專題2.48二次函數(shù)壓軸題■相似問(wèn)題(培優(yōu)篇)(專項(xiàng)練習(xí))

一、填空題

I.已知拋物線尻經(jīng)過(guò)4(-1,。)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，頂點(diǎn)為D,點(diǎn)P是

拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心的圓經(jīng)過(guò)A、B兩點(diǎn)，且與直線C。相切，則點(diǎn)P的坐標(biāo)

2

2.點(diǎn)A為)，軸正半軸上一點(diǎn)，A,B,兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱，過(guò)點(diǎn)A任作直線交拋物線于p.

Q兩點(diǎn).若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(0,1),且/PBQ=6(),則所有滿足條件的直線尸。的函數(shù)解析式為:

I3

3.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=-9/一￡八.+2與工軸交于人，B兩點(diǎn)，與丁軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)。

在該拋物線上，且位于直線AC的上方，過(guò)點(diǎn)。作。尸_LAC于點(diǎn)F,連結(jié)C。，若與

相似，則點(diǎn)。的坐標(biāo)是.

二、解答題

4.如圖，直線y=-x+"與工軸交于點(diǎn)A(4,0),與y軸交于點(diǎn)8,拋物線)，=-/+云+C經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,

B.

(1)求拋物線的解析式；

(2)E(m,O)為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作JLx軸，交直線/W于點(diǎn)。，交拋物線于點(diǎn)P,連接4P.

①點(diǎn)E在線段OA上運(yùn)動(dòng)，若MPD直角三角形,求點(diǎn)E的坐標(biāo)；

②點(diǎn)七在X軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，若/F6D+NCBO=45。.請(qǐng)直接寫(xiě)出，〃的值.

5.已知拋物線)，=/+Zu-+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,0)和8(0,3),其頂點(diǎn)為D

(1)求此拋物線的表達(dá)式；

(2)求△48。的面積；

(3)設(shè)P為該拋物線上一點(diǎn)，且位于拋物線對(duì)稱軸右側(cè)，作尸”_1對(duì)稱軸，垂足為“，若ADPH

與AAOS相似，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

6.已知拋物線C|：y=x+4交匯軸于點(diǎn)A、B,頂點(diǎn)為M,A、B、”關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)

JJ

分別是E、F、N.

（1）求點(diǎn)4、4的坐標(biāo);

（2）求出經(jīng)過(guò)反且以N為頂點(diǎn)的拋物線Q的表達(dá)式；

（3）拋物線C?與白，軸交點(diǎn)為點(diǎn)P是拋物線C?在第四象限部分上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是），軸上一動(dòng)

點(diǎn)，求出一組P、Q的值，使得以點(diǎn)。、P、。為頂點(diǎn)的三角形與△EF。相似.

備用圖

7.如圖，直線y=4x+4與X軸、y軸相交于8、C兩點(diǎn)，拋物線），=加-2依+4"0）過(guò)點(diǎn)8、

C,且與X軸另一個(gè)交點(diǎn)為A,以0C、為邊作矩形04。。，C力交拋物線于點(diǎn)G.

（1）求拋物線的解析式以及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

（2）已知直線“用交。4于點(diǎn)E,交C。于點(diǎn)尸，交AC于點(diǎn)M,交拋物線（C。上方部分）于點(diǎn)?，

請(qǐng)用含〃?的代數(shù)式表示PM的長(zhǎng)；

（3）在（2）的條件下，連接PC,若aPC/和相似，求〃?的值.

8.如圖，已知拋物線y="2+以-3與x軸交于A、B兩點(diǎn)，4-1,0）與y軸交于點(diǎn)C,點(diǎn)七（1,T）

為拋物線的頂點(diǎn)，且00=04.

（1）求拋物線的解析式：

(2)設(shè)/。8C=a,NCBE=/3,求sin(a-77)的值；

(3)探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)P,使得以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與相似，若存在,

請(qǐng)指出點(diǎn)P的位置，并直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

9.如圖，在同一直角坐標(biāo)系中，拋物線乙：)，=?2+隊(duì)+8與x軸交于4(-8,0)和點(diǎn)C,且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

8(-2/2),若拋物線乙與拋物線4關(guān)于)，軸對(duì)稱，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為4,點(diǎn)B的對(duì)?應(yīng)點(diǎn)為夕.

(1)求拋物線乙的表達(dá)式；

(2)現(xiàn)將拋物線人向下平移后得到拋物線4，拋物線4的頂點(diǎn)為M,拋物線人的對(duì)稱軸與x軸

交于點(diǎn)N,試問(wèn)：在x軸的下方是否存在一點(diǎn)M,使二MNA與△AC4相似？若存在，請(qǐng)求出拋物

線的人表達(dá)式；若不存在，說(shuō)明理由.

10.如圖，拋物線y=ad+/)x+c與X軸交于點(diǎn)4-1,0),點(diǎn)8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C,且過(guò)點(diǎn)

。(2,-3).點(diǎn)P、Q是拋物線y=ax2+bx+c上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式:

(2)當(dāng)點(diǎn)P在直線。。下方時(shí)，求APOO面積的最大值.

(3)直線。。與線段AC相交于點(diǎn)￡,當(dāng)△(?比與A/WC相似時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

11.如圖，以D為頂點(diǎn)的拋物線y=-x2+bx+c交x軸干A、B兩點(diǎn).交y軸干點(diǎn)C,直線BC的

表達(dá)式為y=-x+3.

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)在直線BC上有一點(diǎn)P,使PO+PA的值最小，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在x軸上是否存在一點(diǎn)Q,使得以A、C、Q為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似？若存在，請(qǐng)求

出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不,存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

12.如圖，拋物線y=^-x2+bx+c與直線y=gx+3交于A,B兩點(diǎn)，交x軸于C、D兩點(diǎn)，連接AC、

BC,已知A(0,3),C?-3,0).

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對(duì)稱軸1上找一點(diǎn)M,使|MB-MD|的值最大，并求出這個(gè)最大值；

(3)點(diǎn)P為y軸右側(cè)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA,過(guò)點(diǎn)P作PQJ_PA交y軸于點(diǎn)Q,問(wèn)：是否存

在點(diǎn)P使得以A,P,Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)P的

坐標(biāo)：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

13.如圖，拋物線+以與x釉交于A,8兩點(diǎn)，點(diǎn)A,笈分別位于原點(diǎn)的左、右兩

側(cè)，80=340=3,過(guò)點(diǎn)8的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C,D,BC=y/3CD.

（1）求b,c的值；

（2）求直線8。的函數(shù)解析式：

（3）點(diǎn)?在拋物線的對(duì)稱軸上且在大軸下方，點(diǎn)Q在射線84上，當(dāng)A4血與ABPQ相似時(shí)，請(qǐng)

直接寫(xiě)出所有滿足條件的點(diǎn)。的坐標(biāo).

14.如圖，二次函數(shù)、=式2+加+4的圖象與工軸交于點(diǎn)4-1,0）,5（4,0）,與丁軸交于點(diǎn)C,拋

物線的頂點(diǎn)為O,其對(duì)稱軸與線段8c交于點(diǎn)E,垂直于X軸的動(dòng)直線,分別交拋物線和線段于

點(diǎn)〃和點(diǎn)/，動(dòng)直線/在拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)（不含對(duì)稱軸）沿1軸正方向移動(dòng)到A點(diǎn).

（1）求出二次函數(shù)y=a/+以+4和8C所在直線的表達(dá)式；

（2）在動(dòng)直線/移動(dòng)的過(guò)程中，試求使四邊形DEF尸為平行四邊形的點(diǎn)P的坐標(biāo);

(3)連接CP,CD,在動(dòng)直線/移動(dòng)的過(guò)程中，拋物線上是否存在點(diǎn)。，使得以點(diǎn)尸，C,F為

頂點(diǎn)的三角形與-ZX芯相似，如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

15.如圖，已知拋物線y=gx?+bx+c經(jīng)過(guò)△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)，其中點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B(-9,10),

AC〃x軸，點(diǎn)P是直線AC下方拋物線上的動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式：

(2)過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行的直線1與直線AB、AC分別交于點(diǎn)E、F,當(dāng)四邊形AECP的面積最

大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)當(dāng)點(diǎn)P為拋物線的頂點(diǎn)時(shí)，在直線AC上是否存在點(diǎn)Q,使得以C、P、Q為頂點(diǎn)的三角形

與△ABC相似，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

16.如圖，已知A(-2,0),B(4,0),毛也物線y-ax2+bx-1過(guò)A、B兩點(diǎn)，并與過(guò)A點(diǎn)的直線

y=--1交于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及對(duì)稱軸；

(2)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)P,使四邊形ACPO的周長(zhǎng)最??？若存在，求出點(diǎn)P的坐

標(biāo)，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；

(3)點(diǎn)M為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作直線AC的垂線，垂足為N.問(wèn)：是否存在這樣

的點(diǎn)N,使以點(diǎn)M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與△AOC相似，若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

3

17.拋物線y=ax?+bx+3(a#0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,0),B(；,0),且與y軸相交于點(diǎn)C.

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)求NACB的度數(shù)；

(3)設(shè)點(diǎn)D是所求拋物線第一象限上一點(diǎn)，且在對(duì)稱軸的右側(cè)，點(diǎn)E在線段AC」：，且DE1AC,

當(dāng)ADCE與△AOC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

18.我們定義：如圖1,在《A4C與△A&C中，兩三角形有公共頂點(diǎn)A,A及所在射線逆時(shí)針旋

轉(zhuǎn)a到AC所在射線，A9所在射線逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)4到AC'所在射線，

NBAC=%4'AC=尸,。+尸=180°,空=若，則我們稱ABC與△48'C互為“旋補(bǔ)比例三角

ABAC

形”.

(1)如圖1,,與△A8'C互為旋補(bǔ)比例三角形，NZMC=60',A4=6,AC=3,4Z/=2時(shí)，①

S..

/HAC,②黃以=

（2）如圖2,在▲八3c中，4）_LBC于點(diǎn)。，.03人與△D4C互為旋補(bǔ)比例三角形，延長(zhǎng)8至點(diǎn)

E,使EB=BD,連結(jié)AE,求證：/.84￡與V8C4互為旋補(bǔ)比例三角形；

（3）如圖3,在&。48中，4403=135",點(diǎn)A在1軸的正半軸上，OA=2,點(diǎn)8在第二象限，

1

X

OB=2五，拋物線丁=4-+bx+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)B,與軸交點(diǎn)為（0,5）,ZXOPQ（點(diǎn)。，。,。按逆時(shí)針

排列）與互為旋補(bǔ)比例三角形，點(diǎn)P在拋物線的對(duì)稱軸上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)構(gòu)成的三角形是

以A8為腰的等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)Q的坐標(biāo).

19.如圖，拋物線y=ax2+bx+c（a/））的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2,—1）,并且與y軸交于點(diǎn)C（0,3）,

與x軸交于兩點(diǎn)A,B.

（1）求拋物線的表達(dá)式；

（2）設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與直線BC交于點(diǎn)D,連接AC、AD,求△ACD的面積；

（3）點(diǎn)E為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作y軸的平行線EF,與拋物線交于點(diǎn)F.問(wèn)是否存在點(diǎn)E,

使得以D、E、F為頂點(diǎn)的三角形與aBCO相似.若存在，求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明

理由.

3

20.如圖1,經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O的拋物線y=ax?+bx(a/))與x軸交于另一點(diǎn)A(1,0),在第一象限內(nèi)

與直線y=x交于點(diǎn)B(2,t).

(1)求這條拋物線的表達(dá)式；

(2)在第四象限內(nèi)的拋物線上有一點(diǎn)C,滿足以B,O.C為頂點(diǎn)的三角形的面積為2,求點(diǎn)C

的坐標(biāo)：

(3)如圖2,若點(diǎn)M在這條拋物線上，且NMBONABO,在(2)的條件下，是否存在點(diǎn)P,

使得APOCs^MOB?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

國(guó))($2)

21.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)廠(x-a)(x-3)(0<a<3)的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B

(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)D,過(guò)其頂點(diǎn)C作直線CP_Lx軸，垂足為點(diǎn)P,連接AD、

BC.

(1)求點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)；

(2)若△AOD與ABPC相似，求a的值；

(3)點(diǎn)D、0、C、B能否在同一個(gè)圓上，若能，求出a的值，若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.

22.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線L：)，=奴2+(。-4)工+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-3,0)和點(diǎn)B(0,-6),

L關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的拋物線為

(1)求拋物線L的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)P在拋物線〃上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)P作PD_Ly軸，垂足為D.若APOD與△AOB

相似，求符合條件的點(diǎn)P的坐標(biāo).

參考答案

].x+y+z=2,xy,+yz+xz=-5

解：拋物線)，=依2+云+c經(jīng)過(guò)A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)

a-b+c=0a=-\

{9a+3〃+c=0,解得〃=2

c=3c=3

工拋物線的對(duì)稱軸為直線ml,。點(diǎn)坐標(biāo)為（1,4）,

設(shè)尸（1,。），過(guò)點(diǎn)尸作P”_LOM于H,連接附、PB,如圖,

4-。

：.HP=AP=-j^

4—4

RIAAPE中，AP2=AE2+PE2,即：(-y^)2=a2+4,

a=-4+2\1b

解得：;=-4-2"

，多(1,-4+2巫),P2(1,42m)

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)和切線的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖

形性質(zhì)，記住兩點(diǎn)間的距離公式；會(huì)應(yīng)用相似比建立線段之間的關(guān)系.

2.y=-^■x+1或y=曰x+1

【分析】

利用拋物線y=的圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，待定系數(shù)法球函數(shù)解析式，根與系數(shù)的關(guān)系和相似三

角形的判定與性質(zhì)得到48P=48Q=30。，繼續(xù)由相似三角形，根與系數(shù)的關(guān)系、函數(shù)解析式求

得結(jié)果.

解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)?，。作N軸的垂線，垂足分別為C,D.

設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0/），則點(diǎn)K的坐標(biāo)為（0,T）.

y=kx+t

設(shè)直線PQ的函數(shù)解析式為y=,并設(shè)夕，。的坐標(biāo)分別為（/，M）,（%,力）.由〈2。，

7

得々2一"一/=(),

3

32

于是與飛=-5，^t=--xpxQ.

222222/、

BC_產(chǎn)+,針?―產(chǎn)&_§/(?".%)_%

丁麗一右rg;一|A-|日一|與6f一7

PCx-BCPC

又因?yàn)閬?一p百所以防二而

因?yàn)镹BCP=NBDQ=90°,

所以MCPsABDC，

故乙48P=ZA8Q=30。，

設(shè)PC=a,DQ=b,不妨設(shè)a.b>0,

**?BC=\[3a,BD=>j3b,

所以人。=屈-2，AD=2-j3b.

因?yàn)镻C//。。，所以AAC/MAA”.

丁日尸°AC日73a-2

于是右二方，即丁=----r-?

DQADb2-V3Z?

所以a+〃=yj3ab.

y.xpxQ=,即一〃/?=-],所以〃〃="1,4+〃=^^,

于是可求得a=2b=6.

將力=在代入），=；/,得到點(diǎn)Q的坐標(biāo)（3，1）.

2322

再將點(diǎn)。的坐標(biāo)代入丁="+1,求得及=—正.

3

所以直線PQ的函數(shù)解析式為），=—￥%+1.

根據(jù)對(duì)稱性知，所求直線PQ的函數(shù)解析式為），=-#工+1或），=#x+l.

【點(diǎn)撥】此題主要考查相似三角形的判定勺性質(zhì)、根勺系數(shù)的關(guān)系、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式以

及對(duì)稱解決問(wèn)題.

325

3.（——?—）或（-3,2）

【分析】

利用進(jìn)行討論：若NDC“=4C0時(shí)，ADCF^AACO,如圖2,過(guò)點(diǎn)。作左,丁

軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)。作CQJ*。。交X軸于點(diǎn)Q,先證明04=QC,設(shè)Q（〃?，。），解方程加+4=x/^h

可確定。（-］，。），再證明RtADCGsRtACQO,利用相似比得到空設(shè)DG=4i,CG=3t,可

表示出ZX-4/,3/+2）,然后把ZXT/,3/+2）代入拋物線解析式得到-+6/4-2=3/4-2,解方程求出/即

可得到此時(shí)。點(diǎn)坐標(biāo)；當(dāng)/Qb=NC40時(shí)，M）CF^CAO,則CQ//A。，利用。點(diǎn)的縱坐標(biāo)與C

點(diǎn)的縱坐標(biāo)相同可確定此時(shí)點(diǎn)。的縱坐標(biāo).

解：ZAOC'=ZDFC=90°,

若NDCF=ZACO時(shí),ADC戶SA4cO,

如圖1,過(guò)點(diǎn)。作灰工）：軸于點(diǎn)G,過(guò)點(diǎn)C作CQ_LOC交x軸于點(diǎn)Q,

ZDCQ=AAOC,

/.ZDCF+ZAC（2=9O°,HPZ4CO4-ZACQ=90°,

而ZACO+NC4O=90。，

：.ZACQ=ZCAOt

,-.QA=QC,

設(shè)Q（肛0）,則，〃+4=解得〃?二：，

3-

。（-耳，。），

/QCO+NDCG=90。，ZQCO+ZCQO=90°,

:"DCGOCQO,

RtADCG^RtACQO,

DGGC型=8=2=9

了=而，即CGOQ|3,

設(shè)Z)G=4r,CG=3i,則D(-4/,3/+2),

I3

把ZX-4，,3r+2）代入了二一弓丁-2得一8-+6，+2=3，+2,

乙乙

整理得8/—3/=0,解得4=。（舍去），「2=］，

O

當(dāng)/。€產(chǎn)=/00時(shí)，ADCF^CAO,則。力〃AO,

二?點(diǎn)力的縱坐標(biāo)為2,

1Q1%

把1=2代入），=一#一;x+2得一羅-3+2=2,解得』二-3,x2=0（含去）,

???Q(-3⑵，

綜上所述，點(diǎn)。的坐標(biāo)為（-93鄉(xiāng)?5或（T2）.

2o

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征、二次函數(shù)的性

質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)；靈活應(yīng)用相似比表示線段之間的關(guān)系；理解坐標(biāo)與圖形的性質(zhì);

會(huì)利用分類討論的思想解決數(shù)學(xué)問(wèn)題.

13

4.(1)y=-x2+3x+4：(2)①(2,0)或(3,0)；②〃?=7或一.

4

【分析】

(1)將點(diǎn)A坐標(biāo)代入直線解析式可求n的值，可求點(diǎn)B坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解；

(2)①分兩種情況討論，由兩點(diǎn)距離公式和勾股定理可求解：②分兩種情況討論，由相似三角形

的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，可求BP解析式，聯(lián)立方程可求解.

解：(1)1直線y=T+>與％軸交于點(diǎn)44,0),

:.0=-4+n?

/./?=4,

???直線解析式為：y=-x+4,

當(dāng)x=0時(shí)，y=4,

「?點(diǎn)伙。，4),

_c=4

「拋物線y=-r+灰+。經(jīng)過(guò)點(diǎn)A,B,則〈必,,八，

1-16+4Z?+c=0

b=3

解得/

二拋物線的解析式為：y=—/+3x+4①；

(2)①EO_Lx軸，

/.ZPEA=90°,

;./BDP=ZADE<90P,

設(shè)點(diǎn)E(m,0),點(diǎn)P(m,-m2+3m+4),則點(diǎn)D(m,-m+4),

PD2=(-m2+4m)2,BP2=m2+(-m2+3m)2,BD2=m2+(-m+4-4)2=2m2,

當(dāng)NP3O=90°時(shí)，BP2+BD2=PD2^

：.m2+(-m2+3/2?)2+2ni2=(-nV+4m)2,

.?.〃?=2,m=0(舍去)

點(diǎn)￡的坐標(biāo)為(2,0),

當(dāng)N6叫=90°時(shí)，BP2+PD2=BD2f

同理可得：〃?=0(舍去)或3或4(舍去)，

「?點(diǎn)E的坐標(biāo)為(3。)，

綜上所述：點(diǎn)E的坐標(biāo)為(2。或(3,0)；

②當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，如圖I,連接AC,延長(zhǎng)外交了軸于N,

.?.3=08=4,

/aAO=Z48O=45。，

拋物線y=-丁+3x+4與x軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)C,

.,.0=-*+3x+4，

玉=4,x2=-1,

???點(diǎn)C(T0),

.\OC=1,

/PBD+ZCBO=45°,NBA。=/PBD+ZBNO=45°,

:.4CBO=4BNO,

又?.NBOC=NBON=90°,

.BOON

'~C0~~0B'

4ON

二.-=——,

14

:.ON=\6,

???點(diǎn)M16.0),

二.直線AN角軍析式為：y=~x+4@,

4

13

聯(lián)立①②并解得：x=0(舍去)或與，

4

13

.'./〃=一；

當(dāng)點(diǎn)P在x軸下方時(shí)，如圖2,連接8C,設(shè)研與工軸交于點(diǎn)H,

y

、：NPBD+ZCBO=45°,ZOBH+NPBD=45°,

:"CBO=/OBH,

又.OB=OB,4coB=NBOH,

\BOH=\BOC(ASA),

,,OC=OH=\,

???點(diǎn)”(1.0).

???直線8”解析式為：y=Yx+4③，

聯(lián)立①③并解得：x=0(舍去)或7,

，點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)為7,

=7,

綜上所述：〃7=7或513.

4

【點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，待定系數(shù)法求解析式，相似三角形的

判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，兩點(diǎn)距離公式，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解

決問(wèn)題是本題的關(guān)鍵.

5.(1)y=x2-4,r+3：(2)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為(5,8),.

ID)

【分析】

(1)利用待定系數(shù)法求拋物線解析式；

(2)直線BD交x軸于E,如圖，先把解析式配成頂點(diǎn)式得到D(2,-1),再利用待定系數(shù)法求

出直線BD的解析式，則可確定E點(diǎn)坐標(biāo)，然后根據(jù)三角形的面積公式，利用SAABD=S“BE+SAADE

進(jìn)行計(jì)算即可：

(3)先確定拋物線的對(duì)稱軸為直線x=2,設(shè)P(x,x2-4x+3)(x>2),則H(2,x2-4x+3),再表

PHHD

示出PH=x-2,HD=XMX+4,根據(jù)相似三角形的判定方法，當(dāng)時(shí)，△PHDs/XAOB,即

OAOB

x—2A?2一4r+4PHHDx—212—4r+4

u4”;當(dāng)先=會(huì)時(shí)，APFIDsaBOA,即U曲+4,然后分別解方程即

13OBOA31

可得到滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo).

-.0=l+/?+c

解：(1)把A(1,0)和B(0,3)代入y=x?+bx+c得J,

b=-4

解得：

c=3

，拋物線解析式為產(chǎn)X2-4K+3；

(2)直線BD交x軸于E,如圖,

Vy=(x-2)2-1,

AD(2,-1),

設(shè)宜.線BD的解析式為y=mx+n,

〃=3ni=-2

把B(0,3),D(2,-1)代入得<23“解得

n=3

工直線BD的解析式為y=-2x+3,

33

當(dāng)y=0時(shí)，?2x+3=0,解得x==，則E(二，0),

22

33

**?SAABD=SAABE+SAADE=x(-I)x3+—x(--I)xl=l?

<3)拋物線的對(duì)稱軸為直線x-2,

設(shè)P(x,x2-4x+3)(x>2),則H(2,x2-4x+3),

PH=x-2,HD=x2-4x+3-(-1)=x2-4x+4,

VZPHD=ZAOB=90°,

PHHDr-?2.4+4

，當(dāng)K=時(shí)，△PHDs^AOB,即=="r*,解得xi=2(舍去)，X2=5,此時(shí)P點(diǎn)

OAOBI3

坐標(biāo)為(5,8)；

當(dāng)義=券時(shí)，△PHDS/\BOA,即已="j”+4,解得a二2（舍去），X2=1,此時(shí)P點(diǎn)

OBOA313

7R

坐標(biāo)為（—?■Q

J;

7Q

綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為（5,8）或（：，-E）.

39

6.（1）A（＜0）、8（3,0）；（2）），=#_*4；（3）高

【分析】

（1）令產(chǎn)（），由-3/一$.+4=。求得的解就是點(diǎn)43的橫坐標(biāo)；

（2）由（1）得到點(diǎn)A、8、M關(guān)「原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式求得拋物線G的表達(dá)

式；

（3）先結(jié)合圖形的特點(diǎn)，構(gòu)造出與△&、￡＞相似且頂點(diǎn)分別在），軸上和拋物線上的三解形，再利用

相似三角形的性質(zhì)求解.

解：（1）當(dāng)產(chǎn)。時(shí)，由-；x+4=o,得再=-4,受=3,

???秋-4,0）、8（3,0）.

（2）由廣一山一為+4=-￥X+，［+竺，得拋物線q的頂點(diǎn)M（-匕川，

■333\2）121212J

???點(diǎn)從尸、N分別與點(diǎn)人B、M關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，

???￡（4,0）、尸（—3,0）、嗚量｝

設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)E且頂點(diǎn)為N的拋物線G的解析式為），=HJW，

（IA2491

則4Va-^=0,解得

I2；123

???拋物線C2的解析式為y=#_*4.

（3）如圖，作。P_LA￡＞交拋物線。2于點(diǎn)尸，作PRJ-y軸于點(diǎn)R,在點(diǎn)R上方的），軸上取一點(diǎn)Q,

使RQ=RP,則NPQO=NQPR=45。：

由）'=；”一；不一4,得仇0,-4）.

.?.OD=OB=4,/DEF=NEDQ=45°,

又Z1PDQ=90°-乙FDH=Z1DFE,

:..QDPs-EFD.

作"http:///9交），軸于點(diǎn)兒則NW77=90。：

?/4HFO=90°-ZOAD=ZADO，

.OHOF/…、3

..1=---=（anZ.ADO=—

OFOD4

39

Z.OH=-x3=-.

44

993

設(shè)直線切的解析式為），=-+二，則-32+；=0,解得欠=，

444

.39

??y=-x+-9

???直線8的解析式為尸%-4；

），3-413

X=

'T?電二：（不符合題意，舍去）.

由＜

25[%=4

y=—:x'一—.v.—4得

“33“一記

MM嚏,

13

??QR=PR=—

251327

，點(diǎn)。的縱坐標(biāo)為了+廠市

【點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)綜合問(wèn)題以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握基本性質(zhì)是解題關(guān)

鍵.

7.(1)y=--x2+-.r+4,A的坐標(biāo)為(3,0)；(2)PM=--nr+4w：(3)7的值為生或1.

33316

【分析】

(1)先求出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可求出拋物線的解析式，然后令y=o即可求出點(diǎn)

A的坐標(biāo)；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線AC的解析式，從而可得點(diǎn)M的坐標(biāo)，再根據(jù)拋物線可得點(diǎn)P

的坐標(biāo)，然后根據(jù)尸“=尸石-"K即可得；

(3)先根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)、正方形的性質(zhì)分別求出AE、ME、CF、PF的長(zhǎng)，再根據(jù)相似三角形的性

質(zhì)即可得.

解：(1)對(duì)于直線U

當(dāng)y=0時(shí)，4x+4=0,解得x=-l,則點(diǎn)3的坐標(biāo)為(-1,0)

當(dāng)工=0時(shí)，)，=4,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,4)

4

a+2a+c=0a=—

將點(diǎn)B、C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得：,解得3

c=44.

[c=4

42

貝I」拋物線的解析式為)，=—1/+*丫+4

JJ

AQ

令丁=。得-QX2+QX+4=0,解得x=T或x=3

JJ

???點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,0)；

(2)設(shè)直線AC的解析式為，=辰+人

3k+b=0k=--

把A(3,0),C(0,4)代入得，解得3

b=4

b=4

4

???直線AC的解析式為y=--x+4

???點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為〃?，點(diǎn)M在AC上

；?點(diǎn)、M的坐標(biāo)為(加，-3也+4

AQ

???點(diǎn)/)的橫坐標(biāo)為相，點(diǎn)尸在拋物線)=-鼻/+x+4上

JJ

(4c8、

：?點(diǎn)戶的坐標(biāo)為(用，一§"r+§m+4

/.PM=PE-ME=—in2+—〃？+4-—m+4=—ni2+4m

I33)I3J3

44S4X

(3)由題意得A￡=3-m,ME=--〃?+4,CF=m,PF=一一—+4-4=一一rn2+-m

33333

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，分以卜.兩種情況:

PFFC

①若“心皿,則公=贏

428

—m+-m

即」-----2-m

-J"

3_，n——in+4

3

〃7工0且聽(tīng)3

23

m=一；

16

CFPF

②若KFP?'EM,則標(biāo)=血

4,8

——rn+-m

m33

即

4彳

3-m——機(jī)+4

3

;〃？工0且"，，3

綜上，，"的值為2三3或1.

16

【點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、利用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式、相似三角形的性

質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，掌握待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式是解題關(guān)鍵.

立；(3)存在，"。，手，2(9,0),R(0,0)

8.(1)y=x2-2x-3；(2)

2〈3)3J

【分析】

(1)將點(diǎn)A、E的坐標(biāo)代入拋物線解析式求出a、b即q；

（2）首先求出BD、EC、BC、BE的長(zhǎng)，證明人8。。BCE得出/DBO=NEBC,將求sin（。一尸）

的值轉(zhuǎn)化為求sin/CBO的值，計(jì)算即可；

（3）首先證明NACO=/EBC,ZOAC=ZCEB,可得以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)與二式E相似的

三角形必為直角三角形，然后分情況討論：①以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，②以C為直角頂點(diǎn)時(shí)，③以P

為直角頂點(diǎn)時(shí)，利用射影定理求出0P的長(zhǎng)即可.

解：（1）將4T0）,氏1,-4）代入），=，0」+法-3可得彳，。,

a+b-3=-4

工拋物線的解析式為：y=x2-2A-3：

(2)VA(-l,0),OD=OA,

令)，=/_213=0,

解得：X=T,々=3,

???8(3,0),

VE(l,-4),C(0,-3),

,,BD=\/3’+f=A/TO，EC—+(-4+3)=>/2,BC-+3?=3>/2?

22

BE=>/(3-l)+(4)=2>/5,

..OPIV2OB=3^x/2BD二6

'CE=？2=T，~BC=yJl=~2'~BE=245=~2

BODBCE,

:?NDBO=NEBC,

：.a-/3=ZDBC-Z.CBE=NDBC-4DBO=NCBO,

?\sin(a—p)=sin/CBO=—=2=—；

8c3j22

(3)VOA=OD=I,OC=OB=3,ZAOC=ZDOB,

AAAOC^ADOB,

AZACO=ZDBO,ZOAC=ZODB,

???BODBCE,

，NDBO=NEBC,NODB=NCEB,

AZACO=ZEBC,ZOAC=ZCEB,

???88為直角三角形，則以P、A、C三點(diǎn)為頂點(diǎn)與.BCE相似的三角形必為直角三角形,

，分三種情況討論：

①以A為直角頂點(diǎn)時(shí)，

2

在RtCA耳中,OA=OCOPt,即：1=31%

2

②以C為直角頂點(diǎn)時(shí)?，在RInAC6中，OC=OAOP2,即：9=以。6，

???。4=9,

???e（9,0）；

③以P為直角頂點(diǎn)時(shí)，則P與O重合，

即B（o,o）；

綜上所述：滿足條件的P點(diǎn)有R（og）,打（9,0）,6（0.0）.

【點(diǎn)撥】本題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)、

相似三角形的判定和性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定義和性質(zhì)以及射影定理的應(yīng)用等知識(shí)，熟練掌握待

定系數(shù)法和相似三角形判定定理是解答本題的關(guān)健.

I1oI

9.（1）拋物線右的解析式為），=-]f+3x+8.修）函數(shù)4的解析式為：），=-]x2+3x—；或

y=——1x"2+43x---2-6-.

-23

【分析】

（1）利用待定系數(shù)法求出拋物線乙的解析式，確定頂點(diǎn)坐標(biāo)，利用軸對(duì)?稱的性質(zhì)得到拋物線右的

表達(dá)式：

（2）先根據(jù)點(diǎn)坐標(biāo)求出4C=10,B'C=12,4'N=5,再分兩種情況利用相似三角形的性質(zhì)求解

即可.

解；（1）將4（-8,0）,8（-2,12）分別代入y=十6+8中得,

ax(-8)2-泌+8=0

?X(-2)2-2/?+8=12，

1

■a=—

解得2,

力=一3

「?拋物線0的解析式為y=-lx2-3x4-8=-l(A-+3)2+y,

則：頂點(diǎn)為(-3,三)，

?.?拋物線乙與拋物線4關(guān)于y軸對(duì)稱，頂點(diǎn)也關(guān)于)，軸對(duì)稱，開(kāi)口方向及大小均相同，即二次項(xiàng)

系數(shù)相同，

2S

???拋物線4的頂點(diǎn)為(3萬(wàn))，

???拋物線k的解析式為y=-1(x-3)24-y=-1X2+3X+8.

故拋物線k的解析式為y=-//+3彳+8.

(2)如圖，存在點(diǎn)M,使.MAW與ZXAC斤相似.

由題意得：4(8,0),9(2,12),C(2,0),N(3,0),

AC=10,B'C=\2,4'N=5,

?「Z4'W=ZACT'=90°,

ZVTMN與△A8'C相似，可以分兩種情況：

①當(dāng)▲A8'CS"，MN時(shí)，則尊=器=《=得，

NAAC105

MN=6,

即點(diǎn)例(3,-6),

此時(shí)，拋物線上3的表達(dá)式為丁=-6=-g.d+3工-弓.

②當(dāng)..AA'CgM4W時(shí)，

(25、

同理可得：點(diǎn)M3,--;

\6)

此時(shí)，拋物線區(qū)的表達(dá)式為丁=-；(1-3)2-1=-；/+3]—年，

故：函數(shù)a的解析式為：y=—k—+3x-4■或)，=—另廠+3為一個(gè).

【點(diǎn)撥】此題考查二次函數(shù)的綜合知識(shí)，待定系數(shù)法求拋物線的解析式，軸對(duì)稱的拋物線的特點(diǎn)，

相似三角形的判定及性質(zhì)，在解題中運(yùn)用分類思想解決問(wèn)題.

-149

10.(1)拋物線的表達(dá)式為：)，=K-2X-3；(2)S“OD有最大值，當(dāng)機(jī)=了時(shí)，其最大值為二；(3)

416

廠-廠(-\fi31-Vl3Vf-l-x/133+3^^

。(6r,-26)或(一石,26)或一+-y-—或一--,---?

【分析】

(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=a(x+1)(x-3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式，即可求解；

(2)設(shè)點(diǎn)P伽＞一2〃?一3),求出06=3+2/〃，根據(jù)S*8=；xOG(x〃—Xp)=；(3+2M(2—M

乙乙

=_〃/+；5+3,利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

(3)分NACB=NBOQ、ZBAC=ZBOQ,兩種情況分別求解，通過(guò)角的關(guān)系，確定直線OQ傾

斜角，進(jìn)而求解..

解：(1)函數(shù)的表達(dá)式為：y=〃*+l)(x-3),將點(diǎn)D坐標(biāo)代入上式并解得：a=\,

故拋物線的表達(dá)式為：y=Y-2x-3…①;

(2)設(shè)直線PD與y軸交于點(diǎn)G,設(shè)點(diǎn)P(m,nr-2fn-3),

圖1

將點(diǎn)P、D的坐標(biāo)代入一次函數(shù)表達(dá)式：），=sx+/并解得，直線PD的表達(dá)式為：y=f^-3-2m,

則OG=3+2m,

S"OD=Jx0G(.%-與)=J(3+2m)(2-m)=-in2+：6+3,

I49

J（。，故S."有最大值，當(dāng)〃1時(shí)‘其最大值為萬(wàn)

(3)VOB=OC=3,：?NOCB=NOBC=45°,

?:ZABC=4OBE,故AOBE與AABC相似時(shí)，分為兩種情況:

①當(dāng)4C8=N4。。時(shí)，AA=4,8c=3夜，AC=M，

圖2

W=^AHXBC=^ABXOC,解得：AH=2叵，

ACH=>/2

則tanNAC8=2,

則直線0Q的表達(dá)式為：y=-2x...②，

聯(lián)立①②并解得：x=±75,

故點(diǎn)Q(6,-26)或(-73,273)；

②NBAC=N8OQ時(shí)，

OC3

tanABAC=--=-=3=tan乙BOQ,

OA1

則直線0Q的表達(dá)式為：y=-3x…③，

-lzVl3

聯(lián)立①③并解得:x=-------，

2

…HJ-1+V133-3Vl3Vf-l-Vi33+3x/iI1

故點(diǎn)。---，---或---，一--;

\/\7

綜上，點(diǎn)06,-2折或(-"2病或產(chǎn)卜

【點(diǎn)撥】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到解直角三角形、三角形相似、面積的計(jì)算等，

其中(3),要注意分類求解，避免遺漏.

912

11.(I)y=-x2+2x+3；(2)P(y,y)；(3)當(dāng)Q的坐標(biāo)為(0,0)或(9,0)時(shí)，以A、C、Q

為頂點(diǎn)的三角形與△BCD相似.

【分析】

(1)先求得點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)，然后將點(diǎn)B和點(diǎn)C的坐標(biāo)代入拋物線的解析式得到關(guān)于b、c

的方程，從而可求得b、c的值；(2)作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)0，，則0，(3,3),則OP+AP的

最小值為AO,的長(zhǎng)，然后求得ACT的解析式，最后可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)：(3)先求得點(diǎn)D的坐標(biāo)，

然后求得CD、BC、BD的長(zhǎng)，依據(jù)勾股定理的逆定理證明△BCD為直角三角形，然后分為

△AQC^ADCB和^ACQ^ADCB兩種情況求解即可.

解：(1)把x=0代入y=-x+3,得：y=3,

AC(0,3).

把y=0代入戶?x+3得：x=3,

AB(3,0),A(-1,0).

[-9+3P+C=0

將C(0,3)、B(3,0)代入y=-x?+bx+c得：，解得b=2,c=3.

c=3

???拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

(2)如圖所示：作點(diǎn)O關(guān)于BC的對(duì)稱點(diǎn)O1則0,(3,3).

二。與O關(guān)于BC對(duì)稱,

???PO=PO'.

OP+AP=O,P+AP<AO,.

AOP+AP的最小?值=O，A=J(—1—3)2+(3-0『:5

O'A的方程為丫=彳31+:3

44

9

33x=-

P點(diǎn)滿足J