考研數(shù)學一隨機事件和概率

1.【單項選擇題】對任意兩個事件A和B,若P(AB)=O,則().

A.P(A)P(B)=O

B.P(A-B)=P(A)

C.AB=0

D.AB=0

正確答案：B

參考解析：由P(AB)=O,得P(A-B)=P(A)-P(AB)=P(A).

2.【單項選擇題】設P(A)>0,P(B)>0,P(A|B)-P(A),則下列選項不正確的是

().

A.A與B互不相容

B.A與B相容

C.P(B|A)=P(B)

D.P(N|與)=P(N)

正確答案：A

參考解析：

由P(A\B)-P(A)知,相互獨占故C正確.工與百也相互獨立?DiE確|

閔p(.\)>o.p(/n>.H八幅u種。.初八必小斤不相容.即相態(tài).特HJ

3.【單項選擇題】設A,B,C是三個相互獨立的隨機事件，且0<P(C)G,則下

列四對事件中不相互獨立的是().

A.B與C

B.記與二

C..4-B與。

D.在與不

正確答案：B

參考解析：

由A?B?C相互獨立?如福與C相互獨立與C相互獨立與「相回

他。.林林除A.C.D.

4.【單項選擇題】設0<P(A)G,O〈P(B)<1且P(A|B)+P(N|萬)=1,則().

A.A與B互不相容

B.A與B相互獨立

C.A與B對立

D.A與B不相互獨立

正確答案：B

由】一？(3豆)=P(AI田.期P(AB)=P(A|9).即

P(AB)=P(AB)=P(A)-P(AB)

參考解析：P(B)PCB)-l-P(B)-'

故可得，P(AB)=P(A)P(B),g|JA,B相互獨立.

5.【單項選擇題】設A,B是兩個隨機事件，且O〈P(A)G,P(B)>0,

P(B|A)=P(B|N),則下列選項正確的是().

A.P(A|B)-P(N|B)

B.P(A|B)WP(N|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)WP(A)P(B)

正確答案：C

參考解析：

由P(BIA)P(HX),得/:半P(Q=在萃)故P(.AB>=

P(A)P(A)1-P(A)

此時.A,B相互獨立.所以

P(.\B)P(A),P(AB)P(A).

由于0VP(A)<1.所以選項A?B不一定成。.

5.【單項選擇題】設A,B是兩個隨機事件，且O(P(A)<1,P(B)>0,

P(B|A)=P(B|N),則下列選項正確的是().

A.P(A|B)-P(X|B)

B.P(A|B)WP(N|B)

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(AB)WP(A)P(B)

正確答案：C

參考解析：

由,得譚?嚼；P(3)不；善.故

1-rv/\)

此時.A?B相互獨立,所以

P(AB)P(A),P(AH)P(A).

由P(A)I.所以選項A?B不一定成立.

6.【單項選擇題】設某人毫無準備地參加一項測驗，其中有5道是非題，他隨

機地選擇“是”或“非”，則該人至少答對1題的概率為().

1

A.5

1

B.32

C.32

31

D.32

正確答案：D

參考解析：

設A,=第魂答對)?則P(A.)-1(r-1?2?….5)?由于是隨機選擇,故

p(uA>-1p(n1-1JP(')=】一(；)’=?

t?l七\LI3Z

7.【單項選擇題】有一根長為L的木棒，將其任意折成三段，記事件A={中間

一段為三段中的最長者)，則P(A)=().

1

A.2

1

B.3

1

C.4

2

D.3

正確答案：B

參考解析：此問題是幾何概型.

設折得的三段長度依次為x,L-x-y,y,則樣本空間為

Q二I0**4L.0&,4L.0&工+y&L}?

1t件八相應的子區(qū)域。?應滿足oVI<L-X-V.

OVyVLl一>,即

Ci■{(1?》)|OVvVL-2x?0VyV—(L**x)}?

Ip

如圖16-2所示?可知A的面根為.a的面積為JL：,故P(A)=《一=】.

n16-2

8.【單項選擇題】設事件A,B,C兩兩獨立，則A,B,C相互獨立的充分必要

條件是

A.AB和BC獨立.

B.AUB和BUC獨立.

C.A-B和C獨立.

D.A-B和B-C獨立.

正確答案：C

參考解析：A,B,C兩兩獨立,只要滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相

互獨

立.現(xiàn)A-B和C獨立，即有P(敗)=P(疝)P(C),又因為A,B獨立泊，月也獨立P(而)=

P(A)P國).所以「(,而(')=/)(八)口由亦(()兒&(,兩兩獨立,即有九瓦('兩兩獨立,所以

A.B.C相互獨立,也就有A,B(相互獨立.答案應選(C).

8.【單項選擇題】設事件A,B,C兩兩獨立，則A,B,C相互獨立的充分必要

條件是

A.AB和BC獨立.

B.AUB和BUC獨立.

C.A-B和C獨立.

D.A-B和B-C獨立.

正確答案：C

參考解析：A,B,C兩兩獨立，只要滿足P(ABC)=P(A)P(B)P(C)就有A,B,C相

互獨

立.現(xiàn)A-B和C獨立，即有P(疝C)=P(疝)P(C).又因為A,B獨立,也獨立P(廂)=

P(A)P(B).所以P(A5C)=P(A)P(B)P(C),A,B,('兩兩獨立,即有4瓦(,兩兩獨立,所以

A.B,C相互獨立,也就有A,B,C相互獨立.答案應選(C).

9.【單項選擇題】對任意兩個事件A和B,若P(AB)=O,則().

A.AB=0

B.HB=0

C.P(A)P(B)=O

D.P(A-B)=P(A)

正確答案：D

參考解析：選(D),因為P(A-B)=P(A)-P(AB).

10.【單項選擇題】在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機

的.在使用過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t。，電爐就

斷電，以E表示事件“電爐斷電”，而T⑴WT⑵WT⑶WT⑷為4個溫控器顯示的

按遞增順序排列的溫度值，則事件E等于().

A.{T⑴》如}

B.{T⑵Nt。}

C.{T⑶，to)

D.{T⑷》to}

正確答案：C

參考解析：{T⑴2t。)表示四個溫控器溫度都不低于臨界溫度tO,而E發(fā)生只要

兩個溫控器溫度不低于臨界溫度to,所以E={T⑶Nto},選(C).

10.【單項選擇題】在電爐上安裝了4個溫控器，其顯示溫度的誤差是隨機

的.在使用過程中，只要有兩個溫控器顯示的溫度不低于臨界溫度t。，電爐就

斷電，以E表示事件“電爐斷電”，而T⑴WT⑵WT⑶WT⑷為4個溫控器顯示的

按遞增順序排列的溫度值，則事件E等于().

A.{T⑴》如}

B.{T⑵Nt。}

C.{T⑶，to)

D.{T⑷

正確答案：C

參考解析：{T⑴2t。)表示四個溫控器溫度都不低于臨界溫度tO,而E發(fā)生只要

兩個溫控器溫度不低于臨界溫度t。,所以E={T⑶2t。},選個).

11.【單項選擇題】設A,B為任意兩個不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,則下

列結論正確的是().

A..46

B.AB=0

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)=P(A)

正確答案：D

參考解析：因為A,B不相容，所以P(AB)=0,又P(A—B)=P(A)-P(AB),所以

P(A-B)=P(A),選⑻.

11.【單項選擇題】設A,B為任意兩個不相容的事件且P(A)>0,P(B)>0,則下

列結論正確的是().

A.AB

B.A6=0

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)=P(A)

正確答案：D

參考解析：因為A,B不相容,所以P(AB)=O,又P(A-B)=P(A)-P(AB),所以

P(A-B)=P(A),選(D).

12.【單項選擇題】設(KP(A)G,O<P(B)<1,且P(A|B)+P(A|B)-1,則下列結

論正確的是().

A.事件A,B互斥

B.事件A,B獨立

C.事件A,B不獨立

D.事件A,B對立

正確答案：B

參考解析：_________

由P(AIB)+P(彳IB)=1J|P(AIB)=1-P(A1B)=P(AIB),則事件A.

B是獨七的,正確答案為(B).

13.【單項選擇題】設A,B,C是相互獨立的隨機事件，且P(A)rO,

O<P(C)<1,則下列給出的四對事件中不相互獨立的是().

A.4+3與C

B.「與廠

c.A￡與1

D.AB與(

正確答案：B

參考解析：_____

因為/.B.C相互獨立,所以它們的對立事件也相互獨立，故不百與('相互獨立,

A-B與C也相互獨立，由

P(ABC)=P(AB+C)=1-P(AB+C)

=1-P(AB)-P(C)+P(ABC)=1-P(A)P(B)-P(C)^P(A)P(B)P(C),

P(而)P(1)=[1-P(AB)][1-P(C)]=1-P(AB)-P(C)+P(ABC),11

P(而&=P(嘉)P(P),即而與-相互獨立，選(B).

14.【單項選擇題】以下命題正確的是().

A,若事件A,B,C兩兩獨立，則三個事件一定相互獨立

B,設P(A)>0,P(B)>0,若A,B獨立，貝IJA,B一定互斥

C.設(A)>0,P(B)>0,若A,B互斥，貝!JA,B一定獨立

D.A,B既互斥又相互獨立，則P(A)=O或P(B)=O

正確答案：D

參考解析：當P(A)>0,P(B)》O時，事件A,B獨立與互斥是不相容的，即若A,

B獨立,則P(AB)=P(A)P(B)>0,則A,B不互斥，若A,B互斥,則P(AB)=OW

P(A)P(B),即A,B不獨立，又三個事件兩兩獨立不一定互相獨立，D正確。

15.【單項選擇題】若事件A”A2,A：,兩兩獨立，則下列結論成立的是().

A.A”A2,A：?相互獨立

B.A1,A2,」3兩兩獨立

C.P(A1A2A:i)=P(A1)P(A2)P(A3)

D.工,A2,33相互獨立

正確答案：B

參考解析：___

由于4"2,4兩兩獨立,所以無，A..1也兩兩獨立,但不一定相互獨立，選(B).

16.【單項選擇題】設A,B為兩個事件，且P(A)=2/3,P(B)=l/2,

P(AB)=1/3,則A與B之間的關系是()

A.A包含B

B.A與B相互獨立

C.A與B相互對立

D.A與B互不相容

正確答案：B

參考解析：除獨立性以外，由概率計算的結果不能推斷事件之間的其他關系，

而題目中4個選項中就有3個是由概率式對事件包含關系、對立關系、互不相

容(互斥)關系的推斷，均應排除，因此，唯一可選擇的是選項(B),由

P(A)(B)=(2/3)*(1/2)=1/3,P(AB)=1/3,P(A)P(B)=P(AB),容易驗證選項(B)正

確,故選(B).

17.【單項選擇題】設A,B是任意兩個事件，且AuB,P(B)>0,則必有()

A.P(A)WP(A|B)

B.P(A)<P(AIB)

C.P(A)2P(A|B)

D.P(A)>P(AIB)

正確答案：A

參考解析:由于AuB,因此AB=A,而0<P(B)Wl,所以P(A)=P(AB)=P(B)P(A|B)

WP(A|B),所以選A

18.【單項選擇題】設事件A,B滿足AB=。，則下列結論中一定正確的是

(_)二

A.4迫互不相容

B.豆相容

C.P(AB)=P(A)P(B)

D.P(A-B)-P(A)

正確答案：D_________

參考解析?用文氏圖‘如果滿足叵⑥1'則耳鼻相容,所以(八)錯誤?

如果A.B滿足⑨7^),則3B.B=A.AB=0,所以(B)錯誤.

由于AB=0=>P(AB)=0.而P(A)P(B)不一定為0.所以(C)錯誤.

但是,P(A—B)P(.A)0(A).故選擇(D).

19.【單項選擇題】

設A?B是隨機事件且滿足P(A|B)=P(B|A)=4P(由=9,則().

134

A,B不獨立且P(AUB)=4

CA?.)

2

BA,8不獨立且P(AUB)-y

rA.B獨立且尸(AUB)=1

l/?

nA,B獨立且P(AUB)=4

U.1

正確答案：A

參考解析：

根據(jù)概率的乘法公式及P(A|B)=P(B|A)=，得P(A)=P(B).

又P(A)=4■,所以P(A)=P(B)=；,且P(AB)=P(8|A)P(A)=:.

446

由于P(AB)/P(A)P(8),所以AJ3不獨立，且

P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AB)=《+4?一!=

4463

應選(A).

20.【單項選擇題】

2R一

設P(A)=三，P(B)=上.則P(B|A)的最小值為().

_1_°b

A.T

B.3-

]_

c.7

D.1

正確答案：B

參考解析：

由于ABCA,所以P(AB)(P(A),同理P(AB)(P(B),故P(AB)《

9

min{P(A),P(B)}=告，則

3__2_

P(AB)P(B)-P(.AB)T'T1

P(BIA)>

P(A)—I-P(A)―—下T'

5

選(B).

21.1單項選擇題】

設A,3,C為三個萼件,A與3獨立,P(C)=0,則不?瓦C().

A,必相互獨立

B.兩兩獨立但不一定相互獨立

C.不一定兩兩獨立

D.必不兩兩獨立

正確答案：A

參考解析：因為A,3獨立,所以X,豆也獨立：

因為04P(AC)<P(C)=。，故P(AC)=0,于是P(AC)=P(A)P(O,故A,C獨立，即A,

。獨立；

因為04P(*)《P(C)=0,故P(*)=0,于是P(*)=P(8)P(C),故B,C獨立，即和C

獨立；

因為04P(ABC)CP(C)=0,故P(ABC)=0,又P(C)=1,于是

P(ABC)=P(ABC)+P(ABC)

=P(AB(C(JO)=P(AB)

=P(A)P(B)=P(A)P(B)P(C).

綜上所述,尤友r必相互獨立,選(A).

ii

22.【填空題】設P(A|B)=P(B|A)=2,P(A)=3,則P(AUB)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

1

參考解析：「

【解析】

111

由已知,用P(AB)=P(A)P(B八)=!)4—L

3zfi

又P(AB)-P(B)P(A|B).如P(B)=?.故

P(AUB)=P(A)-hP(B)-P(AB)=!+!-!=!.

XSfi2

1

23.【填空題】設事件A,B,C滿足P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=P(BC)=0,

1

P(AC)=8,貝IJA,B,C三個事件中至少出現(xiàn)一個的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案■：

參考解析：「

【解析】

由ABCUAB.知P(AHC)<P(AB)=0.所以P(ABC)=0?故所求概率為

P(AU8UC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC')-4-P(ABC)

.lll_-l-04-0-A

A+l+l0RR

1

23.【填空題】設事件A,B,C滿足P(A)=P(B)=P(C)=4,P(AB)=P(BC)=0,

1

P(AC)=8,則A,B,C三個事件中至少出現(xiàn)一個的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答罷：

5

參考解析：『

【解析】

由ABCUAB,知P(ABO<P(/\B)=0.所以一0.故所求微率為

P(AU8U(')=P<A)+P(H)+P(C)--P(AC)-/"HO-

?工總

TTTR-R*

24.【填空題】設P(A)=0.LP(B|A)=0.9,P(B|X)=0.2,則P(A|B)=

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：L

【解析】

由條件概率公式?有P(AIB)"彳黑=""黑」.乂

P(n>P(ni

P(B)-P(ABU油)P(.AB)-P(AB).A)?P(A)P(tiA)

=0.]X0.9+(1-?0.])X0.2=0*27.

故P(AIB)-p

25.【填空題】設A,B為隨機事件,且P(N)=0.3,P(B)=0.4,P(A-B)=0.5,

則P(B|AU豆)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

I

參考解析：「

【解析】

由條件概率公式，有

P(AUB)P(AU_B)

=P(AB,=P(A)二P(A百)_

"P(AU瓦-P(A)+P(B)-P(AB)

=P(A)二P(A-B)_0.2_1

-P(A)+P(A)-P(A-B)-d78-T*

26.【填空題】設在三次獨立重復試驗中，事件A發(fā)生的概率相等，若已知A

19

至少出現(xiàn)一次的概率為石，則A在一次試驗中發(fā)生的概率p.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

I

參考解析：T-

【解析】

依題設，本題為伯努利概型.

設每次試驗中事件A發(fā)生的概率為P,事件A發(fā)生的次數(shù)為k(k=0,1,—,

n),則A至少發(fā)生一次的概率P{k21}=「(l-p)n,解得

p=1--PkII.

由已制.P??.3.故p-1—.1—

LtvLlS

27.【填空題】在區(qū)間(0,1)內(nèi)任取兩個數(shù)x,y,則xyW9的概率為

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答譽

參考解析：~山G)1

【解析】

設事件

<7=Ii?

則事件A的樣本位于區(qū)收“中?如圖16-1陰影部分所示?由幾何糕

型公式P(A)■甘-《X1+「裊Lr-|(1+In

Sn9JI9x9\Z/

H16-1

28.【填空題】設P(A)=0.5,P(B)=0.7,則P(AUB)的最大值與最小值分別是

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：b0.7

【解析】

由P(A)-hP(B)=0.5+0.7>1,此時ABW0,所以P(AB)的最小值為0.2,

故P(AU對的最大值為1.乂當AU8或A二)B,會使AUB最小,本題應取AU乩故

P(AUB)P(B)=0.7為最小值.

29.【填空題】設A,B是兩個隨機事件，O〈P(B)<1,AB=N月，則P(N

|B)+P(A|￡)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

由AB-Kg.知(,竺獨心-A油百=0.而(ABM不即=ABX瓦所以

AB=0,又由對偈律不H=0?故AUBNan表示全集1,從而A與8為對立

B件(因AB-0)?于是A瓦3=8.故P(3B)-P(.AR)-2.

30.【填空題】設進行一系列獨立試驗，每次試驗成功的概率均為P,則在試驗

成功2次之前已經(jīng)失敗3次的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：4p2(『p”

解令A=(試驗成功2次之前已經(jīng)失敗3次｝,A5=｛第5次試驗成功)，B3=｛試驗

4次失敗3次).

依題設，As與B3獨立，且A=ASB3,而

P(Bt)..4p(l-P(A-)-p,

故P(A)=PCA.BJ=P(AS)?P(B.)=-A.

31.【填空題】已知10部手機中有7個合格品和3個次品，每次任取一個作測

試，測試后不放回，直到將3個次品都找到為止，則需要測試7次的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

2

參考解析：1.」

【解析】

用古典概型計算.測試7次，就是從10件手機中不放回地抽取7件，故基本

7

事件總數(shù)為Aio.

設人=｛7次測試后3個次品都已找到｝,故存在兩種情況：第一種情況是在前6

次測試中有2次找到次品，而在第7次測試時找到最后一個次品；第二種情況

是前7次測試均為合格品，最后剩下的3件就是次品.所以A所包含的基本事

件數(shù)為

放(八)=JJ?:

32.【填空題】在n重伯努利試驗中，事件A發(fā)生的概率為p,則事件A發(fā)生奇

數(shù)次的概率為.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：°s’?

【解析】

設AN次試驗中A出現(xiàn)奇數(shù)次,八”次內(nèi)驗中A出現(xiàn)偶數(shù)次,則

P(A1)=C：pqb'+q*'+Cpq"十?

P(A：)=do"+Oa"1+dcf'+…，

線中q-l—/>?故P(A])+P(A：)—(0+q)?-1.

P(A：)-P()■《q-.(1-2p)*J

兩式相漉?褥所求假率為P(At)-j[]-<1-2^),].

33.【填空題】一射手對同一目標獨立地進行4次射擊.若至少命中一次的概

率為15/16,則該射手對同一目標獨立地進行4次射擊中至少沒命中一次的概率

為?

請著看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

15

參考解析：16

【解析】

可以把射擊看成獨立重復試驗，設每次射擊命中率為P,則不中率為1-P.記A=

“四次中至少命中一次"，B="四次中至少沒中一次”.

則A="四次中一次都沒中”,顯然P(A)=1-P(A)=1-^=4

1616

獨立射擊四次都沒中,P(1=(1—戶兒即(1一=J，解得〃=1-。=

現(xiàn)求P(B),P(B)=1-P(B),P(B)為四次都中的概率.

P(B)=p=?，故P(B)=1——z—

1nIn10

34.【填空題】設P(B)=0.5,P(A-B)=0.3,則P(A+B)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：因為p(A-B)=P(A)-P(AB)，所以P(A+B)=P(A-B)+P(B)=0.8

35.【填空題】設A,B為兩個隨機事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,則

P(Ali)=.

請查看答豪羸福對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

由P(1B)=P(A)-P(AB)=0.3及P(A)=0.7.得P(AB)=0.4,

則產(chǎn)(AB)=1-P(AB)=0.6.

35.【填空題】設A,B為兩個隨機事件，且P(A)=0.7,P(A-B)=0.3,則

P(AB)=.

請查看答案解析宿對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

由P(A_Z1B)=P(A)-P(AB)=O.3及P(A)=0.7,得P(AB)=0.4,

則P(AB)=1-P(AB)=0.6.

36.【填空題】設P(A)=0.4,且P(AB)=P(二百)，則P(B)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：___

參考解析：因為P(AB)=P(.A+3)=1一P(A

所以P(AB)=1-P(A+B)=1-P(A)-P(B)+P(AB),

從而P(B)=1-P(A)=O.6.

37.【填空題】設事件A,B,C兩兩獨立,滿足=ABC=0,P(A)=P(B)=P(C),且

9

P(A+B+C)=：6,則P(A)=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：

iP(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(4B)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)

且ABC=0,P(A)=。(3)=P(C),得

Q12

3尸(A)—3PYA).解得p(A)=丁或者p(A)=一.

91

因為AUA+B+C,所以P(A)4P(A+B+C)=%.故P(A)=：.

1n4

8

38.【填空題】從n階行列式的展開式中任取一項，此項不含a”的概率為9,

貝！Jn=.

請查看答案解析后對本題進行判斷：答對了答錯了

正確答案：

參考解析：n階行列式有n!項，不含a”的項有(nT)(nT)!個，

則=匚1=[?，則n=9.

n!

39.【填空題】

一工人同時獨立制造三個零件,第％個零件不合格的概率為二二金=123),以隨機變址

X表示三個零件中不合格的零件個數(shù),則P(X=2)=

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正確答案：

參考解析：令考=｛第k個零件不合格)(k=l,2,3),

則PCX=2)=P(AlA2A3)+P(A,A2A3)+P(A,A2A3)

11111131

==XXbxx4,-xx：==

7TT'7TT7TT4

40.【填空題】設P(A)=0.6,P(A6)=0.2,P(HB)=0.3,則P(A+3

IA)=.

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正確答案：

參考解哲：

由P(A^=P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.2及P(A)=0.6得P(AB)=0.4,

再由P(M)=P(B-A)=P(B)—P(AB)=0.3得P(B)=0.7.

所以P(A+HI彳)=0R廿即］=P踵)1-P(A+3)

P(A)P(A)l-P(A)

1-P(A)-P(B)+P(A8)1-0.6-0.7+0.41

l-P(A)0.4

41.【填空題】設A,B相互獨立，只有A發(fā)生和只有B發(fā)生的概率都是?,則

P(A)=.

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正確答案：

只少到蚱根據(jù)題意得P(AB)=P(AB)=；，

參考解析j_4

因為P(A包=P(A)—P(AB),P(彳B)=P(B)—P(AB),所以P(A)=P(B),

再由獨立得P(A)—P"A)=9,解得P(A)=J.

42

42.【填空題】已知甲、乙兩袋中裝有同種球，其中甲袋中裝有10個紅球和10

個白球，乙袋中裝有10個紅球.從甲袋中一次性取10個球放入乙袋，則從乙

袋中任取一球是白球的概率為—.

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正確答案：

參考解析：T

【解析】

由事件的背景可知，記乂=｛乙袋中自球個數(shù)｝=｛從甲袋中一次性取10個球中白球

個數(shù))，故x的概率分布為

P(X=6=5^M=0.12…,1°

設A表示事件"從乙袋中任取一球是白球"，由于。=0},。=1),“?,。=10)構成完備事件

組,因此根據(jù)全概率公式,有

iomi

P(A)=￡P1X=RPA|X=6=￡P[X=R

MV

匐P(X=)=[EX=]X5=?

20204

43.【解答題】設A”A?,…，4為行個相互獨立的事件，且P(Aj=Pk(k=l,

2,…，n),求下列事件的概率：

(I)A={n個事件全不發(fā)生)；

(H)B={n個事件不全發(fā)生)；

(III)C={n個事件中至少有一個發(fā)生}.

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參考解析：(I)n個事件全不發(fā)生，即n個事件的對立事件同時發(fā)生，故

9■

P(A)=P(A：A：???工)=|[P(A.)=yj(1—).

(II)n個事件不全發(fā)生，即n個事件中至多有nT個發(fā)生，故

■■

P(B)=1—PA.A：,,?A.'=1-][P(A?)=1—fj/)*.

(Ill)■

P(C)=P(A]uU???UAJ=1-P(nA*)=1-JJ(1-P*).

44.【解答題】對某一目標依次進行了三次獨立的射擊，設第一、第二、第三

次射擊命中的概率分別為0.4,0.5和0.7,求：

(I)三次射擊中恰好有一次命中的概率；

(II)三次射擊中至少有一次命中的概率.

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參考解析：

設人也H命中=1：2,3)，叱恰行一次命中(為至少有?次命中，

則B=A>X瓦UA.A,瓦UT瓦A,.C=A,UA,UAJ

(I)

由已知?.X.A：.A相互獨”互不相容,故

P(B)=P(A,A2A,)+P(A,A,A,)+P(A,AM,)

-P(4)P(A：)P(吊)+P(4+P(X)P6：)P(A,>

n0.4X0.5X0.30.6X0.5X0.34-0.6X0.5X0.7=0.36.

(ID

P(C)=P(A|uA2U_A3)=1-P(A)uAzuAj)=1-P(At瓦A3)

=1-P(A.)P(A,)P(A1)=1-0.6X0.5X0.3=0.91.

45.【解答題】設A,B是兩個隨機事件，證明：1-P(N)-P(萬)WP(AB)W

P(AUB)WP(A)+P(B).

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由P(AU8)=P(A)+P(B)-而P(AB)?故

參考解析：,

而ABUAU以所以P<AB)<P(AUB).又由

1-P(A)-P(B)-1-[1-P(A)]-[1-P(B>]

=P(A)+P(B)-1=P(AB)+P(A|J-1

=P(.AB)-[1-P(AUB)]&P(.4B>.

媒上所述,命物網(wǎng)證.

46.【解答題】設甲盒中有4個紅球和2個白球，乙盒中有2個紅球和4個白

球，擲一枚均勻的硬幣，若正面出現(xiàn)，則從甲盒中任取一球，若反面出現(xiàn)，則

從乙盒中任取一球，設每次取出的球觀看顏色后放回原盒中.

(I)若前兩次都取得紅球，求第三次也取得紅球的概率；

(II)若前兩次都取得紅球，求紅球都來自甲盒的概率.

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參考解析：(I)設A尸｛第i次取得紅球｝(i=l,2,3),Bj=｛第j次擲硬幣出

現(xiàn)正面)(j=l,2,3).

依題設，易知氏為第j次從甲盒中取球.將“擲一次硬幣，再由硬幣出現(xiàn)的結

果從相應的盒中取出”看作一次試驗，則每次試驗是重復的，且相互獨立，所

以它們的結果A”鼠,A3是相互獨立的,且P(Ai)=P(A),i=l,2,3,

故所求概率為P(A3|AQ=P(A3)=P(A,).

乂也全概率公式?和

P(A1)-P(B,)P(A|I+P(B7)P(AiIB)

1xz4,Iu21

-7xJ7x6*-7*

故P(AIA,A：)=

tz

(II)

由上兩次試驗是拽立簟復的.所以ABM.4；B是相互獨立的,且

P(A出)-PCBJPCA,IB,)==l

由條件概率公式，得

(]_\1

pz?RAA)—P(A】AH2)_P(A,B,)P(A3B:)_\1)_4

IAA2)----p(A1A：)--------P(A,)P(A2)py-T

47.【解答題】設一批產(chǎn)品中有15%的次品，進行獨立重復抽樣檢驗，若抽取

20個樣品，則抽出的20個樣品中，可能性最大的次品數(shù)是多少？并求其概率.

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參考解析：設乂=｛抽取20個樣品中的次品數(shù))，則X?B(20,0.15).所求問題

是，當k

為多少時.PX*-CtX0.15'15)''(￡=0.1?….20)最大.

設當A=M時,P-=A)■大，則有

P'X-kIPX-4-b.PX-1PX-44-1.

考慮任意兩項的比值，

P1X-A)_GnXO.15,X0.85"'_(20-14-1)X0.15

P：X=**-1)=8X0.151X0.85j3s0.85Xi，

則PX-i)>PX=八一】?當且僅當A4(20+DX0.15=3.15.

同理,PX?H》P;XNA+1)?當且僅當A2(20+1)X0.15-I=2.15?故3

PX=A■大財J=3,且PX=3)=C；XO.15XO.85r=0.2428.

48.【解答題】有三個盒子，第一個盒子中有3個黑球、1個白球，第二個盒子

中有2個黑球、3個白球，第三個盒子中有3個黑球、2個白球.

(I)任取一個盒子，再從該盒子中取出一個球，求這個球是白球的概率；

(II)已知取出的是白球，求此球屬于第三個盒子的概率.

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參考解析：(I)

設A=(取出的是月球)，B,=｛取到第i只盒子)，i=l,2,3.

依也設?P(8,)-孑,由全H率公式?博

P(A)-VP(B.)P(AI叢)■鼻()+￡+馬)=蔣.

(II)由(I)及貝葉斯公式，得

49.【解答題】從1,2,…，n這n個數(shù)中任意相繼不放回地取出兩個數(shù)，求

取出的第二個數(shù)比第一個數(shù)大的概率.

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參考解析：令Ai=｛第一次取出的數(shù)為i),i=l,2,…，n,B=｛取出的第二個數(shù)

比第一個數(shù)大)，則A“Az,…，4構成一個完備事件組.

由于在A發(fā)生的條件下，第二個數(shù)只能取到余下的nT個數(shù)之一，且只有它取

到后n-i個數(shù)時,B才發(fā)生，故

P(B.A,)="一-：,i=1?2

n—1

又P(A.)=-.1=】?2由全概奉公式，石

n

....

P(B)-VP(A,)P(B|A,)=y1?-J

4*1?

=H/(n-■l?)、[u(”一】)+(”-2)+…+1+01

=].-D=j_

n(n-1)22

50.【解答題】袋中有12只球，其中紅球4個，白球8個，從中一次抽取兩個

球，求下列事件發(fā)生的概率：

⑴兩個球中一個是紅球一個是白球；

⑵兩個球顏色相同.

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參考解析：(1)

令A=｛抽取的兩個球中一個是紅球一個是白球｝,則P(A)=3=段.

CH33

(2)

C?C217

令B=1抽取的兩個球顏色相同).則p(zn=—+—=工.

C；2C；233

51.【解答題】現(xiàn)有三個箱子，第一個箱子有4個紅球，3個白球；第二個箱子

有3個紅球，3個白球；第三個箱子有3個紅球，5個白球；先取一只箱子，再

從中取一只球.

⑴求取到白球的概率；

(2)若取到紅球，求紅球