PAGEPAGE1課時訓(xùn)練(二十一)直角三角形及勾股定理(限時:40分鐘)|夯實基礎(chǔ)|1.[2019春·武漢新洲區(qū)期末]由下列條件不能判定△ABC為直角三角形的是 ()A.∠A+∠B=∠C B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2C.a=2,b=3,c=4 D.(b+c)(b-c)=a22.如圖K21-1,正方形ABCD的面積為1,則以相鄰兩邊中點連線EF為邊的正方形EFGH的周長為 ()圖K21-1A.2 B.22 C.2+1 D.22+13.[2019·福建模擬]如圖K21-2,在△ABC中,∠B=30°,BC的垂直平分線交AB于點E,垂足為D,如果CE=8,則ED的長為 ()圖K21-2A.2 B.3 C.4 D.64.[2019·張家口一模]如圖K21-3,長為8cm的橡皮筋放置在x軸上,固定兩端A和B,然后把中點C向上拉升3cm至D點,則橡皮筋被拉長了 ()圖K21-3A.2cm B.3cm C.4cm D.5cm5.[2018·揚州]如圖K21-4,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,CE平分∠ACD交AB于E,則下列結(jié)論一定成立的是 ()圖K21-4A.BC=EC B.EC=BEC.BC=BE D.AE=EC6.選擇用反證法證明“已知:在△ABC中,∠C=90°.求證:∠A,∠B中至少有一個角不大于45°”時,應(yīng)先假設(shè) ()A.∠A>45°,∠B>45° B.∠A≥45°,∠B≥45°C.∠A<45°,∠B<45° D.∠A≤45°,∠B≤45°7.[2018秋·湖州吳興區(qū)期末]已知直角三角形兩直角邊長分別為1和3,則此直角三角形斜邊上的中線長是.

8.[2019·營口站前區(qū)校級模擬]三角形三邊長為6、8、10,則這個三角形的面積是.

9.[2019·廈門思明區(qū)校級模擬]“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲,如圖K21-5所示的“趙爽弦圖”是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼成的一個大正方形,設(shè)直角三角形較長直角邊長為a,較短直角邊長為b,若(a+b)2=21,大正方形的面積為13,則小正方形的面積為.

圖K21-510.[2019·東營二模]如圖K21-6,長方體的底面邊長分別為1cm和3cm,高為6cm.如果用一根細線從點A開始經(jīng)過4個側(cè)面纏繞一圈到達點B,那么所用細線最短需要cm.

圖K21-611.[2019春·三明沙縣期末]如圖K21-7,在△ABC中,DA⊥AB,AD=AB,EA⊥AC,AE=AC.(1)試說明△ACD≌△AEB;(2)若∠ACB=90°,連接CE.①說明CE平分∠ACB;②判斷DC與EB的位置關(guān)系,并說明理由.圖K21-7|能力提升|12.[2019春·德州德城區(qū)期末]如圖K21-8所示,在數(shù)軸上點A所表示的數(shù)為a,則a的值為()圖K21-8A.-1-5 B.1-5 C.-5 D.-1+513.[2019春·龍巖新羅區(qū)期末]如圖K21-9,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC邊上的中線AD=6,則△ABD的面積是.

圖K21-914.[2018·十堰]如圖K21-10,Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,點D,E分別是邊BC,AC上的動點,則DA+DE的最小值為.

圖K21-1015.如圖K21-11所示,∠AOP=∠BOP=15°,PC∥OA交OB于C,PD⊥OA于D,若PC=4,則PD等于.

圖K21-1116.[2019·巴中]如圖K21-12,等邊三角形ABC內(nèi)有一點P,分別連接AP,BP,CP,若AP=6,BP=8,CP=10,則S△ABP+S△BPC=.

圖K21-1217.[2017·齊齊哈爾]如圖K21-13,在△ABC中,AD⊥BC于D,BD=AD,DG=DC,E,F分別是BG,AC的中點.(1)求證:DE=DF,DE⊥DF;(2)連接EF,若AC=10,求EF的長.圖K21-13|思維拓展|18.[2019·福建二模]如圖K21-14,已知A(3,6),B(0,n)(0<n≤6),作AC⊥AB,交x軸于點C,M為BC的中點,若P32,0,則PM的最小值為 ()圖K21-14A.3 B.3817 C.455 19.[2019·鄂州]如圖K21-15,已知線段AB=4,O是AB的中點,直線l經(jīng)過點O,∠1=60°,P點是直線l上一點,當△APB為直角三角形時,BP=.

圖K21-1520.已知點P是直角三角形ABC斜邊AB上一動點(不與A,B重合),分別過點A,B向直線CP作垂線,垂足分別為E,F,Q為斜邊AB的中點.(1)如圖K21-16①,當點P與點Q重合時,AE與BF的位置關(guān)系是,QE與QF的數(shù)量關(guān)系是.

(2)如圖②,當點P在線段AB上不與點Q重合時,試判斷QE與QF的數(shù)量關(guān)系,并給予證明.(3)如圖③,當點P在線段BA(或AB)的延長線上時,此時(2)中的結(jié)論是否成立?請畫出圖形并給予證明.圖K21-16

【參考答案】1.C[解析]A.∠A+∠B=∠C,可得∠C=90°,是直角三角形,不符合題意;B.∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶2,可得∠B=90°,是直角三角形,不符合題意;C.∵22+32≠42,故不能判定是直角三角形,符合題意;D.∵(b+c)(b-c)=a2,∴b2-c2=a2,即a2+c2=b2,故是直角三角形,不符合題意.故選:C.2.B3.C[解析]∵DE垂直平分BC,∴BE=CE=8.在Rt△BED中,∠B=30°,BE=8,∴ED=12BE=4.故選:C4.A[解析]在Rt△ACD中,AC=12AB=4cm,CD=3cm根據(jù)勾股定理,得:AD=AC2∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2(cm).故橡皮筋被拉長了2cm.故選:A.5.C[解析]∵∠ACB=90°,CD⊥AB,∴∠ACD+∠BCD=90°,∠ACD+∠A=90°,∴∠BCD=∠A.∵CE平分∠ACD,∴∠ACE=∠DCE.又∵∠BEC=∠A+∠ACE,∠BCE=∠BCD+∠DCE,∴∠BEC=∠BCE,∴BC=BE.故選C.6.A7.1[解析]由勾股定理得,斜邊=12+所以斜邊上的中線長=12×2=1.故答案為:18.24[解析]∵三角形的三邊長分別為6、8、10,而62+82=102,∴此三角形是直角三角形,∴三角形的面積S=12×6×8=249.5[解析]∵(a+b)2=21,∴a2+2ab+b2=21.∵大正方形的面積為13,∴a2+b2=13,∴2ab=21-13=8,∴小正方形的面積為13-8=5,故答案為:5.10.10[解析]將長方體側(cè)面展開,連接AB',如圖,∵AA'=3+1+3+1=8(cm),A'B'=6cm,根據(jù)兩點之間線段最短,得AB'=82+6故答案為:10.11.解:(1)證明:∵DA⊥AB,EA⊥AC,∴∠DAB=∠CAE=90°,∴∠DAC=∠BAE,在△ACD和△AEB中,AD∴△ACD≌△AEB(SAS).(2)①如圖①,∵EA⊥AC,AE=AC,∴∠ACE=45°.∵∠ACB=90°,∴∠BCE=90°-45°=45°,∴∠ACE=∠BCE,∴CE平分∠ACB.②DC與EB的位置關(guān)系是DC⊥EB.理由如下:分別延長DC,EB交于點F,如圖②所示:∵∠ACB=90°,∠CAE=90°,∴CB∥AE,∴∠CBF=∠AEB.∵△ACD≌△AEB,∴∠AEB=∠ACD,∴∠CBF=∠ACD.∵∠ACD+∠BCF=180°-∠ACB=90°,∴∠CBF+∠BCF=90°,∴∠F=90°,∴DC⊥EB.12.A[解析]如圖,點A在以O(shè)為圓心,OB長為半徑的圓上.∵在Rt△BOC中,OC=2,BC=1,∴根據(jù)勾股定理知OB=OC2+BC∴OA=OB=5,∴a=-1-5.故選:A.13.15[解析]延長AD到點E,使DE=AD=6,連接CE,∵AD是BC邊上的中線,∴BD=CD,在△ABD和△ECD中,BD∴△ABD≌△ECD(SAS),∴CE=AB=5,∠BAD=∠E.∵AE=2AD=12,CE=5,AC=13,∴CE2+AE2=AC2,∴∠E=90°,∴∠BAD=90°,即△ABD為直角三角形,∴△ABD的面積=12AD·AB=故答案為:15.14.163[解析]如圖,作A關(guān)于BC的對稱點A',連接AA',交BC于F,過A'作A'E⊥AC于E,交BC于D,則AD=A'D,此時AD+DE的值最小,就是A'E的長Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=62,∴BC=32+S△ABC=12AB·AC=12BC·∴3×62=9AF,解得AF=22,∴AA'=2AF=42,∵∠A'FD=∠DEC=90°,∠A'DF=∠CDE,∴∠A'=∠C,∵∠AEA'=∠BAC=90°,∴△AEA'∽△BAC,∴AA'A'E=BCAC∴A'E=163,即AD+DE的最小值是16故答案為16315.2[解析]過點P作PM⊥OB于M,∵PC∥OA,∴∠COP=∠CPO=∠POD=15°,∴∠BCP=30°,∴PM=12PC=2∵PD=PM,∴PD=2.故答案為:2.16.163+24[解析]將△ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60°到△CBP',連接PP',所以BP=BP',∠PBP'=60°,所以△BPP'是等邊三角形,其邊長BP為8,所以S△BPP'=163.因為PP'=8,P'C=PA=6,PC=10,所以PP'2+P'C2=PC2,所以△PP'C是直角三角形,S△PP'C=24,所以S△ABP+S△BPC=S△BPP'+S△PP'C=163+24.17.解:(1)證明:∵AD⊥BC于D,∴∠BDG=∠ADC=90°,∵BD=AD,DG=DC,∴△BDG≌△ADC(SAS),∴BG=AC.∵AD⊥BC于D,E,F分別是BG,AC的中點,∴DE=12BG,DF=12AC,∵DE=DF,BD=AD,BE=AF,∴△BDE≌△ADF(SSS),∴∠BDE=∠ADF,∴∠EDF=∠EDG+∠ADF=∠EDG+∠BDE=∠BDG=90°,∴DE⊥DF.(2)∵AC=10,∴DE=DF=12AC=12×10=∵∠EDF=90°,∴EF=DE2+DF218.D[解析]如圖,作AH⊥y軸于H,CE⊥AH于E,作MN⊥OC于N.則四邊形CEHO是矩形,OH=CE=6,∵∠BAC=∠AHB=∠AEC=90°,∴∠ABH+∠HAB=90°,∠HAB+∠EAC=90°,∴∠ABH=∠EAC,∴△AHB∽△CEA,∴AHEC=BHAE,∴36∴AE=2BH,設(shè)BH=x,則AE=2x,∴OC=HE=3+2x,OB=6-x,∴B(0,6-x),C(3+2x,0).∵BM=CM,∴M3+2x2,6-∵P32,0,∴PN=ON-OP=3+2x2-∴PM2=PN2+MN2=x2+6-x22=54x2-3x+9=54x-652+∴x=65時,PM2有最小值,最小值為36∴PM的最小值為365=6故選:D.19.2或23或27[解析]∵AO=OB=2,∴當BP1=2時,∠AP1B=90°;當∠P2AB=90°時,∵∠AOP2=60°,∴AP2=OA·tan∠AOP2=23,∴BP2=AB2+A當∠P3BA=90°時,∵∠1=60°,∴BP3=OB·tan∠1=23.故答案為:2或2