第1頁（共1頁）2024年陜西省中考數學試卷（A卷）（附答案）一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符合題意的）1．（3分）（2024?陜西）的倒數是A． B． C． D．32．（3分）（2024?陜西）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是A． B． C． D．3．（3分）（2024?陜西）如圖，，，，則的度數為A． B． C． D．4．（3分）（2024?陜西）不等式的解集是A． B． C． D．5．（3分）（2024?陜西）如圖，在中，，是邊上的高，是的中點，連接，則圖中的直角三角形共有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個6．（3分）（2024?陜西）一個正比例函數的圖象經過點和點．若點與點關于原點對稱，則這個正比例函數的表達式為A． B． C． D．7．（3分）（2024?陜西）如圖，正方形的頂點在正方形的邊上，與交于點，若，，則的長為A．2 B．3 C． D．8．（3分）（2024?陜西）已知一個二次函數的自變量與函數的幾組對應值如下表：0350則下列關于這個二次函數的結論正確的是A．圖象的開口向上 B．當時，的值隨值的增大而減小 C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）9．（3分）（2024?陜西）分解因式：．10．（3分）（2024?陜西）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數分別填在五個小正方形內，使橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，則填入中間位置的小正方形內的數可以是（寫出一個符合題意的數即可）11．（3分）（2024?陜西）如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是．12．（3分）（2024?陜西）已知點和點均在反比例函數的圖象上．若，則0．（填“”“”或“”13．（3分）（2024?陜西）如圖，在中，，是邊上一點，連接，在的右側作，且，連接．若，，則四邊形的面積為．三、解答題（共13小題，計81分．解答應寫出過程）14．（5分）（2024?陜西）計算：．15．（5分）（2024?陜西）先化簡，再求值：，其中，．16．（5分）（2024?陜西）解方程：．17．（5分）（2024?陜西）如圖，已知直線和外一點，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角，使得頂點和頂點都在直線上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）18．（5分）（2024?陜西）如圖，四邊形是矩形，點和點在邊上，且，求證：．19．（5分）（2024?陜西）一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1個黃球．這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，記作隨機摸球1次．（1）隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是；（2）隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．20．（5分）（2024?陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成了剩余的打掃任務，小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．21．（6分）（2024?陜西）如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂點處的海拔高度．他在該觀景臺上選定了一點，在點處測得點的仰角，再在上選一點，在點處測得點的仰角，．求山頂點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數據：，，22．（7分）（2024?陜西）我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從市前往市．他駕車從市一高速公路入口駛入時，該車的剩余電量是，行駛了后，從市一高速公路出口駛出．已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量與行駛路程之間的關系如圖所示．（1）求與之間的關系式；（2）已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．23．（7分）（2024?陜西）水資源問題是全球關注的熱點，節(jié)約用水已成為全民共識．某校課外興趣小組想了解居民家庭用水情況，他們從一小區(qū)隨機抽取了30戶家庭，收集了這30戶家庭去年7月份的用水量，并對這30個數據進行整理，繪制了如下統(tǒng)計圖表：組別用水量組內平均數5.38.012.515.5根據以上信息，解答下列問題：（1）這30個數據的中位數落在組（填組別）；（2）求這30戶家庭去年7月份的總用水量；（3）該小區(qū)有1000戶家庭，若每戶家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，請估計這1000戶家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約多少？24．（8分）（2024?陜西）如圖，直線與相切于點，是的直徑，點，在上，且位于點兩側，連接，，分別與交于點，，連接，．（1）求證：；（2）若的半徑，，，求的長．25．（8分）（2024?陜西）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平而直角坐標系．已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離．（橋塔的粗細忽略不計）（1）求纜索所在拋物線的函數表達式；（2）點在纜索上，，且，，求的長．26．（10分）（2024?陜西）問題提出（1）如圖①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圓⊙O，則的長為；（結果保留π）問題解決（2）如圖②所示，道路AB的一側是濕地．某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D，E，C，線段AD，AC和BC為觀測步道，其中點A和點B為觀測步道出入口．已知點E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，現要在濕地上修建一個新觀測點P，使∠DPC＝60°．再在線段AB上選一個新的步道出入口點F，并修道三條新步道PF，PD，PC，使新步道PF經過觀測點E，并將五邊形ABCPD的面積平分．請問：是否存在滿足要求的點P和點F？若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由．（點A，B，C，P，D在同一平面內，道路AB與觀測步道的寬、觀測點及出入口的大小均忽略不計，結果保留根號）

2024年陜西省中考數學試卷（A卷）參考答案與試題解析一、選擇題（共8小題，每小題3分，計24分．每小題只有一個選項是符合題意的）1．（3分）（2024?陜西）的倒數是A． B． C． D．3【考點】倒數【專題】存在型【分析】根據倒數的定義進行解答即可．【解答】解：，的倒數是．故選：．2．（3分）（2024?陜西）如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是A． B． C． D．【考點】點、線、面、體【專題】空間觀念；幾何圖形【分析】根據面動成體，圖形繞直線旋轉是球．【解答】解：如圖，將半圓繞直徑所在的虛線旋轉一周，得到的立體圖形是球．故選：．3．（3分）（2024?陜西）如圖，，，，則的度數為A． B． C． D．【考點】平行線的性質【專題】推理能力；線段、角、相交線與平行線【分析】由平行線的性質推出，，得到，即可求出．【解答】解：，，，，，，．故選：．4．（3分）（2024?陜西）不等式的解集是A． B． C． D．【考點】解一元一次不等式【專題】運算能力；一元一次不等式（組及應用【分析】去括號，然后移項、合并同類項，把的系數化為1，即可得到不等式的解集．【解答】解：去括號得，，移項得，，合并同類項得，，系數化為1得，．故選：．5．（3分）（2024?陜西）如圖，在中，，是邊上的高，是的中點，連接，則圖中的直角三角形共有A．2個 B．3個 C．4個 D．5個【考點】直角三角形的性質【專題】三角形；應用意識【分析】根據直角三角形的定義，找出圖中的直角三角形即可解決問題．【解答】解：因為，所以是直角三角形．因為是邊上的高，所以，所以、、都是直角三角形，所以圖中的直角三角形共有4個．故選：．6．（3分）（2024?陜西）一個正比例函數的圖象經過點和點．若點與點關于原點對稱，則這個正比例函數的表達式為A． B． C． D．【考點】待定系數法求正比例函數解析式；關于原點對稱的點的坐標【專題】一次函數及其應用；運算能力【分析】由點，關于原點對稱，可求出的值，進而可得出點的坐標，再利用一次函數圖象上點的坐標特征，即可求出正比例函數的表達式．【解答】解：點和點關于原點對稱，，點的坐標為．設正比例函數的表達式為，點在正比例函數的圖象上，，解得：，正比例函數的表達式為．故選：．7．（3分）（2024?陜西）如圖，正方形的頂點在正方形的邊上，與交于點，若，，則的長為A．2 B．3 C． D．【考點】正方形的性質；相似三角形的判定與性質【專題】推理填空題；推理能力【分析】由正方形和正方形，，，得，得，得，由，即可得．【解答】解：由正方形和正方形，，，得，得，得，由，得．故選：．8．（3分）（2024?陜西）已知一個二次函數的自變量與函數的幾組對應值如下表：0350則下列關于這個二次函數的結論正確的是A．圖象的開口向上 B．當時，的值隨值的增大而減小 C．圖象經過第二、三、四象限 D．圖象的對稱軸是直線【考點】二次函數的性質；二次函數圖象上點的坐標特征【專題】運算能力；二次函數圖象及其性質【分析】根據表格中所給數據，可求出拋物線的解析式，再對所給選項依次進行判斷即可解決問題．【解答】解：由題知，，解得，所以二次函數的解析式為．因為，所以拋物線的開口向下．故選項不符合題意．因為，所以當時，隨的增大而減小．故選項不符合題意．令得，，解得，，所以拋物線與軸的交點坐標為和．又因為拋物線的頂點坐標為，所以拋物線經過第一、三、四象限．故選項不符合題意．因為二次函數解析式為，所以拋物線的對稱軸為直線．故選項符合題意．故選：．二、填空題（共5小題，每小題3分，計15分）9．（3分）（2024?陜西）分解因式：．【考點】因式分解提公因式法【專題】計算題【分析】直接把公因式提出來即可．【解答】解：．10．（3分）（2024?陜西）小華探究“幻方”時，提出了一個問題：如圖，將0，，，1，2這五個數分別填在五個小正方形內，使橫向三個數之和與縱向三個數之和相等，則填入中間位置的小正方形內的數可以是0（寫出一個符合題意的數即可）【考點】有理數的加法【專題】計算題；運算能力【分析】根據題意，填寫數字即可．【解答】解：由題意，填寫如下：，，滿足題意，故答案為：0．11．（3分）（2024?陜西）如圖，是的弦，連接，，是所對的圓周角，則與的和的度數是．【考點】圓周角定理【專題】與圓有關的計算；運算能力【分析】根據同弧所對圓周角與圓心角的關系，再結合三角形的內角和定理即可解決問題．【解答】解：是所對的圓周角，．，．又，，，即．故答案為：．12．（3分）（2024?陜西）已知點和點均在反比例函數的圖象上．若，則0．（填“”“”或“”【考點】反比例函數圖象上點的坐標特征【專題】反比例函數及其應用；運算能力【分析】根據反比例函數圖象上點的坐標特征得，，再根據，得，即可得出．【解答】解：點和點均在反比例函數的圖象上，，，，，，故答案為：．13．（3分）（2024?陜西）如圖，在中，，是邊上一點，連接，在的右側作，且，連接．若，，則四邊形的面積為60．【考點】等腰三角形的性質；勾股定理【專題】等腰三角形與直角三角形；推理能力【分析】將四邊形的面積轉化為，然后進行求解．【解答】解：，，，，，平分，過點作，，則：，，，且，，四邊形的面積，，，設，則，由勾股定理，得：，，解得：，，，四邊形的面積為60，故答案為：60．三、解答題（共13小題，計81分．解答應寫出過程）14．（5分）（2024?陜西）計算：．【考點】實數的運算；零指數冪【專題】運算能力；計算題【分析】先化簡二次根式，計算零指數冪和乘法，然后計算加減即可．【解答】解：原式．15．（5分）（2024?陜西）先化簡，再求值：，其中，．【考點】整式的混合運算—化簡求值【專題】計算題；整式；運算能力【分析】先利用完全平方公式，單項式乘多項式將題目中的式子展開，然后合并同類項，再將、的值代入化簡后的式子計算即可．【解答】解：原式，當，時，原式．16．（5分）（2024?陜西）解方程：．【考點】解分式方程【專題】分式方程及應用；運算能力【分析】方程兩邊都乘，得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【解答】解：方程兩邊都乘，得，解得，檢驗：當時，，所以分式方程的解是．17．（5分）（2024?陜西）如圖，已知直線和外一點，請用尺規(guī)作圖法，求作一個等腰直角，使得頂點和頂點都在直線上．（作出符合題意的一個等腰直角三角形即可，保留作圖痕跡，不寫作法）【考點】作圖—復雜作圖【專題】應用意識；尺規(guī)作圖【分析】以為圓心畫弧交于、，分別以、為圓心大于長為半徑畫弧交于，作射線，交于，以為圓心長為半徑畫弧交于，連接，即為所求作的三角形．【解答】解：如圖即為所求作的三角形．18．（5分）（2024?陜西）如圖，四邊形是矩形，點和點在邊上，且，求證：．【考點】矩形的性質；全等三角形的判定與性質【專題】推理能力；圖形的全等；矩形菱形正方形【分析】利用矩形的性質證得，從而證得結論．【解答】證明：四邊形為矩形，，，，．即：，在和中，，，．19．（5分）（2024?陜西）一個不透明的袋子中共裝有五個小球，其中3個紅球，1個白球，1個黃球．這些小球除顏色外都相同．將袋中小球搖勻，從中隨機摸出一個小球，記下顏色后放回，記作隨機摸球1次．（1）隨機摸球10次，其中摸出黃球3次，則這10次摸球中，摸出黃球的頻率是0.3；（2）隨機摸球2次，用畫樹狀圖或列表的方法，求這兩次摸出的小球都是紅球的概率．【考點】列表法與樹狀圖法【專題】應用意識；概率及其應用【分析】（1）根據頻率等于頻數除以總數即可求解．（2）列表可得出所有等可能的結果數以及這兩次摸出的小球都是紅球的結果數，再利用概率公式可得出答案．【解答】解：（1）由題意得，摸出黃球的頻率是．故答案為：0.3．（2）列表如下：紅紅紅白黃紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）（紅，黃）紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）（紅，黃）紅（紅，紅）（紅，紅）（紅，紅）（紅，白）（紅，黃）白（白，紅）（白，紅）（白，紅）（白，白）（白，黃）黃（黃，紅）（黃，紅）（黃，紅）（黃，白）（黃，黃）共有25種等可能的結果，其中這兩次摸出的小球都是紅球的結果有9種，這兩次摸出的小球都是紅球的概率為．20．（5分）（2024?陜西）星期天，媽媽做飯，小峰和爸爸進行一次家庭衛(wèi)生大掃除．根據這次大掃除的任務量，若小峰單獨完成，需；若爸爸單獨完成，需．當天，小峰先單獨打掃了一段時間后，去參加籃球訓練，接著由爸爸單獨完成了剩余的打掃任務，小峰和爸爸這次一共打掃了，求這次小峰打掃了多長時間．【考點】一元一次方程的應用【專題】應用意識；一次方程（組及應用【分析】設這次小峰打掃了，則爸爸打掃了，利用小峰完成的工作量爸爸完成的工作量總工作量，可列出關于的一元一次方程，解之即可得出結論．【解答】解：設這次小峰打掃了，則爸爸打掃了，根據題意得：，解得：．答：這次小峰打掃了．21．（6分）（2024?陜西）如圖所示，一座小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，小明想利用這個觀景臺測量對面山頂點處的海拔高度．他在該觀景臺上選定了一點，在點處測得點的仰角，再在上選一點，在點處測得點的仰角，．求山頂點處的海拔高度．（小明身高忽略不計，參考數據：，，【考點】解直角三角形的應用仰角俯角問題【專題】解直角三角形及其應用；運算能力【分析】過點作，交的延長線于點，設，則，然后分別在和中，利用銳角三角函數的定義求出的長，從而列出關于的方程，進行計算即可解答．【解答】解：過點作，交的延長線于點，設，，，在中，，，在中，，，，解得：，，小山頂的水平觀景臺的海拔高度為，山頂點處的海拔高度約，山頂點處的海拔高度約為．22．（7分）（2024?陜西）我國新能源汽車快速健康發(fā)展，續(xù)航里程不斷提升，王師傅駕駛一輛純電動汽車從市前往市．他駕車從市一高速公路入口駛入時，該車的剩余電量是，行駛了后，從市一高速公路出口駛出．已知該車在高速公路上行駛的過程中，剩余電量與行駛路程之間的關系如圖所示．（1）求與之間的關系式；（2）已知這輛車的“滿電量”為，求王師傅駕車從市這一高速公路出口駛出時，該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．【考點】一次函數的應用【專題】一次函數及其應用；運算能力【分析】（1）設，代入，，可得、的值，即得與之間的關系式；（2）令，可得王師傅駕車從市這一高速公路出口駛出時該車的剩余電量，已知這輛車的“滿電量”為，可得該車的剩余電量占“滿電量”的百分之多少．【解答】解：（1）設，代入，，得，，解得：，，；（2）令，則，，答：該車的剩余電量占“滿電量”的．23．（7分）（2024?陜西）水資源問題是全球關注的熱點，節(jié)約用水已成為全民共識．某校課外興趣小組想了解居民家庭用水情況，他們從一小區(qū)隨機抽取了30戶家庭，收集了這30戶家庭去年7月份的用水量，并對這30個數據進行整理，繪制了如下統(tǒng)計圖表：組別用水量組內平均數5.38.012.515.5根據以上信息，解答下列問題：（1）這30個數據的中位數落在組（填組別）；（2）求這30戶家庭去年7月份的總用水量；（3）該小區(qū)有1000戶家庭，若每戶家庭今年7月份的用水量都比去年7月份各自家庭的用水量節(jié)約，請估計這1000戶家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約多少？【考點】用樣本估計總體；頻數（率分布表；中位數【專題】一次方程（組及應用；統(tǒng)計的應用；能力層次；數據分析觀念【分析】（1）根據統(tǒng)計圖以及中位數的定義解答即可；（2）根據題意列式求解即可；（3）求出這30戶家庭去年7月份的平均用水量，再求出1000戶家庭去年和今年7月份的總用水量，即可求解．【解答】解：（1）根據這30戶家庭去年7月份的用水量可得數據，再將其數據從小到大排列，排在中間的兩個數落在組，故答案為：；（2）這30戶家庭去年7月份的總用水量為；（3）這30戶家庭去年7月份的平均用水量為，這1000戶家庭今年7月份的總用水量，1000戶家庭今年7月份的總用水量為，答：這1000戶家庭今年7月份的總用水量比去年7月份的總用水量節(jié)約．24．（8分）（2024?陜西）如圖，直線與相切于點，是的直徑，點，在上，且位于點兩側，連接，，分別與交于點，，連接，．（1）求證：；（2）若的半徑，，，求的長．【考點】切線的性質；圓周角定理；垂徑定理【專題】推理能力；與圓有關的位置關系【分析】（1）先根據切線的性質得到，再根據圓周角定理得到，然后根據等角的余角相等得到；（2）先利用勾股定理計算出，，再證明，利用相似比求出，接著證明，然后利用相似比求出的長．【解答】（1）證明：直線與相切于點，是的直徑，，，是的直徑，，，，；（2）解：在中，，，，在中，，，，，，，，即，解得，，，，，，，即，解得，即的長為．25．（8分）（2024?陜西）一條河上橫跨著一座宏偉壯觀的懸索橋．橋梁的纜索與纜索均呈拋物線型，橋塔與橋塔均垂直于橋面，如圖所示，以為原點，以直線為軸，以橋塔所在直線為軸，建立平而直角坐標系．已知：纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，橋塔與橋塔之間的距離，，纜索的最低點到的距離．（橋塔的粗細忽略不計）（1）求纜索所在拋物線的函數表達式；（2）點在纜索上，，且，，求的長．【考點】二次函數的應用【專題】運算能力；二次函數的應用；應用意識【分析】（1）依據題意，由，從而，又，纜索的最低點到的距離，可得拋物線的頂點為，故可設拋物線為．，又將代入拋物線可求得的值，進而可以得解；（2）依據題意，由纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，又纜索所在拋物線為，從而可得纜索所在拋物線為，又令，可得，求出或，進而計算可以判斷得解．【解答】解：（1）由題意，，．又，纜索的最低點到的距離，拋物線的頂點為．故可設拋物線為．又將代入拋物線可得，．．纜索所在拋物線為．（2）由題意，纜索所在拋物線與纜索所在拋物線關于軸對稱，又纜索所在拋物線為，纜索所在拋物線為．又令，．或．又，．的長為．26．（10分）（2024?陜西）問題提出（1）如圖①，在△ABC中，AB＝15，∠C＝30°，作△ABC的外接圓⊙O，則的長為25π；（結果保留π）問題解決（2）如圖②所示，道路AB的一側是濕地．某生態(tài)研究所在濕地上建有觀測點D，E，C，線段AD，AC和BC為觀測步道，其中點A和點B為觀測步道出入口．已知點E在AC上，且AE＝EC，∠DAB＝60°，∠ABC＝120°，AB＝1200m，AD＝BC＝900m，現要在濕地上修建一個新觀測點P，使∠DPC＝60°．再在線段AB上選一個新的步道出入口點F，并修道三條新步道PF，PD，PC，使新步道PF經過觀測點E，并將五邊形ABCPD的面積平分．請問：是否存在滿足要求的點P和點F？若存在，求此時PF的長；若不存在，請說明理由．（點A，B，C，P，D在同一平面內，道路