長度最大，等于a+b,所以a=180。,

當點。旋轉后重新回到AC邊上時，此時線段4。的長度最小，最小值a-b,所以a=0。或a=360。.

【點睛】本題考查了旋轉的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和三角形全等的判定與性質(zhì)，解題的關鍵是掌握旋轉的

性質(zhì)：旋轉前后兩圖形全等，對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉

角.

【變式5-2](2023春?廣東廣州?八年級?？茧A段練習)如圖，C為線段AE上一動點(不與點4,E重合)，

在力E同側分別作等邊三角形A8C和等邊三角形CDE,力。與BE交于點O,力。與BC交于點P,BE與CD交于

點Q,連接PQ.以下結論：①力。=BE；②PQII4E；③乙4。3=60°；@ACPQ是等邊三角形；⑤BQ=4B.恒

成立的是.

B

［答案］①?③④

【分析】由等邊三角形的性質(zhì)可證明△4C0三△BCE,則可得①正確；由△4CD三aBCE可得NC4P=〃：B。，

由乙4PC=NBP0,則由三角形內(nèi)角和可得乙4OB=NAC8=60。，則可得③正確；證明三ABCQ,可

得CP=CQ,由"CQ=60?？傻芒苷_；由等邊三角形的性質(zhì)可得②正確：由△ACP"BCQ知,BQ=AP*

AB,即可判定⑤不正確，從而可確定答案.

【詳解】解：???△ABC,△CDE都是等邊三角形，

：,AC=BC,CD=ED,^ACB=Z.DCE=60°,

：,Z-ACD=180°-Z.DCE=180°-Z.ACB=(DCE,

△ACD=△BCE,

故①正確；

△ACD=△BCE,

：.Z.CAP=乙CBO,

a：Z-APC=Z.BPO,

，由三角形內(nèi)角和得：Z-AOB=LACB=60°,

故③正確；

二乙BCQ=1800-LACB-乙DCE=60"

^Z.ACB=乙BCQ=60°,

'：AC=BC,乙CAP=CCBO,

△ACP—△BCQ,

：.CP=CQ,

":乙PCQ=60°,

???△CPQ是等邊三角形，

故④正確：

???△CPQ是等邊三角形，

?"QPC=60°=/.ACB,

：.PQ\AE.

故②正確：

'：LACP三△BCQ,

：.BQ=AP,

當點P位于△力BC的邊BC上時，始終有4P<4B,

即BQ<4B,

故⑤不成立；

，正確的是①②③④，

故答案為：①②③④.

【點睛】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的判定與性質(zhì)三角形內(nèi)角

和等知識，證明三角形全等及等邊三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵.

【變式5?3】（2023?山東?八年級專題練習）己知，AABC為等邊三角形，點D在邊BC上.

圖1圖2圖3

【基本圖形】如圖1,以4。為一邊作等邊三角形AAOE,連結CE.可得CE+C0=4C（不需證明）.

【遷移運用】如圖2,點F是AC邊上一點，以OF為一邊作等邊三角求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點尸是4c邊的延長線上一點，以。F為一邊作等邊三角ADEF.試探究線段CD,C尸

三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關系，請寫出你的結論并說明理由.

【答案】【基本圖形】見解析；【遷移運用】見解析；【類比探究】見解析.

【分析】基本圖形：只需要證明△BAD三AC4E得到CE=BD,即可證明；

遷移運用：過點。作06|團8,交AC于點G,然后證明^CDEWAGOP得至IJCE=GF,即可推出CE+CD=GF+

CG=CF；

類比探究：過點。作DGIIA8,交AC于點G,然后證明ACDE三△GDF,得到CE=GF,再由GF=CF+CG=

CF+CD,即可得到CD+CF=C￡

【詳解】基本圖形：證明：???△ACB與AADE都是等邊三角形，

：.AC=AB=CB,/.CAB=60°,AD=AE,/.DAE=60°,

：.Z.CAE=/.DAE-Z.CAD=60°-Z.CAD,乙BAD=Z.CAB-Z.CAD=60°-LCAD,

：.Z.CAE=Z.BAD,

在△BAO與△CAE中，

(AC=AB

1/.CAD=￡.BAE,

(AD=AE

???△84。三△CAE(SAS),

:,CE=BD,

：?CE+CD=BD+CD=CB,

*：AC=CB,

：.CECD=AC；

遷移運用：證明：過點。作。G||AB,交AC于點G,

???△力。8是等邊三角形，

：.Z.ACB=Z.A=/.B=60°,

*：DG^AB,

:?乙CGD=^A=60%乙CDG=cB=60°,

又??ZC8=60°,

???△CDG為等邊三角形,

：.CD=DG=CG,

[△DEF為等邊三角形，

：.DE=DF,LEDF=60°,

,：z.CDE=乙CDG-乙EDG=60°-乙EDG,乙FDG=乙EDF-乙EDG=60°一乙EDG,

???△CDE=4FDG,

在ACDE與△GDF中

(BD=DG

乙BAD=LGDF,

(DE=DF

：.△CDE=AGDF(SAS),

：.CE=GF,

：.CE^CD=GF+CG=CFx

類比探究：解：CD+CF=CE,理由如下：

過點D作。GIL48,交AC于點G,

,:△4c8是等邊二角形，

：.z.ACB=zA==60°,

???0GIIAB,

：.Z.CGD=/.A=60°,"DG=zF=60°,

又??ZCB=60°,

??.△COG為等邊三角形，

：.CD=DG=CG,

△DEF為等邊三角形,

：,DE=DF,LFDE=60°,

VzGDF=Z.GDC+乙CDF=60°+乙CDF,Z.CDE=4EDF+乙CDF=60°+LCDF>

：.AGDF=zCDE,

在ACDE與AGO/中

(BD=DG

\ABDE=Z.GDF,

(DE=DF

.,.△CDE^AGDF(SAS),

：.CE=GF,

9：GF=CF+CG=CF+CD,

：.CD+CF=CE.

【點睛】本題主要考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的性質(zhì)與判定，熟知全等三角形的性質(zhì)與判

定條件是解題的關鍵.

【題型6分身等腰】

【例6】（2023春?湖南永州?八年級統(tǒng)考期中）如圖，在第1個△ABC,48=20。同48=。8；在邊上

任取一點。，延長C4到4，使4遇2=4。，得到第2個△力遇2。；在邊必。上任取一點E，延長力遇2,到

%,使&力3=42七，得到第3個△/AE，….按此做法繼續(xù)下去，則第〃個三角形中以八為頂點的內(nèi)角

度數(shù)是（）

c.Q)nl-ioo°D.Q)ni00°

【答案】B

【分析】先根據(jù)等腰一?.角形的性質(zhì)求出的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)分別求

出功心必，NE%&及"4公的度數(shù)，找出規(guī)律即可得出第九個三角形中以4n為頂點的底角度數(shù).

【詳解】解：???在△C8A1中，43=20。，=CB,

180°-4B1800-20°cco

NB41c=zC=-------=---------=80,

22

-A1A2=AAD,4841c是△A1A2D的外角,

/.Z.DA2A1=1zBi41C=1x80°：

同理可得血34=鏟x80°,乙弘443=C）3x80°,

.?.第n個三角形中以4為頂點的底角度數(shù)是?）nTx80°.

故選：B.

【點睛】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)題意得出/。①①，NE4342及NF44A3的

度數(shù)，找出規(guī)律是解答此題的關鍵.

【變式6-1］（2023春?江西宜春?八年級統(tǒng)考期末）如圖所示，AOB是一鋼架，設乙4。3=%為了使鋼架更

加堅固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF,FG,GH添加的鋼管長度都與0￡用等，若最多能添加這樣的鋼

管5根，則a的取值范圍是.

【答案】15?！?。V18。

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)和外角性質(zhì)可得，4GEF=2a,乙GFH=3a,Z.HGB=4a,由題意可列不等式

組，即可求解.

【詳解】解：???OE=EF,

:.Z.EOF=Z.EFO=a,

ALGEF=乙EOF+乙EFO=2a,

同理可得/GF//=3a,乙HGB=4a,

???最多能添加這樣的鋼管5根，

:.5a<90°,6a>90°,

/.15°<a<18°,

故答案為:15°<a<18°.

【點睛】此題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)；發(fā)現(xiàn)并利用規(guī)律是正確解答本題的關鍵.

【變式6-2］（2023春?河北張家口?八年級統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架BAC中，乙4二%。，焊上等長的鋼條

「止2〃2「3/3「4〃4「5，?,?來加固鋼架，且匕4=「止2,對于下列結論，判斷正確的是（