計量經濟學教案

應用經濟學教研室

2006年5月

目錄

第1章緒論....................................................................1

1.1計量經濟學..............................................................1

1.2計量經濟學方法論........................................................2

第2章一元線性回歸模型.......................................................7

2.1回歸分析概述............................................................7

2.2一元線性回歸模型.......................................................12

第3章多元線性回歸模型.......................................................30

3.1多元線性回歸模型........................................................30

3.2多元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗.............................................39

3.3多元線性回歸模型的置信區(qū)間.............................................43

第4章異方差性...............................................................49

4.1異方差的概念...........................................................49

4.2異方差的后果...........................................................51

4.3異方差的檢驗...........................................................52

4.4異方差的修正...........................................................54

4.5案例一居民儲蓄模型估計.................................................56

第5章序列相關性.............................................................59

5.1序列相關性.............................................................59

5.2序列相關性的后果.......................................................61

5.3序列相關性的檢驗.......................................................62

5.4序列相關性的修正.......................................................64

5.5案例一地區(qū)商品出口模型估計.............................................67

第6章多重共線性.............................................................70

6.1多重共線性.............................................................70

6.2多重共線性的后果.......................................................71

6.3多重共線性的檢驗.......................................................73

6.4多重共線性的方法.......................................................74

6.5案例一服裝市場需求函數.................................................75

第7章隨機解釋變量和虛擬變量................................................78

7.1隨機解釋變量問題.......................................................78

7.2虛擬變量模型...........................................................83

第8章單方程計量經濟學應用模型...............................................89

8.1生產函數模型...........................................................89

8.2需求函數模型...........................................................96

第9章滯后變量模型..........................................................102

9.1滯后變量模型的基本概念................................................102

9.2分布滯后模型的參數估計...............................................103

9.3滯后變量模型的構造...................................................107

9.4自回歸模型的估計......................................................109

9.5案例一我國長期貨幣流通量需求模型.....................................111

第10章聯立方程計量經濟學模型理論與方法....................................113

10.1聯立方程模型的基本概念...............................................113

10.2聯立方程模型的結構式和簡化式.........................................115

10.3計量經濟學方法中的聯立方程問題......................................118

第11章聯立方程計量經濟學模型的識別........................................121

11.1模型的識別的概念.....................................................121

11.2模型的識別的階條件和佚條件...........................................125

第12章聯立方程模型的估計..................................................130

12.1聯立方程模型的單方程估計方法.........................................130

12.2聯立方程模型的系統(tǒng)估計方法...........................................138

第一章緒論

【教學目的與要求】通過本章學習，要求了解計量經濟學的基本概念、計量

經濟學的內容體系以及本課程涉及的內容、計量經濟學的主要應用、建立與應用

計量經濟學模型的工作步驟、學習計量經濟學的重要性。要求掌握計量經濟學的

經濟學科性質以及在經濟學科中的地位，在建立與應用計量經濟學模型的每一步

驟中應注意的關鍵問題。

【教學重點與難點】本章重點是對計量經濟學的經濟學科性質的理解和在建

立與應用計量經濟學模型的每一步驟中應注意的關鍵問題。脂點是如何將本章的

知識用于指導全課程的學習。

【教學方法】課堂講授、實證分析與學生自學相結合。

§1.1計量經濟學

一、計量經濟學

計量經濟學，是對經濟學的作用存在有某種期待的結果，它把數理統(tǒng)計學應用于經濟數據,

以使數理經濟學構造出來的模型得到經驗上的支持，并獲得數值結果。

計量經濟學可定義為實際經濟現象的數量分析。這種分析基于理論與觀測的并行發(fā)展，而理

論與觀測又通過適當的方法而得以聯系。

計量經濟學研究經濟定律的經驗判斷。

本質上，計量經濟學的研究方法是，利用統(tǒng)計推斷的理論和技術作為橋頭堡，以達到經濟理

論和實際測算相銜接的目的。

對經濟的數量研究有幾個方面，其中任何一個就其本身來說都不應該與經濟計量學混為一

談。因此，經濟計量學與經濟統(tǒng)計學絕不是一樣的。它也不等于我們所說的一般經濟理論，即使

這種理論中有很大部分具有確定的數量特征。也不應把計量經濟學的意義與經濟學中應用經濟學

看成是一樣的。經驗表明，統(tǒng)計學、經濟理論和數學的三個方面的觀點之一是實際理解現代經濟

生活中數量關系的必要條件，但任何一種觀點都不是充分條件。這三者的統(tǒng)一才是強有力的工具;

正是由于這三者的統(tǒng)一才構成了經濟計量學。（R.Frish,Economitrica,1933）

Comparison：MathematicalEconomics——themathematicaldevelopmentoftheeconomictheory

EconomicStatistics——concernedwithdescriptivestatistics:developingandrefining

Economicdata（nationalincomeaccounts,indexnumbers）

Econometrics——utilizesthedatatoestimatequantitativeeconomicrelationshipsand

Totesthypothesesaboutthem..

（MichaelD.Intriligator,ProfessorofEconomics,UniversityofCalifornia,LosAngeles）

二、計量經濟學模型

模型（models）,是對現實的描述和模擬。對現實的各種不同的描述和模擬方法，就構成了

各種不同的模型：

語義模型（也稱邏輯模型）、物理模型、幾何模型、數學模型和計算機模型等。

經濟理論一一語義模型

例1：對供給不足下的生產活動，我們可以用“產出量是由資本、勞動、技術等投入要素決

定的，在一般情況下，隨著各種投入要素的增加，產出量也隨之增加，但要素的邊際產出是遞減

的”來描述。

數理經濟模型一一（經濟）數學模型

計量經濟模型一一（經濟）數學模型

比較：

數理經濟模型：揭示經濟活動中各個因素之間的理論關系，用確定性的數學方程加以描述。

如可將例1中的語義模型寫成數理經濟模型：

Q=f（T,K,L）或Q=A/K”

計量經濟模型：揭示經濟活動中各個因素之間的定量關系，用隨機性的數學方程加以描述:

如可將例1中的語義模型寫成計量經濟模型：Q=Ae，KA

三、計量經濟學的內容體系

1、廣義計量經濟學和狹義計量經濟學

計量經濟學作為經濟學的一個分支學科，有其廣泛的內容。一般將它分為廣義計量經濟學和

狹義計量經濟學。

廣義計量經濟學，是利用經濟理論、數學以及統(tǒng)計學定量研究經濟現象的經濟計算方法的

統(tǒng)稱，包括回歸分析方法、投入產出分析方法、時間序列分析方法等。

狹義計量經濟學，也就是我們通常所說的計量經濟學，以揭示經濟現象中的因果關系為目

的，在數學上主要應用回歸分析方法。

2、理論計量經濟學和應用計量經濟學

理論計量經濟學：以介紹、研究計量經濟學的理論與方法為主要內容，側重于理論與方法的

數學證明與推導，與數理統(tǒng)計聯系極為密切。

應用計量經濟學：以建立與應用計量經濟學模型為主要內容，強調應用模型的經濟學和經濟

統(tǒng)計學基礎，側重于建立與應用模型過程中實際問題的處理。

3、計量經濟學建模理論與方法的發(fā)展

傳統(tǒng)方法（”結構模型方法”（50、60年代））：以先驗給定的經濟理論為建立模型的出

發(fā)點，以模型的參數估計為重心，以參數估計值與其理論預期值相一致為判斷標準。

試驗方法（70年代以后）：從只有少數方程和變量入手，進行試驗，包括在各種變量的組

合中增刪變量、或增刪方程、或改變函數形式等，以求取得最佳模型。

§1.2計量經濟學方法論

一、傳統(tǒng)或經典方法論（建立模型）

（~）理論模型的設計

1、理論或假說的陳述：

2、理論的數學模型的設定；

3、理論的計量經濟模型的設定；

（二）獲取數據

（三）模型的參數估計

（四）模型的檢驗

1、經濟意義的檢驗

2、統(tǒng)計檢驗

3、計量經濟學檢驗

4、預測檢驗

（五）模型應用

1、經濟分析/構分析

2、經濟預測

3、政策評價

4、檢驗與發(fā)展經濟理論

例2：凱恩斯消費理論

（一）理論模型的設計

1、理論或假說的陳述

“基本的心理定律是……，通?；蚱骄裕藗儍A向于隨著他們收入的增加而增加共消

費，但比不上收入增加得那么多。“（JohnMaynardKeynes,TheGeneralTheoryofEmployment,

InterestandMoney）

即：邊際消費傾向（MPC：marginalpropensitytoconsume）大于0而小于1。

?確定模型所包含的變量：消費（Y）、（X）

2、理論的數學模型的設定

數理經濟學的設定：

或：Y=p,+p2x

這里A與夕2分別表示一條直線的截距和斜率，其中A就是對MPC的度量。

?擬定理論模型中待估參數的理論期望值

夕乂1）；0>/?2>1

3、理論的計量經濟學楔型的設定

其中：〃---誤差項或干擾項（stochasticdisturbanceterm）,是一人隨機變量。

該計量經濟消費模型假設了消費對收入有線性關系，但兩者的關系還是不準確的，它從一個

家庭變到另一個家庭（由誤差項表示）。

b.凱恩斯消費函數的計量經濟模型

圖1.1凱恩斯消費函數及其計量經濟模型

（-）樣本數據的收集

。押外需要有關于收入與消費支出的統(tǒng)計數據。表1.1給出了一組美國經濟的數據。

表1.1Y（個人消費支出）和X（國內生產總值）數據（10億萬年美元）

年YX年YX

19802447.13776.319862969.14404.5

19812476.93843.119873052.24539.9

19822503.73760.319883162.44718.6

19832619.43906.619893223.34838

19842746.14148.519903260.44877.5

19852865.84279.819913240.84821

（三）模型的參數估計

參數估計將對模型賦予經驗內容，是一個純技術的過程。包括對模型進行識別（對聯立方

程模型而言）、估計方法的選擇、軟件的應用等內容。在一定的假設下面，通過普通最小二乘法,

利用表1.1中的數據所估計的消費函數是

（四）模型的檢驗

1>經濟意義的檢驗

主要檢驗模型參數估計量在經濟意義上的合理性。主要方法是將模型參數的估計量與

預先擬定的理論期里值進行比較，包括參數估計量的符號、大小、相互之間的關系，以判斷其合

理性。

這里，0<0.72<1,經濟意義合理。

2、統(tǒng)計檢驗

統(tǒng)計檢驗是由統(tǒng)計理論決定的，目的在于檢驗模型的統(tǒng)計學性質。通常最廣泛應用的統(tǒng)計檢

驗準則有擬合優(yōu)度檢驗、變量和方程的顯著性檢驗等。

這里需要檢驗：0.72是否在統(tǒng)計意義上（statistical）小于1?

3、計量經濟學檢晚

計量經濟學檢驗是由計量經濟學理論決定的，目的在于檢驗模型的計量經濟學性質。

即運用所選定的估計方法（如上面所說的普通最小二乘法）時的前提假設是否存在。通常最主要

的檢驗準則有隨機誤差項的序列相關檢驗和異方差性檢驗，解釋變量的多重共線性檢驗等。

4、預測檢驗

預測檢驗主要檢驗模型參數估計量的穩(wěn)定性以及相對樣本容量變化時的靈敏度，確定

所建立的模型是否可以用于樣本觀測值以外的范圍，即模型的所謂超樣本特性。

（五）模型應用

1、經濟分析/結構分析

當一個變量或幾個變量發(fā)生變化時會對其他變量以至經

2、經濟預測

濟系統(tǒng)產生什么樣的影響

3、政策評價

純預測：假定1994年GDP為60萬億美元，問1994年的消費將是多少？

經濟分析破策評價：1993年克林頓總統(tǒng)上任后宣布其經濟計劃，其中包括對年收入超過14

萬美元的人增稅，假若政策改變的結果導致投資的下降，問這一收入政策對消費支出以至最后對

就業(yè)的影響將如何？

根據宏觀經濟理論：投資支出每改變1元，收入的改變由收入乘數（M）給出：

因此，由模型中已得到的MPC=0.7196,可得到M=3.57。即投資減少1元，將最終導致收

入減少3.6美元。

于是，假定這一政策導致1994年投資支出下降1%,則可預算出收入下降1.014%,相應的

消費支出下降1.019%。

表1.21994年加稅政策的影響

預測值加稅后預測值政策影響絕對量政策影響相對量

（10億美元）（10億美元）（10億美元）（%）

收入6000059392-608-1.014

消費支出4296842530二38-1.019

投資支出1703216861-170-1

又問：政府認為4萬億美元的消費支出水平可維持當前約60.5%的失業(yè)率水平，問什么收入

水平將保證消費支出的這一目標？

4、檢驗與發(fā)展經濟理論

一方面，按照某種經濟理論去建立模型，通過實際經濟數據去擬合，根據擬合的好壞來檢驗

經濟理論；另一方面，根據實際數據來擬合各種模型，并通過分析總結擬合最好的模型所表現出

來的變量間的關系，來探尋經濟變化規(guī)律，即發(fā)現和發(fā)展經濟理論。

二、計量經濟學模型成功的三要素

從上述建立計量經濟學模型的步驟中，不難看出，任何一項計量經濟學研究、任何一個計量

經濟學模型賴以成功的要素應該有三個：理論、方法、數據

EconomicTheory——econometricmodel

StatisticTheory----econometrictechniques

Facts--relevantdata

理論、方法、數據

確定性變量關系或函數關系：研究的是確定現象非隨機變量間的關系。

統(tǒng)計依賴或相關關系：研究的是非確定現象隨機變量間的關系。

例2.1：圓面積=F（?，圓半徑）=?*圓半徑*圓半徑，函數關系：

農作物產量二F（氣溫、降雨量、陽光、施肥量），統(tǒng)計依賴（相關）關系。

產相關]

線性相關如fl關注關系數:

因果關系甲甲分析

統(tǒng)計依賴（相關）關系（賀相關I

平相關無因果關系相關分析

%線性相關JR相關

一相關

▲注意：①不線性相關并不意味著不相關：

②有相關關系并不意味著一定有因果關系；

③回歸分析/相關分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關系，但它們并不

意味著一定有因果關系,

④回歸分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應變量（被解釋變量）和自變量

（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是；相關分析則對稱他對待任何（兩個）變量,

兩個變量都被看作是隨機的。

回歸分析是研究一個變量關于另一個（些）變量的依賴關系的計算方法和理論。其用

意在于通過后者的已知或設定值，去估計和（或）預測前者的（總體）均值。前一個變量被稱

為被解釋變量（ExplainedVariable）或應變量（DependentVariable）后一個變量被稱為解釋變

量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）?

回歸分析構成計量經濟學的方法論基礎，其主要內容包括：

1、根據樣本觀察值對經濟計量模型參數進行估計，求得回歸方程；

2、對回歸方程、參數估計值進行顯著性檢驗；

3、利用回歸方程進行分析、評價和預測。

二、總體回歸函數（方程）：PRF

由于統(tǒng)計相關的隨機性，回歸方程關心的是根據解釋變量的已知或給定值，考察被解釋

變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關的被解釋變量所可能出現的對應

值的平均值。

例2.1：一個假想的社區(qū)人口總體有60戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與

每月可支配家庭X的關系，即知道了家庭的每月收入，預測每月消費支出的（總體）平均水平。

為達到此目的，將該60戶家庭劃分為組內收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費

支出（表2.1）

表2.1某社區(qū)每月家庭收入與消費支出查統(tǒng)計表

每月家庭收入X（元）

800100012001400160018002000220024002600

每月550650790800102011001200135013701500

家庭600700840930107011501360137014501520

消費650740930950110012001400140015501750

支出7008009401030116013001440152016501780

Y（元）7508509801080118013501450157017501800

088001130125014000160018901850

0001150000162001910

共計325046204450707067807500685010430966012110

條件概率1/51/61/51/71/61/61/51/71/61/7

條件均值6507708901010113012501370149016101730

由于不確定因素的影響，對同一收入水平X,不同家庭的消費支出不完全相同，但由于調杳

的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件

分布（Conditionaldistribution）是已知的，如P（Y=5501X=800）=1/5。

對Y的每一個條件概率分布，可得其條件均值（conditionalmean）或條件期望（值）

（conditionalexpectation）：E（Y|X=,如E（Y|X=800）=650

散點圖表示，隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根

正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。

在給定解釋變量X,條件下被解釋變量匕的期望軌跡稱為總體回歸線(populationregression

line),或更搬地稱為總體回歸曲線(populationregressioncurve)。相應的函數(方程)：

0

1000200030004000

平均消費支出E(Y|X,),稱為系統(tǒng)性(systematic)或確定性(deterministic)部分(2)其他隨

機或非確定性(nonsystematic)部分必。

總體回歸函數(方程)PRF的隨機設定形式。表明被解釋變量丫除了受解釋變量X系統(tǒng)性

影響外，還受其他未包括在模型中來而又集體地影響著y的全部變量的隨機性影響，〃即為這

些集體變量的替代物。由于方程中引入了隨機項，成為計量經濟學模型，因此也稱為總體回歸

模型。

三、隨機干擾項的含義

隨機干擾(誤差)項〃是在模型設定中省略下來而由集體地影響著被解釋變量丫的全部變

量的替代物。

隨機誤差項主要包括下列因素的影響：

(1)在解釋變量中被忽略的因素的影響；

(2)變量觀測值的觀測誤差的影響；

(3)模型關系的設定誤差的影響；

(4)其他隨機因素的影響。

產生并設計隨機誤差項的主要原因：

(1)理論的含糊性；

(2)數據的欠缺：

(3)節(jié)省原則。

四、樣本回歸函數(SRF)

由于總體的信息往往無法掌握，實現的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣木。

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似

信息？

例2.2在例2.1的總體中有如下一個樣本，問：能否從該樣本中預測整個總體中對應于選定

X的平均每月消費支出，即能否從該樣本估計總體回歸函數PRF?

Y700650900950110011501200140015501500

X800100012001400160018002000220024002600

回答：能

該4t-4-銖心1-同〃-

3000歸可以

式為:

每2500

月

2000

消

費

1500

支

出1000

Y

7元

!

\500

0掾的集

800110014001700200023002600290032003500

每月可支S瞰入X:元）;為樣本

回歸模型。

▼回歸分析的主要目的：根據樣本回歸函數SRF,估計總體回歸函數PRF。即根據

估計Yl=E(Y\Xi)+jUi=fi0+^Xi+jLii

即：設計一“方法”構造SRF,以使SRF盡可能“接近”PRF,或者說使￡&=0,1）盡可

能接近4a=0,1）。（注：這里真實的PRF可能無法無從知道）

樣本與總體回歸線

§2.2一元線性回歸模型

一、線性回歸模型的特征

形如

的計量經濟學模型稱為一元線性回歸模型（雙變量線性模型）。其中，Y為被解釋變量，X為

解釋變量，魚與小是待估參數，"為隨機干擾項。

例：凱恩斯的絕對收入假設消費理論，認為消費是由收入唯一決定的，是收入的線性函數。

其模型為：

線性回歸模型的特征：

1.通過引入隨機誤差項，將變量之間的關系用一個線性隨機方程來描述，并用隨機數學

的方法來估計方程中的參數，這就是線性回歸模型的特征，也就是線性計量經濟學模型的特

征。

2.在線性回歸模型中，被解釋變量的特征由解釋變量與隨機誤差項共同決定。

單方程線性回歸模型的一般形式為：

匕=+￡|X“+￡2X2,+…+從i=L2,-n

其中，Y被稱為解釋變量，X,、2,…X8被稱為解釋變量，〃為隨機誤差項，i為觀測值

下標，n為樣本容量，兒,以，…瓦為待估參數。

二、線性回歸模型的普遍性

線性回歸模型是計量經濟學模型的主要形式,許多實際經濟活動中經濟變量間的復雜關

系都可以通過一些簡單的數學處理，使之化為數學上的線性關系。

將非線性關系化為線性關系的常用的數學處理方法：

1.直接置換法

例如，商品的需求曲線是一種雙曲線形式，商品需求量q與商品價格p之間的關系表現

為非線性關系：

顯然，可以用y=%和x=%的置換，將方程變成：

再如，拉弗曲線描述的稅收s和稅率r的關系是一種拋物線形式：

可以用項=r,x2=/進行置換，將方程變成：

2、對數變化

例如，著名的Cobb-Dauglas生產函數將產出量Q與投入要素(K,L)之間的關系描述為嘉函

數的形式：

方程兩邊取對數后，即成為一個線性形式：

再如，生產中成本C與產量q的關系呈現指數關系：

方程兩邊取對數后，即成為一個線性形式：

3、級數展開

例如，著名的CES生產函數將產出量Q與投入要素(K,L)之間的關系描述為如下的形式:

I

(a+4=i)

方程兩邊取對數后，得到：

將式中。?廠0)在Q=0處展開臺勞級數，取關于夕的線性項，即得道一個線性近似

式。

結論：實際經濟生活中的許多何題，都可以最終化成線性問題，所以，線性回歸模型有普遍

意義。即使對于無法采取任何變換方法使之變成線性的非線性模型，目前使用得較多的參數估計

方法一一非線性最小二乘法，其原理仍然是以線性估計方法為基礎。

三、線性回歸模型的基本假設

由于回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(模型)SRF盡可能準確估計總體回歸函

數(模型)PRFo即通過

估計匕=E(y?X：)+從=&+4X：+從

1、技術線路：

由于匕是匕的估計值，要求七與匕的“總體”誤差盡可能地小一最小二乘法；

由于耳=a十月Xj是七(門乂)二為十尸因的近似，要求人盡可能接近四

Bo盡可能接近。0-＞對模型的解楷變量Xj與隨機誤差項人作出合理假定。

2、線性回歸模型在上述意義上的基本假設：

(1)解釋變量X],X2,…X*是確定性變量，不是隨機變量，而且解釋變量之間

互不相關。

(2)隨機誤差項具有0均值和同方差。即

E(//,)=0i=l,2,—n

Var(〃j)=oi=l,2,-n

其中E表示均值或期望，也可用M表示；Var表示方差，也可以用D表示。

(3)隨機誤差項在不同樣本點之間是獨立的，不存在序列相關。即

Cov("j,〃j)=0i/ji,j=l,2/-n

其中Cov表示協(xié)方差。

(4)隨機誤差項與解釋變量之間不相關。即

Cov(X?,”,)=0j=12…ki=1,2，…n

(5)隨機誤差項服從0均值、同方差的正態(tài)分布。即

i=l,2,-n

在實際建立模型的過程中，除了基本假設5外，對模型是否滿足假設都要進行檢驗。這就

是“建立計量經濟學模型步驟”中“計量經濟學檢驗”的任務。對于基本假設5,根據中心極限

定理，當樣本容量趨于無窮大時，對于任何實際模型，都是滿足的。

由于解釋變量七是確定性變量，隨機誤差項人是隨機性變量，因此被解釋變量匕是

隨機變量，且其分布(特征)與〃1.相同。1

值，即樣本回歸線上的點/.與真實觀測點匕的“總體誤差”盡可能地小，或者說被解釋變量的

估計值與觀測值應該在總體上最為接近，最小二乘法給出的判斷的標準是：二者之差的平方和

最小。即在給定樣本觀測值之下，選擇出氐、應能使匕與g之差的平方和最小。

為什么用平方和？因為二者之差可上可負，簡單求和可能將很大的誤差抵消掉，只有平方和才

能反映二者在總體上的接近程度。這就是最小二乘原則。

根據微積分學的運算，可推得用于估計反)、自的下列方程組：

或

解得“

正則方程組(normalequations)o

2參數估計的離差形式(deviationform)

記

田」Zx.，匕

nn

Xi=X,.-X,乂=匕一F

?注：在計量經濟學中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

至此，完成了模型的基本估計任務。

由于瓦、總的估計結果是從最小二乘原理得到的，故稱為最小二乘估計量。

3、樣本回歸線的性質：

(1)樣本回歸線通過y和x的樣本均值。

證：因為有7=瓦+2G

（2）估計的y的均值匕等于實測的y的均值y。

證：*=樂+BE=a_機肥+BE=q+A（x「又）

由于Z（Xj—》）=O,則

⑶殘差與的均值為零。

證：由正則方程：一〉：（匕一20-6*1=0知2"=0,故

?樣本回歸模型的離差形式（deviationform）：

K=0o+自X,+e,、—*—

因為：J坐?」1oX—y=〃i（x,—X）+G

Y=BO”\XjQ

按照離差形式，樣本回歸方程（函數）SPF可寫為：

（4）殘差,和預測的匕不相關。

證：在離差形式下，

因：A,故

（5）殘差“與X：不相關。

證：由正則方程：一工（匕一A-6xjXj=0知=0

五、最小二乘估計量的性質：高斯馬爾可夫定理

當模型參數估計出后，需考慮參數估計值的精度，即是否能代表總體參數的真值，或者說

需考察參數估計量的統(tǒng)計性質。

一個用于考察總體的統(tǒng)計量，可從三個方面考察其優(yōu)劣性：

1、線性性：即是否是另一隨機變量的線性函數；

2、無偏性：即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；

3、有效性；即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。

次高斯一馬爾可夫定理：在給定經典線形回歸的假定下，最小二乘估計量是具有最小方差的線

性無偏估計量。

ix1X7"I口“里~i7/j口3乂%?1口。

證：

2.無偏性：估計量A、總的均值（期望）等于總體回歸參數真值￡。與川。

B'=工”=Z仁（A）+￡1Xj+Ni）=0oZh+0》kjXi+Z攵必

由于”=蕓=0

x

v,v_Z、，x,_z項（Xj-反+又）_2西（匕+反）_2%；工yZ/_1

Z'「于-一Z.R才

所以：31=A+WX"

證:

E?）=ES+z4從）=4+E%E（〃,）=A

Bo=￡嗎工=Zw40o+4x：+從）=&z嗎+以Z嗎Xj+z>”,?

由于：Z/=Z（i/〃一冊）=i一9Z&=i

Z嗎x,=za"—底，）x,二%Z七—尤x,=又_又=0

故：BL%+串i

E（8O）=E（A）+X“〃，）=E（6O）+E叫E（〃,）=A）

3、有效性(最小方差性)：在所有線性無偏估計量中，最小二乘估計量A、A具有最小

方差。

(1)先求成0、自的方差

(2)證明最小方差性

假設P*是其他方法得到的關于4的線性無偏估計量：

其中,令=占+4,4為不全為零的常數。

由由滿足無偏性，即Eg=B\可知：

從而有：Zci=O,￡cjXi=l

的方差

var（/；）=var（ZM）=var（Y；.）=￡c：var（4）=fc*

22

=Z化+4）2]=￡k*+242b2+2a^kid

由于Z3=XkiC-kj）=Ek.,c2-Z"

二5七c、H工x&_又EJyv=]

一工￡茗2j2芭2?Fk：合=°

故var（/；）=Z&：b2+Z""+MZ42=var（^）+cr2^J?

乙芍

因為Z42>0

所以var（/；）Nvar（自）

當4=0,。=1,2,?一,〃）等號成立此時，9=%,用就是。,古計量瓦>

同理可證明var（/：）>var（反）

普通最小二乘估計量OLS（ordinaryleastSquares）具有線性、無偏性、最小方差性等優(yōu)良性質。

具有這些優(yōu)良性質的估計量又稱為最佳線性無偏估計量，即BLUE估計量（theBestLinear

UnbiasedEstimator）o顯然這些優(yōu)良的性質依賴于對模型的基本假設。

設下，Y是正態(tài)分布，因此甘。和育也服從正態(tài)分布，其分布特征（密度函數）由其均值和方差

唯一決定。

記氐和A的標準差分別為：

S（A）=70-2/ZXF

2、隨機誤差項〃的方差b?的估計

在估計的參數瓦和自的方差卻標準差的表達式中，都備者贏機擾前項方差/=\陽從）

方差。b?又稱為總體方差。由于。2實際上是未知的，因此瓦和總的方差與標準差實際上無

法計算。由于隨機項從不可觀測，只能從人的估計一一殘差“出發(fā)，對總體方差（J?進行估計。

可以證明總體方差b?的無偏估計量為

在總體方差O-2的無偏估計量a2求出后，估計的參數Bo和4的方差和標準差的估計量分別是

222

后的樣本方差：S（^）=6-/Vx.

自的樣本標準差：S（8\）=&N￡X；

瓦樣本方差：

A的樣本標準差：s（A）=萬Jex,-/〃z—

例2.3在收入-消費支出比例中，參數估計及標準差的計算如下:

收入支出

X（元）Y（元）

1800700-900-4103690008100006400006522321

21000650-700-460322000490000100000075410740

31200900-500-21010500025000014400008551984

41400950-300-1604800090000196000095753

516001100-100-10100010000256000010591674

6180011501004040001000032400001161119

720001200300902700090000400000012633935

822001400500290145000250000484000013651257

924001550700440308000490000576000014666995

1026001500900390351000810000676000015684649

平均17001110168000033000001110033727

求和

七、一元線性回歸模型的統(tǒng)計檢驗

1、擬合優(yōu)度檢驗

擬合優(yōu)度檢驗：對樣本回歸直線與樣本觀測值之間擬合優(yōu)度的檢驗。

度量擬合優(yōu)度的指標：判定系數R2

而Y的第i個觀測值與樣本均值的離差必=（匕一7）可分解為兩部分之和：

其中，立.二（/一斤）是樣本回歸直線理論值（回歸擬合值）與觀測值匕的平均值之差，可認為

是回歸線解釋的部分：6=（%-￡.）是實際觀測值與回歸擬合值之差，是回歸直線不能解釋的

部分。

于是：E4nZy+Z蜷+zZe?，=Z￥+1：

d

差隼^■和(TotalSumofSquares)記

為實測的Y值圍繞其均值?

二來自回歸

為TSS；

Z代一7)2=Z也一聲A，為估計的丫值圍繞其均值(歹=P)

的離差平方和，稱為回歸平方和(ExplainedSumofSquares),記為ESS；

Z，2=Z(K—Z)2,為實測的Y值圍繞其估計值的離差平方和，稱為殘差平方和

(Residualsumofsquares)記為RSSo

TSS=ESS+RSS稱為總離差分解式，說明Y的觀測值圍繞其均值的總離差可分解為兩

部分，一部分來自回歸線，另一部分則來自隨機勢力。

記R2,ESS二X.二Z代一￡尸

TSSXW?匕一斤

稱R2為(樣本)判定系數，表明，在總離差平方和中，回歸平方和所占的比重越大，殘差平方

和所占的比重越小，則回歸直線與樣本點擬合得越好。

▲R?的性質與其他算法：

①由于ESS=R275s=R2￡)j

于是TSS=ESS+RSS可寫成：

(3)判定系數與相關系數的關系

兩個變量x與y之間真實的線性相關程度可以用總體相關系數p表示：

在總體未知的情況下，利用樣本給出的P的一個無偏估計為

Sxy=￡&yj(n-1)，稱為X與丫之間的協(xié)方差：

Sx?=Zx：/(〃-l),Sj=z)//(〃—1)分別為X的樣本方差與丫的樣本方差。

于是

病舊

存在：r-±V^-

在回歸分析中，A?是一個比「更有意義的度量，因為前者顯示因變量的變異中由解釋變量

解釋的部分占怎樣一個比例，即對一個變量的變異在多大程度上決定另一個變量的變異，提

供一個總的度量，而后者則沒有這種價值。

果有足夠多的重復抽樣，則所估計出的住的期望(均值)就是仇,但在一次抽樣中，仇不

一定就等于四。那么，在一次抽樣中，2與回的差異有多大，是否明顯，這就需要進一步進

行顯著性檢驗，包括對民取值范圍的假設檢驗于對園落入以自為中心的某一范圍的區(qū)間檢

驗。

（1）假設檢驗的原理：

首先根據實際問題對所考察的總體提出一個論斷，稱為統(tǒng)計假設，記為“0,然后根據樣本

的有關信息，對的真?zhèn)芜M行判斷，作出拒絕80或接受以0的決策。

假設檢驗的基本思想是基于“小概率事件”原理的反證法。該原理認為“小概率事件在一次

試驗中幾乎是不可能發(fā)生的"。在原假設"o下構造一個事件，這個事件在“原假設“0是正確”

的條件下是一個小概率事件。隨即抽取一組容量為n的樣本觀測值進行該事件的試驗，如果該事

件發(fā)生了，說明“原假設“°是正確”是錯誤的，因為不應該出現的小概率事件出現了。因而應

該拒絕原假設”°。反之，如果該小概率事件沒有發(fā)生出現，就沒有理由拒絕原假設"