各種矢量還有它們不同的線(xiàn)性，例如：位置、速度、力、電磁勢(shì)

等等，是1-線(xiàn)的。動(dòng)量矩、力矩、電磁場(chǎng)強(qiáng)度等等，是2-線(xiàn)的，2-線(xiàn)矢又是兩個(gè)不同1-線(xiàn)矢的叉乘積。而3個(gè)不同1-線(xiàn)矢的叉乘積，就是3-線(xiàn)矢。兩個(gè)不同

2-線(xiàn)矢的叉乘積，就是22-線(xiàn)矢?！鹊龋ǚQ(chēng)為：各種多線(xiàn)矢。

在3維空間，1-線(xiàn)矢是3維的。2-線(xiàn)矢也是3維的，它可由與其正交的1-線(xiàn)矢表達(dá)，是贗1-線(xiàn)矢。3-線(xiàn)矢是1維的，已沒(méi)有方向性，是贗標(biāo)量。22-線(xiàn)矢、22，22-線(xiàn)矢、…等等，也都是3維的，也都可由與其正交的1-線(xiàn)矢表達(dá)，而都是贗1-線(xiàn)矢。222-線(xiàn)矢、22，22，22-線(xiàn)矢、…等等，也都是1維的，也都沒(méi)有方向性，也都是贗標(biāo)量。因而所有的各種多線(xiàn)矢。都可由標(biāo)量、贗標(biāo)量與1-線(xiàn)矢、贗1-線(xiàn)矢表達(dá)，而不必定義其它的各種多線(xiàn)矢。但仍須注意標(biāo)量、1-線(xiàn)矢與贗標(biāo)量、贗1-線(xiàn)矢，在矢算中的差別

但是，要特別注意：在4維和大于4維的時(shí)空的各類(lèi)多線(xiàn)矢，就與3維空間的多線(xiàn)矢有顯著的差別。在n維空間，

各1-線(xiàn)矢有n維。各m(m小于或等于n)

線(xiàn)矢的維數(shù)=從n個(gè)中取m個(gè)的組合數(shù)c(m,n)。

在4維時(shí)空，1-線(xiàn)矢有4維。

2-線(xiàn)矢的維數(shù)=從4維中取2個(gè)的組合數(shù)，即：有c(2,4)=6維。22-線(xiàn)矢的維數(shù)=從2-線(xiàn)矢的6維中取2個(gè)的組合數(shù)，即：有c(2,c(2,4))=c(2,6)=15維。還有22,1-線(xiàn)矢，它的維數(shù)=從3維中取2個(gè)的組合數(shù)個(gè)中取2個(gè)的組合數(shù)再乘以4，即：有c(2,c(2,4-1))

乘4=c(2,3)

乘4==3乘4=12維，…等等,

它們分別有各自確定的，不同的，維數(shù)。

這就還具體表明：4維時(shí)空的各類(lèi)多線(xiàn)矢，均具有不同的、確定的維數(shù)，而且，高次、線(xiàn)的多線(xiàn)矢確實(shí)可以具有遠(yuǎn)大于4維的維數(shù)?？梢悦鞔_、具體地回答：4維時(shí)空中確實(shí)可以存在遠(yuǎn)大于4維的各類(lèi)多線(xiàn)矢。在3維空間，各類(lèi)多線(xiàn)矢都可表達(dá)為標(biāo)量、贗標(biāo)量、1-線(xiàn)矢或贗1-線(xiàn)矢。其中1-線(xiàn)矢或贗1-線(xiàn)矢的“正方向”均可僅由各1-線(xiàn)軸矢的方向，以及其組成的軸矢，按123順序作右手螺旋確定。

在4維時(shí)空，各類(lèi)多線(xiàn)矢的正方向，就須按：1-線(xiàn)軸矢的0123順序，各“多線(xiàn)軸矢”中以“含0序者”在前；含0序多者，更在前；其它，按123順序作右手螺旋確定。例如：1-線(xiàn)矢：0,1,2,3,2-線(xiàn)矢：01,02,03,23,31,12,3-線(xiàn)矢：023,031,012,123,4-線(xiàn)矢：0123,

22-線(xiàn)矢：02,03;03,01;01,02;01,23;01,31;01,12;02,23;02,31;02,12;03,23;03,31;03,121;23,31;31,12;12,23;

22,1-線(xiàn)矢：(02,03)1;(03,01)2;(01,02)3;(23,31)0;(31,12)0;(12,23)0;(02,23)1;(03,23)1;(03,31)2;(01,31)2;(01,12)3;(02,12)3;…等等。

“足標(biāo)排列順序”是P的多線(xiàn)軸矢[軸矢p]=(-1)^n(p)[軸矢p+]。其中[軸矢p+]是“足標(biāo)排列順序”為如上“正序”的相應(yīng)多線(xiàn)軸矢；n(p)是“足標(biāo)排列順序”由P變?yōu)槿缟舷鄳?yīng)“正序”須經(jīng)交換相鄰順序的次數(shù)。

與通常各相應(yīng)維數(shù)矢量的完全一樣，都是由各同類(lèi)多線(xiàn)矢，按各相同分量相加減的“矢量和”。

但是，要特別注意：4維和大于4維的時(shí)空的各類(lèi)多線(xiàn)矢都各有各自不同的相應(yīng)維數(shù)。因而，就與3維空間的多線(xiàn)矢的加減法也有顯著的差別。定義任意兩個(gè)多線(xiàn)矢[矢(A)]和[矢(B)]間的夾角為：[角(A)(B)]。

任意兩個(gè)1線(xiàn)矢[矢A]和[矢B]間的夾角，[角AB]，都與通常的矢量間的夾角一樣定義。在任何兩個(gè)不完全相重合的多線(xiàn)矢[矢(A)]和[矢(B)]的內(nèi)部，都至少各有一個(gè)與相重合的子空間彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)的1線(xiàn)矢。因而，可分別在[矢(A)]和[矢(B)]內(nèi)各選一個(gè)與相重合的子空間彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)、且彼此之間夾角最小的1線(xiàn)矢，而由這兩個(gè)1線(xiàn)矢間的夾角定義[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，則分別在其間各選的一個(gè)夾角最小的1線(xiàn)矢，必然是同一個(gè)1線(xiàn)矢，即：其間的夾角[角(A)(B)]必=0。

任意兩個(gè)1線(xiàn)矢[矢A]和[矢B]間的夾角，[角AB]，都與通常的矢量間的夾角一樣定義。

在任何兩個(gè)不完全相重合的多線(xiàn)矢[矢(A)]和[矢(B)]的內(nèi)部，都至少各有一個(gè)與相重合的子空間彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)的1線(xiàn)矢。因而，可分別在[矢(A)]和[矢(B)]內(nèi)各選一個(gè)與相重合的子空間彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)、且彼此之間夾角最小的1線(xiàn)矢，而由這兩個(gè)1線(xiàn)矢間的夾角定義[角(A)(B)]；如果[矢(A)]和[矢(B)]完全相重合，則分別在其間各選的一個(gè)夾角最小的1線(xiàn)矢，必然是同一個(gè)1線(xiàn)矢，即：其間的夾角[角(A)(B)]必=0。

這樣，就定義了各種情況下，各類(lèi)多線(xiàn)矢間的夾角。并有：當(dāng)[矢(A)]和[矢(B)]完全重合：[角(A)(B)]=0；sin[角(A)(B)]=0;cos[角(A)(B)]=1,當(dāng)[矢(A)]和[矢(B)]彼此正交：[角(A)(B)]=/2；sin[角(A)(B)]=1;cos[角(A)(B)]=0。例如：

若多線(xiàn)矢[矢(A)]=2線(xiàn)矢[矢AB]、[矢(B)]=1線(xiàn)矢[矢C]，其間的夾角為：[角(AB)C]。當(dāng)[矢AB]和[矢C]完全重合：[角(AB)C]=0。當(dāng)[矢AB]和[矢C]彼此正交：[角(AB)C]=派/2。若多線(xiàn)矢[矢(A)]=2線(xiàn)矢[矢AB]、[矢(B)]=2線(xiàn)矢[矢CD]，其間的夾角為：[角(AB)(CD)]。當(dāng)[矢AB]和[矢CD]完全重合：[角(AB)(CD)]=0。當(dāng)[矢AB]和[矢CD]

彼此正交：[角(AB)(CD)]=派/2，…，等等。若多線(xiàn)矢[矢(A)]=22線(xiàn)矢[矢AB,BC]、[矢(B)]=1線(xiàn)矢[矢D]，其間的夾角為：[角(AB,BC)D]。當(dāng)[矢AB,BC]和[矢D]完全重合：[角(AB,BC)D]=0。當(dāng)[矢AB,BC]和[矢D]彼此正交：[角(AB,BC)D]=派/2，…，等等。類(lèi)似地，還可定義任意更多個(gè)多線(xiàn)矢其間的夾角。但是，4維時(shí)空中，僅有4個(gè)彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)的1線(xiàn)軸矢，因而，也僅有6個(gè)不同的兩個(gè)1線(xiàn)軸矢間的夾角；僅有6個(gè)彼此線(xiàn)性無(wú)關(guān)的2線(xiàn)軸矢，因而，僅有15個(gè)不同的兩個(gè)2線(xiàn)軸矢間的夾角；以及相應(yīng)的各類(lèi)多線(xiàn)矢間相應(yīng)數(shù)目的不同夾角。(1)任意兩個(gè)多線(xiàn)矢[矢(A)](=(A)[單位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[單位矢(B)])的叉乘積是完全含有[矢(A)]和[矢(B)]為其子空間的高次、線(xiàn)多線(xiàn)矢[矢(A)(B)]。其方向?yàn)椋簡(jiǎn)挝徊娉硕嗑€(xiàn)矢[單位矢(A)(B)]=[單位矢(A)])叉乘[單位矢(B)])/sin[角(A)(B)]。其模長(zhǎng)為：模([矢(A)]叉乘[矢(B)])=(A)(B)sin[角(A)(B)]，即：[矢(A)]叉乘[矢(B)]=(A)(B)sin[角(A)(B)][單位矢(A)(B)]。

當(dāng)[矢(A)]和[矢(B)]中有1個(gè)的全部子空間與另1個(gè)的部分或全部子空間完全重合時(shí)，即：sin[角(A)(B)]=0；[單位矢(A)(B)]無(wú)意義；[矢(A)]叉乘[矢(B)]=0將此定義用于3維空間的1線(xiàn)矢，其結(jié)果與通常3維空間矢算的數(shù)值相同；但方向不同。后者的方向是定義為：與[矢(A)]和[矢(B)]正交的另1個(gè)線(xiàn)矢。但是，在4維和更多維時(shí)空的1線(xiàn)矢，就因它們的叉乘積根本不是這樣的1線(xiàn)矢，而只能采用本文這樣的定義。

(2)任意兩個(gè)多線(xiàn)矢[矢(A)](=(A)[單位矢(A)])和[矢(B)](=(B)[單位矢(B)])的點(diǎn)乘積是[矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)]。它包含[矢(A)]和[矢(B)]中，消去兩者中彼此完全相同的子空間后，剩余的全部其它子空間。其方向?yàn)椋合鄳?yīng)的“單位點(diǎn)乘多線(xiàn)矢”[單位矢(A)點(diǎn)乘(B)]=[單位矢(A)]點(diǎn)乘[單位矢(B)]/cos[角(A)(B)]。其“模長(zhǎng)”為：模([矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)])=(A)(B)cos[角(A)(B)]，即：[矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)]=(A)(B)cos[角(A)(B)][單位矢(A)點(diǎn)乘(B)]。當(dāng)[矢(A)]和[矢(B)]沒(méi)有彼此完全相同的子空間，cos[角(A)(B)]=0；[單位矢(A)點(diǎn)乘(B)]無(wú)意義；[矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)]=0。當(dāng)[矢(A)]中全部含有[矢(B)]，[矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)]是[矢(A)]中去掉[矢(B)]的全部子空間后，所剩余的部分。當(dāng)[矢(A)]和[矢(B)]中僅有部分彼此完全相同的子空間，[矢(A)]點(diǎn)乘[矢(B)]是[矢(A)]和[矢(B)]中去掉那些彼此完全相同的子空間后，的剩余部分，而形成相應(yīng)的“纖維叢矢”。時(shí)空可變系多線(xiàn)矢物理學(xué)的創(chuàng)建、作用與發(fā)展（12）4．4．4．4維時(shí)空各類(lèi)多線(xiàn)基矢(單位軸矢)叉、點(diǎn)乘積的具體化（接（11））[基矢a]點(diǎn)乘[基矢b]=0(a不=b);=1(a=b),[基矢a]叉乘[基矢b]=0(a=b);=sin[角ab][基矢ab](a不=b),[基矢ab]點(diǎn)乘[基矢c]=0(c不=a或b);=-[基矢b](c=a);=[基矢a](c=b),[基矢ab]叉乘[基矢c]=sin[角ab,c][基矢abc](c不=a或b);=0(c=a或b),

…

…

…

[基矢ab]點(diǎn)乘[基矢cd]=0(cd不=ab);=1(cd=ab);=cos[角ab,bd][纖維叢矢a,d](c=b,a不=d);=-cos[角ab,ad][纖維叢矢b,d](c=a,b不=d);=-cos[角ab,bc][纖維叢矢a,c](d=b,a不=c);=cos[角ab,ac][纖維叢矢b,c](d=a,b不=c),[基矢ab]叉乘[基矢cd]=sin[角ab,cd][基矢ab,cd](cd不=ab);=0(cd=ab);[基矢ab]叉乘[基矢ac]=sin[角ab,ac][基矢ab,ac](c不=b);=0(c=b);[基矢ab]叉乘[基矢bc]=sin[角ab,bc][基矢ab,bc](c不=a);=0(c=a),…

…

…

[基矢ab,ac]點(diǎn)乘[基矢d]=0(d不=a,b,c);

=cos[角(ab,ac)a][纖維叢矢b,c](d=a);=cos[角(ab,ac)b][纖維叢矢a,ac](d=b);

=cos[角(ab,ac)c][纖維叢矢ab,a](d=c),[基矢ab,ac]叉乘[基矢d]=sin[角(ab,ac)d][基矢(ab,ac)d](d不=a,b,c);=0