專(zhuān)題05二倍角公式、三角變換的應(yīng)用重難點(diǎn)題型專(zhuān)訓(xùn)（17大題型+15道提優(yōu)訓(xùn)練）題型一二倍角的正弦公式題型二二倍角的余弦公式題型三二倍角的正切公式題型四半角公式題型五積化和差公式題型六輔助角公式題型七三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題題型八給角求值型問(wèn)題題型九給值求值型問(wèn)題題型十給值求角型問(wèn)題題型十一利用三角恒等變換判斷三角形的形狀題型十二有（無(wú)）條件的恒等式證明題型十三三角形中的三角恒等式題型十四sin2x的降冪公式及應(yīng)用題型十五cos2x的降冪公式及應(yīng)用題型十六sinxcosx的降冪公式及應(yīng)用題型十七三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)01二倍角的正弦、余弦和正切公式=1\*GB2⑴．=2\*GB2⑵升冪公式降冪公式，．=3\*GB2⑶．知識(shí)點(diǎn)02半角公式知識(shí)點(diǎn)03輔助角公式【經(jīng)典例題一二倍角的正弦公式】【例1】（2425高一下·上海靜安·期末）已知，，則（

）A． B． C． D．1．（2425高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）下列選項(xiàng)中，與不相等的是（

）A． B． C． D．2．（2425高一下·上?！るA段練習(xí)）已知，滿(mǎn)足，，則．3．（2324高一下·上?！て谥校?）已知角終邊上一點(diǎn)，求的值；（2）已知，求的值．【經(jīng)典例題二二倍角的余弦公式】【例2】（2324高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）已知，且則，，的值分別為（）A．，，2 B．，，2C．，，2 D．，，1．（2324高一下·上海松江·階段練習(xí)）已知，化簡(jiǎn)的結(jié)果是（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海青浦·階段練習(xí)）方程在區(qū)間上的解集為.3．（2324高一下·上海嘉定·期中）如圖，有一塊半徑為2的半圓形鋼板，計(jì)劃裁剪成等腰梯形的形狀，它的下底是半圓的直徑，上底的端點(diǎn)在圓周上．記．（提示：直徑所對(duì)的圓周角是直角，即圖中）(1)用表示的長(zhǎng)；(2)若，求如圖中陰影部分的面積；(3)記梯形的周長(zhǎng)為，將表示成的函數(shù)，并求出的最大值．【經(jīng)典例題三二倍角的正切公式】【例3】（2324高一下·上海徐匯·期中）已知且，則=（

）A． B．C． D．或1．（2024·上海閔行·一模）若，則（

）A． B． C．2 D．2．（2425高一下·上海楊浦·開(kāi)學(xué)考試）已知是第二象限角終邊上的一個(gè)點(diǎn)，且，將OP繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，則點(diǎn)的坐標(biāo)為.3．（2324高一下·上海閔行·開(kāi)學(xué)考試）（1）已知，，，求.（2）化簡(jiǎn)：.【經(jīng)典例題四半角公式】【例4】（2024·上海閔行·模擬預(yù)測(cè)）已知角的始邊為軸的非負(fù)半軸，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（

）A． B． C．或 D．1．（2324高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）設(shè)，且，下列不等式中成立的是（

）①；②；③；④．A．①② B．③④ C．①④ D．②③2．（2324高一下·上海長(zhǎng)寧·期末）若，，則．3．（2324高一下·上?！ふn后作業(yè)）半角的正弦、余弦公式前面都含有“”，請(qǐng)問(wèn)符號(hào)是如何確定的？【經(jīng)典例題五積化和差公式】【例5】（2324高一下·上海崇明·期末）計(jì)算：（

）A． B． C． D．1．（2024·上海金山·三模）已知，且，，是在內(nèi)的三個(gè)不同零點(diǎn)，下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．2．（2023高二·安徽·競(jìng)賽）．3．（2024高一下·上海寶山·專(zhuān)題練習(xí)）證明下列恒等式.(1);(2).【經(jīng)典例題六輔助角公式】【例6】（2425高一下·上海徐匯·期中）關(guān)于的方程在上有（

）個(gè)實(shí)數(shù)根．A．1 B．2 C．3 D．41．（2425高一下·全國(guó)·課后作業(yè)）在銳角中，已知，則（

）A． B． C． D．2．（2024高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）某導(dǎo)航信號(hào)可以用函數(shù)近似模擬，若函數(shù)在上有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為．3．（2024·上?！と＃┗?jiǎn)下列各式(1)(2);(3)；(4).【經(jīng)典例題七三角恒等變換的化簡(jiǎn)問(wèn)題】【例7】（2425高一下·上海靜安·期中）若函數(shù)在區(qū)間上只有一個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．1．（2024·上海虹口·模擬預(yù)測(cè)）若，滿(mǎn)足，下列正確的是（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海金山·期中）設(shè)，為實(shí)數(shù)，已知，，則的值為.3．（2425高一下·上海松江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，且，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，若，求的最大值.【經(jīng)典例題8給角求值型問(wèn)題】【例8】（2324高一下·上海嘉定·階段練習(xí)）求值：（

）A．1 B． C． D．1．（2024·上海徐匯·模擬預(yù)測(cè)）式子化簡(jiǎn)的結(jié)果為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海寶山·期中）若，則.3．（2324高一下·上海楊浦·開(kāi)學(xué)考試）求下列各式的值：(1)；(2).【經(jīng)典例題九給值求值型問(wèn)題】【例9】（2024高一下·上海崇明·專(zhuān)題練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海青浦·期末）已知，，，，則的值為（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海嘉定·期末）已知，，則的一個(gè)取值為.3．（2324高一下·上海普陀·階段練習(xí)）已知，．(1)求的值；(2)求的值；(3)若且，求的值．【經(jīng)典例題十給值求角型問(wèn)題】【例10】（2324高一下·上海崇明·階段練習(xí)）已知均為鈍角，，且，則（

）A． B． C． D．1．（2024·上海靜安·三模）已知，，若，則（

）A． B． C． D．2．（2324高一·全國(guó)·課后作業(yè)）定義運(yùn)算.若，，，則.3．（2324高一下·上?！ぜ倨谧鳂I(yè)）求下列方程的解集：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)(6)，；(7).【經(jīng)典例題十一利用三角恒等變換判斷三角形的形狀】【例11】（2324高一下·上海寶山·期末）在△ABC中，若，則△ABC是（

）A．等邊三角形 B．等腰直角三角形C．等腰三角形 D．直角三角形1．（2324高一下·上海浦東新·階段練習(xí)）中，是以為第三項(xiàng)、為第七項(xiàng)的等差數(shù)列的公差，是以為第三項(xiàng)、4為第六項(xiàng)的等比數(shù)列的公比，則該三角形的形狀是（

）A．鈍角三角形 B．銳角三角形C．等腰直角三角形 D．不能確定2．（2024·上海虹口·模擬預(yù)測(cè)）三邊長(zhǎng)均不相等的滿(mǎn)足：，則；若對(duì)任意正數(shù)恒成立，則的范圍是．3．（2324高一下·上海寶山·階段練習(xí)）已知和滿(mǎn)足：，，.（1）試判斷是否可以為等邊三角形，并說(shuō)明理由；（2）求證：是鈍角三角形，并求的最大的內(nèi)角.【經(jīng)典例題十二有（無(wú)）條件的恒等式證明】【例12】（2024高一下·上?！?zhuān)題練習(xí)）已知，且，求證：．1．（2324高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）已知，且滿(mǎn)足．（1）求證：（2）求的最大值，并求當(dāng)取得最大值時(shí)的值．2．（2324高一下·上海靜安·階段練習(xí)）（1）求證：；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的所有零點(diǎn).3．（2324高一下·上海嘉定·期中）小萌在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)，以下5個(gè)式子都成立．①；②；③；④；⑤．她覺(jué)著好像有某種規(guī)律，你能幫她總結(jié)出這個(gè)規(guī)律么？并證明這個(gè)結(jié)論；并利用這一結(jié)論計(jì)算的值．【經(jīng)典例題十三三角形中的三角恒等式】【例13】（2324高一下·上海閔行·期中）在銳角中，若，則的最小值為(

)A．4 B．6 C．8 D．101．（2324高一下·上海徐匯·階段練習(xí)）在中，下列等式錯(cuò)誤的是（

）A．B．C．D．2．（2324高一下·上海虹口·階段練習(xí)）在△ABC中，AB邊上的高，則的最小值為.3．（2324高一下·上海楊浦·期末）為持續(xù)推進(jìn)“改善農(nóng)村人居環(huán)境，建設(shè)宜居美麗鄉(xiāng)村”，某村委計(jì)劃在該村一矩形空地進(jìn)行綠化，如圖所示，.點(diǎn)是中點(diǎn)，F(xiàn)，G分別是線段和線段上的動(dòng)點(diǎn)（足夠長(zhǎng)），.

(1)當(dāng)時(shí)，求的面積；(2)求面積的最小值.【經(jīng)典例題十四sin2x的降冪公式及應(yīng)用】【例14】（2324高一下·上海崇明·期中）已知()，則（

）A． B． C． D．1．（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）關(guān)于函數(shù)，有下面四個(gè)結(jié)論：①是奇函數(shù)；

②當(dāng)時(shí)，恒成立；③的最大值是；

④的最小值是．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)2．（2324高一·全國(guó)·單元測(cè)試）已知函數(shù)，設(shè)，，則，.3．（2324高一下·上海嘉定·期中）已知函數(shù).(1)求函數(shù)的最小正周期及的單調(diào)區(qū)間；(2)將的圖象先向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，當(dāng)時(shí)，求的值域.【經(jīng)典例題十五cos2x的降冪公式及應(yīng)用】【例15】（2324高一下·上海閔行·階段練習(xí)）已知，則（

）A． B． C． D．1．（2324高一下·上海松江·階段練習(xí)）已知，，則（

）A． B． C． D．2．（2025高一下·上海徐匯·專(zhuān)題練習(xí)）已知，，則3．（2025高一下·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）把下列各式化成的形式.(1)；(2)；(3)；(4).(5)(6)(7)【經(jīng)典例題十六sinxcosx的降冪公式及應(yīng)用】【例16】（2324高一下·上海楊浦·期末）已知，，則的值為（

）A．0 B． C． D．1．（2324高一下·上海崇明·期末）已知，，則=（

）A．2 B．2 C． D．2．（2324高一下·長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生被譽(yù)為“中國(guó)現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”，他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實(shí)踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，黃金分割比還可以表示成2sin18°，則.3．（2324高一下·上海黃浦·期末）在①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并對(duì)其求解.問(wèn)題：若銳角滿(mǎn)足________，求的值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【經(jīng)典例題十七三角恒等變換的實(shí)際應(yīng)用】【例17】（2024高一下·上海靜安·專(zhuān)題練習(xí)）古代數(shù)學(xué)家劉徽編撰的《重差》是中國(guó)最早的一部測(cè)量學(xué)著作，現(xiàn)據(jù)《重差》測(cè)量一個(gè)球體建筑物的高度，如圖，已知點(diǎn)A是球體建筑物與水平地面的接觸點(diǎn)（切點(diǎn)），地面上B，C兩點(diǎn)與點(diǎn)A在同一條直線上，且在點(diǎn)A的同側(cè)．若在B，C處分別測(cè)得球體建筑物的最大仰角為60°和20°，且，則該球體建筑物的高度約為（）（

）

A．58.60m B．56.74m C．50.76m D．49.25m

1．（2024·上海青浦·二模）如圖，正方形的邊長(zhǎng)為1，、分別是邊、邊上的點(diǎn)，那么當(dāng)?shù)闹荛L(zhǎng)為2時(shí)，（

）A． B． C． D．2．（2324高一下·上海徐匯·期中）如圖所示，有一塊正方形的鋼板，其中一個(gè)角有部分損壞，現(xiàn)要把它截成一塊正方形的鋼板，其面積是原正方形鋼板面積的三分之二，則應(yīng)按角來(lái)截.3．（2324高一下·上海徐匯·期末）如圖，長(zhǎng)方形ABCD，，，的直角頂點(diǎn)P為AD中點(diǎn)，點(diǎn)M、N分別在邊AB，CD上，令．(1)當(dāng)時(shí)，求梯形BCNM的面積S；(2)求的周長(zhǎng)l的最小值，并求此時(shí)角的值．1．（2425高一下·上海普陀·期末）已知，是第三象限角，則（

）A． B． C． D．22．（2425高一下·上海靜安·階段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是（

）A． B． C． D．3．（2025高一下·上海嘉定·專(zhuān)題練習(xí)）若，且，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．4．（2324高一下·上海閔行·期中）對(duì)集合和常數(shù)，把定義為集合相對(duì)于的“正弦方差"，則集合相對(duì)于的“正弦方差”為（

）A． B． C． D．與有關(guān)的值5．（2324高一下·上海長(zhǎng)寧·期末）筒車(chē)是一種水利灌溉工具（如圖所示），筒車(chē)上的每一個(gè)盛水筒都做逆時(shí)針勻速圓周運(yùn)動(dòng)，筒車(chē)轉(zhuǎn)輪的中心為，筒車(chē)的半徑為，筒車(chē)轉(zhuǎn)動(dòng)的周期為，如圖所示，盛水桶在處距水面的距離為.后盛水桶在處距水面的距離為，若，則直線與水面的夾角為（

）

A． B． C． D．6．（2425高一下·上海虹口·期末）若，，且，則的最小值為.7．（2024·上海靜安·一模）記.若函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，則該函數(shù)圖象與軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)的最大值為.8．（2024·上海寶山·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)的圖象如圖所示，且在的圖象上，則的值為．

9．（2324高一下·上海黃浦·期中）如圖，、、是同一平面內(nèi)三條不重合自上而下的平行直線，如果邊長(zhǎng)為的正三角形的三頂點(diǎn)分別在、、上，設(shè)與的距離為，與的距離為，則的最大值.10．（2324高一下·上海長(zhǎng)寧·階段練習(xí)）如圖在中，，點(diǎn)D，E在線段上，，若，則E到的距離為.11．（2425高一下·上?！るS堂練習(xí)）證明下列恒等式.(1)；(2).12．（2324高一下·上海奉賢·階段練習(xí)）（1）若，求的值；（2）已知，求的值13．（2425高一下·上海浦東新·期中）已知函數(shù)，其圖象中兩條相鄰的對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為．(1)求函數(shù)的解析式，并求出它的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將函數(shù)y=fx的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉?lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)y=gx的圖象，當(dāng)時(shí)，求方