PAGEPAGE4課時訓練(二十五)正方形及中點四邊形(限時:45分鐘)|夯實基礎|1.[2019·婁底]順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是 ()A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.正方形2.小明在學習了正方形之后,給同桌小文出了道題,從下列四個條件:①AB=BC,②∠ABC=90°,③AC=BD,④AC⊥BD中選兩個作為補充條件,使?ABCD為正方形(如圖K25-1),現(xiàn)有下列四種選法,你認為其中錯誤的是 ()圖K25-1A.①② B.②③ C.①③ D.②④3.[2018·白銀]如圖K25-2,點E是正方形ABCD的邊DC上一點,把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置.若四邊形AECF的面積為25,DE=2,則AE的長為 ()圖K25-2A.5 B.23C.7 D.294.[2019·蘭州]如圖K25-3,邊長為2的正方形ABCD的對角線AC與BD交于點O,將正方形ABCD沿直線DF折疊,點C落在對角線BD上的點E處,折痕DF交AC于點M,則OM= ()圖K25-3A.12 B.2C.3-1 D.2-15.[2019·攀枝花]如圖K25-4,在正方形ABCD中,E是BC邊上的一點,BE=4,EC=8,將正方形邊的AB沿AE折疊到AF,延長EF交DC于G.連接AG,CF.現(xiàn)有如下四個結論:①∠EAG=45°;②FG=FC;③FC∥AG;④S△GFC=14.其中結論正確的個數(shù)是 ()圖K25-4A.1 B.2 C.3 D.46.[2019·青島]如圖K25-5,在正方形紙片ABCD中,E是CD的中點,將正方形紙片折疊,點B落在線段AE上的點G處,折痕為AF.若AD=4cm,則CF的長是cm.

圖K25-57.[2019·揚州]如圖K25-6,已知點E在正方形ABCD的邊AB上,以BE為邊在正方形ABCD外部作正方形BEFG,連接DF,M,N分別是DC,DF的中點,連接MN.若AB=7,BE=5,則MN=.

圖K25-68.[2019·湖州]七巧板是我國祖先的一項卓越創(chuàng)造,被譽為“東方魔板”.由邊長為42的正方形ABCD可以制作一套如圖K25-7①所示的七巧板,現(xiàn)將這套七巧板在正方形EFGH內拼成如圖②所示的“拼搏兔”造型(其中點Q,R分別與圖②中的點E,G重合,點P在邊EH上),則“拼搏兔”所在正方形EFGH的邊長是.

圖K25-79.[2019·長沙]如圖K25-8,正方形ABCD,點E,F分別在AD,CD上,且DE=CF,AF與BE相交于點G.(1)求證:BE=AF;(2)若AB=4,DE=1,求AG的長.圖K25-810.[2018·北京]如圖K25-9,在正方形ABCD中,E是邊AB上的一個動點(不與點A,B重合),連接DE,點A關于直線DE的對稱點為F,連接EF并延長交BC于點G,連接DG,過點E作EH⊥DE交DG的延長線于點H,連接BH.(1)求證:GF=GC;(2)用等式表示線段BH與AE的數(shù)量關系,并證明.圖K25-9|拓展提升|11.[2019·安徽]如圖K25-10,在正方形ABCD中,點E,F將對角線AC三等分,且AC=12.點P在正方形的邊上,則滿足PE+PF=9的點P的個數(shù)是 ()圖K25-10A.0 B.4 C.6 D.812.[2019·包頭]如圖K25-11,在正方形ABCD中,AB=6,M是對角線BD上的一個動點0<DM<12BD,連接AM,過點M作MN⊥AM交邊BC于N.(1)如圖K25-11①,求證:MA=MN;(2)如圖②,連接AN,O為AN的中點,MO的延長線交邊AB于點P,當S△AMNS△BCD=1318時,(3)如圖③,過點N作NH⊥BD于H,當AM=25時,求△HMN的面積.圖K25-11

【參考答案】1.C2.B[解析]∵四邊形ABCD是平行四邊形,當①AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,當②∠ABC=90°時,菱形ABCD是正方形,故選項A不符合題意;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當②∠ABC=90°時,平行四邊形ABCD是矩形,當③AC=BD時,矩形滿足該性質,無法得出四邊形ABCD是正方形,故選項B符合題意;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當①AB=BC時,平行四邊形ABCD是菱形,當③AC=BD時,菱形ABCD是正方形,故選項C不符合題意;∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴當②∠ABC=90°時,平行四邊形ABCD是矩形,當④AC⊥BD時,矩形ABCD是正方形,故選項D不符合題意.故選B.3.D4.D[解析]在正方形ABCD中,OC=OD,AC⊥BD,由折疊可知,DF⊥EC,CD=DE=2,∴∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°,∴∠1=∠3,又∵OC=OD,∠DOM=∠COE=90°,∴△ODM≌△OCE(ASA),∴OM=OE,在Rt△BCD中,BD=22+22=2,∴OD=1,∴OE=DE-OD=2-1,∴OM=25.B[解析]由題易知AD=AB=AF,則Rt△ADG≌Rt△AFG(HL).∴GD=GF,∠DAG=∠GAF.又∵∠FAE=∠EAB,∴∠EAG=∠GAF+∠FAE=12(∠BAF+∠FAD)=12∠BAD=45°,∴①設GF=x,則GD=GF=x.又∵BE=4,CE=8,∴DC=BC=12,EF=BE=4.∴CG=12-x,EG=4+x.在Rt△ECG中,由勾股定理可得82+(12-x)2=(4+x)2,解得x=6.∴FG=DG=CG=6.∵∠AGD=∠AGF≠60°,∴∠FGC≠60°,∴△FGC不是等邊三角形,∴②錯誤;連接DF,如圖,由①可知△AFG和△ADG是對稱型全等三角形,∴FD⊥AG.又∵FG=DG=GC,∴△DFC為直角三角形,∴FD⊥CF,∴FC∥AG,∴③正確;∵EC=8,CG=6,∴S△ECG=12EC·CG=又∵S△FCGS△ECG=FGEG=35,∴S△FCG=∴④錯誤,故正確結論為①③,選B.6.(6-25)[解析]由勾股定理得AE=25cm,根據(jù)題意得GE=(25-4)cm,設BF=xcm,則FC=(4-x)cm,∴(25-4)2+x2=22+(4-x)2,解得x=25-2,∴CF=(6-25)cm.7.132[解析]連接CF,∵正方形ABCD和正方形BEFG中,AB=7,BE=∴GF=GB=5,BC=7,∴GC=GB+BC=5+7=12,∴CF=GF2+GC∵M,N分別是DC,DF的中點,∴MN=12CF=132.故答案為8.45[解析]如圖,連接EG,作GM⊥EN交EN的延長線于M.在Rt△EMG中,∵GM=4,EM=2+2+4+4=12,∴EG=EM2+GM2∴EH=EG2=45故答案為:45.9.解:(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形,∴∠BAE=∠ADF=90°,AB=AD=CD,∵DE=CF,∴AE=DF,在△BAE和△ADF中,AB=AD,∠BAE=∠ADF,AE=DF,∴△BAE≌△ADF(SAS),∴BE=AF.(2)由(1)得:△BAE≌△ADF,∴∠EBA=∠FAD,∴∠GAE+∠AEG=90°,∴∠AGE=90°,∵AB=4,DE=1,∴AE=3,∴BE=AB2在Rt△ABE中,12AB·AE=12BE·∴AG=3×45=1210.解:(1)證明:連接DF,如圖.∵點A關于直線DE的對稱點為F,∴DA=DF,∠DFE=∠A=90°.∴∠DFG=90°.∵四邊形ABCD是正方形,∴DC=DA=DF,∠C=∠DFG=90°.又∵DG=DG,∴Rt△DGF≌Rt△DGC(HL).∴GF=GC.(2)如圖,在AD上取點P,使AP=AE,連接PE,則BE=DP.由(1)可知∠1=∠2,∠3=∠4,從而由∠ADC=90°,得2∠2+2∠3=90°,∴∠EDH=45°.又∵EH⊥DE,∴△DEH是等腰直角三角形.∴DE=EH.∵∠1+∠AED=∠5+∠AED=90°,∴∠1=∠5.∴△DPE≌△EBH(SAS).∴PE=BH.∵△PAE是等腰直角三角形,從而PE=2AE.∴BH=2AE.11.D[解析]如圖,作點F關于CD的對稱點F',連接PF',PF,則PE+PF=EF',根據(jù)兩點之間線段最短可知此時PE+PF的值最小.連接FF',交CD于點G,過點E作EH⊥FF',垂足為點H,易知△EHF,△CFG都是等腰直角三角形,∴EH=FH=FG=F'G=22EF=22∴EF'=EH2+F'H2=(22)2+(62)2=45<9.根據(jù)正方形的對稱性可知正方形ABCD的每條邊上都有一點P使得PE+PF值最小.連接DE,DF,易求得DE+DF=410>9,CE+CF=12>9,故點P位于點B,D時,PE+PF>9,點P位于點A,C時12.解:(1)證明:如圖,過點M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,∴∠MFB=∠BGM=90°.∵正方形ABCD,∴∠DAB=90°,AD=AB,∴∠ABD=45°.同理可證:∠DBC=45°,∴∠ABD=∠DBC.∵MF⊥AB,MG⊥BC,∴MF=MG.∵正方形ABCD,∴∠ABN=90°,∵∠MFB=∠FBG=∠BGM=90°,∴∠FMG=90°,∴∠FMN+∠NMG=90°,∵MN⊥AM,∴∠NMA=90°,∴∠AMF+∠FMN=90°,∴∠AMF=∠NMG.又∵∠AFM=∠NGM=90°,∴△AMF≌△NMG,∴MA=MN.(2)在Rt△AMN中,∵∠AMN=90°,MA=MN,∴∠MAN=45°.在Rt△BCD中,∵∠DBC=45°,∴∠MAN=∠DBC,∴Rt△AMN∽Rt△BCD,∴S△AMNS△BCD=∵在Rt△ABD中,AB=AD=6,∴BD=62.∵S△AMNS△BCD=1318,∴AN2∴在Rt△ABN中,BN=AN2-∵在Rt△AMN中,MA=MN,O是AN的中點,∴OM=AO=ON=12AN=13,OM⊥AN∴PM⊥AN,∴∠AOP=90°,∴∠AOP=∠ABN=90°.又∵∠PAO=∠NAB,∴△AOP∽△ABN.∴OPBN=AO∴OP4=13∴OP=213∴PM=PO+OM=2133+13=(3)如圖,過點A作AQ⊥BD于Q,∴∠AQM