高等數(shù)學(xué)簡(jiǎn)明教程第4版第1章函數(shù)與極限預(yù)備知識(shí)

區(qū)間區(qū)間是高等數(shù)學(xué)中常用的實(shí)數(shù)集,包括四種有限區(qū)間和五種無(wú)窮區(qū)間.1.有限區(qū)間設(shè)a,b為兩個(gè)實(shí)數(shù),且a<b,則滿足不等式a≤x≤b的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為一個(gè)閉區(qū)間,記作[a,b]={x|a≤x≤b}類似地,有開(kāi)區(qū)間和半開(kāi)區(qū)間(a,b)={x|a<x<b}[a,b)={x|a≤x<b}(a,b]={x|a<x≤b}2.無(wú)窮區(qū)間滿足不等式-∞<x<+∞的所有實(shí)數(shù)x的集合稱為無(wú)窮區(qū)間,記作(-∞,+∞)={x|-∞<x<+∞}類似地,有半無(wú)窮區(qū)間(a,+∞)={x|a<x<+∞}[a,+∞)={x|a≤x<+∞}(-∞,b)={x|-∞<x<b}(-∞,b]={x|-∞<x≤b}鄰域設(shè)δ>0,x0為實(shí)數(shù),則集合{x||x-x0|<δ}稱為x0的δ鄰域.由|x-x0|<δ即x0-δ<x<x0+δ可知,x0的δ鄰域是以x0為中心,長(zhǎng)度為2δ的開(kāi)區(qū)間(x0-δ,x0+δ).剛起步的學(xué)生需要知道比事實(shí)和技巧更多的東西:吸收一種數(shù)學(xué)的世界觀,一組判斷問(wèn)題是否有意思的準(zhǔn)則,一種向別人傳遞數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)熱情和數(shù)學(xué)味道的方法.

格列夫斯本章將在復(fù)習(xí)和加深函數(shù)有關(guān)知識(shí)的基礎(chǔ)上著重討論函數(shù)的極限,并介紹函數(shù)的連續(xù)性.函數(shù)是一種反映變量之間相依關(guān)系的數(shù)學(xué)模型.在自然現(xiàn)象或社會(huì)現(xiàn)象中,往往同時(shí)存在幾個(gè)不斷變化的量,這些變量不是孤立的,而是相互聯(lián)系并遵循一定的規(guī)律.函數(shù)就是描述這種聯(lián)系的一個(gè)法則.比如,一個(gè)運(yùn)動(dòng)著的物體,它的速度和位移都是隨時(shí)間變化而變化的,它們之間的關(guān)系就是一種函數(shù)關(guān)系.函數(shù)1.1.1函數(shù)的定義定義1設(shè)x,y是兩個(gè)變量,D是給定的一個(gè)數(shù)集,若對(duì)于D中的每一個(gè)x值,根據(jù)某一法則f,變量y都有唯一確定的值與它對(duì)應(yīng),那么,我們就說(shuō)變量y是變量x的函數(shù).記作y=f(x),x∈D式中x稱為自變量,y稱為因變量.自變量x的變化范圍D稱為函數(shù)y=f(x)的定義域,因變量y的變化范圍稱為函數(shù)y=f(x)的值域.為了便于理解,可以把函數(shù)想象成一個(gè)數(shù)字處理裝置.當(dāng)輸入(定義域的)一個(gè)值x,則有(值域的)唯一確定的值f(x)輸出,如圖1-1所示。函數(shù)的定義域、對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)的兩個(gè)要素.關(guān)于函數(shù)的定義域,在實(shí)際問(wèn)題中應(yīng)根據(jù)實(shí)際意義具體確定.如果討論的是純數(shù)學(xué)問(wèn)題,則往往取使函數(shù)的表達(dá)式有意義的一切實(shí)數(shù)所組成的集合作為該函數(shù)的定義域.圖1-1

1.1.2函數(shù)的表示法常用的函數(shù)表示法有三種:1.表格法將自變量的值與對(duì)應(yīng)的函數(shù)值列成表的方法,稱為表格法.例如,平方表、三角函數(shù)表等都是用表格法表示的函數(shù)關(guān)系.2.圖像法在坐標(biāo)系中用圖形來(lái)表示函數(shù)關(guān)系的方法,稱為圖像法.例如,氣象臺(tái)用自動(dòng)記錄儀把一天的氣溫變化情況自動(dòng)描繪在記錄紙上,如圖1-2所示.根據(jù)這條曲線,就能知道一天內(nèi)任何時(shí)刻的氣溫了。圖1-2將自變量和因變量之間的關(guān)系用數(shù)學(xué)式子來(lái)表示的方法,稱為公式法.這些數(shù)學(xué)式子也稱為解析表達(dá)式.函數(shù)的解析表達(dá)式分三種,由此函數(shù)也可分為顯函數(shù)、隱函數(shù)和分段函數(shù).(1)顯函數(shù)函數(shù)y由x的解析式直接表示出來(lái).例如,y=x2-1.(2)隱函數(shù)函數(shù)的自變量x和因變量y的對(duì)應(yīng)關(guān)系是由方程F(x,y)=0來(lái)確定.例如,y-sin(x+y)=0.(3)分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi),具有不同的解析表達(dá)式.例如,函數(shù)其圖像如圖1-3所示.再如,符號(hào)函數(shù)其圖像如圖1-4所示.圖1-3圖1-4有些分段函數(shù)也用一些特殊的符號(hào)來(lái)表示.例如,整函數(shù)y=[x],其中[x]表示不大于x的最大整數(shù),如[3.14]=3;[-0.2]=-1.整函數(shù)的部分圖像如圖1-5所示.需要注意的是:分段函數(shù)在整個(gè)定義域上是一個(gè)函數(shù),而不是幾個(gè)函數(shù).

圖1-51.1.3函數(shù)的幾種特性1.函數(shù)的奇偶性設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域D關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且對(duì)任意x∈D均有f(-x)=f(x)，則稱函數(shù)f(x)為偶函數(shù)；若對(duì)任意x∈D均有f(-x)=-f(x)，則稱函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，如圖1-6a所示；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，如圖1-6b所示。圖1-62.函數(shù)的單調(diào)性若函數(shù)y=f(x)區(qū)間(a，b)內(nèi)的任意兩點(diǎn)x1，x2，當(dāng)x2>x1時(shí)，有f(x2)>f(x1)，則稱此函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)增加；若有f(x2)<f(x1)，則稱此函數(shù)在區(qū)間(a，b)內(nèi)單調(diào)減少。單調(diào)增加的函數(shù)與單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù)。單調(diào)增加函數(shù)的圖像是沿x軸正向逐漸上升的，如圖1-7a所示；單調(diào)減少函數(shù)的圖像是沿x軸正向逐漸下降的，如圖1-7b所示。圖1-73.函數(shù)的有界性設(shè)D是函數(shù)y=f(x)的定義域，若存在一個(gè)正數(shù)M，使得對(duì)一切x∈D，都有|f(x)|≤M，則稱函數(shù)f(x)是有界函數(shù)，否則稱函數(shù)f(x)為無(wú)界函數(shù)。4.函數(shù)的周期性對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若存在常數(shù)T>0，使得對(duì)一切x∈D，皆有f(x)=f(x+T)成立，則稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)。大家熟悉的三角函數(shù)就是周期函數(shù)。其實(shí)，在實(shí)際應(yīng)用中會(huì)遇到許多周期函數(shù)，如電學(xué)中的矩形波(見(jiàn)圖1-8)、鋸齒波(見(jiàn)圖1-9)等。圖1-8圖1-9

1.1.4

反函數(shù)定義2給定函數(shù)y=f(x)，如果把y作為自變量，x作為因變量，則由關(guān)系式y(tǒng)=f(x)所確定的函數(shù)x=φ(y)稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù)，而y=f(x)稱為直接函數(shù)。習(xí)慣上總是用x表示自變量，y表示因變量，因此y=f(x)的反函數(shù)x=φ(y)通常也寫(xiě)成y=φ(x)。函數(shù)y=φ(x)與函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。

圖1-101.1.5

基本初等函數(shù)常數(shù)函數(shù)y=C(C是任意實(shí)數(shù))冪函數(shù)y=xα(α是任意實(shí)數(shù))指數(shù)函數(shù)y=ax(a>0，a≠1，a為常數(shù))對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0，a≠1，a為常數(shù))三角函數(shù)y=sinx，y=cosx，y=tanx，y=cotx，y=secx，y=cscx反三角函數(shù)y=arcsinx，y=arccosx，y=arctanx，y=arccotx以上六種函數(shù)統(tǒng)稱為基本初等函數(shù)。1.1.6復(fù)合函數(shù)定義3如果y是u的函數(shù)y=f(u)，u是x的函數(shù)u=g(x)，當(dāng)x在某一區(qū)間上取值時(shí)，相應(yīng)的u值使y有意義，則稱y為x的復(fù)合函數(shù)，記作y=f(u)=f(g(x))，其中x是自變量，u是中間變量。有的復(fù)合函數(shù)是多重復(fù)合，有多個(gè)中間變量。如前所述，若函數(shù)能被想象成一個(gè)數(shù)字處理裝置，那么復(fù)合函數(shù)也能被想象成若干個(gè)簡(jiǎn)單的數(shù)字處理裝置串聯(lián)起來(lái)形成的一個(gè)復(fù)雜的數(shù)字處理裝置，如圖1-11所示，其中g(shù)(x)既是第一臺(tái)裝置的輸出，又是第二臺(tái)裝置的輸入。圖1-11

引例1確定圓面積就是一個(gè)求極限的過(guò)程。我國(guó)古代三國(guó)時(shí)期(大約公元260年)的偉大數(shù)學(xué)家劉徽用圓內(nèi)接正多邊形的面積來(lái)逼近圓面積，如圖1-12所示，若用A表示圓的面積，An表示圓內(nèi)接正n邊形的面積，顯然，正多邊形的邊數(shù)n越多，正n邊形的面積An就越接近于圓的面積A。當(dāng)邊數(shù)無(wú)限增加時(shí)，正n邊形的面積An就無(wú)限接近于圓的面積A。圖1-12下面用逼近原理具體計(jì)算一個(gè)曲邊三角形的面積。引例2如圖1-13所示，計(jì)算由曲線y=x2和直線x=1，y=0圍成的曲邊三角形的面積。圖1-13

圖1-14

如圖1-15所示，當(dāng)n無(wú)限增大時(shí)，數(shù)列(1)、(2)無(wú)限地趨近于1，數(shù)列(3)無(wú)限地趨近于0，這種現(xiàn)象就是下面給出的數(shù)列極限的定義所描述的現(xiàn)象。圖1-15

表1-1

圖1-17

圖1-18

圖1-19

圖1-21

圖1-22

圖1-23

定理2

limf(x)=A的充要條件是f(x)=A+α(x)，其中α(x)是無(wú)窮小。此定理表明有極限的函數(shù)可以表示為它的極限與無(wú)窮小之和；反之，如果函數(shù)可以表示為常數(shù)與一無(wú)窮小之和，則該常數(shù)就是函數(shù)的極限。沒(méi)有任何問(wèn)題可以像無(wú)窮那樣深深地觸動(dòng)人的情感，很少有別的觀念能像無(wú)窮那樣激勵(lì)理智產(chǎn)生富有成果的思想，然而也沒(méi)有任何其他的概念能像無(wú)窮那樣需要加以闡明。希爾伯特2.無(wú)窮小的性質(zhì)(1)有限個(gè)無(wú)窮小的代數(shù)和仍為無(wú)窮小。(2)有限個(gè)無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小。(3)有界變量與無(wú)窮小之積仍為無(wú)窮小。(4)無(wú)窮小除以極限不為零的變量之商仍為無(wú)窮小。圖1-24

函數(shù)的連續(xù)性可以通過(guò)函數(shù)的圖像——曲線的連續(xù)性表示出來(lái)，即若f(x)在[a，b]上連續(xù)，則f(x)在[a，b]上的圖像就是一條連綿不斷的曲線，如圖1-25所示。圖1-25

圖1-26

圖1-27

圖1-28

圖1-29

1.3.2閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)連續(xù)函數(shù)具有以下定理:定理3

(最值定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有最大值與最小值。定理4

(有界定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在[a，b]上有界。定理5

(零點(diǎn)定理)若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(hào)，則在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0。推論1若f(a)≠f(b)，則對(duì)于f(a)與f(b)之間的任一數(shù)C，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。推論2若函數(shù)f(x)在[a，b]上的最大值與最小值分別為M和m，則對(duì)于M和m之間的任一數(shù)C，在(a，b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=C。需要注意的是:(1)若函數(shù)不是在閉區(qū)間而是在開(kāi)區(qū)間連續(xù)，以上結(jié)論不一定正確；(2)若函數(shù)在閉區(qū)間上有間斷點(diǎn)，以上結(jié)論也不一定正確。

圖1-30圖1-31例1-45試證方程e2x-x-2=0至少有一個(gè)小于1的正根。證設(shè)f(x)=e2x-x-2，因?yàn)楹瘮?shù)f(x)在[0，1]上連續(xù)，且f(0)=-1<0f(1)=e2-3>0由零點(diǎn)定理知，在(0，1)內(nèi)至少存在一點(diǎn)ξ，使得f(ξ)=0，ξ即為原方程的小于1的正根。

圖1-32

圖1-33

所以在x=0處函數(shù)間斷，此間斷點(diǎn)是第二類無(wú)窮間斷點(diǎn)，如圖1-34所示，函數(shù)的連續(xù)區(qū)間為(-∞，0)∪(0，+∞)。

圖1-34

其中Δx是自變量在點(diǎn)x0處取得的改變量，Δy