PAGEPAGE1第3講空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系[基礎(chǔ)題組練]1．已知異面直線a，b分別在平面α，β內(nèi)，且α∩β＝c，那么直線c肯定()A．與a，b都相交 B．只能與a，b中的一條相交C．至少與a，b中的一條相交 D．與a，b都平行解析：選C.若c與a，b都不相交，則c與a，b都平行，依據(jù)公理4，知a∥b，與a，b異面沖突．2．已知直線a和平面α，β，α∩β＝l，a?α，a?β，且a在α，β內(nèi)的射影分別為直線b和c，則直線b和c的位置關(guān)系是()A．相交或平行 B．相交或異面C．平行或異面 D．相交、平行或異面解析：選D.依題意，直線b和c的位置關(guān)系可能是相交、平行或異面．故選D.3．已知空間四邊形的兩條對角線相互垂直，順次連接四邊中點(diǎn)的四邊形肯定是()A．空間四邊形 B．矩形C．菱形 D．正方形解析：選B.如圖所示，易證四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)镋，F(xiàn)分別為AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC.又FG∥BD，所以∠EFG或其補(bǔ)角為AC與BD所成的角．而AC與BD所成的角為90°，所以∠EFG＝90°，故四邊形EFGH為矩形．4．已知直線a，b分別在兩個不同的平面α，β內(nèi)，則“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選A.若直線a，b相交，設(shè)交點(diǎn)為P，則P∈a，P∈b.又a?α，b?β，所以P∈α，P∈β，故α，β相交．反之，若α，β相交，則a，b可能相交，也可能異面或平行．故“直線a和直線b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要條件．5．(2024·內(nèi)蒙古集寧一中四模)如圖，在四面體ABCD中，E，F(xiàn)分別是AC，BD的中點(diǎn)，若CD＝2AB＝4，EF⊥BA，則EF與CD所成的角為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：選A.取CB的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G.則EG∥AB，F(xiàn)G∥CD.所以EF與CD所成的角為∠EFG(或其補(bǔ)角)，因?yàn)镋F⊥AB，所以EF⊥EG.EG＝eq\f(1,2)AB＝1，F(xiàn)G＝eq\f(1,2)CD＝2，所以在Rt△EFG中，sin∠EFG＝eq\f(1,2)，所以EF與CD所成的角為30°.故選A.6．已知棱長為a的正方體ABCD-A′B′C′D′中，M，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是．解析：如圖，由題意可知MN∥AC.又因?yàn)锳C∥A′C′，所以MN∥A′C′.答案：平行7．給出下列四個命題：①平面外的一條直線與這個平面最多有一個公共點(diǎn)；②若平面α內(nèi)的一條直線a與平面β內(nèi)的一條直線b相交，則α與β相交；③若一條直線和兩條平行線都相交，則這三條直線共面；④若三條直線兩兩相交，則這三條直線共面．其中真命題的序號是．解析：①正確，因?yàn)橹本€在平面外即直線與平面相交或直線平行于平面，所以最多有一個公共點(diǎn)．②正確，a，b有交點(diǎn)，則兩平面有公共點(diǎn)，則兩平面相交．③正確，兩平行直線可確定一個平面，又直線與兩平行直線的兩交點(diǎn)在這兩平行直線上，所以過這兩交點(diǎn)的直線也在平面內(nèi)，即三線共面．④錯誤，這三條直線可以交于同一點(diǎn)，但不在同一平面內(nèi)．答案：①②③8．如圖，四邊形ABCD和ADPQ均為正方形，它們所在的平面相互垂直，則異面直線AP與BD所成的角為．解析：如圖，將原圖補(bǔ)成正方體ABCD-QGHP，連接AG，GP，則GP∥BD，所以∠APG為異面直線AP與BD所成的角，在△AGP中，AG＝GP＝AP，所以∠APG＝eq\f(π,3).答案：eq\f(π,3)9．如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為正方形ABCD的中心，H為直線B1D與平面ACD1的交點(diǎn)．求證：D1，H，O三點(diǎn)共線．證明：如圖，連接BD，B1D1，則BD∩AC＝O，因?yàn)锽B1eq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))DD1，所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，又H∈B1D，B1D?平面BB1D1D，則H∈平面BB1D1D，因?yàn)槠矫鍭CD1∩平面BB1D1D＝OD1，所以H∈OD1.即D1，H，O三點(diǎn)共線．10.如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中點(diǎn)．已知∠BAC＝eq\f(π,2)，AB＝2，AC＝2eq\r(3)，PA＝2.求：(1)三棱錐P-ABC的體積；(2)異面直線BC與AD所成角的余弦值．解：(1)S△ABC＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(3)＝2eq\r(3)，三棱錐P-ABC的體積為V＝eq\f(1,3)S△ABC·PA＝eq\f(1,3)×2eq\r(3)×2＝eq\f(4\r(3),3).(2)如圖，取PB的中點(diǎn)E，連接DE，AE，則ED∥BC，所以∠ADE(或其補(bǔ)角)是異面直線BC與AD所成的角．在△ADE中，DE＝2，AE＝eq\r(2)，AD＝2，cos∠ADE＝eq\f(22＋22－2,2×2×2)＝eq\f(3,4).故異面直線BC與AD所成角的余弦值為eq\f(3,4).[綜合題組練]1．如圖所示，平面α∩平面β＝l，A∈α，B∈α，AB∩l＝D，C∈β，C?l，則平面ABC與平面β的交線是()A．直線AC B．直線ABC．直線CD D．直線BC解析：選C.由題意知，D∈l，l?β，所以D∈β，又因?yàn)镈∈AB，所以D∈平面ABC，所以點(diǎn)D在平面ABC與平面β的交線上．又因?yàn)镃∈平面ABC，C∈β，所以點(diǎn)C在平面β與平面ABC的交線上，所以平面ABC∩平面β＝CD.2.如圖，已知線段AB垂直于定圓所在的平面，B，C是圓上的兩點(diǎn)，H是點(diǎn)B在AC上的射影，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動時，點(diǎn)H運(yùn)動的軌跡()A．是圓 B．是橢圓C．是拋物線 D．不是平面圖形解析：選A.如圖，過點(diǎn)B作圓的直徑BD，連接CD，AD，則BC⊥CD，再過點(diǎn)B作BE⊥AD于點(diǎn)E，連接HE，因?yàn)锳B⊥平面BCD，所以AB⊥CD.又BC⊥CD，且AB∩BC＝B，所以CD⊥平面ABC，所以CD⊥BH.又BH⊥AC，且AC∩CD＝C，所以BH⊥平面ACD，所以BH⊥AD，BH⊥HE.又留意到過點(diǎn)B與直線AD垂直的直線都在同一個平面內(nèi)，于是結(jié)合點(diǎn)B，E位置，可知，當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動時，點(diǎn)H運(yùn)動的軌跡是以BE為直徑的圓．故選A.3.如圖所示，A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)．(1)求證：直線EF與BD是異面直線；(2)若AC⊥BD，AC＝BD，求EF與BD所成的角．解：(1)證明：假設(shè)EF與BD不是異面直線，則EF與BD共面，從而DF與BE共面，即AD與BC共面，所以A，B，C，D在同一平面內(nèi)，這與A是△BCD所在平面外的一點(diǎn)相沖突．故直線EF與BD是異面直線．(2)取CD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AC∥FG，EG∥BD，所以相交直線EF與EG所成的角，即為異面直線EF與BD所成的角．又因?yàn)锳C⊥BD，則FG⊥EG.在Rt△EGF中，由EG＝FG＝eq\f(1,2)AC，求得∠FEG＝45°，即異面直線EF與BD所成的角為45°.4.(綜合型)如圖，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AH∶HD＝m，CF∶FB＝CG∶GD＝n.(1)證明：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；(2)m，n滿意什么條件時，四邊形EFGH是平行四邊形？(3)在(2)的條件下，若AC⊥BD，試證明：EG＝FH.解：(1)證明：因?yàn)锳E∶EB＝AH∶HD，所以EH∥BD.又CF∶FB＝CG∶GD，所以FG∥BD.所以EH∥FG.所以E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面．(2)當(dāng)EH∥FG，且EH＝FG時，四邊形EFGH為平行四邊形．因?yàn)閑q\f(EH,BD)＝eq\f(AE,AE＋EB)＝eq\f(m,m＋1)，所以EH＝