13.1軸對稱

13.1.1軸對稱

1.在生活實例中認識軸對稱圖形.(重點)

2.分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念.(重點)

3.通過豐富的生活實例認識軸對稱，能夠識別簡單的軸對稱圖形及其對稱軸.(難點)

教簪清昌

一、情境導(dǎo)入

請同學們認真觀看動畫片，聽故事，思考最后的問題.

(配合動畫講故事)故事：在小河邊的花叢中，有一只美麗的蝴蝶正在采花蜜.忽然，來

了一只蜻蜓在它面前飛來飛去，蝴蝶生氣地說：“誰在跟我搗亂？”蜻蜓笑嘻嘻地說：“你

怎么連一家人都不認識了，我是來找你玩的.”這時蝴蝶更生氣了，說道：“你是蜻蜓，我

是蝴蝶，我們怎么可能是一家呢？”于是，蜻蜓就落在了旁邊的一片葉子上，說：“這你就

不知道了吧，不僅蜻蜓、蝴蝶是一家，有些樹葉，還有我們身邊的很多物體都和我們是一家

呢(播放動畫)

思考問題：為什么蜻蜓、蝴蝶、樹葉是一家？

二、合作探究

探究點一：軸對稱圖形

［類型一］軸對稱圖形的識別

頸I下列體育運動標志中，從圖案看不是軸對稱圖形的有()

?&森1

1<()Ohna*?

(1)(2)(3)(4)

A.4個B.3個C.2個D.1個

解析：根據(jù)軸對稱圖形的概念可得(1)(2)(4)都不是軸對稱圖形，只有(3)是軸對稱圖

形.故選B.

方法總結(jié)：要確定一個圖形是否是軸對稱圖形要根據(jù)定義進行判斷,關(guān)鍵是尋找對稱軸,

圖形兩部分折疊后可重合.

【類型二】判斷對稱軸的條數(shù)

酶下列軸對稱圖形中，恰好有兩條對稱軸的是（）

A.正方形B.等腰三角形

C.長方形D.圓

解析：A.正方形有四條對稱軸；B.等腰三角形有一條對稱軸；C.長方形有兩條對稱軸；

D.圓有無數(shù)條對稱軸.故選C.

方法總結(jié)：判斷對稱軸的條數(shù)，仍然是根據(jù)定義進行判斷，判斷軸對稱圖形的關(guān)鍵是尋

找對稱軸，注意不要遺漏.

探究點二：軸對稱及軸對稱圖形的性質(zhì)

［類型一］應(yīng)用軸對稱的性質(zhì)求角度

酶如圖，一種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形/時，其中/物〃=150°,Z

6=40°,則/應(yīng)。的度數(shù)是（）

A.130°B.150°C.40°D.65°

解析：?..這種滑翔傘的形狀是左右成軸對稱的四邊形力比〃其中/胡片150。，NB=

40°,AZZ?=40o,.?./及力=360°-150°-40°-40°=130°.故選A.

方法總結(jié)：軸對稱其實就是一種全等變換，所以軸對稱往往和三角形的內(nèi)角和、外角的

性質(zhì)綜合考查.

［類型二］利用軸對稱的性質(zhì)求陰影部分的面積

畫。如圖，正方形495的邊長為4cm,則圖中陰影部分的面積為（）

A.4cm2

B.8cm2

C.12cm'

D.16cm2

解析：根據(jù)正方形的軸對稱性可得，陰影部分的面積等于正方形/靦面積的一半，???

正方形4%力的邊長為4cm,S4Z=8（cm）故選B.

方法總結(jié)：正方形是軸對稱圖形，根據(jù)圖形判斷出陰影部分的面積等于正方形面積的一

半是解題的關(guān)鍵.

［類型三］用軸對稱的性質(zhì)證明線段之間的關(guān)系

____7

硝如圖，。為△力回內(nèi)部一點，OB=~,P、火為。分別以直線4?、為對稱軸的對

稱點.

（1）請指出當N/回是什么角度時，會使得心的長度等于7?并完整說明掰的長度為何

在此時等于7的理由.

2

（2）承（1）小題，請判斷當N487不是你指出的角度時，依的長度小于7還是大于7?并

完整說明你判斷的理由.

解析：（1）連接陽、RB,根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得加=加，RB=OB,然后判斷出點AB、

*三點共線時朗=7,再根據(jù)平角的定義求解；（2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解

答.

解：⑴如圖，//比=90°時，依=7.證明如下：連接外、RB,YP、〃為。分別以直

77

線/從8c為對稱軸的對稱點，：.PB=OB=~,RB=OB=/：NABC=9Q°,:.NABP+NCBR

7

=ZABO+ZCBO=ZABC=90°,:.點、P、B、A三點共線，.*./W=2X-=7;

（2）"的長度小于7,理由如下：分90°,則點AB、斤三點不在同一直線上，

7

PB+B駿PR,,:PB+BR=2OB=2X^1,：.PR<1.

方法總結(jié)：利用軸對稱的性質(zhì)可以將線段進行轉(zhuǎn)化，然后結(jié)合三角形的任意兩邊之和大

于第三邊的性質(zhì)予以解答，總之熟記各性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

［類型四］軸對稱在折疊問題中的應(yīng)用

畫回如圖，將長方形紙片先沿虛線向右對折，接著將對折后的紙片沿虛線切向下

對折，然后剪下一個小三角形，再將紙片打開，那么打開后的展開圖是（）

解析：?.?第三個圖形是三角形，.?.將第三個圖形展開，可得《，即可排除答案AJ.?再

展開可知兩個短邊正對著，.??選擇答案D,排除B與C.故選D.

方法總結(jié)：對于此類問題，要充分發(fā)揮空間想象能力，或親自動手操作答案即可呈現(xiàn).

三、板書設(shè)計

軸對稱圖形

1.軸對稱圖形的定義；

2.對稱軸；

3.軸對稱圖形的設(shè)計方法.

夙思

這節(jié)課充分利用多媒體教學，給學生以直觀指導(dǎo)，主動向?qū)W生質(zhì)疑，促使學生思考與發(fā)

3

現(xiàn)，形成認識，獨立獲取知識和技能.另外，借助多媒體教學給學生創(chuàng)設(shè)寬松的學習氛圍，

使學生在學習中始終保持興奮、愉悅、渴求思索的心理狀態(tài)，有利于學生主體性的發(fā)揮和創(chuàng)

新能力的培養(yǎng).

13.1軸對稱

13.1.1軸對稱

教學目標

（一）教學知識點

1.在生活實例中認識軸對稱圖.

2.分析軸對稱圖形，理解軸對稱的概念.

（二）能力訓練要求

1.通過豐富的生活實例認識軸對稱，能夠識別簡單的軸對稱圖形及其對稱軸.

2.經(jīng)歷觀察、分析的過程，訓練學生觀察、分析的能力.

（三）情感與價值觀要求

通過對豐富的軸對稱現(xiàn)象的認識，進一步培養(yǎng)學生積極的情感、態(tài)度，促進觀察、分析、

歸納、概括等一般能力一和審美能力的提高.

教學重點

軸對稱圖形的概念.

教學難點

能夠識別軸對稱圖形并找出它的對稱軸.

。教學方法

啟發(fā)誘導(dǎo)法.

教具準備

師：L天安門、蝴蝶、窗花、臉譜等圖片.

2.多媒體課件.

3.投影儀.

生：剪刀、小刀、硬紙板.

教學過程

I.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

［師］我們生活在一個充滿對稱的世界中，許多建筑物都設(shè)計成對稱形，藝術(shù)作品的創(chuàng)作

4

往往也從對稱角度考慮，自然界的許多動植物也按對稱形生長，中國的方塊字中些也具有對

稱性……對稱給我們帶來多少美的感受！初步掌握對稱的奧秒，不僅可以幫助我們發(fā)現(xiàn)一些

圖形的特征，還可以使我們感受到自然界的美與和諧.

軸對稱是對稱中重要的一種，讓我們一起走進軸對稱世界，探索它的秘密吧！

從這節(jié)課開始，我們來學習第十二章：軸對稱.今天我們來研究第一節(jié)，認識什么是軸

對稱圖形，什么是對稱軸.

II.導(dǎo)入新課

［師］我們先來看幾幅圖片（出示圖片），觀察它們都有些什么共同特征.

［生甲］這些圖形都是對稱的.

［生乙］這些圖形從中間分開后，左右兩部分能夠完全重合.

［師］對稱現(xiàn)象無處不在，從自然景觀到分子結(jié)構(gòu)，從建筑物到藝術(shù)作品，甚至日常生

活用品，人們都可以找到對稱的例子.現(xiàn)在同學們就從我們生活周圍的事物中來找一些具有

對稱特征的例子.

［生丙］我們的黑板、課桌、椅子等.

［生?。菸覀兊纳眢w，還有飛機、汽車、楓葉等都是對稱的.

［師］同學們回答得真好，大家舉了這么多對稱的例子，現(xiàn)在我們來看一下下面的問題，

我們來研究一下什么是軸對稱圖形.

（演示多媒體課件）

觀察

如圖12.1.2,把一張紙對折，剪出一個圖案（折痕處不要完全剪斷），再打開這張

對折的紙，就剪出了美麗的窗花.

觀察得到的窗花和圖12.1.1中的圖形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點嗎？

（學生討論、探究）

［生甲］窗花可以沿折痕對折，使折痕兩旁的部分完全重合.

［生乙］不僅窗花可以沿一條直線對折，使直線兩旁重合，上面圖12.1.1中的圖形也

可以沿一條直線對折，使直線兩旁的部分重合.

［生結(jié)論］這些圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合.

［師］太好了！我們把這樣的圖形叫做軸對稱圖形.

即（點擊課件、屏幕顯示）：

如果一個圖形沿一直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖

5

形，這條直線就是它的對稱軸.這時，我們也說這個圖形關(guān)于這條直線（成軸）對稱.

［師］了解了軸對稱圖形及其對稱軸的概念后，我們來做一做.

（屏幕顯示）

取L張質(zhì)地較硬的紙，將紙對折，并用小刀在紙的中央隨意刻出一個圖案，將紙打開

后鋪平，你得到兩個成軸對稱的圖案了嗎？與同伴進行交流.

（學生操作、討論，教師指導(dǎo)）

［生］我們經(jīng)過操作、討論、交流得知：位于折痕兩側(cè)的圖案是對稱的，它們可以互相重

合.

［師］很好，由此我們進一步了解了軸對稱圖形的特征：一個圖形沿一條直線折疊后，折

痕兩側(cè)的圖形完全重合.

接下來我們來探討一個有關(guān)對稱軸的問題.有些軸對稱圖形的對稱軸只有一條，但有的

軸對稱圖形的對稱軸卻不止一條，有的軸對稱圖形的對稱軸甚至有無數(shù)條，大家請看屏幕.

（點擊課件）

學生討論得出結(jié)果：圖（1）有四條對稱軸；圖（2）有四條對稱軸；圖（3）有無數(shù)條

對稱軸；圖（4）有兩條對稱軸；圖（5）有七條對稱軸.

［師］大家回答得很好，看屏幕.

（演示折疊過程）

（屏幕顯示）

6

［生甲］這些圖形都是軸對稱圖形.

［生乙］可是軸對稱圖形指的是一個圖形，而這些圖形每組都是兩個圖形，能不能說兩個

圖形成軸對稱呢？

［師］乙同學的觀察能力很強，提的問題非常好.像這樣，把一個圖形沿著某一條直線

折疊，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這條直線對稱，這條直線

叫做對稱軸，折疊后重合的點是對應(yīng)點，叫做對稱點.

（屏幕顯示上圖中的兩個成軸對稱圖形的對稱點）

好，接下來我們做練習來鞏固所學內(nèi)容.

III.隨堂練習

（―）下面的圖形是軸對稱圖形嗎？如果是，你能指出它的對稱軸嗎？（圖略）（學生

口答）

［生甲］圖（1）是軸對稱圖形，它的對稱軸是過蝴蝶頭和尾的直線.

［生乙］圖（2）也是軸對稱圖形.它的對稱軸是過第一架飛機頭和尾的直線.

［生丙］圖（3）是軸對稱圖形.它的對稱軸是中間那條豎直的線.

［生?。輬D（4）不是軸對稱圖形.圖（5）是軸對稱圖形，它有四條對稱軸.

［師］大家回答得很好，看來同學們已能判斷軸對稱圖形并找出它的對稱軸了.

（二）下面給出的每幅圖中的兩個圖案是軸對稱的嗎？如果是，試著找出它們的對稱軸,

并找出一對對稱點.

7

答案：圖(1)(3)(4)中的兩個圖案是軸對稱的，圖(2)不是.其對稱軸及對稱點

如圖.

生;士

SSL

B<B'

(1)(2)(3)(4)

N.課時小結(jié)

這節(jié)課我們主要認識了軸對稱圖形，了解了軸對稱圖形及有關(guān)概念，進一步探討了軸對

稱的特點，區(qū)分了軸對稱圖形和兩個圖形成軸對稱.

V.課后作業(yè)

課本習題.

VI.活動與探究

成軸對稱的兩個圖形全等嗎？如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，那么這兩

個圖形全等嗎？這兩個圖形對稱嗎？

過程：(學生操作)在硬紙板上畫兩個成軸對稱的圖形，再用剪刀將這兩個圖形剪下來

看是否重合.再在硬紙板上畫出一個軸對稱圖形，然后將該圖形剪下來，再沿對稱軸剪開,

看兩部分是否能夠完全重合.

結(jié)論：成軸對稱的兩個圖形全等.如果把一個軸對稱圖形沿對稱軸分成兩個圖形，這兩

個圖形全等，并且也是成軸對稱的.

軸對稱是說兩個圖形的位置關(guān)系，而軸對稱圖形是說一個具有特殊形狀的圖形.

軸對稱的兩個圖形和軸對稱圖形，都要沿某一條直線折疊后重合；如果把軸對稱圖形沿

對稱軸分成兩部分，那么這兩個圖形就關(guān)于這條直線成軸對稱；反過來，如果把兩個成軸

對稱的圖形看成一個整體，那么它就是一個軸對稱圖形.

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)

第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

8

BH

i.掌握線段垂直平分線的性質(zhì).（重點）

2.探索并總結(jié)出線段垂直平分線的性質(zhì)，能運用其性質(zhì)解答簡單的問題.（難點）

教等逮昌

一、情境導(dǎo)入

如圖所示，有一塊三角形田地，48=然=10111,作四的垂直平分線切交然于〃，交AB

于￡,量得△加C的周長為17m,你能幫測量人員計算回的長嗎？

二、合作探究

探究點一：線段垂直平分線的性質(zhì)

［類型一］應(yīng)用線段型直平分線的性質(zhì)求線段的長

@D如圖，在中，45=4C=20cm,」定垂直平分AB,垂足為E,交4C于D,若叢DBC

的周長為35cm,則歐的長為（）

A.5cm

B.10cm

C.15cm

D.17.5cm

解析：???△加C的周長=比4龍+折35cm,又丁龐垂直平分仍:.AD=BD,故BC+

Z〃+G9=35cm.?.3C=/〃+〃C=20cm,A35-20=15cm.故選C.

方法總結(jié)：利用線段垂直平分線的性質(zhì)，可以實現(xiàn)線段之間的相互轉(zhuǎn)化，從而求出未知

線段的長.

［類型二】線段垂直平分線的性質(zhì)與全等三角形的綜合運用

如圖,在四邊形/靦中，AD//BC,￡為切的中點，連接"'、BE,BEVAE,延長

力￡交外的延長線于點汽

9

求證：⑴FC=AD；(2')AB=BC+AD.

解析：⑴根據(jù)和〃a1可知/4%=/即；再根據(jù)￡是切的中點可求出△?(〃的△座

根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可解答.(2)根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)判斷出46=跖即可.

證明：(X),:AD〃BC,：./ADC=2ECFJ：E是CD的中點、，：.DE=EC又?：/AEQ4CEF,

：.l\ADE^/\FCE,：.FC=AD.

②?：△ADE^/\FCE,：*AE=EF,4g〃：班工/￡,...應(yīng)'是線段〃'的垂直平分線，二

AB=BF=BC+CF.'：AD=CF,：.AB=BC+AD.

方法總結(jié)：此題主要考查線段的垂直平分線的性質(zhì)等幾何知識.線段垂直平分線上的點

到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等.

［類型三］線段垂直平分線與角平分線的綜合運用

顫1如圖，在四邊形4胸中，四與切互相垂直平分，垂足為點〃

(1)找出圖中相等的線段；

⑵如沖分別是點。到兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關(guān)系.

解析：(1)由垂直平分線的性質(zhì)可得出相等的線段；

(2)由條件可證明△/〃口△”以可得40平分/%乙根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得0E=0F.

解：⑴丁/反切互相垂直平分，Z.0C=0D,A0=0B,且AC=BC=AD=BD；

［AC^AD,

②0E=0F,理由如下：在△40C和如中，.??△10屋△業(yè)加(SSS),AZ

(A0=A0,

CAg/DAO.又YOELAC,OFLAD,:.QE=0F.

方法總結(jié)：本題是線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)的綜合，掌握它們的適用條

件和表示方法是解題的關(guān)鍵.

探究點二：線段垂直平分線的判定

畫E1如圖所示，在△/回中，AD平分NBAC,DE上AB于點、E,DRLAC于點、F,試說明

4〃與跖的關(guān)系.

解析：先利用角平分線的性質(zhì)得出再證△A5Z運△/朋，易證/〃垂直平分篦

解：4〃垂直平分叫平分/物C,DELAB,DFLAC,:"EAg/FAD,DE=DF.在

2DAE=/DAF,

△加￡和△加/中，；NAEg4AFD,：.^ADE^^\ADF,：.AE=AF,：.A,〃均在線段用的

AD^AD,

10

垂直平分線上，即直線垂直平分線段環(huán)：

方法總結(jié)：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段

的垂直平分線，解題時常需利用此性質(zhì)進行線段相等關(guān)系的轉(zhuǎn)化.

13.1.2

線段的垂

1.了解兩個圖形成軸對稱性的性質(zhì)，了解軸對稱圖形的性質(zhì).

直平分線

2.探究線段垂直平分線的性質(zhì).

的性質(zhì)

第1課時

三、板書設(shè)計

線段的垂直平分線

線段的垂直平分線的作法.

2.線段的垂直平分線性質(zhì)定理和逆定理.

3.三角形三邊的垂直平分線交于一點.

本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認

識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節(jié)課的教學效果較好，學生對所學的新知識

掌握較好，達到了教學的目的.不足之處是少數(shù)學生對線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理理

解不透徹，還需在今后的教學和作業(yè)中進一步進行鞏固和提高.

11

線段的垂

直平分線

的性質(zhì)和

判定知識

技能

1.經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程，發(fā)展空間觀察.

數(shù)學思考

2.培養(yǎng)學生認真探究、積極思考的能力。

1.經(jīng)歷探索軸對稱圖形性質(zhì)的過程，進一步體驗軸對稱的特點.

解決問題

2.探索線段垂直平分線的性質(zhì)

1.通過對軸對稱圖形性質(zhì)的探索，促使學生對軸對稱有了更進一步的認

情感態(tài)度識，活動與探究的過程可以更大程度地激發(fā)學生學習的主動性和積極性，

并使學生具有一些初步研究問題的能力

13.1.2線段的垂直平分線的性質(zhì)

第1課時線段的垂直平分線的性質(zhì)和判定

【教學目標】

【教學重難點】

1.重點：(1)軸對稱的性質(zhì).

(2)線段垂直平分線的性質(zhì).

2.難點：(1)體驗軸對稱的特征.

【課時安排】

一課時

【教學設(shè)計】

課前延伸

一、基礎(chǔ)知識填空及答案

(1)軸對稱圖形的對稱軸是一條。

(2)寫出五個成軸對稱的漢字

(3)寫出3個是軸對稱圖形的英文字母：.

K答案》(1)直線(2)例如日、中等。(3)4、￡等。

K設(shè)計說明》復(fù)習舊知，讓學生進一步的了解和掌握是軸對稱圖形和成軸對稱圖形的區(qū)

別。通過具體實例來分析，學生更容易掌握。

二、預(yù)習思考題及答案

如圖，AABC^AA7B'C關(guān)于直線MN對稱，點，、/、C'分別是點小

B、。的對稱點，猜想一下線段AT、BB'、與直線版V有什么關(guān)系？

12

N

K答案》：垂直平分

『設(shè)計說明》讓學生加深軸對稱的性質(zhì)并發(fā)展空間觀察學生通過觀察，主動思考，認

識兩個圖形關(guān)于某直線對稱的本質(zhì)特征，鼓勵學生善于觀察，勇于發(fā)現(xiàn),

敢于發(fā)表，培養(yǎng)合作意識。

課內(nèi)探究

一、導(dǎo)入新課:

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入新課

上節(jié)課我們共同探討了軸對稱圖形，知道現(xiàn)實生活中由于

有軸對稱圖形，而使得世界非常美麗.那么大家想一想，M

什么樣的圖形是軸對稱圖形呢？AIX

P

K設(shè)計說明》復(fù)習舊知。鼓勵學生積極的投入到活動中，A\

并留給學生足夠的獨立思考和自主探索的\\\

2.揭示課題，整理概念，板書/1I\

請同學們觀察圖中一些點所連線段與對稱軸的關(guān)系BVT--T—\ZB，

學生先討論，猜想后論證。

3.教師指導(dǎo)得出答案

線段的垂直平分線：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段N

的直線。

這樣，我們就得到圖形軸對稱的性質(zhì)：

如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平

分線。

軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

網(wǎng)/垂直平分.

龍乂垂直平分.

物V垂直平分.

二、[探究1]

如下圖.木條人與4?釘在一起，L垂直平分48,P,,Pz,Ps,…是L上的點，分別

量一量點P2,自，…到4與夕的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)？

探究結(jié)果：

線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.即APkBP”AP2=BP2,…

學生活動：

1.學生用平面圖將上述問題進行轉(zhuǎn)化，先作出線段/反過48中點作的垂直平分線

L,在人上取戶八8、月…，連結(jié)仍、AP,,BP,.腿、CP,.CP2-

2.作好圖后，用直尺量出4Q、BR、BP/、CP,.CP?…

討論發(fā)現(xiàn)什么樣的結(jié)論？.

用我們已有的知識來證明這個結(jié)論嗎？

學生討論給出證明.

證法一：利用判定兩個三角形全等.

如下圖，在和△叱中，

PC=PC

<ZPCA=NPCB=R"

AC=BC

=AAPC^ABPC=PA=PB.

證法二：利用軸對稱性質(zhì).

由于點C是線段的中點，將線段沿直線/對折，線段必與陽是重合的，因

此它們也是相等的.

K設(shè)計說明》探索線段垂直平分線的性質(zhì)，培養(yǎng)學生認真探究、積極思考的能力通過

舉例，獨立練習，進一步認識兩個圖形成軸對稱的本質(zhì)。

帶著探究1的結(jié)論我們來看下面的問題.

[探究2]

如下圖.用一根木棒和一根彈性均勻的橡皮筋，做一個簡易的“弓”，“箭”通過木棒

中央的孔射出去，怎么才能保持出箭的方向與木棒垂直呢？為什么？

學生活動：

1.學生用平面圖形將上述問題進行轉(zhuǎn)化?作線段/氏取其中點R過戶作￡,在/上

取點?、P-2,連結(jié)/月、AP?、BP?BP2.會有以下兩種可能.

2.討論：要使人與46垂直，AP?AP/、BP,,即應(yīng)滿足什么條件？

我們探究可以得到：

與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂直平分線上。

14

三、隨堂練習

1.在AE.BC的垂直平分線上，AB、AC、CE的長度有什么關(guān)系？AB+BD與DE有什么關(guān)系？

K點撥方法》通過垂直平分線的定理來證明

答：AB=AC=CE.理由：線段垂直平分線上的點到線段兩端點距離相等.AB+BD=DE.因

為AB=CE,BD=DC,所以AB+BD=DC+CE,即AB+BD=DE.

2.如下圖，AB=AC,MB=MC.直線AM是線段BC的垂直平分線嗎？

答：是.因為到線段兩端點距離相等的點在線段的垂直平分線上，所以A、M都在BC

的垂直平分線上，所以直線AM是線段BC的垂直平分線.

K點撥方法》通過垂直平分線的定理來證明。

［設(shè)計說明》這節(jié)課通過探索軸對稱圖形對稱性的過程，了解了線段的垂直平分線的

有關(guān)性質(zhì)，同學們應(yīng)靈活運用這些性質(zhì)來解決問題.

四、課時小結(jié)

這節(jié)課我們主要學習了什么內(nèi)容？有哪些收獲呢？

K設(shè)計說明』讓學生在互相交流的活動中，通過總結(jié)與歸納，更加清楚地理解軸對稱的

相關(guān)知識。一方面鞏固本節(jié)知識，另一方面再次感受生活中軸對稱圖形的廣

泛應(yīng)用價值和文化價值，用對稱美支創(chuàng)造生活美。

五、課后提升

1.已知：胸V是線段46的垂直平分線，下列說法中，正確的是—

A.與距離相等的點在胸上B.與點/和6距離相等的點在,郵上

C.與網(wǎng),距離相等的點在48上D.45垂直平分切「

2.如圖，PA=PB,QA=QB,則直線圖是線段48的,（補全下列推理過程）

證明：因為為引力（已知）

所以0點在線段的中垂線上（）

因為QA=QB（已知）

所以0點在線段的中垂線上（）

所以（兩點確定一條直線）

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3.如圖，△/直■中，比'=10,邊8c的垂直平分線分別交/反BC于點、E、D,除6,求/

以萬的周長。

K設(shè)計說明》當堂訓練，當堂反饋的這一環(huán)節(jié)的實施不但使學生對所學的新知識得到

及時鞏固和提升，同時又使得還存在模糊認識的學生得到進一步澄清，

這就讓學生在學習新知識的第一時間得到最清晰的認識，這正是高效的

價值所在.

六、課后作業(yè)

課本第37頁練習5

K設(shè)計說明》通過課后作業(yè)，教師及時了解學生對本節(jié)知識的掌握情況，并可以對學有

余力的學生加以啟發(fā)，引導(dǎo)他們探索其他的解法，從而為下一節(jié)課的內(nèi)容

進行鋪墊。

第2課時線段的垂直平分線的有關(guān)作圖

1.作出軸對稱圖形的對稱軸，即線段垂直平分線的尺規(guī)作圖.（重點）

2.依據(jù)軸對稱的性質(zhì)找出兩個圖形成軸對稱及軸對稱圖形的對稱軸.（重點）

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一、情境導(dǎo)入

有時我們感覺兩個平面圖形成軸對稱，如何驗證呢？不折疊圖形，你能準確地作出軸對

稱圖形的對稱軸嗎？

二、合作探究

探究點一：作線段的垂直平分線

［類型—］作某條線段的垂直平分線

頸1如圖，點4和點8關(guān)于某條直線成軸對稱，你能作出這條直線嗎？（注：作一對對

應(yīng)點的對稱軸就是作線段的垂直平分線）

解析：本題其實就是作線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的作法作出即可.

解：作法：（1）分別以點力、5為圓心，以大于%8的長為半徑作弧，兩弧相交于反F

兩點；

⑵作直線即用即為所求的直線.同樣，對于軸對稱圖形，只要找到任意一組對應(yīng)點，

作出對應(yīng)點所連線段的垂直平分線，就得到此圖形的對稱軸.

方法總結(jié)：要熟練掌握線段垂直平分線的作法，作出的圖形中的作圖痕跡要保留.

［類型二］垂直平分線的作法與垂直平分線的性質(zhì)的綜合

順如圖，己知點A點6以及直線1.

（D用尺規(guī)作圖的方法在直線/上求作一點只使必=如（保留作圖痕跡，不要求寫出

作法）;

（2）在⑴中所作的圖中，若M=PN,BN=PM,求證：AMAP=ANPB.

A

B

MN

解析：（1）利用線段垂直平分線的作法作出即可；（2）利用全等三角形的判定方法以及利

用其性質(zhì)得出即可.

解：（1）如圖所示：

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.AM=PN,

（2）在△/!,"和中，＜\PM=BN,.?.△4憶愀SSS）,AAMAP=ZNPB.

、AP=BP,

方法總結(jié)：解決此類問題首先要正確作出圖形，然后運用相關(guān)的知識解決其他問題.

［類型三］垂直平分線作法的應(yīng)用

畫?如圖，某地由于居民增多，要在公路/邊增加一個公共汽車站,A,6是路邊兩個

新建小區(qū)，這個公共汽車站。建在什么位置，能使兩個小區(qū)到車站的路程一樣長（要求：尺

規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）？

解析：作線段46的垂直平分線，由垂直平分線的定理可知，垂直平分線上的點到4B

的距離相等.

解：連接48,作四的垂直平分線交直線/于“交四于￡

是線段四的垂直平分線，.?.點。到46的距離相等，.?.這個公共汽車站C應(yīng)建

在。點處，才能使到兩個小區(qū)的路程一樣長.

方法總結(jié)：對于作圖題首先要理解題意，弄清問題中對所作圖形的要求，結(jié)合對應(yīng)幾何

圖形的性質(zhì)和基本作圖的方法作圖.

［類型四］線段垂直平分線與角平分線作法的綜合運用

M0/

畫。如圖，某地有兩所大學和兩條交叉的公路.圖中點MN表示大學，0A,仍表示

公路，現(xiàn)計劃修建一座物資倉庫，希望倉庫到兩所大學的距離相同，到兩條公路的距離也相

同，你能確定出倉庫。應(yīng)該建在什么位置嗎？請在圖中畫出你的設(shè)計.（尺規(guī)作圖，不寫作

法，保留作圖痕跡）

M/(),

解析：到兩條公路的距離相等，在這兩條公路的夾角的平分線上；到兩所大學的距離相

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等，在這兩所大學兩個端點的連線的垂直平分線上，所畫兩條直線的交點即為所求的位置.

解：如圖，點尸為所求.

方法總結(jié)：通過本題要熟練地掌握角平分線的作法以及線段垂直平分線的作法.

探究點二：對稱軸的畫法

［類型畫出已知圖形的對稱軸

畫出下列軸對稱圖形的所有對稱軸（不考慮顏色）.

解析：利用軸對稱圖形的性質(zhì)分別得出其對稱軸即可.

解：如圖所示：

方法總結(jié)：畫軸對稱圖形的對稱軸，先找出對稱點，然后作對稱點的垂直平分線即可.

［類型二］補全圖形，并畫出對稱軸

n如圖，在4義3的正方形網(wǎng)格中，陰影部分是由4個正方形組成的一個圖形，請你

用兩種方法分別在如圖方格內(nèi)填涂2個小正方形，使這6個小正方形組成的圖形是軸對稱圖

形，并畫出其對稱軸.

解析：根據(jù)軸對稱的性質(zhì)畫出圖形即可.

解：如圖所示：

方法總結(jié)：解答此類問題，一般要先設(shè)計出軸對稱圖形，然后根據(jù)圖形的特點，畫出對

稱軸.

三、板書設(shè)計

線段的垂直平分線的有關(guān)作圖

1.線段垂直平分線的作法.

2.作軸對稱圖形的對稱軸的方法.

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本節(jié)課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認

識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因而本節(jié)課的教學效果較好，學生對所學的新知識

掌握較好，達到了教學的目的.不足之處是少數(shù)學生對線段垂直平分線性質(zhì)定理的逆定理理

解不透徹，還需在今后的教學和作業(yè)中進一步進行鞏固和提高.

第2課時線段的垂直平分線的有關(guān)作圖

教學目標

①探索并理解對應(yīng)點所連的線段被對稱軸垂直平分的性質(zhì).

②探索并理解線段垂直平分線的兩個性質(zhì).

③通過觀察、實驗、猜測、驗證與交流等數(shù)學活動.，初步形成數(shù)學學習的方法.

④在數(shù)學學習的活動中，養(yǎng)成良好的思維品質(zhì).

教學重點與難點

重點：圖形軸對稱的性質(zhì)和線段,垂直平分線的性質(zhì).

難點：由線段垂直平分線的兩個性質(zhì)得出的“點的集合”的描述.

教學過程

I、情境導(dǎo)入.

1.下面的圖形是軸對稱圖形嗎?如果是，請，說出它的對稱軸.

2.如果兩個圖形成軸對稱，那么這兩個圖形有什么關(guān)系？（如下圖，AABC和AAU'C'

關(guān)于直線MN對稱）

3.如圖，/XABC和△A'B'C'關(guān)于直線MN對稱，點A'、B'、C'分別是點A、B、C的對稱

點，線段AA'、BB'、CC'與直線MN有什么關(guān)系？

II、自主探究M

探究1：要解決問題3,我們可以從最簡單的一個點開始：先將一張紙對折，

用圓規(guī)在紙上穿一個孔，然后再把紙展開，記兩個孔的位置為點A和點A',.A

折痕為直線MN（如圖3）.顯然，此時點A和點A'關(guān)于直線MN對稱.連結(jié)點。

A,A',交直線MN于點P.

觀察圖形，線段AA：與直線MN有怎樣的位置關(guān)系?你能說明理由嗎？圖

類似地，點B與點B',點C與點C'是否也有同樣的關(guān)系?你能用語言歸納上述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律嗎?

上述性質(zhì)是對兩個成軸對稱的圖形來說的，如果是一個軸對稱圖形，那么,它的對應(yīng)點的連

線與對稱軸之間.是否也與同樣的關(guān)系呢？

探究2：如圖，木條MN與AB釘在一起，MN垂直平分AB,Pl,P2,

圖

P3,……是MN上的點，分別量一下點Pl,P2,P3,……到A與B

的距離，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？你能說明理由嗎？

探究3:反過來PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上？為什么？

皿、交流歸納

通過探究1首先知道垂直平分線的定義：經(jīng)過線段中點并且垂直于這條線段的直線

學生歸納出圖形軸對稱的性質(zhì)：如果兩個圖形關(guān)于某條直線對稱，那么對稱軸是任何一對對

應(yīng)點所連線段的垂直平分線；

類似的，軸對稱圖形的對稱軸，是任何一對對應(yīng)點所連線段的垂直平分線。

探究2可以得出垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線的點與這條線段兩個端點的距離相等。

探究3可以得到垂直.平分線的判定：與一條線段兩個端點距離相等的點，在這條線段的垂

直平分線上。

IV、鞏固訓練

(1)圖8是某跨河大橋的斜拉索，圖中PA=PB,PO_LAB,則必有AO=BO,為什么？

⑵如圖9,△ABC中，AC=16cm,DE為AB的垂直平分線，ABCE的周長為26cm,求BC的長.

(3)有A、B、C三個村莊(如圖10),現(xiàn)準備建一所學校，要求學校到三個村莊的距離相等，

請你確定學校的位置.

IV、總結(jié)提升

1.本節(jié)課你學到了什么？

(1)從知識上：一個概念(線段的垂直平分線)，四條性質(zhì)(軸對稱圖形的性質(zhì)、垂直平分線的

性質(zhì));

(2)從方法上：合作探究是數(shù)學學習的一種重要方法，數(shù)學與實際問題的聯(lián)系.

2.軸對稱圖形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)之間的聯(lián)系；在解決問題的過程中所看到的

新舊知識之間的聯(lián)系(如全等三角形).

拓展訓練：1.如圖2,AB=AD,BC=DC,￡是〃'上，的一點.求證：BE=DE

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2.如右圖所示，已知AB=AC,DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點，若AB=12cm,BC=

10cm,.求4BCD的周長。

13.2畫軸對稱圖形

第1課時畫軸對稱圖形

i.理解圖形軸對稱變換的性質(zhì).（難點）

2.能按要求畫出一個圖形關(guān)于某直線對稱的另一個圖形.（重點）

一、情境導(dǎo)入

觀察下面的圖形：

囂

（1）這些圖案有什么共同特點？

（2）能否根據(jù)其中一部分畫出整個圖案？

二、合作探究

探究點一：軸對稱變換

【類型一】剪紙問題

@D將一張正方形紙片按如圖①,圖②所示的方向?qū)φ?，然后沿圖③中的虛線剪裁得

到圖④，將圖④的紙片展開鋪平，再得到的圖案是（）

22

7

圖①圖②

?

解析：嚴格按照圖中的順序先向右上翻折，再向左上翻折，剪去左上角，展開得到圖形

B.故選B.

方法總結(jié)：此類題目主要考查學生的動手能力及空間想象能力，對于此類問題，學生只

要親自動手操作，答案就會很直觀地呈現(xiàn).

【類型二】折疊問題

如圖，將矩形4及力沿膜折疊，使力點落在以上的b處，若NEFB=60°,則/板

A.20°B.30°C.40°D.50°

解析：根據(jù)圖形翻折變換后全等可得應(yīng)，9=90°.???/￡??

=60°,：./CFD=3Q°,故選B.

方法總結(jié)：折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，對

應(yīng)邊和對應(yīng)角相等.

探究點二：作軸對稱圖形

［類型一］畫一個圖形關(guān)于已知直線對稱的另一個圖形

顫1畫出△放關(guān)于直線/的對稱圖形.

解析：分別作出點/、B、。關(guān)于直線/的對稱點，然后連接各點即可.

解：如圖所示：

方法總結(jié)：我們在畫一個圖形關(guān)于某條直線對稱的圖形時，先確定一些特殊的點，然后

作這些特殊點的對稱點，順次連接即可得到.

23

［類型二］在方格中設(shè)計軸對稱圖形

硒J在3X3的正方形格點圖中，有格點△｛比1和△應(yīng)五，且△力比1和△功如關(guān)于某直線

成軸對稱，請在下面給出的圖中畫出4個這樣的△頌

解析：對稱軸可以隨意確定，根據(jù)你確定的對稱軸去畫另一半對稱圖形即可.

解：如圖所不：

4

D

B（E）

方法總結(jié)：作一個圖形關(guān)于一條已知直線的對稱圖形，關(guān)鍵是作出圖形上一些點關(guān)于這

條直線的對稱點，然后再根據(jù)已知圖形將這些點連接起來.

［類型三］利用軸對稱設(shè)計圖案

陶?某居民小區(qū)搞綠化，要在一塊矩形空地（如下圖）上建花壇，現(xiàn)征集設(shè)計方案，要

求設(shè)計的圖案由圓和正方形組成（圓與正方形的個數(shù)不限），并且使整個

矩形場地成軸對稱圖形.請在下邊矩形中畫出你的設(shè)計方案.

解析：矩形是軸對稱圖形，而正方形和圓也是軸對稱圖形，設(shè)計出的圖案只要折疊重合

即可.

解：如圖所不：

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方法總結(jié)：利用軸對稱可以設(shè)計出精美的圖案，一個圖形經(jīng)過不同位置的幾次變換，若

再結(jié)合平移、旋轉(zhuǎn)等，便可以得到非常美麗的圖案.

三、板書設(shè)計

作軸對稱圖形

1.如何由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形.

2.利用軸對稱設(shè)計圖案.

本節(jié)課盡量創(chuàng)設(shè)與學生生活環(huán)境、知識背景相關(guān)的教學情境，以生動活潑的形式呈現(xiàn)有

關(guān)內(nèi)容.重視動手操作，實踐探究，但如果只有操作，而沒有數(shù)學體驗，數(shù)學課很容易上成

勞技課，所以，本節(jié)課的設(shè)計在重視活動的同時，又重視知識的獲取，因為動手操作的目的

本身就在于更直觀地發(fā)現(xiàn)新知識.練習的設(shè)計具有一定的層次性，使不同的學生在學習數(shù)學

的過程中得到不同的發(fā)展.

13.2畫軸對稱圖形

第1課時畫軸對稱圖形

教學目標

(-)教學知識點

1.通過實際操作，了解什么叫做軸對稱變換.

2.如何作出一個圖形關(guān)于一條直線的軸對稱圖形.

(二)能力訓練要求

經(jīng)歷實際操作、認真體驗的過程，發(fā)展學生的思維空間，并從實踐中體會軸對稱變換在

實際生活中的應(yīng)用.

教學重點

1.軸對稱變換的定義.

2.能夠按要求作出簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形.

教學難點

1.作出簡單平面圖形關(guān)于直線的軸對稱圖形.

25

2.利用軸對稱進行一些圖案設(shè)計.

設(shè)置情境，引入新課

在前一個章節(jié)，我們學習了軸對稱圖形以及軸對稱圖形的一些相關(guān)的性質(zhì)問題.在上節(jié)

課的作業(yè)中，我們有個要求，讓同學們自己思考一種作軸對稱圖形的方法，現(xiàn)在來看一下同

學們完成的怎么樣.

［生甲］將一張紙對折后，用針尖在紙上扎出一個圖案，將紙打開后鋪平，得到的兩個

圖案是關(guān)于折痕成軸對稱的圖形.

［生乙］準備一張質(zhì)地較軟，吸水性能好的紙或報紙，在紙的一側(cè)上滴上一滴墨水，將紙

迅速對折，壓平，并且手指壓出清晰的折痕.再將紙打開后鋪平，位于折痕兩側(cè)的墨跡圖

案也是對稱的.

［師］大家回答得太好了，這節(jié)課我們就是來作簡單平面圖形經(jīng)過軸對稱后的圖形.

導(dǎo)入新課

［師］剛才同學們說出了幾種得到軸對稱圖形的方法，由我們已經(jīng)學過的知識知道，連

結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分.

類似地，我們也可以由一個圖形得到與它成軸對稱的另一個圖形，重復(fù)這個過程，可以

得到美麗的圖案.（電腦演示下面圖案的變化過程）大家看大屏幕.

對稱軸方向和位置發(fā)生變化時,得到的圖形的方向和位置也會發(fā)生變化.大家看大屏幕,

從電腦演示的圖案變化中找出對稱軸的方向和位置，體會對稱軸方向和位置的變化在圖案設(shè)

計中的奇妙用途.

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［師］下面，同學們自己動手在一張紙上畫一個圖形，將這張紙折疊描圖，再打開看看,

得到了什么？改變折痕的位置并重復(fù)幾次，又得到了什么？同學們互相交流一下.

(學生動手做)

結(jié)論：由一個平面圖形呆以得到它關(guān)于一條直線L對稱的圖形，這個圖形與原圖形的

形狀、大小完全相同；

新圖形上的每一點，都是原圖形上的某一點關(guān)于直線L的對稱點；

連結(jié)任意一對對應(yīng)點的線段被對稱軸垂直平分.

［師］我們把上面由一個平面圖形得到它的軸對稱圖形叫做軸對稱變換.

成軸對稱的兩個圖形中的任何一個可以看作由另一個圖形經(jīng)過軸對稱變換后得到.一個

軸對稱圖形也可以看作以它的一部分為基礎(chǔ)，經(jīng)軸對稱變換擴展而成的.

動手做一做.

取一張長30厘米，寬6厘米的紙條，將