年高考數(shù)學真題分類匯編六概率、統(tǒng)計與計數(shù)原理一、選擇題1．已知氣候溫度和海水表層溫度相關，且相關系數(shù)為正數(shù)，對此描述正確的是()A．氣候溫度高，海水表層溫度就高B．氣候溫度高，海水表層溫度就低C．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈上升趨勢D．隨著氣候溫度由低到高，海水表層溫度呈下降趨勢2．下列圖中，相關性系數(shù)最大的是（）A． B．C． D．3．(x?x)4A．15 B．6 C．?4 D．?134．某農業(yè)研究部門在面積相等的100塊稻田上種植一種新型水稻，得到各塊稻田的畝產量（單位：kg）并整理部分數(shù)據(jù)如下表所示：畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列結論中正確的是（）.A．100塊稻田畝產量的中位數(shù)小于1050kgB．100塊稻田中畝產量低于1100kg的稻田所占比例超過40C．100塊稻田畝產量的極差介于200kg至300kg之間D．100塊稻田畝產量的平均值介于900kg至1000kg5．甲、乙、丙、丁四人排成一列，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率是（）A．14 B．13 C．126．有四種禮盒，前三種里面分別僅裝有中國結、記事本、筆袋，第四個禮盒里面三種禮品都有，現(xiàn)從中任選一個盒子，設事件A：所選盒中有中國結，事件B：所選盒中有記事本，事件C：所選盒中有筆袋，則（）A．事件A與事件B互斥 B．事件A與事件B相互獨立C．事件A與事件B∪C互斥 D．事件A與事件B∩C相互獨立二、多項選擇題7．為了解推動出口后的畝收入（單位：萬元）情況，從該種植區(qū)抽取樣本，得到推動出口后畝收入的樣本均值x＝2.1，樣本方差s2＝0.01，已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N（1.8，0.12），假設推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N（x，s2），則（）（若隨機變量Z服從正態(tài)分布N（μ，σ2），則P（Z＜μ+σ）≈0.8413）A．P（X＞2）＞0.2 B．P（X＞2）＜0.5C．P（Y＞2）＞0.5 D．P（Y＞2）＜0.8三、填空題8．在(3x39．（x﹣1）6展開式中x4的系數(shù)為．10．二項式(13+x)11．在(x+1)n的二項展開式中，若各項系數(shù)和為32，則x12．A，B，C，D，E五種活動，甲、乙都要選擇三個活動參加.(1)甲選到A的概率為；已知乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為.13．某校舉辦科學競技比賽，有A、B、C3種題庫，A題庫有5000道題，B題庫有4000道題，C題庫有3000道題.小申已完成所有題，他A題庫的正確率是0.92，B題庫的正確率是0.86，C題庫的正確率是0.72，現(xiàn)他從所有的題中隨機選一題，正確率是.14．有6個相同的球，分別標有數(shù)字1、2、3、4、5、6，從中不放回地隨機抽取3次，每次取1個球．記m表示前兩個球號碼的平均數(shù)，記n表示前三個球號碼的平均數(shù)，則m與n差的絕對值不超過12的概率是15．甲、乙兩人各有四張卡片，每張卡片上標有一個數(shù)字，甲的卡片上分別標有數(shù)字1，3，5，7，乙的卡片上分別標有數(shù)字2，4，6，8，兩人進行四輪比賽，在每輪比賽中，兩人各自從自己持有的卡片中隨機選一張，并比較所選卡片上數(shù)字的大小，數(shù)字大的人得1分，數(shù)字小的人得0分，然后各自棄置此輪所選的卡片（棄置的卡片在此后輪次中不能使用）．則四輪比賽后，甲的總得分不小于2的概率為．16．設集合A中的元素皆為無重復數(shù)字的三位正整數(shù)，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，求集合中元素個數(shù)的最大值.17．在下圖的4×4方格表中選4個方格，要求每行和每列均恰有一個方格被選中，則共有種選法，在所有符合上述要求的選法中，選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是．

18．a1＝2，a2＝4，a3＝8，a4＝16，任意b1，b2，b3，b4∈R，滿足{ai+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，求有序數(shù)列{b1，b2，b3，b4}有對．四、解答題19．水果分為一級果和二級果，共136箱，其中一級果102箱，二級果34箱．（1）隨機挑選兩箱水果，求恰好一級果和二級果各一箱的概率；（2）進行分層抽樣，共抽8箱水果，求一級果和二級果各幾箱；（3）抽取若干箱水果，其中一級果共120個，單果質量平均數(shù)為303.45克，方差為603.46；二級果48個，單果質量平均數(shù)為240.41克，方差為648.21；求168個水果的方差和平均數(shù)，并預估果園中單果的質量．20．為了解某地初中學生體育鍛煉時長與學業(yè)成績的關系，從該地區(qū)29000名學生中抽取580人，得到日均體育鍛煉時長與學業(yè)成績的數(shù)據(jù)如下表所示：時間范圍學業(yè)成績[[[[[優(yōu)秀5444231不優(yōu)秀1341471374027（1）該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長大于1小時人數(shù)約為多少？（2）估計該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長（精確到0.1）（3）是否有95%附：χ2=n21．已知某險種的保費為0.4萬元，前3次出險每次賠付0.賠償次數(shù)01234單數(shù)800100603010在總體中抽樣100單，以頻率估計概率：（1）求隨機抽取一單，賠償不少于2次的概率；（2）（i）毛利潤是保費與賠償金額之差．設毛利潤為X，估計X的數(shù)學期望；（ⅱ）若未賠償過的保單下一保險期的保費下降4%，已賠償過的增加2022．某投籃比賽分為兩個階段，每個參賽隊由兩名隊員組成，比賽具體規(guī)則如下：第一階段由參賽隊中一名隊員投籃3次，若3次都未投中，則該隊被淘汰，比賽成績?yōu)?分；若至少投中一次，則該隊進入第二階段，由該隊的另一名隊員投籃3次，每次投中得5分，未投中得0分，該隊的比賽成績?yōu)榈诙A段的得分總和.某參賽隊由甲、乙兩名隊員組成，設甲每次投中的概率為p，乙每次投中的概率為q，各次投中與否相互獨立．（1）若p=0.（2）假設0<p<q．（?。槭沟眉?、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率最大，應該由誰參加第一階段的比賽?（ⅱ）為使得甲、乙所在隊的比賽成績的數(shù)學期望最大，應該由誰參加第一階段的比賽?23．某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的估級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率p＝0.5．設p為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率．如果p＞p+1.65p(1?p)附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82824．某工廠進行生產線智能化升級改造．升級改造后，從該工廠甲、乙兩個車間的產品中隨機抽取150件進行檢驗，數(shù)據(jù)如下：

優(yōu)級品合格品不合格品總計甲車間2624050乙車間70282100總計96522150（1）填寫如下列聯(lián)表：

優(yōu)級品非優(yōu)級品甲車間乙車間能否有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？能否有99%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異？（2）已知升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率p＝0.5．設p為升級改造后抽取的n件產品的優(yōu)級品率．如果p>p+1.65附：K2P（K2≥k）0.0500.0100.001k3.8416.63510.82825．設m為正整數(shù)，數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是公差不為0的等差數(shù)列，若從中刪去兩項ai和aj（i＜j）后剩余的4m項可被平均分為m組，且每組的4個數(shù)都能構成等差數(shù)列，則稱數(shù)列a1，a2…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列．（1）寫出所有的（i，j），1≤i＜j≤6，使數(shù)列a1，a2，…，a6是（i，j）——可分數(shù)列；（2）當m≥3時，證明：數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（2，13）——可分數(shù)列；（3）從1，2，…，4m+2中一次任取兩個數(shù)i和j（i＜j），記數(shù)列a1，a2，…，a4m+2是（i，j）——可分數(shù)列的概率為Pm，證明：Pm＞18

答案解析部分1．【答案】C【解析】【解答】解：因為氣候溫度和海水表層溫度的相關系數(shù)為正數(shù)，所以隨著氣候溫度由低到高時，海水表層溫度呈上升趨勢，但氣候溫度高，海水表層的溫度是高是低無法確定確定.故答案為：C.【分析】根據(jù)相關系數(shù)的性質判斷即可.2．【答案】A【解析】【解答】解：由圖可知：A圖散點分布比較集中，且大體分布在某一條直線附近，線性回歸模型擬合效果比較好，呈現(xiàn)明顯的正相關，且|r|值相比于BCD圖更接近1.故答案為：A.【分析】根據(jù)點的分布特征直接判斷即可.3．【答案】B【解析】【解答】解：由題意可知(x?x)4令4-12r=3，解得r=2，

所以x3的系數(shù)為

【分析】根據(jù)題意結合二項展開式的通項公式分析求解即可.4．【答案】C【解析】【解答】解：由表可知：畝產量[900，950）[950，1000）[1000，1050）[1100，1150）[1150，1200）頻數(shù)612182410頻率0.060.120.180.240.1A、根據(jù)頻率可知0.06+0.12+0.18=0.36<0.50，則畝產量的中位數(shù)不小于1050kg，故A錯誤；B、由表可知100塊稻田中畝產量不低于1100kg的頻數(shù)為24+10=34，則低于1100kg的稻田占比為100?34100C、100塊稻田畝產量的極差最大為1200?900=300，最小為1150?950=200，故C正確；D、由頻數(shù)分布表可得，畝產量在[1050,1100則100塊稻田畝產量的平均值為1100故答案為：C.【分析】計算出前三段頻率即可判斷A；計算出低于1100kg的頻數(shù)，再計算比例即可判斷B；根據(jù)極差計算方法即可判斷C；根據(jù)平均值計算公式即可判斷D.5．【答案】B【解析】【解答】解：據(jù)題意，甲、乙、丙、丁四人排成一列，

則基本事件的總量為：A44=24當甲在排尾，乙排第一位，丙有2種排法，丁就1種，共2種；當甲在排尾，乙排第二位或第三位，丙有1種排法，丁就1種，共2種；

此時，甲在排尾的排列方式有4種；同理，當乙在排尾同樣也有4種；

所以滿足丙不在排頭，且甲或乙在排尾的排列方式有8種，

所以，丙不在排頭，且甲或乙在排尾的概率8故答案為：B.【分析】根據(jù)題意，利用分類加法計數(shù)原理談論甲乙的位置，得到滿足事件的總數(shù)，接著利用全排列求出基本事件的總數(shù)，利用古典概型計算公式進行求解即可得到結果.6．【答案】B【解析】【解答】解：A、若選到第四個盒子，事件A，B會同時發(fā)生，則事件A與事件B不互斥，故A選項錯誤；

B、由題意可得P(A)=14+14=12，PB=14+14=12,PAB=14滿足PAB=PA故答案為：B.【分析】利用互斥事件的定義及相互獨立事件的定義逐項判斷即可.7．【答案】B,C【解析】【解答】解：由X、Y服從正態(tài)分布，

∵X~N（1.8，0.12），P（Z＜μ+σ）≈0.8413，

∴P（X＞1.9）≈1-0.8413=0.1587，

又∵P（X＞2）<P（X＞1.9）≈0.1587，

∴P（X＞2）<0.1587，

故P（X＞2）<0.5，A錯誤，B正確.

同理Y~N（2.1，0.12），

P（Y＞2）=P（Y<2.2）≈0.8413，故C正確，D錯誤.故答案為：BC.

【分析】由正態(tài)分布曲線的定義結合對稱性計算即可.8．【答案】20【解析】【解答】解：二項式(3x3+x33)6展開式的通項為Tr+1=故答案為：20.【分析】根據(jù)題意，結合二項展開式的通項求解即可.9．【答案】15【解析】【解答】解：由題意可得（x﹣1）6展開式的通項公式為T令6-k=4可得k=2，所以x4的系數(shù)為-14C6【分析】利用二項式的通項公式即可.10．【答案】5【解析】【解答】解：根據(jù)題意，二項式(13+x)10的通項為：Tk+1=C10k(13)10?kxk

并且假設展開式中第k+1項系數(shù)最大，

則此時第k+1項系數(shù)大于第k項系數(shù)；并且第故答案為：5.【分析】先設展開式中第k+1項系數(shù)最大，此時第k+1項系數(shù)大于第k項系數(shù)；并且第k+1項系數(shù)大于第k+2項系數(shù)，則建立不等式有C1011．【答案】10【解析】【解答】解：因為二項式(x+1)n的各項系數(shù)和為32，所以(1+1)n=32，解得n=5，

(x+1)5展開式的通項為T故答案為：10.【分析】先根據(jù)各項系數(shù)和為32求得n，再寫出(x+1)5展開式的通項，令5-r=212．【答案】35；【解析】【解答】解：設甲選到A的事件為C，從五種活動選三種共有C53=10種不同的選擇方法，甲選到A共有C42設甲、乙選到A為事件M，乙選到B為事件N，則甲選到A的概率為P(M)=C乙選了A活動，他再選擇B活動的概率為P(N|M)=P(MN)故答案為：35；1【分析】由題意，利用組合，結合古典概型以及條件概率公式求解即可.13．【答案】0.85【解析】【解答】解：易知A,B,C題庫的題數(shù)比例為：5:根據(jù)全概率公式可知，從所有的題中隨機選一題，正確率是p=5故答案為：0.85．【分析】由題意，先求出各題庫題數(shù)所占比例，再根據(jù)全概率公式求解即可.14．【答案】715【解析】【解答】解：從6個不同的球中不放回地抽取3次，共有A6設前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，

則m=a+b2，故|2c?(a+b)|≤3，若c=1，則a+b≤5，則(a,b)為：若c=2，則1≤a+b≤7，則(a,b)為：(3,當c=3，則3≤a+b≤9，則(a,b)為：(2,當c=4，則5≤a+b≤11，同理有16種，當c=5，則7≤a+b≤13，同理有10種，當c=6，則9≤a+b≤15，同理有2種，共m與n的差的絕對值不超過12時不同的抽取方法總數(shù)為2(2+10+16)=56故所求概率為56120故答案為：715【分析】利用古典概型的計算公式，先根據(jù)題意進行全排列可求基本事件的總數(shù)，設前兩個球的號碼為a,b，第三個球的號碼為c，則a+b?3≤2c≤a+b+3，就15．【答案】12【解析】【解答】解：不妨固定甲的出牌順序為1，3，5，7，記為1,3,5,7，乙的出牌順序隨機，其共有A44=4×3×2=24(種)組合情況.

甲的總得分不小于2，即得分為2，3，4，

由乙的任意一張卡片數(shù)字對上乙的數(shù)字1，都能獲勝，故甲的總得分為2或3.

①若甲獲得3分，即當甲為1,3,5,7時，對上乙的數(shù)字為：8,2,4,6僅有1種情況；

②若甲獲得2分.

1)甲出牌僅數(shù)字3得分的情況，即當甲為1,3,5,7時，對應乙的情況為

4,2,6,8，僅1種情況；

2)甲出牌僅數(shù)字5得分的情況，即當甲為1,3,5,7時，對應乙的情況為

4,6,2,8，6,4,2,8，2,6,4,8，僅3種情況；

2)甲出牌僅數(shù)字7得分的情況，即當甲為1,3,5,7時，對應乙的情況為

4,6,8,2，4,8,6,2，6,4,8,2，8,4,6,2，2,6,8,4，2,8,6,4，2,4,8,6，僅7種情況；

綜上，甲獲得2分的組合情況為11種，

故答案為：12

【分析】可以先固定甲的出牌數(shù)字，分析乙出牌的組合的可能有A416．【答案】329【解析】【解答】解：由三位正整數(shù)無重復數(shù)字，且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù)，則集合中至多只有一個奇數(shù)，其余均是偶數(shù)；①當個位為0時，則百位和十位在剩余的9個數(shù)字中選擇兩個進行排列，則這樣的偶數(shù)有A9②當個位不為0時，則個位有C41種選法，百位有C8根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得：這樣的偶數(shù)共有C4最后再加上單獨的奇數(shù)，故集合中元素個數(shù)的最大值為72+256+1=329個．故答案為：329．【分析】三位數(shù)中的偶數(shù)分個位是0和個位不是0討論即可.17．【答案】24；112【解析】【解答】由題意知，從4×4的方格表，選4個方格，每行和每列均恰有一個方格被選中，則第一行有4種選法，第二行有3種選法，第三行有2種選法，第四行有1種選法，共有4×3×2×1=24種不同的選法；則所有的可能選法結果為：(15,21,(13(12其中(15,21故答案為：24；112.【分析】由題意可知，根據(jù)分步乘法原理求解即可；列舉法寫出所有的可能結果，找和最大的求解即可.18．【答案】48【解析】【解答】解：由題意得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，滿足{a1+aj|1≤i＜j≤4}＝{bi+bj|1≤i＜j≤4}，不妨設b1>b2>b3>b4，由單調性有b1+b2＝24，b1+b3＝20，b2+b4＝10，b3+b4＝6，分兩種情況討論：①b2+b3＝12，b1+b4＝18，解得b1＝16，b2＝8，b3＝4，b4＝2，②b2+b3＝18，b1+b4＝12，解得b1＝13，b2＝11，b3＝7，b4＝-1，所以有2種，綜上共有2A4故答案為：48．【分析】由題意可得{ai+aj|6，10，12，18，20，24}，利用列舉法結合組合排列數(shù)即可求出b1，b2，b3，b4.19．【答案】（1）解：從136箱中隨機挑選兩箱水果樣本空間Ω共有C1362=136×1352×1=9180個樣本點，

設事件M="恰好一級果和二級果各一箱"則事件M包含的樣本點共（2）解：因為一級果箱數(shù)：二級果箱數(shù)=10234所以8箱水果中抽到一級果8×33+1=6綜上8箱水果中有一級果抽取6箱，二級果抽取2箱；（3）解：設一級果平均質量為x，方差為Sx2，二級果質量為y，方差為Sy由已知可得x=303.45，Sx2=603.46所以m=120S2預估：果園中單果平均質量為102102+34綜上168個水果的平均數(shù)285.44克；方差1427.17克2，整個果園的單果的平均質量約287.69克【解析】【分析】（1）利用古典概率公式即可求解；

（2）根據(jù)分層抽樣的定義分層按相同比例抽取即可；

（3）利用平均數(shù)和方差的定義和分層隨機抽樣平均數(shù)和方差公式即可.20．【答案】（1）解：由表可知，鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)占比為179+43+28580則估計該地區(qū)29000名學生中體育鍛煉時長不少于1小時的人數(shù)為29000×25（2）解：該地區(qū)初中生的日均體育鍛煉時長約為1580則該地區(qū)初中學生日均體育鍛煉的時長為0.9小時；（3）解：由題，列出2×2聯(lián)表，如表所示：[1其他合計優(yōu)秀455095不優(yōu)秀177308485合計222358580零假設H0χ2即有95%的把握認為學業(yè)成績優(yōu)秀與日均鍛煉時長不小于1小時且小于2小時有關．【解析】【分析】（1）求出相關占比，乘以總人數(shù)即可；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式即可得到答案；（3）由題意，作出2×2列聯(lián)表，再進行零假設，計算卡方值，和臨界值比較大小判斷即可.21．【答案】（1）解：由題意可得：隨機抽取一單，賠償不少于2次的頻率為60+30+10800+100+60+30+10用頻率估計概率，所以“隨機抽取一單，賠償不少于2次”概率為110（2）解：（?。┰OY為賠付金額，由題意可知：X=0.4?Y，且Y可取則有P(Y=0)=800P(Y=1.P(可得E(Y)=0×4所以X的數(shù)學期望E(X)=0.（ⅱ）由題意可得：保費的變化為0.所以估計保單下一保險期毛利潤的數(shù)學期望0.???【解析】【分析】(1)根據(jù)題意利用頻率估計概率，即可得結果；

(2)（?。┰OY為賠付金額，由題意可知：X=0.4?Y，根據(jù)題意求Y的數(shù)學期望，結合期望的性質可得22．【答案】（1）解：甲、乙所在隊的比賽成績不少于5分，則甲在第一階段至少投中1次，乙在第二階段也至少投中1次，記甲在第一階段至少投中1次的事件為A，乙在第二階段也至少投中1次的事件為B，

則PA=0.63，（2）解：（i）若乙先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P乙若甲先參加第一階段比賽，則甲、乙所在隊的比賽成績?yōu)?5分的概率為P甲因為0<p<q，所以P===3pq(所以P甲(ii)若甲先參加第一階段比賽，比賽成績X的所有可能取值為0，5，10，15，P(P(X=5)=[1?(1?p)P(P(則E(若乙先參加第一階段比賽，比賽成績Y的所有可能取值為0，5，10，15，同理EE(因為0<p<q，則p?q<0，p+q?3<1+1?3<0，則(p?q故應該由甲參加第一階段比賽.【解析】【分析】（1）根據(jù)對立事件的概率求法以及獨立事件的概率乘法公式求解即可；（2）（i）先計算甲、乙參加第一階段比賽，成績?yōu)?5分的概率P乙=[1?(1?q)3]?p323．【答案】（1）解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示：優(yōu)級品非優(yōu)級品總數(shù)甲車間262450乙車間7030100總計96541將上面的數(shù)值代入公式計算得：K2=150(26×30?24×70)250×100×96×54=7516=4.（2）解：生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品的頻率為96150=0.64，

所以用頻率估計概率可得p=0.64，

根據(jù)題意，升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率p=0.5，

【解析】【分析】（1）將列聯(lián)表進行補充，并將數(shù)值代入公式進行計算得K2=4.6875，再進行比較即可得到結果；

（2）根據(jù)題意先計算出24．【答案】（1）解：根據(jù)題意可得列聯(lián)表如下所示：優(yōu)級品非優(yōu)級品總數(shù)甲車間262450乙車間7030100總計9654150將上面的數(shù)值代入公式計算得：

K2又因為3.所以有95%的把握認為甲、乙兩車間產品的優(yōu)級品率存在差異，沒有99（2）解：生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品的頻率為96150所以用頻率估計概率可得p=0根據(jù)題意，升級改造前該工廠產品的優(yōu)級品率p=0.則p+1.可知p>p+1所以可以認為生產線智能化升級改造后，該工廠產品的優(yōu)級品率提高了.【解析】【分析】（1）將列聯(lián)表進行補充，并將數(shù)值代入公式進行計算得K2=4.6875，再進行比較即可得到解果；

（2）根據(jù)題意先計算出25．【答案】（1）解：等差數(shù)列a1，a2，…，a6刪去兩項后，余下4項成等差數(shù)列，此時剩下的數(shù)列若想構成數(shù)列，必然是公差為d的數(shù)列，

即可能的情況為a1，a2，a3，a4或a2，a3，a4，a5，或a3，a4，a5，a6，

故刪去的兩項（i，j）可以為（5