第七章萬(wàn)有引力與宇宙航行課時(shí)7.3萬(wàn)有引力理論的成就了解萬(wàn)有引力定律在天文學(xué)上的應(yīng)用。掌握解決天體運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的基本思路。會(huì)用萬(wàn)有引力定律計(jì)算天體的質(zhì)量和密度。掌握綜合運(yùn)用萬(wàn)有引力定律和圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)分析具體問(wèn)題的方法。“稱量”地球的質(zhì)量地球表面的物體，若不考慮地球自轉(zhuǎn)，其所受的重力等于地球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg=GMmR2，可得gR2=GM（黃金代換式），地球的質(zhì)量推廣：若知道其他天體表面的重力加速度、天體的半徑及G值，利用上式可計(jì)算出該天體的質(zhì)量。計(jì)算天體的質(zhì)量質(zhì)量為m的行星繞太陽(yáng)（質(zhì)量為M）做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，太陽(yáng)對(duì)行星的萬(wàn)有引力提供向心力，有GMmr2=m4π推廣：若知道衛(wèi)星繞行星運(yùn)動(dòng)的周期T和軌道半徑r，就可計(jì)算出行星的質(zhì)量M=發(fā)現(xiàn)未知天體及預(yù)言哈雷彗星回歸海王星的發(fā)現(xiàn)：英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶根據(jù)天王星的觀測(cè)資料，各自獨(dú)立地利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出天王星外“新”星的軌道。1846年9月23日晚，德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近發(fā)現(xiàn)了這顆行星——海王星，人們稱其為“筆尖下發(fā)現(xiàn)的行星”。其他天體的發(fā)現(xiàn)：近100年來(lái)，人們?cè)诤Ｍ跣堑能壍乐庥职l(fā)現(xiàn)了冥王星、鬩神星等幾個(gè)較大的天體。預(yù)言哈雷彗星回歸：英國(guó)天文學(xué)家哈雷依據(jù)萬(wàn)有引力定律，計(jì)算了1531年、1607年、1682年出現(xiàn)的三顆彗星的軌道，并大膽預(yù)言這三次出現(xiàn)的彗星是同一顆星，周期約為76年。如：哈雷彗星的軌道半長(zhǎng)軸約為地球的18倍，則由a哈3T哈2=r地牛頓還用月球和太陽(yáng)的萬(wàn)有引力解釋了潮汐現(xiàn)象，用萬(wàn)有引力定律和其他力學(xué)定律，推測(cè)地球呈赤道處略為隆起的扁平形狀。萬(wàn)有引力定律可以用于分析地球表面重力加速度微小差異的原因，以及指導(dǎo)重力探礦?？键c(diǎn)計(jì)算天體質(zhì)量和密度（行星和中心天體）基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一計(jì)算天體的質(zhì)量1.(2024江蘇揚(yáng)州月考)“科學(xué)真是迷人”。天文學(xué)家已經(jīng)測(cè)出月球表面的加速度g、月球的半徑R和月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T等數(shù)據(jù)，根據(jù)萬(wàn)有引力定律就可以“稱量”月球的質(zhì)量了。已知引力常量為G，忽略月球自轉(zhuǎn)的影響，則月球的質(zhì)量為()A.gR2GB.GR2g2.(2023江蘇連云港海頭高級(jí)中學(xué)期末)理論表明：黑洞質(zhì)量M和半徑R的關(guān)系為MR=c22G，其中c為真空中的光速，G為引力常量。若觀察到黑洞周圍有一星體繞它做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，速率為v，軌道半徑為r，則可知A.該黑洞的質(zhì)量M=vrB.該黑洞的質(zhì)量M=vC.該黑洞的半徑R=2D.該黑洞的半徑R=v3.(2024河北唐山模擬)科幻電影中，人類利用地球赤道上的“行星發(fā)動(dòng)機(jī)”將地球送至距離太陽(yáng)系很遠(yuǎn)的比鄰星附近，成為比鄰星的行星。若太陽(yáng)質(zhì)量為m1，流浪前地球繞太陽(yáng)運(yùn)行的軌道半徑為r1，周期為T(mén)1，流浪后地球繞比鄰星運(yùn)行的軌道半徑為r2，周期為T(mén)2，則比鄰星的質(zhì)量為()A.r23T12r13T22m1B.r2題組二計(jì)算天體的密度4.(2024安徽六安霍山中學(xué)期末)若已知衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，線速度大小為v，地球半徑為R，引力常量為G，則地球的平均密度為()A.3v2r4πGR3B.5.(2024北京西城月考)2023年5月15日，遠(yuǎn)在火星執(zhí)行全球遙感科學(xué)探測(cè)任務(wù)的“天問(wèn)一號(hào)”火星探測(cè)器已經(jīng)在火星“上崗”滿兩年。兩年來(lái)探測(cè)器“履職盡責(zé)”，獲得一手探測(cè)數(shù)據(jù)，取得豐碩科研成果。設(shè)火星為質(zhì)量均勻分布的球體，半徑為R，在火星表面h高處由靜止釋放一可視為質(zhì)點(diǎn)的小物體，測(cè)出物體落地時(shí)間為t。忽略火星自轉(zhuǎn)，不計(jì)火星表面的氣體阻力，引力常量為G，依據(jù)題中信息，可知火星的密度為()A.2?R2πGtB.2πGt3?R題組三發(fā)現(xiàn)未知天體6.(2023山東濰坊期中)關(guān)于萬(wàn)有引力定律應(yīng)用于天文學(xué)研究的歷史事實(shí)，下列說(shuō)法中正確的是()A.天王星和海王星都是運(yùn)用萬(wàn)有引力定律經(jīng)過(guò)大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的B.在18世紀(jì)已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的七顆行星中，人們發(fā)現(xiàn)第七顆行星——天王星的運(yùn)動(dòng)軌道總是同根據(jù)萬(wàn)有引力定律計(jì)算出來(lái)的結(jié)果有比較大的偏差，于是有人推測(cè)，在天王星軌道外還有一顆行星，是它的存在引起了上述偏差C.第八顆行星是牛頓運(yùn)用自己發(fā)現(xiàn)的萬(wàn)有引力定律，經(jīng)過(guò)大量計(jì)算而發(fā)現(xiàn)的D.天王星是英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶合作研究后共同發(fā)現(xiàn)的能力提升練題組一地表重力加速度法計(jì)算天體質(zhì)量和密度1.(2024江蘇南京師大附中月考)由于地球自轉(zhuǎn)的影響，地球表面的重力加速度會(huì)隨緯度的變化而有所不同，已知地球表面兩極處的重力加速度大小為g0，在赤道處的重力加速度大小為g，地球自轉(zhuǎn)的周期為T(mén)，引力常量為G。假設(shè)地球可視為質(zhì)量均勻分布的球體，下列說(shuō)法正確的是()A.質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mgB.質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小為mg0C.地球的半徑為(D.地球的密度為3π2.(2024浙江金蘭教育期中聯(lián)考)設(shè)想在將來(lái)的某一天，一位航天員乘坐中國(guó)航天集團(tuán)的飛行器，成功降落在火星上。他在離火星地面高h(yuǎn)(h遠(yuǎn)小于火星的半徑)處無(wú)初速度釋放一小球，認(rèn)為小球在火星表面做初速度為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，即火星上的自由落體運(yùn)動(dòng)(不計(jì)阻力)，并測(cè)得小球落地時(shí)速度為v，已知引力常量為G，火星半徑為R，下列說(shuō)法不正確的是()A.小球下落所用的時(shí)間t=?B.火星表面的重力加速度g=vC.火星的質(zhì)量M=vD.若火星可視為質(zhì)量均勻分布的球體，則火星的密度ρ=3題組二環(huán)繞運(yùn)行法計(jì)算天體質(zhì)量和密度3.(2024山東青島第一中學(xué)月考)一衛(wèi)星在某一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其周期為T(mén)。假設(shè)航天員在該行星表面用彈簧測(cè)力計(jì)測(cè)量一質(zhì)量為m的物體重力，物體靜止時(shí)，彈簧測(cè)力計(jì)的示數(shù)為F。已知引力常量為G，忽略行星自轉(zhuǎn)的影響，這顆行星的質(zhì)量為()A.F3T4C.F2T44.(2024安徽合肥模擬)我國(guó)計(jì)劃在2030年之前實(shí)現(xiàn)載人登月。假設(shè)未來(lái)航天員乘飛船來(lái)到月球，繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，月球相對(duì)飛船的張角為θ，如圖所示，引力常量為G，則下列說(shuō)法正確的是()A.θ越大，飛船的運(yùn)行速度越小B.θ越大，飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的周期越大C.若測(cè)得周期和張角θ，可求出月球質(zhì)量D.若測(cè)得周期和張角θ，可求出月球密度5.(2024重慶西南大學(xué)附屬中學(xué)月考)中國(guó)空間站是我國(guó)自主建成的太空實(shí)驗(yàn)室。已知“空間站”繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)時(shí)間t，運(yùn)動(dòng)的弧長(zhǎng)為s，與地球中心連線轉(zhuǎn)過(guò)的角度為θ(弧度)，引力常量為G。(1)求“空間站”環(huán)繞地球的周期T；(2)求地球的質(zhì)量M；(3)已知地球半徑為R，求地球的平均密度。

答案與分層梯度式解析第七章萬(wàn)有引力與宇宙航行3萬(wàn)有引力理論的成就基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.A在月球表面，物體的重力等于月球?qū)ξ矬w的萬(wàn)有引力，即mg=GMmR2，可得M=gR2G，故A正確，B錯(cuò)誤；已知月球繞地球運(yùn)轉(zhuǎn)的周期T，月球的半徑R，不能求出月球的質(zhì)量2.C根據(jù)星體受到黑洞的萬(wàn)有引力提供向心力，有GMmr2=mv2r，可得黑洞的質(zhì)量M=v2rG，A、B錯(cuò)誤；根據(jù)題意可知MR=c22G，結(jié)合M=v3.A地球繞太陽(yáng)運(yùn)行時(shí)，有Gm1mr12=m4π2T12r1，地球繞比鄰星運(yùn)行時(shí)，有Gm2mr22=m4.A衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有GMmr2=mv2r，解得地球質(zhì)量M=v2rG；而地球的體積V=43πR3，則地球的平均密度為ρ方法技巧求解中心天體密度“三步走”5.C由題可知，小物體在火星表面做自由落體運(yùn)動(dòng)，則h=12gt2，可得火星表面的重力加速度g=2?t2；在火星表面有GMmR2=mg，可得火星的密度為ρ=MV=6.B天王星是在1781年發(fā)現(xiàn)的，而卡文迪什測(cè)出引力常量G的值是在1798年，在此之前人們還不能用萬(wàn)有引力定律做有實(shí)際意義的計(jì)算，故A錯(cuò)誤；太陽(yáng)系的第八顆行星即海王星，是由英國(guó)劍橋大學(xué)的學(xué)生亞當(dāng)斯和法國(guó)年輕的天文學(xué)家勒維耶各自獨(dú)立地利用萬(wàn)有引力定律計(jì)算出軌道，由德國(guó)的伽勒在勒維耶預(yù)言的位置附近首先發(fā)現(xiàn)的，C、D錯(cuò)誤。能力提升練1.B質(zhì)量為m的物體在地球北極受到的重力大小為mg0，故A錯(cuò)誤；質(zhì)量為m的物體在地球赤道上受到的萬(wàn)有引力大小等于在地球北極受到的重力大小，為mg0，故B正確；設(shè)地球的質(zhì)量為M，半徑為R，在赤道處隨地球做圓周運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量為m，由牛頓第二定律得GMmR2mg=m4π2T2R，在地球兩極處的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力，則mg0=GMmR2，聯(lián)立解得地球半徑為R=(g0?g)T24π2，故C錯(cuò)誤；由于GMmR2=mg0，可得地球的質(zhì)量為M=2.A根據(jù)v2=2gh，解得火星表面的重力加速度為g=v22?，小球下落所用的時(shí)間t=vg=2?v，A錯(cuò)誤，B正確；根據(jù)萬(wàn)有引力與重力的關(guān)系可知GMmR2=mg，解得火星的質(zhì)量為M=v2R22G?，C正確；3.A設(shè)行星質(zhì)量為M，半徑為R，衛(wèi)星質(zhì)量為m'，物體在行星表面時(shí)，有F=mg，解得行星表面的重力加速度g=Fm，衛(wèi)星在這一行星表面附近做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力，有GMm'R2=m'4π2T2R，GMm'R2=m'g，方法技巧研究天體的圓周運(yùn)動(dòng)和天體表面物體的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，重力加速度g是聯(lián)系的橋梁，需掌握兩種關(guān)系：一是在星球表面物體所受重力等于星球?qū)ζ涞娜f(wàn)有引力；二是物體繞星球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由萬(wàn)有引力提供。4.D模型建構(gòu)設(shè)月球半徑為R，飛船繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r，則sinθ2=R解析根據(jù)幾何關(guān)系可知，θ越大，飛船繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑越小。由GMmr2=mv2r解得v=GMr，可見(jiàn)軌道半徑越小，飛船運(yùn)行的線速度越大，A錯(cuò)誤；由GMmr2=mr2πT2得T=2πr3GM，可知軌道半徑越小，飛船做圓周運(yùn)動(dòng)的周期越小，B錯(cuò)誤；若測(cè)得周期