專題1.7空間向量與立體幾何

考向解讀

(1)高考對(duì)本部分內(nèi)容的考查以能力為主，重點(diǎn)考查線面關(guān)系、面面關(guān)系、線面角及

二面角的求解，考查數(shù)形結(jié)合的思想，空間想象能力及運(yùn)算求解能力等.

主要有兩種考查形式：

①利用立體幾何的知識(shí)證明線面關(guān)系、面面關(guān)系；

②考查學(xué)生利用空間向量解決立體幾何的能力，考查空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，以及平面

的法向量等，難度屬于中等偏上，解題時(shí)應(yīng)熟練掌握空間向量的坐標(biāo)表示和坐標(biāo)運(yùn)算，把空

間立體幾何問題轉(zhuǎn)化為空間向量問題.

(2)運(yùn)用空間向量坐標(biāo)運(yùn)算求空間角的一般步驟：

①建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；

②求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)；

③寫出向量坐標(biāo)；

④結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算：

⑤轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論.

(3)求二面角最常用的方法就是分別求出二面角的兩個(gè)面所在平面的法向量，然后通

過兩個(gè)平面的法向量的夾角得到二面角的大小，但要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還

是鈍角.注意：兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)

角.設(shè)平面a,B的法向量分別為及,◎),尸(a*,a),平面a,。的夾角為。(0464口)，

則|cos01="=|cos〈〃j〉|.

(4)用向量解決探索性問題的方法：

①確定點(diǎn)在線段上的位置時(shí)，通常利用向量共線來求.

②確定點(diǎn)在平面內(nèi)的位置時(shí)，充分利用平面向量基本定理表示出有關(guān)向量的坐標(biāo)而

不是直接設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo).

③解題時(shí)，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程組，把“是否存在”問題轉(zhuǎn)

化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”等，所以為使問題的解決更簡(jiǎn)單、

有效，應(yīng)善于運(yùn)用這一方法解題.

1

最新模擬題賞析

1.已知梯形8FEC如圖1所示，其中BF//EC，EC=3,BF=2,四邊形4BCD是邊

長(zhǎng)為1的正方形，沿AO將四邊形瓦》尸折起，使得平面EDAF_L平面ABC。，得到如

圖2所示的幾何體.

（1）求證：平面AEC_L平面切組；

（2）若點(diǎn)H在線段8。上，且￡”與平面龐五所成角的正弦值為逅，求線段￡）”的長(zhǎng)

9

度.

【試題來源】黑龍江省哈爾濱市哈爾濱第三中學(xué)2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期第一次模擬（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）Y2.

2

【分析】（1）利用折前折后的不變量先證明線面垂直，再進(jìn)一步得到面面垂直.

（2）建系求平面BE產(chǎn)法向量，建立方程求解.

【解析】（1）因?yàn)槠矫?4方_1_平面A8CD,。石u平面瓦加尸，

平面瓦兇尸口平面43CD=AO，DEA.AD,所以DEL平面A8CO，

因?yàn)锳Cu平面ABCO,所以QEJ_AC，

因?yàn)樗倪呅蜛BC。是正方形所以AC_L80，

因?yàn)镈E、3￡>u平面BOE，DEcBD=D,所以ACJ?平面BOE，

因?yàn)锳Cu平面ACE所以平面AEC1平面BDE：

（2）建系如圖：

2

設(shè)平面3環(huán)的法向量百二（x,y,z）,石（0,0,2）,尸（1,0』），B（l,l,0）,

EFn=0

則1二(11』)，設(shè)”(a,a,0),EH=(a,a,-2),

BFn=0

辰仰斗康割邛，解得小或

”（H。），所以DH=^~.

2.在三棱錐A—8C。中，AB=AD=BD=2BC=DC=五，AC=2.

（1）求證：BD1AC；

（2）若P為AC上一點(diǎn)，且AP=°AC,求直線族與平面AC。所成角的正弦值.

4

【試題來源】浙江省紹興市第一中學(xué)2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末

3

【答案】（1）證明見解析；（2）班.

7

【分析】（1）取3。中點(diǎn)。，連接AO，0C,證明BD_L平面AOC即可；

（2）首先證明AO_L平面BOC,然后以射線OB,0C，。。為工，》，z正半軸建系,

然后算出BP和平面ACD的法向量即可得到答案.

【解析】（1）取8力中點(diǎn)。，連接AO，0C，因?yàn)锳8=4），BC=DC,

所以BO_LAO，BD上0C，因?yàn)?0口。。=0,所以8OJ,平面40C，

即8。_14c.

（2）由（1）得，BO_L平面A0C，因?yàn)锽Du平面8c。，

所以平面AOC_L平面BDC，

易得人。=石，OC=1,所以AO2+OC2=AC2,即AO_LOC，

因?yàn)槠矫?0CI平面MC=0C，所以AO_L平面8DC,

—3V3

BP=-1,-,—，DA=(1,0,73),DC=(1,1,0),

設(shè)萬(wàn)=（x,y,z）為平面ADC?個(gè)法向量,

ri?DA=0X+y/3z=Q

則包取”(—3,3,Q),

n-DC=0x+y=0

4

3

3+-

nBP十二4G

設(shè)。為直線BP與平面ACZ）所成角，貝|」卜后夕|=

史r

后

2

即直線BP與平面ACD所成角的正弦值為遞.

7

3.在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，NBV）=60。，點(diǎn)E是邊43的中點(diǎn)（如圖1）,將DADE

沿DE折起到的位置，連接48,4。，得到四棱錐A—8CDE（如圖2）

（1）證明：平面平面BCOE；

（2）若AE_LBE,連接CE,求直線CE與平面AC。所成角的正弦值.

【試題來源】廣東省廣州市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析，（2）叵.

14

【分析】（1）連接圖1中的80,證明然后證明OEJL平面48E即可；

（2）證明REJ.平面BCOE，然后以E為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，然后利用向量

求解即可.

【解析】（1）連接圖1中的30,

因?yàn)樗倪呅蜛BC。為菱形，且/血＞=60。

所以△A5O為等邊三角形，所以。石_LAB

5

所以在圖2中有因?yàn)锽EcAE=E

所以O(shè)E_L平面4BE,因?yàn)镈EuBCDE，所以平面人由石，平面BCDE

（2）因?yàn)槠矫鍭3E_L平面BCDE,平面人乃七。平面8cM：=BE,AIE1BEt

AEuABE,所以AEJ■平面3c￡>E,

以E為原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，

所以A（O,O1）,C（2,>/5,O）,D（O,省,O）,E（O,O,O）,

所以麗=（0,6,-1）,而=（2,石，-1）,沅=（2,百,0）,

n-A^D=>/3y-z=0

設(shè)平面A。。的法向量為7=（%y,z），則,

n-AyC=2x+\/3y-z=0

令y=l,則7（0/詞，所以c<4,即福=^=筌

所以直線CE與平面4。。所成角的正弦值答

4.已知三棱錐P—ABC中，PA=PB=PC=T,三棱錐Q—ABC中IQAB,UQBCt

VQC4為全等的等邊三角形，Q4二JE.

（1）證明：尸。，平面A5C；

（2）求直線QB與平面APQ所成角的正弦值.

6

【試題來源】“超級(jí)全能生”2021屆高三全國(guó)卷地區(qū)1月聯(lián)考試題（丙卷）（理）

【答案】（1〉證明見解析；（2）y.

【分析】（I）設(shè)AB的中點(diǎn)為O,連接CO,在CD上取點(diǎn)M，使得CM=2MD,連接

PM，QM.可得尸M_L平面ABC,?平面A3C，即可得出結(jié)果.

（2）由（I）可知尸CJ_平面上鉆，PALPB，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA,PB,PC所

在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，即可得出結(jié)果.

【解析】（1）設(shè)AB的中點(diǎn)為Q,連接8,在。。上取點(diǎn)M，使得CM=2MD,連接

PM，QM.

因?yàn)閰?P3=PC=1,AB=BC=CA=y/2^

所以△PA8，口尸BC，VPC4是全等的等腰直角三角形，

PC1PA,PCA.PB,PACPB=P,所以PC_L平面R43.

又ABi平面B4B,所以PC_LA5.

因?yàn)榭?5。為等邊三角形，所以COJ.A3.

又PCnCD=C,所以ABJ_平面PC。，

又尸Mu平面PCO，所以

同理，PM上BC，ABcBC=B，所以PM_L平面A8C.

因?yàn)镼￡）_LA8,QDcCD=D,所以A5_L平面。8,且QMu平面QCO,

所以QM_LAB.同理，QM上BC,ABcBC=B，所以QM，平面ABC，

所以尸，。，M三點(diǎn)共線，所以尸。，平面ABC.

7

(2)由(1)可知PCJL平面BA4，PAA.PB，以點(diǎn)尸為坐標(biāo)原點(diǎn)，PA,PB,PC所

在直線分別為x,y,z軸建立如圖所示的空間宜角坐標(biāo)系，

則A(1,O,O),B(OJO),尸(0,0,0),

所以BQ=(l,0,l),PA=(1,0,0),P0=(U,1).

設(shè)平面APQ的法向量為。=(x,j,z),

x=0,

n-PA=0Qx=0,+Z=0解得J

則《一y即

nPQ=0,y=-z,

令z=i，則y=-i,所以為=(o,—1,1).

rUUU

2〃BQ11

設(shè)門線QB與平面APQ所成角為e,則

5.如圖，在四棱錐P—A8CO中，四邊形ABC。為直角梯形，AD//BC，ZADC=9O°,

平面PADS,平面ABCD,QM分別為A。，PC的中點(diǎn)

PA=PD=AD=CD=2BC=2.

8

（1）求證：8。_1_平面尸。8；

（2）求二面角—P的余弦值.

【試題來源】河南省中原名校2020-2021學(xué)年高三下學(xué)期質(zhì)量考評(píng)一（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）1L垣.

217

【分析】（1）先證四邊形5cOQ為矩形.再證BC_LPQ,由線面垂直的判定定理即可證

明直線BC_L平面PQB：（2）建立空間坐標(biāo)系，分別求出平面ABM和平面PBM的法向最，

結(jié)合向量夾角公式求解即可.

【解析】（1）因?yàn)椤锳D的中點(diǎn)，BC=-AD,所以3C=Q￡>,

2

因?yàn)锳O//8C，所以四邊形為平行四邊形.

因?yàn)镹AOC=90°，所以四邊形8c。。為矩形，所以8C_L8Q.

因?yàn)镽4=PD,AQ=QD,所以PQ_LA。，

因?yàn)锳D〃BC，所以BC_LPQ.

因?yàn)槭?3。=。，所以平面PQB.

（2）因?yàn)槠矫婷?gt;_L平面A3c。，結(jié)合（1）易知QA，QB,QP兩兩垂直，

以。為原點(diǎn)，QA,QB,QP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

因?yàn)椤?。的中點(diǎn)，PA=PD=AD=CD=2BC=2,

因?yàn)樵赗tZXPQA中，PQ==也7=百，BQ=CD=2,

9

所以A（l,0,0）,3（0,2,0）,C（-l,2,0）,P（0,0,G）,

因?yàn)镸為PC的中點(diǎn)，所以“（一!，1,4.

22

ULUUUU'

所以43=（-1,2,0）,BM,PB=（0,2,-x/3）

m?AB=一%+2y=0

r

設(shè)平面ABM的法向量為相=(X，M，zJ,由＜m?BM=X-y+2=0

4r（專）為平面ABM的一個(gè)法向量，

令y=1,得％=2,Z]=—j=,即機(jī)=2,1,

V3I

n-PB=2y2-=0

設(shè)平面PBM的法向量為。=(9,%*2)，由，

n?BM=--^x2—y2--z2=0

令馬=5得%="1rf3

,x2=0,即〃=10,—,為平面PBM的一個(gè)法向量,

設(shè)二面角A—8W—尸為。，由題意，可得，

\m-n\11VH7

所以cos0=

陶?向217

即二面角A—BW—尸的余弦值為

217

【名師點(diǎn)睛】本題的核心在考查空間向量的應(yīng)用，需要注意以下問題：

(1)求解本題要注意兩點(diǎn)：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用

方程思想進(jìn)行向量運(yùn)算，要認(rèn)真細(xì)心，準(zhǔn)確計(jì)算.

(2)設(shè)沅,弁分別為平面a,萬(wàn)的法向量，則二面角。與＜沅,討＞互補(bǔ)或相等，求解時(shí)一定

要注意結(jié)合實(shí)際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角.

6.如圖長(zhǎng)方體45CO—AqGA中，AB=AD=\,AA=2,點(diǎn)E為。。的中點(diǎn).

10

（1）求證：平面4CE；

（2）求證：上用，平面ACE；

（3）求二面角A—CE—G的余弦值.

【試題來源】北京市2021屆高三年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科綜合能力測(cè)試試題

【答案】（1）見解析（2）見解析（3）-立

3

【分析】（1）作輔助線，由中位線定理證明?！?/8。，再由線面平行的判定定理證明即可；

（2）連接80,AB.,由勾股定理證明￡81_L0E,EB.1AE,再結(jié)合線面垂直的判定定

理證明即可；（3）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值即可.

【解析】（1）連接5。交AC與點(diǎn)。，連接OE，

???四邊形ABC。為正方形，...點(diǎn)。為BO的中點(diǎn)，

又點(diǎn)E為。。的中點(diǎn)，??.OE〃8R,

?.?OEu平面ACE,千面ACE,〃平面ACE

（2）連接與。,AB.,

11

則B02=OE2+EB；,

0E=}EB}±OE,

2

同理可證用爐+AE?=A8；,/.EBX±AE,

AEcOE=E,AE,OEu平面ACE,EB[±平面ACE：

(3)建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

A(l,O,O),C(OJO),E(O,O,l)，G(0J2),馬(1J2)

顯然平面CGE的法向量即為平面yOz的法向量，不妨設(shè)為麗=(1,0,0),

由(2)可知七旦平面4CE,即平面ACE的法向量為乃=甌=(1』,1),

/__\mn&

COS〈〃M=ET]=W又二面角A—C￡—G是鈍角,

件1利3

???二面角A-CE-Q的余弦值為一B

3

【名師點(diǎn)睛】在第?問中，關(guān)鍵是利用中位線定理找到線線平行，再由定義證明線面平行;

12

在第二問中，關(guān)鍵是利用勾股定理證明線線垂直，從而得出線面垂直；在第三問中，關(guān)鍵是

建立坐標(biāo)系，利用向量法求面面角的余弦值.

7.如圖1,在矩形A3CQ中，3c=2AB=2,E是中點(diǎn),將ACQE沿直線CE翻折

到△CPE的位置，使得=如圖2.

-E￡）

\0N

L-------------------------jJBC

BC

圖1圖2

（1）求證：面尸CE1面4BCE；

（2）求PC與面ABP所成角的正弦值.

【試題來源】浙江省金華市武義第三中學(xué)2021屆高三下學(xué)期2月月考

【答案】（1）證明見解析；（2）如空.

11

【分析】（1）連結(jié)鹿，可得BELEC,結(jié)合兩圖，可得砥_LEC,BE工PE，又

ECcPE=E,根據(jù)線面垂直的判定定理證得BE_L面尸再利月面面垂直的判定定理

證得結(jié)果：（2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以4民AE直線為x軸，》軸，以經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于平

面ABCE的直線為z軸建立H角坐標(biāo)系，利用自線的方向向量，J平面的法向量所成角的余

弦值的絕對(duì)值得到結(jié)果.

【解析】（1）連結(jié)8石,

由圖1可得3E_LEC,在圖2中;BE=6,PE=\,PB=6,:.BEA.PE,

13

又?；ECCPE=E；.BE上面PEC,「.BEu面4BCE：.面PCEL直/BCE；

<2）以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AB,AK直線為x軸，y軸，以經(jīng)過點(diǎn)A且垂直于平面A5CE

的直線為z軸建立直角坐標(biāo)系.

由題意可知，B（l,0,0）,C（l,2,0）,E（0,l,0）,PL

AP=—，^，-^,AB=（1,0,0）,設(shè)面A8P的法向量為。=（x,y,z）,

則?/嘉一:，令丁=夜,得z=-3,所以萬(wàn)=（O,后,-3）,PC=一去

sin<9=|cos（PC,/i）

?\7匕\PC\@x\n\11

所以直線PC與面A放所成角的正弦值為2叵.

11

【名師點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)立體幾何的問題，解題方法如下：

（1）結(jié)合平面幾何的知識(shí)得到線線垂直，利用線面垂直的判定定理證得線面垂直；

（2）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求得平面的法向量和直線的方向向量，求得其所成角的余弦值，

進(jìn)而得到線面角的正弦值.

8.如圖，圓。的半徑為4,A3、CO是圓。的兩條互相垂直的直徑，P為OA的中點(diǎn),

EF//CD.將此圖形沿著E尸折起，在翻折過程中，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為A.

（1）證明：A}B1CD-

（2）當(dāng)/人尸5=與時(shí)，求二面角A-8C-尸的正弦值.

14

c

【試題來源】遼寧省名校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三3月份聯(lián)合考試

【答案】（1）證明見解析；（2）叵0.

55

【分析】（1）證明出COJ?平面進(jìn)而可得出AB_LCD：

（2）過。作直線/_L平面8CO,在/上取點(diǎn)。（異于點(diǎn)0）,以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。。、

OB、。。所在直線分別為X、y、Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法結(jié)合同角二

角函數(shù)的基本關(guān)系可求得二面角A-8C-P的正弦值.

【解析】（1）折疊前，因?yàn)锳3_LCD,8〃痔，則A8_L防，

折疊后，對(duì)應(yīng)地，有尸，PB工EF，

因?yàn)镋F//CD,所以CDLPA，CD.LPB,

-PA.C\PB=Pt所以，CCFffiiAPB,

因?yàn)锳8u平面所以A5J_CD；

（2）過。作直線/J_平面5CD,在/上取點(diǎn)。（異于點(diǎn)O）,

設(shè)二面角A-BC-P為。，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD、OB、。。所在直線分別為彳、》、

z軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系。-孫z,

15

則8(0,40)、C(-4,0,0),且當(dāng)以尸8=會(huì)時(shí)，40,-3,網(wǎng)，

所以而=(?0),甌=(0,-7,⑹,

_fn-BC=-4x-4y=0

設(shè)平面ABC的法向量為相二(x,y,z),則〈一廣，

mB\=-7y+V3z=0

令x=JJ，則>=一6，z=-7,所以“=(6,-6,-7),

\m-n\7\J/55

因?yàn)槠矫?8的一個(gè)法向量為G=(0,0,1),則|cos回=上吊=一土一，

網(wǎng)?〃55

因此，sin8=71-cos20=

55

【名師點(diǎn)睛】利用空間向量法求解二面角的步驟如下：

(1)建立合適的空間百角坐標(biāo)系,寫出二面角對(duì)應(yīng)的兩個(gè)半平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)：

(2)設(shè)出法向量，根據(jù)法向量垂直于平面內(nèi)兩條直線的方向向量，求解出平面的法向量(注：

若半平面為坐標(biāo)平面，直接取法向量即可)；

(3)計(jì)算(2)中兩個(gè)法向量的余弦值，結(jié)合立體圖形中二面角的實(shí)際情況，判斷二面角是

銳角還是鈍角，從而得到二面角的余弦值.

9.如圖，四棱錐P-ABCI)的底面A8CO內(nèi)接于半徑為2的圓。，A8為圓。的直徑，

AB//CD,2DC=AB,E為A5上一點(diǎn)，且PE_L平面ABCZ),EO二百.

(1)求證：PAIDE^

⑵若直線心與平面工抽。所成的角町，求二面角的余弦值.

【試題來源】2021年新高考測(cè)評(píng)卷數(shù)學(xué)(第一模擬)

【答案】(1)證明見解析；(2)竺叵.

35

16

【分析】（1）連接C0,利用已知條件得到四邊形ADC。是平行四邊形，連接。。，得到

△48為等邊三角形，利用條件得到再利用彼面垂直關(guān)系得到PE_LDE，

利用線面垂直的判定定理得到OE_L平面PAE，進(jìn)而可得結(jié)論.

（2）由（1）可知EO，EB，EP兩兩垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系七一巧得到相關(guān)

向量的坐標(biāo)，求出平面P燈）與平面P8C的法向量〃1,%，利用cos（/,〃2）得到二面角

C—PB—。的余弦值.

【解析】（1）連接CO,因?yàn)锳5〃CO，2DC=AB,

AO//CD,且40=8,所以四邊形AOCO是平行四邊形.

連接。。，因?yàn)閳A。的半徑為2,所以AO=OC="=AO=EQ=2,

所以△AOD為等邊三角形，所以在△AOD5,AO邊.上的高為ADsinW=2sing=V5.

因?yàn)镋D=￡，所以O(shè)E為A0邊上高，所以。E1AO.

因?yàn)槭珽_L平面48c。，D￡u平面A8CO,所以PE工DE，

乂DE上AE,AE，PEu平面ME，且AEcPE=E,

所以叱《￡平面P4E.因?yàn)?u平面PAE，所以R4J_DE.

（2）由尸E_L平面A3C￡）可知，N尸斑;為直線PB與平面A3CD所成的角，

所以NPBE=上,因?yàn)镻E=EB=3.又由（1）知，ED，EB，EP兩兩垂直，

4

如圖，可以以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，以ED，EB,砂所在直線分別為X,丁，z軸建立空間直

角坐標(biāo)系七一年.

17

則8(0,3,0),c(x/3,2,o),O卜§0,0),P(0,0,3),

所以BO二(石,一3,0),PS=(O,3,-3),8C=(g,-1,0).

BDn=0,

設(shè)平面P8D的法向量為1=(5，則?y

PB?%=0,

V3x,-3yi=0,得I”令y=i,則二⑼,1).

3M—3Z]=0,y=4，

BD^=0,

設(shè)平面P8C的法向量為%=(電，刈/2)，則，

麗?元=0,

““為,令-=1,則必=6,馬=5所以丐=(1,乙⑹.

得《

3y2—3Z2=0,

363x/105

所以尸同同二及后二

8sgz35

易知二面角C-PB—D為銳二面角,

所以二面角C—PB—。的余弦值為竺史.

35

【名師點(diǎn)睛】解決二面角相關(guān)問題通常用向量法，具體步驟為

(1)建坐標(biāo)系，建立坐標(biāo)系的原則是盡可能的使得已知點(diǎn)在坐標(biāo)軸上或在坐標(biāo)平面內(nèi)；

(2)根據(jù)題意寫出點(diǎn)的坐標(biāo)以及向量的坐標(biāo)，注意坐標(biāo)不能出錯(cuò).

(3)利用數(shù)量積驗(yàn)證垂直或求平面的法向量.

(4)利用法向量求距離、線面角或二面角.

10.如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PBC1平面

ABCD,/PBC=90°,ADHBC.ZABC=90°,2AB=2AD=41CD=BC=2

(1)求證：8_1_平面尸瓦)：

18

（2）若直線尸。與底面A8C￡＞所成的角的余弦值為上，求二面角A-PC-的正切值.

3

【試題來源】貴州省新高考聯(lián)盟2021屆高三下學(xué)期入學(xué)質(zhì)量監(jiān)測(cè)（理）

【答案】（1）證明見解析；（2）72.

【分析】（1）由于2A3=24￡）=&8=8。=2根據(jù)勾股定理可得。￡）_103,再由面

面垂直性質(zhì)定理可得P8_LCO即可證CQ_L平面尸比＞：（2）以8為原點(diǎn)，BC,BP,BA分

別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求二面角的余弦值，轉(zhuǎn)化為正弦即可.

【解析】（1）在四邊形A3CD中，AD//8C,ZABC=90°,2AB=2AD=辰D=BC，

所以口ABODBCD都為等腰直角三角形，即CZ）_LO5,

因?yàn)槠矫鍼BC1平面ABCD,NPBC=90°,平面PBCfl平面ABCD=BC,

所以直線PBJ_平面48CO、又CDu平面ABCO,所以PBLCD,

又PBcBD=B，所以8J_平面2以）.

（2）以8為原點(diǎn)，8c,8P,8A分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

設(shè)=2,則，AB=1,CD=8。=&,

因?yàn)橹本€尸。與底面A5CD所成的角的余弦值為也，

3

所以在RtZXPBD中，cos/尸拉B=—=—t^PD=yf61PB=2.

PD3

設(shè)平面尸8c和平面PQC法向量分為為西％易知可取加=（0,0,1）,

19

因?yàn)闊o(wú)=(2,-2,0),反=(1,0,-1),所以｛—「解得乃=(1,1,1),

DC-/?=()

ffi?H]

設(shè)所求二面角為仇所以cos<9=?一廣〒，BPtan6>=V2.

\fn\-\n\J3

【名師點(diǎn)睛】涉及異面直線所成的角，線面角，二面角的問題，一般可以建立適當(dāng)直角坐標(biāo)

系，利用向量的夾角坐標(biāo)公式求解，屬于中檔題.

11.如圖，平面力8co_L平面48E,AD//BC,BC上AB,AB=BC=2AE=2tF為CE上一點(diǎn),

^.BFL^ACE.

(1)證明：4E_L平面8CE；

(2)若平面與平面CQE所成銳二面角為60。，求40.

【試題來源】廣東省湛江市2021屆高三一模

【答案】(1)見解析；(2)叵

3

【分析】(1)由平面48co_L平面N5E證明8C_L面力8七，得至UBC1AE,由平面ACE,

得到B/LL/E,從而證明4E_L平面8CE.(2)過4作垂直4。，以否為x軸正方向，

以通為N軸正方向，以而為z軸正方向，建立直角坐標(biāo)系，用向量法計(jì)算可得?

【解析】3)因?yàn)槠矫媪?COJ_平面48為平面力8C0和平面力8七的交線，BCA.AB,

所以BC_L面48區(qū)所以8C_U￡又B/LL平面力CE,所以8RL4E;

又BCCBF=B，所以/E_L平面8CE.

(2)如圖示，過力作祗垂直48,以否為x軸正方向，以通為y軸正方向，以而為z

軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(0,0,0),B(0,2,0),￡亭;,o1,C(0,2,2),0(0,0,m),

20

所以屋=j一等,|,2,CD=(O,-2,^-2),

[府8=0[0xx-2y+(/n-2)z=0

不妨取z=2,則加=［，3EI-7,利2,2,

顯然平?面的一個(gè)法向量n-BC=（0,0,2）,

______________4______________

=cos60°

J石加+^^+(/n-2)2+4x2

解得片巫.故力。長(zhǎng)為姮.

33

【名師點(diǎn)睛】立體幾何解答題的基本結(jié)構(gòu)：

（1）第一問一般是幾何關(guān)系的證明，用判定定理：

（2）第二問是計(jì)算，求角或求距離（求體積通常需要先求距離），通常可以建立空間直角坐

標(biāo)系，利用向量法計(jì)算.

12.如圖所示多面體A8CQE尸中，平面ADE_L平面ABC。，CVJ_平面A8CO,QADE

是正三角形，四邊形ABCD是菱形，AB=2,CF=5ZBAD=^.

21

（1）求證：EF〃平面ABCD；

（2）求二面角七—A產(chǎn)一。的正弦值.

【試題來源】山東省濟(jì)寧市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析；（2）叵

8

【分析】（1）要證明線面平行，需線證明信線線平行，過點(diǎn)E作EO_LAD交AO于點(diǎn)。，

連接OC，可證明四邊形EOCV是平行四邊形，即可證明線面平行；（2）以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求兩個(gè)平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值,

再求正弦值.

【解析】（1）過點(diǎn)E作七O_LAO交于點(diǎn)。，連接。8,OC，BD

因?yàn)槠矫鍭DEL平面488,平面ADED平面ABCD=AD,

EOu平面AOE，所以EOJ■平面A5C￡），

又口4）后是正三角形，AZ>=2,所以七。=追，

因?yàn)镃/_L平面ABC。，CF=6所以CF〃OE,CF=OE,

所以四邊形OCFE為平行四邊形，所以O(shè)C//EF,

因?yàn)镺Cu平面A5CD，即0平面438,所以所〃平面A8CD；

JT

（2）因?yàn)樗倪呅蜛3CO是菱形，AB=2,/BAD=-,OBVAD

3

故，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以方，OB，3后的方向?yàn)榇屋S，y軸，z軸的正方向,

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

22

所以A(1,O,O),B(0,73,0),C(-2,V3,0),￡>(-1,0,0),E(0,0,V3),網(wǎng)—2,6,6).

所以理二(一1,0,6),EF=(-2,x/3,0),05=(1,73,0),

設(shè)平面AEF的一個(gè)法向量為n=(x,y,z),

n-AE=0\-x+>/3z=0廠[y=2r(r\

由《一得〈L,令X=6,得〈I，所以〃=(6,2』)，

[萬(wàn).所=0田+傷=0[Z=117

因?yàn)閎1平面ABC。所以CFLBD^

在菱形ABC。中，BO_LAC，又C〃nAC=C所以80J_平面ACF，

所以而是平面ACF的一個(gè)法向量,

設(shè)二面角七一AF—C的大小為夕

則8砰I叫/r"U扃LMX|麗|D?二.S|金|百+膏2百I=丁后，

所以sin6=71-cos20-.

8

【名師點(diǎn)睛】求二面角的方法通常有兩個(gè)思路：

一是利用空間向量，建立坐標(biāo)系，求得對(duì)應(yīng)平面的法向量之間夾角的余弦值，再判斷銳二面

角或鈍二面角，確定結(jié)果，這種方法優(yōu)點(diǎn)是思路清晰、方法明確，但是計(jì)算量較大；

二是傳統(tǒng)方法，利用垂直關(guān)系和二面角的定義，找到二面角對(duì)應(yīng)的平面角，再求出二面角平

面角的大小，這種解法的關(guān)鍵是找到平面角.

13.如圖，在四棱錐S-MS中，SA=SB=SC=SD=\3,AC1CD,AB=6,BO=8.

(1)求證：平面SAO_L平面488；

23

（2）求二面角A-SB-。的余弦值.

【試題來源】廣東省深圳市2021屆高三一模

【答案】（1）證明見解析；（2）-」畫

170

【分析】（1）取AO的中點(diǎn)0,連接SO,0C，可得SO_LAD，利用直角三角形的性質(zhì)

可得OC=OD，即可證明「SOCHS。。，進(jìn)而可得SO_LOC，利用線面垂直的判定定

理可證SOJ■平面A8CO，利用面面垂直的判定定理即可求證；（2）先證明

RtQSOA=Rt]SOB,OA=OB=OC=OD,可得AO為四邊形A8C￡＞外接圓的直徑，

進(jìn)而可得SO和AO的長(zhǎng)，以8為原點(diǎn)，80,8A所在的直線為軸，過點(diǎn)8與5。平行

的直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面ABS的一個(gè)法向量和平面S3。的一個(gè)法向量,

利用空間向量夾角的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.

【解析】取AO的中點(diǎn)。，連接SO,OC，因?yàn)镾A=SO,所以S0J_4），

因?yàn)?C_LC。，。為AO的中點(diǎn)，所以O(shè)C=，40=00,

2

因?yàn)镾O=SO,SC=SD,所以口SOC立SOD,

所以NSOC=NSOD=90°，所以SO_LOC，

因?yàn)镺Cu平面ABC。，OOu平面ABC。，

所以SOJL平面A3CO,因?yàn)镾。u平面必D，所以平面SAO_L平面ABC。：

（2）由（1）知SO_L平面ABC。，所以SO_L3O,在RtUSOA和RQSOB中,由

SO=SO,SA=S3可得RlUSOA^RtJSOB，所以O(shè)A=,即04=。3=OC=QD，

所以A況。,。在以。為圓心的圓上，

由AC_LCD可得AO為四邊形ABCD外接圓的直徑，

24

AZ)=V6F+8F=10*AO=5,5O=V132-52=12*

以8為原點(diǎn)，3。,84所在的直線為乂y軸，過點(diǎn)B與S。平行的直線為z軸建立空間直角

坐標(biāo)系，則A(0,6,0),5(0,0,0),D(8,0?0),0(4,3,0),5(4,3,12),麗=(0,6,0),

麗二（8,0,0）,麗=（4,3.12）,設(shè)平面"S的一個(gè)法向量而=（芭」,4）,

in-BA=6y=0

1令玉=3,可得％=-1,X=0,所以加=(3,0,—1),

in-BS=4再+3y}+12z,=0

設(shè)平面SBD的一個(gè)法向量為n=lX，y2,z2）,

n-BS=+3y,+12z,=0,八一一小，\

則〈一~八~~令必=4,則馬=—1,占=0,所以〃=（0,4,—1）,

［無(wú)80=8/=。V7

/---\mn1J170

所以"〃"麗

因?yàn)槎娼茿—S8—。的平面角為鈍角，

所以二面角A—S3—。的余弦值為一'畫.

170

（4）向量方法：證明兩個(gè)平面的法向量垂直，即法向量數(shù)量積等于0.

14.如圖，在四棱錐P—ABCO中，底面ABC。為梯形，PA=PD=2&，

DC=AD=2AB=4,ABA.AD,ABI/CD,平面24￡>_L平面A3CO,E為棱PB工

一點(diǎn).

（1）在平面BAB內(nèi)能否作一條直線與平面PAD垂直？若能，請(qǐng)畫出直線并加以證明：若

不能，請(qǐng)說明理由；

25

PE