第四章三角形第17講全等三角形TOC\o"1-1"\n\p""\h\z\u??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解??題型02添加一個條件使兩個三角形全等??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程??題型05補全全等三角形的證明過程??題型06全等三角形證明方法的合理選擇??題型07利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題??題型08與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-平移模型??題型09與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-對稱模型??題型10與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-旋轉(zhuǎn)模型??題型11與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角??題型12與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-手拉手模型??題型13添加輔助線證明兩個三角形全等-倍長中線法??題型14添加輔助線證明兩個三角形全等-截長補短法??題型15添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造平行線??題型16添加輔助線證明兩個三角形全等-構(gòu)造垂線??題型17利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決高度測量問題??題型18利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決河寬測量問題??題型19利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決動點問題??題型01利用全等三角形的性質(zhì)求解1．（2024·四川成都·模擬預(yù)測）如圖，△CAE≌△EBD，CA⊥AB，且∠ACE=55°，則∠BDE的度數(shù)為【答案】35°【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵CA⊥AB，∴∠A=90°，又∵∠ACE=55°，∴∠AEC=90°?∠ACE=90°?55°=35°，又∵△CAE≌∴∠BDE=∠AEC=35°，故答案為：35°．2．（2024·河北秦皇島·二模）如圖，△ABC≌△AEF，有以下結(jié)論：①AC=AE；②∠FAB=∠EAB；③EF=BC；④∠EAB=∠FAC．其中正確的個數(shù)是（

）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】B【分析】本題考查的是全等三角形的性質(zhì)；掌握三角形全等的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)已知找準(zhǔn)對應(yīng)關(guān)系，運用三角形全等的性質(zhì)“全等三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等”求解即可．【詳解】解：∵△ABC≌△AEF，∴BC=EF，∠BAC=∠EAF，故③正確；∴∠EAB+∠BAF=∠FAC+∠BAF，即∠EAB=∠FAC，故④正確；AC與AE不是對應(yīng)邊，不能求出二者相等，也不能求出∠FAB=∠EAB，故①、②錯誤；∴正確的有③④共2個．故選：B．3．（2024·上海·模擬預(yù)測）在△ABC和△DEF中，∠C=∠F=90°，AC=DF=3，BC=4，EF=2，點M，N分別在邊AB和邊DE【答案】5【分析】本題主要考查了勾股定理、全等三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點，證得△FEN∽△BCM成為解題的關(guān)鍵．由勾股定理可得AB=5，設(shè)AM=x，則BM=5?x，由全等三角形的性質(zhì)可得AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，再證△FEN∽△BCM，然后利用相似三角形的性質(zhì)列比例式求解即可．【詳解】解：如圖：∵∠C=90°，∴AB=A設(shè)AM=x，則BM=5?x，∵△ACM≌∴AM=FN=x,∠DFN=CAM,∠DNF=∠CMA，∵∠FNE=180°?∠DNF,∠CMB=180°?∠CMA，∴∠FNE=∠CMB，∵∠B=90°?∠CAM,∠EFN=90°?∠DFN，∴∠B=∠EFN，∴△FEN∽△BCM，∴FNBM=FEBC,即經(jīng)檢驗，x=53是方程∴AM=5故答案為534．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=120°，點D，E分別是邊AB，BC上的動點，且AD=BE，連接AE，CD，當(dāng)AE+CD的值最小時，∠AEB的度數(shù)為（

）A．90° B．120° C．135° D．150°【答案】C【分析】本題考查了全等三角形的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)．將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC于點G，推出AE+CD=AE+EF≥AF，當(dāng)點E與點G重合時，AE+CD的值最小，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，將△ADC拼接到△BEF，連接AF交BC于點G，則△ADC≌△BEF，∴CD=EF，AC=BF，∠EBF=∠DAC=120°，∴AE+CD=AE+EF≥AF，∴當(dāng)A，E，F(xiàn)三點共線，即點E與點G重合時，AE+CD的值最小，∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠ABC=∠ACB=30°，∴∠ABF=150°，AB=AC=BF，∴∠BAF=∠BFA=15°，∴∠AGB=135°即AE+CD最小時，∠AEB的度數(shù)為135°．故選：C．??題型02添加一個條件使兩個三角形全等5．（2024·湖南株洲·模擬預(yù)測）如圖，銳角三角形ABC中，∠ABC=∠ACB，點D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（

）A．若∠ACD=∠ABE，則CD=BE B．若BD=CE，則BE=CDC．若CD=BE，則∠ACD=∠ABE D．若AD=AE，則∠CBE=∠DCB【答案】C【分析】本題考查等腰三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)．由∠ABC=∠ACB，可得AB=AC，再分別利用全等三角形的判定和性質(zhì)即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，若∠ACD=∠ABE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAEASA∴CD=BE，則原命題是真命題，故選項A不符合題意；若BD=CE，∴AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴CD=BE，則原命題是真命題，故選項B不符合題意；若CD=BE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，不能證明△CAD與△BAE全等，則∠ACD與∠ABE不一定相等，則原命題是假命題，故選項C符合題意；若AD=AE，又∠CAD=∠BAE，AB=AC，∴△CAD≌△BAESAS∴∠ACD=∠ABE，∵∠ABC=∠ACB，∴∠CBE=∠DCB，則原命題是真命題，故選項D不符合題意；故選：C．6．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，AD，BE是△ABC的兩條高線，只需添加一個條件即可證明△AEB≌△BDA（不添加其它字母及輔助線），（不添加其它字母及輔助線），這個條件可以是．（寫出一個即可）【答案】BD=AE（答案不唯一）【分析】本題考查了添加條件使三角形全等，添加BD=AE，通過“HL”即可證明△AEB≌△BDA．熟練掌握三角形全等的判定是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：添加BD=AE，∵AD，BE是∴∠BEA=∠ADB=90°，在Rt△AEB和RtBD=AEAB=BA∴Rt故答案為：BD=AE（答案不唯一）．7．（2024·河南安陽·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC和△ABD中，AD與BC相交于點O，BC=AD，添加一個條件可以證明AC=BD．(1)①∠1=∠2；②∠CAD=∠CBD；③OC=OD；④∠C=∠D，上面四個條件可以添加的是______（填序號）．(2)請你選擇一個條件給出證明．【答案】(1)①③(2)詳見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定：（1）添加①或③，即可；（2）添加①，根據(jù)等腰三角形的判定可得OA=OB，從而得到OC=OD，可證明△AOC≌△BOD，即可；添加③，可得OA=OB，可證明△AOC≌△BOD，即可．【詳解】（1）解：上面四個條件可以添加的是①；故答案為：①③（2）若添加①∠1=∠2；∵∠1=∠2，∴OA=OB，∵BC=AD，∴OC=OD，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD；若添加③OC=OD；∵BC=AD，OC=OD，∴OA=OB，在△AOC和△BOD中，∵OC=OD，∠AOC=∠BOD，OA=OB，∴△AOC≌△BODSAS∴AC=BD．8．（2024·北京·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD為正方形，DE⊥EF，(1)證明：△DAE∽△EGF(2)不添加輔助線，添加一個角的條件，證明△DAE≌△EGF【答案】(1)見解析(2)添加∠FBG=45°，證明見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，正方形的性質(zhì)，垂直的概念，三角形全等的判定；（1）證明有兩對角相等即可判斷；（2）假設(shè)△DAE≌△EGF，可以推出∠FBG=45°即可．【詳解】（1）證明：∵FG⊥AB，∴∠FGE=∠EAD=90°，又∵DE⊥EF，∴∠DEF=90°，∴∠AED+∠FEG=90°，∵∠FEG+∠EFG=90°，∴∠AED=∠EFG，∴△DAE∽△EGF；（2）解：添加∠FBG=45°，如果△DAE≌△EGF，∴AE=GF,DA=EG=AB，∴AE+EB=EB+BG，∴AE=BG，∴GF=BG，∵FG⊥AB，∴Rt∴∠FBG=45°，故添加：∠FBG=45°，能證明△DAE≌△EGF．??題型03結(jié)合尺規(guī)作圖的全等問題9．（2022·北京海淀·一模）如圖，在4×4的正方形網(wǎng)格中，A，B，C，D，E是網(wǎng)格線交點．請畫出一個△DEF，使得△DEF與△ABC全等．【答案】見解析【分析】根據(jù)全等三角形的判定方法畫出圖形即可．【詳解】解：滿足條件的三角形有4個，如圖所示：（只要畫出一種即可）【點睛】本題考查作圖——應(yīng)用與設(shè)計圖紙，全等三角形的判定等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．（2022·湖南長沙·二模）如圖，?ABCD的對角線AC與BD相交于點O，小雅按以下步驟作圖：①以點A為圓心，以任意長為半徑作弧，分別交AO，AB于點M，N；②以點O為圓心，以AM長為半徑作弧，交OC于點M'；③以點M'為圓心，以MN長為半徑作弧，在∠COB內(nèi)部交前面的弧于點N'；④過點N'作射線ON'交BC于點E．(1)根據(jù)小雅的作圖方法，得到∠COE=∠OAB．證明過程如下：由作圖可知，在△MAN和△M'ON'中，，∴△MAN≌△M'ON'（_____________）（此處填理論依據(jù)），∴∠COE=∠OAB．(2)若AB=6，求線段OE的長．【答案】(1)MN=(2)OE=3【分析】（1）由作圖可知△MAN≌△M'（2）由∠COE=∠OAB得OE//AB，由四邊形ABCD為平行四邊形得OC=OA，再由中位線定得OC的長．【詳解】（1）由作圖可知，在△MAN和△M'AM=OM∴△MAN≌△M'∴∠COE=∠OAB，故答案為：MN=（2）由（1）得∠COE=∠OAB，∴OE//AB∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OC=OA，∴CE=BE，∴OE為△ABC的中位線，∴OE=【點睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，平行四邊形的性質(zhì)及三角形中位線性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運用所學(xué)知識解決問題．11．（2022·福建福州·二模）如圖，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點D，∠BAC為銳角．(1)將線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），在圖中求作點D的對應(yīng)點E，使得BE=1(2)在（1）的條件下，過點C作CF⊥AB于點F，連接EF，BE，若sin∠EBA=57【答案】(1)見解析(2)EF【分析】（1）以點A為圓心，AD為半徑畫弧，以點B為圓心，以BD為半徑畫弧，兩弧相交于點E，連接AE、BE，則BE即為所求；（2）先證明△ABC是等腰三角形，由等腰三角形的三線合一知CD=12BC，進一步證明，△ABE≌△ABD（SSS），得到∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又AF＝AF，，得到△AEF≌△ADF（SAS），EF=DF，在Rt△BCF中，sin∠EBA=CFCB=57【詳解】（1）解：如圖1所示，點E即為所求．理由是：∵AB＝AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴BD＝CD＝12BC∴線段AD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)角小于90°），旋轉(zhuǎn)角為∠DAE，且BE=1（2）解：如圖2，連接DF．在△ABC中，AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∵AD⊥BC，∴CD=1由（1）可知BE=12BC∴BE=BD，又∵AB=AB，∴△ABE≌△ABD（SSS），∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠DBA，又∵AF=AF，∴△AEF≌△ADF（SAS），∴EF=DF，∵CF⊥AB，∴在Rt△BCF中，sin∠EBA=設(shè)CF=5a，BC=7a，∵CD=1∴DF=1∴EF=7∴EFCF【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、圖形的旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)等知識，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵12．（2022·河南周口·一模）下面是某數(shù)學(xué)興趣小組探究問題的片段，請仔細(xì)閱讀，并完成任務(wù)．題目背景：在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點D在AB上．(1)作圖探討：在Rt△ABC外側(cè)，以BC為邊作△CBE≌△CAD；小明：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點E，連接BE，CE．則△CBE即為所求作的三角形．小軍：如圖2，分別過B，C作AB，CD的垂線，兩條垂線相交于點E，則△CBE即為所求作的三角形．選擇填空：小明得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是，小軍得出△CBE≌△CAD的依據(jù)是；（填序號）①SSS②SAS③ASA④AAS(2)測量發(fā)現(xiàn)：如圖3，在（1）中△CBE≌△CAD的條件下，連接AE．興趣小組用幾何畫板測量發(fā)現(xiàn)△CAE和△CDB的面積相等．為了證明這個發(fā)現(xiàn)，嘗試延長線段AC至F點，使CF=CA，連接EF．請你完成證明過程．(3)遷移應(yīng)用：如圖4，已知∠ABM=∠ACB=90°，AC=BC，點D在AB上，BC=32，∠BCD=15°，若在射線BM上存在點E，使S△ACE=【答案】(1)①；③(2)證明見解析(3)3+【分析】（1）根據(jù)全等三角形的判定即可得出結(jié)論；（2）由條件AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，可知△ABC≌△FBC，又△CBE≌△CAD，得到S△ABC=S△FBC，S△CBE=S△CAD，所以（3）過點C作CE⊥CD交BM于點E，連接AE，過點C作CG⊥AB交AB于點G，由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE=S△BCD且AD=BE；根據(jù)AC=BC，∠ACB=90°，有∠ABC=45°，由等腰三角形的三線合一的性質(zhì)可知AG=BG，結(jié)合∠BCD=15°，可得∠ADC=60°，根據(jù)BC=32，由cos∠ABC=BCAB得到AB=6，所以AG=BG=3，然后在Rt△CBG和【詳解】（1）解：如圖1，分別以B，C為圓心，以AD，CD為半徑畫弧交于點E，連接BE，CE，∴AD=BE，CD=CE又∵AC=BC，在△CBE和△CAD中BC=ACBE=AD∴△CBE≌△CAD（SSS）如圖2，分別過B，C作AB，CD的垂線，∴∠DCE=90°，∠DBE=90°，即∠DCB+∠BCE=90°，∠CBA+∠CBE=90°，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠CAB=∠CBA=45°，∠ACD+∠DCB=90°，∴∠CBE=∠CAD，∠BCE=∠ACD，在△CBE和△CAD中∠CBE=∠CADBC=AC∴△CBE≌△CAD（ASA）故選：①；③（2）證明：∵AC=BC，∠ACB=90°，CF=CA，∴∠ACB=∠FCB=90°，在△ABC和△FBC中CA=CF∠ACB=∠FCB∴△ABC≌△FBC（SAS）∴S△ABC即S△CAD又∵△CBE≌△CAD，∴S△CBE∴S△CDB又∵在△AEF中，CF=CA，∴S△CAE∴S△CAE（3）解：如圖，過點C作CE⊥CD交BM于點E，連接AE，過點C作CG⊥AB交AB于點G，又∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ABC，△CBG，△CDG都是Rt△，∴∠ABC=45°，AG=BG，∵∠BCD=15°，∴∠ADC=60°，在Rt△ABC中，BC=32∴cos∠ABC=∴AB=BC∴AG=BG=1在Rt△CBG中，tan∠ABC=∴CG=BG·tan在Rt△CDG中，tan∠CDG=∴DG=CG又由（1）（2）可知△CBE≌△CAD，S△ACE∴AD=BE，∴BE=AD=AG+DG=3+3∴BE的長為3+3【點睛】本題是三角形綜合題，考查了三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形的中線的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)解直角三角形等知識以及知識遷移應(yīng)用的能力．通過作適當(dāng)?shù)妮o助線從而達到能夠應(yīng)用前面兩問的結(jié)論和全等三角形的性質(zhì)的應(yīng)用是解答本題的關(guān)鍵．??題型04以注重過程性學(xué)習(xí)的形式考查全等三角形的證明過程13．（2023·貴州六盤水·一模）如圖，BA=BE，AC=DE，且AB∥ED，∠A=∠ABE，∠C=∠D．求證：∠ABE=∠CBD．下面是小亮的解答過程：證明：在△ABC和△EBD中，BE=BA∠C=∠DAC=ED∴△ABC≌△EBDSAS，

∴∠ABC=∠EBD，

第三步∴∠ABE=∠CBD．

第四步(1)小亮的證明過程是從第________步開始出現(xiàn)錯誤的．(2)請你寫出正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解此題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)全等三角形的判定條件即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)推出∠A=∠E，再根據(jù)SAS證明△ABC≌△EBD即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：小亮的證明過程是從第一步開始出現(xiàn)錯誤的；（2）證明：∵AB∥ED，∴∠E=∠ABE．∵∠A=∠ABE，∴∠A=∠E．

在△ABC和△EBD中，BE=BA∠A=∠E∴△ABC≌△EBDSAS，∴∠ABC=∠EBD，∴∠ABE=∠CBD．14．（2024·江蘇南通·一模）如圖，P是△ABC內(nèi)一點，PB=PC，∠ABP=∠ACP．求證：∠APB=∠APC．小虎的證明過程如下：證明：在△ABP和△ACP中，∵PB=PC，∠ABP=∠ACP，AP=AP，∴△ABP≌△ACP．（第一步）∴∠APB=∠APC．（第二步）(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【答案】(1)一(2)見解析【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．（1）由全等三角形的判定方法可得出結(jié)論；（2）證明△ABP≌△ACPSSS，得出∠APB=∠APC【詳解】（1）解：全等的判定方法用錯了，第一步出現(xiàn)錯誤；故答案為：一；（2）解：∵PB=PC，∴∠PBC=∠PCB．∵∠ABP=∠ACP，∴∠ABP+∠PBC=∠ACP+∠PCB．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC，在△ABP和△ACP中，AB=ACAP=AP∴△ABP≌△ACPSSS∴∠APB=∠APC．15．（2023·浙江嘉興·一模）如圖，已知點D在射線AE上BD=CD，AE平分∠BAC與∠BDC，求證AB=AC．小明的證明過程如下：證明：∵AE平分∠BAC．∴∠BAD=∠CAD．∵AD=AD，BD=CD．∴△ABD≌△ACD∴AB=AC．小明的證明是否正確？若正確，請在框內(nèi)打“√”，若錯誤，請寫出你的證明過程．【答案】小明的證明不正確；正確的證明見解析【分析】由平分，證明∠BDE=∠CDE，再由鄰補角，推出∠BDA=∠CDA，根據(jù)SAS可證明△BDA≌△CDA，即可證明AB=AC．【詳解】解：小明利用的是SSA，是不能證明△ABD與△ACD全等，故小明的證明不正確；正確的證明如下，∵AE平分∠BDC，∴∠BDE=∠CDE，∴∠BDA=∠CDA，∵AD=AD，BD=CD，∴△BDA≌△CDASAS∴AB=AC．【點睛】本題考查了全等三角形的判定定理，能熟練掌握全等三角形的判定定理是解此題的關(guān)鍵，全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，兩直角三角形全等還有HL．??題型05補全全等三角形的證明過程16．（2024·重慶·模擬預(yù)測）學(xué)習(xí)了正方形后，小飛同學(xué)對正方形中兩條互相垂直線段，且兩條線段的端點分別在正方形兩組對邊上的數(shù)量關(guān)系進行探究．請根據(jù)他的思路完成以下作圖與填空：如圖，正方形ABCD中，點F、E、G分別在AB、BC、CD上，且AE⊥FG．(1)尺規(guī)作圖：過點G作AB垂線交AB于點H．（只保留作圖痕跡）(2)證明AE=FG，將下面的過程補充完整．證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB，∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=①∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴②=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四邊形BCGH為矩形，∴BC=GH，∴③=GH．∴△ABE≌△GHF（④____）∴AE=FG．【答案】(1)見解析(2)①∠GHF；②∠AEB；③AB；④AAS【分析】本題考查尺規(guī)作圖—作垂線，正方形的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)．掌握基本作圖方法和特殊四邊形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)尺規(guī)作圖作垂線的方法畫圖即可；（2）由正方形的性質(zhì)結(jié)合題意可證明∠B=∠GHF，又易證∠AEB=∠AFG和四邊形BCGH為矩形，即可間接得出AB=GH，即可證△ABE≌△GHFAAS，得出AE=FG【詳解】（1）解：如圖，GH即為所作；（2）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠B=∠C=90°，BC=AB．∵HG⊥AB，∴∠GHF=90°，∴∠B=∠GHF．∵FG⊥AE，∴∠AFG+∠BAE=90°，∵∠BAE+∠AEB=90°，∴∠AEB=∠AFG∵∠B=∠C=∠GHB=90°，∴四邊形BCGH為矩形，∴BC=GH，∴AB=GH，∴△ABE≌△GHFAAS∴AE=FG．17．（2023·重慶巴南·一模）已知：如圖，矩形ABCD中，點E是邊BC上一點，且AE=AD．(1)用尺規(guī)完成以下基本作圖：過點D作AE的垂線交AE于點F（保留作圖痕跡，不寫作法，不下結(jié)論）；(2)求證：DC=DF，請將下面證明過程補充完整：證明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=①；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=②；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD（③∴AB=④．∵AB=DC，∴DC=DF．【答案】(1)見解析(2)∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【分析】（1）利用基本作圖.過D點作AE的垂線即可；（2）先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AB=CD，AD∥BC，則∠DAF=∠BEA，則可根據(jù)“AAS”判斷△ADF≌△DEC,得到AB=DF，從而得到【詳解】（1）如圖（2）證明：∵DF⊥AE，∴∠AFD=90°，又∵在矩形ABCD中，∠B=90°，∴∠B=∠AFD；∵在矩形ABCD中，AD∥∴∠DAF=∠BEA；又∵AE=AD，∴△EBA≌△AFD∴AB=DF，∵AB=DC，∴DC=DF．故答案為:∠AFD；∠BEA；AAS；DF.【點睛】本題考查了作圖-復(fù)雜作圖，全等三角形的判定與性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，熟練掌握5種基本作圖是解決問題的關(guān)鍵.18．（2023·廣西柳州·二模）綜合與實踐

(1)問題發(fā)現(xiàn)：如圖1，△ACB和△DCE均為等腰三角形，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE，點A、D、E在同一條直線上，連接BE．①求證：AD=BE；將下列解答過程補充完整．證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+________，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE；②若∠ACB=50°，則∠AEB的度數(shù)為________．(2)類比探究：如圖2，△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，點A、D、E在同一條直線上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE．請判斷AE、BE與CM三條線段的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)拓展延伸：在（2）的條件下，若BE=2，CM=1，請直接寫出四邊形ABEC的面積．【答案】(1)①∠ECB；②50°；(2)AE=BE+2CM，理由見解析；(3)6【分析】（1）①根據(jù)∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，即可得到答案；②根據(jù)∠ACB=50°可得∠DCE=50°，求出∠CDE=∠CED=65°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，得出∠CEB=∠ADC=115°，即可求出結(jié)果；（2）由△ACD≌△BCE得出AD=BE，再判斷出DM=CM，即可得出結(jié)論；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論求得AE=4，再根據(jù)四邊形ABEC的面積＝△ACE的面積＋△ABE的面積，進行計算即可求解．【詳解】（1）解：①證明：∵∠ACB=∠DCE，∴∠ACD+∠DCB=∠DCB+∠ECB，∴∠ACD=∠BCE，在△ACD和△BCE中，AC=BC∠ACD=∠BCE∴△ACD≌△BCE(SAS∴AD=BE，故答案為：∠ECB；②∵∠ACB=50°，∴∠DCE=∠ACB=50°，∵CD=CE，∴∠CDE=∠CED=1∴∠ADC=180°?∠CDE=115°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CEB=∠ADC=115°，∴∠AEB=∠CEB?∠CED=50°，故答案為：50°；（2）∵△ACD≌△BCE，∴AD=BE，∵CD=CE，CM⊥DE，∴DM=ME，在Rt△DCE中，CM⊥DE，∠CDM=45°∴∠DCM=∠CDM=45°，∴DM=CM，∴DM=ME=CM，∴AE=AD+DE=BE+2CM；（3）解：由（2）得：AE=BE+2CM=2+2×1=4，∵CM為△DCE中DE邊上的高，∴S【點睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，掌握全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．19．（2022·河南新鄉(xiāng)·二模）（1）在△ABC中，AB=nAC，∠BAC=α，∠DAE=12α，且點D，E別不與點B，C重合，且點D在點E左側(cè)）．①初步探究如圖1，若n=1，α=120°，BD=CE，試探究BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系．下面是小東的探究過程（不完整），請補充完整．解：∵n=1，α=120°，∴AB=AC，∠BAC=120°，∠DAE=60°．∴∠ABD=∠ACE=30°．如圖，將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ACG，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE為等邊三角形．（依據(jù)：_________________）∴CG=______=______．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．②類比探究如圖2，若n=1，α=90°，BD≠CE，請寫出BD，DE，CE之間的數(shù)量關(guān)系，并就圖2的情形說明理由．（2）問題解決如圖3，在△ABC中，∠BAC=45°，AM⊥BC于點M，BM=3，CM=2，點N為線段BC上一動點，當(dāng)點N為BC的三等分點時，直接寫出AN的長．【答案】（1）①有一個角為60°的等腰三角形，CE，GE；②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2．證明見詳解（2）AN的長為2385【分析】（1）①將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ACG，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AGC≌△ADB，得出CE=CG，∠GCE=60°．可證△CGE為等邊三角形．（依據(jù)：有一個角為60°的等腰三角形），得出CG=CE=②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2,將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACG，連結(jié)CG，得出AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，再證∠DAE=∠GAE，然后證明△DAE≌△GAE（SAS）即可；（2）將△AMC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AHC′，延長HC′與MB的延長線交于S，先證四邊形AHSM為正方形，∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=BS，再證△AC′B≌△ACB（SAS），得出C′B=CB=BM+CM=5，根據(jù)勾股定理得'2+SB【詳解】（1）①將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)120°，得到△ACG，連接GE．由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，可知△AGC≌∴BD=CG，AD=AG，∠ACG=∠ABD=30°．∴CE=CG，∠GCE=60°．∴△CGE為等邊三角形．（依據(jù)：有一個角為60°的等腰三角形）∴CG=CE=GE．∵∠DAG=120°，∠DAE=60°，∴∠DAE=∠EAG=60°，又∵AE=AE，∴△ADE≌∴DE=GE．∴BD=CE=DE．故答案為：有一個角為60°的等腰三角形，CE，GE；②結(jié)論是：DE2=CE2+BD2．證明：將△ABD繞點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°，得到△ACG，連接EG，則AD=AG，BD=CG，∠BAD=∠CAG，∠B=∠ACG，∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠ABC=∠ACB=45°，∴∠ECG=∠ACB+∠ACG=90°，∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠BAD+∠EAC=90°-∠DAE=45°，∴∠DAE=∠GAE，在△DAE和△GAE中，AD=AG∠DAE=∠GAE∴△DAE≌△GAE（SAS），∴DE=GE，在Rt△GCE中，GE2=EC2+GC2即DE2=EC2+BD2；（2）解：將△AMC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°到△AHC′，延長HC′與MB的延長線交于S，則∠HAM=90°，∵AM⊥BC，∴∠AMC=∠AMB=90°，根據(jù)三角形旋轉(zhuǎn)90°得AH=AM，HC′=MC=2，AC′=AC，∠HAC′=∠MAC，∠H=∠AMC=90°，∴∠H=∠AMC=∠HAM=90°，∴四邊形AHSM為矩形，∵AH=AM，∴四邊形AHSM為正方形，∴∠C′AB=90°-∠HAC′-∠BAM=90°-（∠CAM+∠MAB）=45°=∠CAB,AM=AH=HS=MS，在△AC′B和△ACB中，AC∴△AC′B≌△ACB（SAS），∴C′B=CB=BM+CM=5，在Rt△C′SB中,C′S=AM-HC′=AM-2，BS=AM-BM=AM-3，根據(jù)勾股定理得SC'2解得AM=6或AM=-1（舍去），當(dāng)點N在BM上，NB=53∴MN=3-BN=43∴AN=MN當(dāng)點N在CM上，CN=53∴MN=2-CN=13∴AN=MN綜合AN的長為2385或【點睛】本題考查圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，一元二次方程，掌握圖形旋轉(zhuǎn)性質(zhì)，等邊三角形判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形全等判定與性質(zhì)，正方形判定與性質(zhì)，一元二次方程是解題關(guān)鍵．??題型06全等三角形證明方法的合理選擇20．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，E為AC邊的中點，過點A作AD⊥AB交BE的延長線于點D，CG平分∠ACB交BD于點G，F(xiàn)為AB邊上一點，連接CF，且∠ACF=∠CBG．求證：

(1)AF=CG；(2)CF=2DE．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)、等腰三角形的判定和性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意，則∠ACG=∠BCG=45°，∠CAF=∠CBF=45°，等量代換，則∠CAF=∠BCG，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)，即可；（2）延長CG交AB于H，連接AG，根據(jù)題意，垂直平分線的性質(zhì)，證明得到CH是AB的垂直平分線，則AH=BH，AG=BG，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，則AD∥CG，∠D=∠EGC，根據(jù)∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，推出∠D=∠DAG，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，則△AFC≌△CGB，得到CF=BG，根據(jù)E為AC邊的中點，全等三角形的判定和性質(zhì)，則△ADE≌△CGEAAS【詳解】（1）證明，如下：∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAF=∠CBF=45°，∵CG平分∠ACB交BD于點G∴∠ACG=∠BCG=45°，∴∠CAF=∠BCG，∵AC=BC，∠ACF=∠CBG，∴△AFC≌△CGBASA∴AF=CG．（2）證明，如下：延長CG交AB于H，連接AG，∵CG平分∠ACB，AC=BC，∴CH是AB的垂直平分線，∴AH=BH，AG=BG，∴∠ABG=∠GAB，∵AD⊥AB，∴AD∥CG，∠DAB=90°，∴∠D=∠EGC，∵∠GBA+∠D=∠BAG+∠DAG=90°，∴∠D=∠DAG，∴DG=AG=GB，∵△AFC≌△CGB，∴CF=BG，∴DG=CF，∵E為AC邊的中點，∴AE=CE，∵∠AED=∠CEG，∴△ADE≌△CGEAAS∴DE=GE，∴DG=2DE，∴CF=2DE．

21．（2024·青海玉樹·三模）[證明體驗](1)[思考探究]如圖1，在△ABC中，點D在邊BC上，點F在邊AC上，AB=AD，F(xiàn)B=FC，AD與BF相交于點E．求證：∠ABF=∠CAD．(2)[拓展延伸]如圖2，在（1）的條件下，過點D作AB的平行線交AC于點G，若DE=2AE，AB=6，求DG的長．【答案】(1)見解析(2)2【分析】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，綜合運用以上知識是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)等邊對等角得出∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，進而根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)，等量代換即可得證；（2）證明△ADG≌△BAE(ASA)【詳解】（1）證明：∵AB=AD，F(xiàn)B=FC∴∠ABD=∠ADB，∠C=∠FBC，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∠ABD=∠ABF+∠FBC，∴∠ABF=∠CAD；（2）解：∵∠ABF=∠CAD，∴∠ABE=∠DAG，∵DE=2AE，AB=6，∴AD=AB=6，AE=1∵DG∥AB，∴∠BAE=∠ADG，在△ADG與△BAE中，∠DAG=∠ABEAD=BA∴△ADG≌△BAE(ASA)∴DG=AE=2；22．（2024·湖南長沙·模擬預(yù)測）如圖，點E是正方形ABCD的邊CD的中點，將△ADE沿AE翻折至△AFE，延長AF交邊BC于點G．

(1)求證：CG=FG；(2)若正方形的邊長為2，求BG的長．【答案】(1)見解析(2)3【分析】本題主要考查了翻折變換，三角形的全等的判定與性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理．利用翻折變換是全等變換是解題的關(guān)鍵．（1）連接EG，證明Rt△EFG≌（2）設(shè)GC=FG=x，在Rt△ABG中，利用勾股定理求出x的值，再根據(jù)BG=BC?CG【詳解】（1）解：連接EG，如圖，

∵正方形ABCD，∴AB=BC=CD=AD，∠D=∠C=90°∵點E是CD中點，∴DE=EC，由折疊可知：△ADE≌△AFE，則AF=AD，∠AFE=∠D=90°，F(xiàn)E=DE，∴EF=EC，在Rt△EFG和RtEF=ECEG=EG∴Rt∴FG=GC；（2）由（1）知：CG=FG，AF=AD，設(shè)GC=FG=x，∵正方形ABCD的邊長為2，∴AB=BC=CD=AD=2，則BG=BC?CG=2?x，AG=AF+FG=2+x，在Rt△ABG∵AB∴2解得：x=1∴BG=BC?CG=2?123．（2024·黑龍江哈爾濱·三模）如圖，P是菱形對角線AC上的一點，連接DP并延長交邊AB于點E，連接BP并延長交邊AD于點F．(1)如圖1，求證：△APB≌△APD；(2)如圖2，連接EF、BD，請直接寫出圖中所有的等腰三角形（不包括以菱形的邊AD和【答案】(1)詳見解析(2)△AEF，△PEF，△PDB，△CBD【分析】本題考查菱形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定，熟練掌握菱形的性質(zhì)和等腰三角形的判定，利用全等三角形的性質(zhì)證明邊相等是解答的關(guān)鍵．（1）利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定（SAS）可得結(jié)論；（2）利用菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合等腰三角形的判定可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：如圖1，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BAP=∠DAP，AB=AD，CD=BC，在△APB和△APD中，AB=AD∠BAP=∠DAP∴△APB≌△APDSAS（2）解：如圖2，∵CD=BC，∴△CDB是等腰三角形，由（1）知△APB≌△APD，∴PB=PD，∠ABP=∠ADP，則△PDB是等腰三角形，在△PBE和△PDF中，∠EBP=∠FDPPB=PD∴△PBE≌△PDFASA∴BE=DF，PE=PF，則△PEF是等腰三角形；∴AB?BE=AD?DF，即AE=AF，則△AEF是等腰三角形，綜上，所有的等腰三角形為△AEF，△PEF，△PDB，△CBD．??題型07利用全等三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題24．（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）如圖，在正方形ABCD中，邊長為2的等邊三角形AEF的頂點E、F分別在BC和CD上，下列結(jié)論：①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=6；④S正方形ABCD【答案】①②④【分析】本題主要考查正方形的性質(zhì)，勾股定理等知識點．根據(jù)三角形的全等的知識可以判斷①的正誤；根據(jù)角角之間的數(shù)量關(guān)系，以及三角形內(nèi)角和為180°判斷②的正誤；利用勾股定理解三角形求正方形的邊長和面積可以判斷③和④的正誤．【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∵△AEF是等邊三角形，∴AE=AF，在Rt△ABE和RtAB=ADAE=AF∴Rt∴BE=DF，∵BC=DC，∴BC?BE=CD?DF，∴CE=CF，①說法正確；∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形，∴∠CEF=45°，∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°，②說法正確；∵EF=2，∴CE=CF=2設(shè)正方形的邊長為a，在Rt△ADFAD2+D解得a=2∴BE=DF=2∴BE+DF=6?2∵a=2則a2S正方形ABCD=2+故答案為：①②④．25．（2024·四川廣元·二模）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一個動點，且ABP是以AB為底邊的等腰三角形，連接AC，PD，PC，有下列結(jié)論：①PD=PC;②PA+PC>AC;③當(dāng)PB=BC時，∠BPC=60°;④當(dāng)AB=AP時，S其中結(jié)論正確的是（

）A．①② B．③④ C．①④ D．②③【答案】C【分析】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積公式等知識，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．由正方形的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)可得AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，可得△DAP≌△CBP，①正確，再根據(jù)△ABP是等邊三角形，即可得出③不正確，④正確【詳解】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=BC，∠ABC=∠DAB=90°，∵△ABP是等腰三角形，∴AP=BP∴∠ABP=∠PAB∴∠CBP=∠PAD∴△DAP≌△CBP(∴DP=CP故①正確；當(dāng)A,P,C三點在同一條直線上時，PA+PC=AC故②不正確；當(dāng)PB=PC時，∵AB=BC∴AB=BP=AP∴△ABP是等邊三角形，∠ABP=60°，∴∠DAP=∠CBP=30°，∴∠BCP=∠BPC=75°，故③不正確；當(dāng)AB=AP時，設(shè)AB=a∵AP=BP∴AB=BP=AP∴△ABP是等邊三角形，過點P作PG⊥AB于點G，PH⊥AD于點H，∴AG=GB=12∵∠BAD=∠AGP=90°，∴四邊形AGPH是矩形，∴PH=AG，∵SΔABCS∴S∴S∴SABC=3綜上所述：①④．故選：C．26．（2024·河北唐山·模擬預(yù)測）如圖，在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4cm，點M，N分別在AB，CD邊上，且AM=CN，將△ADM，△BCN分別沿DM，BN折疊，點A的對應(yīng)點為A'，點C的對應(yīng)點為C'，點A，A'在BD甲：當(dāng)A'C'乙：當(dāng)A'C'則下列正確的是（

）A．甲錯，乙對 B．甲對，乙錯 C．甲、乙都正確 D．甲、乙都錯誤【答案】C【分析】本題考查了矩形與折疊，平行四邊形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)等知識，當(dāng)A'C'∥AD時，延長A'C'交DC于點H，延長C'A'交AB于點K，利用SAS證明△DAM≌△BCN，可得出∠A'MK=∠C'NH，A'M=C'N，利用AAS證明△A'KM≌△C'HN，求出【詳解】如解圖①，當(dāng)A'C'∥AD時，延長A'C'交DC于點∵A'∴HK∥∴∠A由折疊的性質(zhì)可知△ADM≌△A'DM∵AM=CN，∠A=∠C，AD=BC，∴△DAM≌△BCN，∴∠DMA=∠BNC．∴∠A'MK=∠∴△A∴A'K=∴AK=BK=CH=2，∴C∴C∴A'C如解圖②，當(dāng)A'C'⊥BD于點O時，連接在矩形ABCD中，AD=3cm，AB=4∴BD=5cm∵AM=CN，∴A'M=C'∴△A∴A又∵A∴四邊形A'∴BO=DO=52cm∴A故選：C．27．（2024·北京門頭溝·一模）如圖，在等邊三角形ABC中，有一點P，連接PA、PB、PC，將BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，連接PD、AD，有如下結(jié)論：①△BPC≌△BDA；②△BDP是等邊三角形；③如果∠BPC=150°，那么PA2=PB2+PC2．以上結(jié)論正確的是（A．①② B．①③ C．②③ D．①②③【答案】D【分析】①根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出AB=BC，∠ABC=60°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BD=BP,∠DBP=60°，即可求證；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出BD=BP,∠DBP=60°，即可證明△BDP是等邊三角形；③根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得出∠BDP=60°根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出∠ADB=150°，則∠ADP=∠ADB?∠BDP=90°，即可推出PA2=PB2+PC2．【詳解】解：①∵△ABC是等邊三角形，∴AB=BC，∠ABC=60°，∵BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，∴BD=BP,∠DBP=60°，∴∠ABC?∠ABP=∠DBP?∠ABP，即∠ABD=∠CBP，∵AB=BC,∠ABD=∠CBP,BD=BP，∴△BPC≌△BDA，故②∵BP繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，∴BD=BP,∠DBP=60°，∴△BDP是等邊三角形，故②正確，符合題意；③∵△BDP是等邊三角形，∴∠BDP=60°∵△BPC≌△BDA，∴∠ADB=150°，∴∠ADP=∠ADB?∠BDP=90°，∴PA2=PB2+PC2，故③正確，符合題意；綜上：正確的有①②③，故選：D．【點睛】本題考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的關(guān)鍵的掌握旋轉(zhuǎn)前后對應(yīng)邊相等；全等三角形的判定方法以及全等三角形對應(yīng)角相等；等邊三角形的判定方法以及等邊三角形三個角都是60度；直角三角形兩直角邊平方和等于斜邊平方．??題型08與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-平移模型28．（2024·云南昆明·一模）如圖，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，且點B，E、C、F在同一條直線上．求證：

【答案】證明見解析【分析】此題主要考查了平行線的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)；首先利用平行線的性質(zhì)∠B=∠DEF，再證明△ABC≌△DEF，即可證明．【詳解】證明：∵AB∥∴∠B=∠DEF，∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF，又∵AB=DE，∴△ABC≌△DEFSAS∴∠ACB=∠DFE．29．（2024信陽市模擬預(yù)測）如圖，已知A，D，C，E在同一直線上，BC和DF相交于點O，AD=CE，AB∥DF，AB=DF．(1)求證：△ABC≌△DFE；(2)連接CF，若∠BCF=54°，∠DFC=20°，求∠DFE的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)∠DFE=74°【分析】本題考查的是平行線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，三角形的外角的性質(zhì)．（1）先證明∠A=∠EDF，AC=DE，再利用SAS證明△ABC≌△DFE即可；（2）先求得∠DOC=∠BCF+∠DFC=74°，證明∠B=∠DOC=74°，再利用全等三角形的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）證明：∵AB∥DF，∴∠A=∠EDF，∵AD=CE，∴AD+CD=CE+CD，即AC=DE，在△ABC和△DFE中，AB=DF∠A=∠FDE∴△ABC≌△DFE；（2）解：∵∠BCF=54°，∠DFC=20°，∴∠DOC=∠BCF+∠DFC=54°+20°=74°，∵AB∥DF，∴∠B=∠DOC=74°，∵△ABC≌△DFE，∴∠DFE=∠B=74°．??題型09與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-對稱模型30．（2024·廣東·模擬預(yù)測）（1）解不等式組：3x+1<4（2）如圖，已知A，F(xiàn)，C，D四點共線，AF=CD，AB=DE，∠A=∠D，連接BC，EF，求證：BC=EF．【答案】（1）?2<x<1；（2）證明見解析【分析】本題考查了解不等式組，全等三角形的判定和性質(zhì)．（1）根據(jù)解不等式組的方法進行求解即可；（2）根據(jù)兩邊及其夾角分別對應(yīng)相等的兩個三角形全等先證明△ABC≌△DEF，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證明．【詳解】（1）解：3x+1<4①解不等式①得：x<1，解不等式②得：x>?2，故不等式的解集為：?2<x<1．（2）證明：∵AF=CD，∴AF+FC=CD+FC，即AC=DF，在△ABC和△DEF中，AC=DF∠A=∠∴△ABC≌△DEFSAS∴BC=EF．31．（2024中山市模擬預(yù)測）已知，如圖，BD是∠ABC的平分線，AB=BC，點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，垂足分別是M、N．試說明：PM=PN．【答案】見解析【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)．根據(jù)角平分線的定義可得∠ABD=∠CBD，然后利用“邊角邊”證明△ABD和△CBD全等，根據(jù)全等三角形對應(yīng)角相等可得∠ADB=∠CDB，然后根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊的距離相等證明即可．【詳解】證明：∵BD為∠ABC的平分線，∴∠ABD=∠CBD，在△ABD和△CBD中，AB=BC∠ABD=∠CBD∴△ABD≌△CBDSAS∴∠ADB=∠CDB，∵點P在BD上，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM=PN．32．（2024·青?！ひ荒＃┤鐖D，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，交CB于點D，過點D作DE⊥AB于點E．(1)求證：AC=AE；(2)若BC=4，AB=5，求BE的長．【答案】(1)證明見解析(2)2【分析】本題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，勾股定理，（1）由角平分線的性質(zhì)得到DC=DE，證明Rt△ADC≌（2）由勾股定理求出AC，由（1）知AC=AE，由BE=AB?AE=AB?AC，即可得解；掌握角平分線的性質(zhì)和勾股定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵∠C=90°，∴DC⊥AC，∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，∴DC=DE，在Rt△ADC和RtDC=DEAD=AD∴Rt△ADC≌∴AC=AE；（2）解：∵∠C=90°，BC=4，AB=5，∴AC=A由（1）知：AC=AE，∴BE=AB?AE=AB?AC=5?3=2，∴BE的長為2．??題型10與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-旋轉(zhuǎn)模型33．（2024九年級下·浙江·專題練習(xí)）閱讀下面材料：小明遇到這樣一個問題：如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別為DC、BC邊上的點，∠EAF=45°，連接EF，求證：DE+BF=EF．小明是這樣思考的：要想解決這個問題，首先應(yīng)想辦法將這些分散的線段集中到同一條線段上．他先后嘗試了平移、翻折、旋轉(zhuǎn)的方法，發(fā)現(xiàn)通過旋轉(zhuǎn)可以解決此問題．他的方法是將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG（如圖2），此時GF即是DE+BF．參考小明得到的結(jié)論和思考問題的方法，解決下列問題：(1)在圖2中，∠GAF的度數(shù)是______．(2)如圖3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，E是CD上一點，若∠BAE=45°,DE=4，求BE的長度．(3)如圖4，△ABC中，AC=4,BC=6，以AB為邊作正方形ADEB，連接CD．當(dāng)∠ACB的度數(shù)為多少時，線段CD有最大值，并求出CD的最大值．【答案】(1)45°(2)BE=(3)當(dāng)∠ACB=135°時，線段CD【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出∠GAE=90°，∠GAB=∠DAE，根據(jù)∠EAF=45°，利用角的和差關(guān)系得出∠BAG+∠BAF=45°即可得答案；（2）如圖，過點A作AH⊥BC，交CB延長線于H，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGF，可證明四邊形AHCD是正方形，可得點H與點G重合，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，結(jié)合（1）的結(jié)論，利用SAS證明△AFB≌△AEB，可得BF=BE，根據(jù)線段的和差關(guān)系得出BC=14?BE，在Rt△BCE中，利用勾股定理列方程求出BE（3）如圖，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，連接BF、CF，可得△CAF是等腰直角三角形，∠ACF=45°，利用勾股定理可求出CF=42，利用SAS證明△CAD≌△FAB，得出CD=BF，可得BF有最大值時，CD有最大值，利用三角形三邊關(guān)系求出BF的最大值，并根據(jù)平角的定義求出∠ACB【詳解】（1）解：∵將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABG，∴∠GAE=90°，∠GAB=∠DAE，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=∠BAD=90°，∵∠EAF=45°，∴∠DAE+∠BAF=90°?45°=45°，∴∠BAG+∠BAF=45°，∴∠GAF=45°．故答案為：45°（2）如圖，過點A作AH⊥BC，交CB延長線于H，將△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△AGF，∴∠FAB=90°，AE=AF，∠AGF=∠D=90°，F(xiàn)G=DE=4，∵直角梯形ABCD中，AD∥BC(AD>BC)，∠D=90°，AD=CD=10，∴∠AHC=∠D=∠C=90°，∴四邊形AHCD是正方形，AD=AH=CH，∠DAH=90°，∴點H與G重合，F(xiàn)、H、B三點共線，∵∠BAE=45°，∴由（1）可知∠FAB=∠EAB=45°，在△AFB和△AEB中，AF=AE∠FAB=∠EAB∴△AFB≌△AEB，∴BF=BE，∴BH=BF?FH=BE?4，∴BC=CH?BH=10?(BE?4)=14?BE，∵AD=CD=10，DE=4，∴CE=CD?DE=6，∵在Rt△BCE中，B∴BE解得：BE=58（3）如圖，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得線段AF，連接BF、CF，∴△CAF是等腰直角三角形，∠ACF=45°，∵AC=4，∴CF=A∵四邊形ADEB是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB，∴∠FAC+∠BAC=∠DAB+∠BAC，即∠FAB=∠CAD，在△FAB和△CAD中，AC=AF∠CAD=∠FAB∴△CAD≌△FAB，∴CD=BF，∴當(dāng)BF有最大值時，CD有最大值，∵BC+CF≥BF，BC=6，∴當(dāng)B、C、F三點共線時，BF有最大值，BF=BC+CF=6+42∵∠ACF=45°，∴此時∠ACB=180°?45°=135°，∴當(dāng)∠ACB=135°時，線段CD有最大值，最大值為【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理及三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握相關(guān)知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．34．（2024·貴州遵義·三模）如圖①，已知正方形ABCD和等腰直角△AEF，∠BAD=∠EAF=90°，連接DF，BE．(1)【問題發(fā)現(xiàn)】如圖①，線段BE與DF的數(shù)量關(guān)系為______，位置關(guān)系為______；(2)【問題探究】如圖②，將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)，再將DF繞點F順時針方向旋轉(zhuǎn)90°至FM，連接BM，探究線段EF與線段BM的數(shù)量及位置關(guān)系，并說明理由；(3)【拓展延伸】將△AEF繞點A旋轉(zhuǎn)至AF∥BE，延長DF交直線AB于H、交BE于G，若FH=4，DF=9，求出【答案】(1)BE=DF，BE⊥DF；(2)EF=BM，EF∥BM，理由見解析；(3)3或15．【分析】（1）延長DF交BE于點N，證明△ABE≌△ADFSAS，∠ADF+∠AEB=90°，∠DNE=180°?∠ADF+∠AEB，（2）延長DF交BE于N，交AB于H，推出△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，△AEB≌△AFD，∠BNH=∠HAD=90°，F(xiàn)M=BE，∠DEM=∠FNB，則FM∥BE，推出四邊形BEFM為平行四邊形，即可作答；（3）分兩種情況討論，分別作答即可．【詳解】（1）解：延長DF交BE于點N，∵△AEF為等腰直角三角形，四邊形ABCD為正方形，∴∠BAD=∠EAF=90°，AE=AF，AB=AD，∴△ABE≌△ADFSAS∴∠ABE=∠ADF，BE=DF，∵∠ABE+∠AEB=90°，∴∠ADF+∠AEB=90°，∴∠DNE=180°?∠ADF+∠AEB∴DN⊥BE，即DF⊥BE，故答案為：BE=DF，BE⊥DF；（2）解：EF=MB，EF∥BM，理由如下：如圖，延長DF交BE于N，交AB于H，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∴△AEF是等腰直角三角形，∠EAF=90°，∴AE=AF，∴∠EAB=∠DAF，∴△AEB≌△AFDSAS∴DF=BE，∴∠ADF=∠NBA，∴∠NHB=∠AHD，∴∠BNH=∠HAD=90°，∵DF=FM，∠DFM=90°，∴FM=BE，∠DEM=∠FNB，∴FM∥BE，∵四邊形BEFM為平行四邊形，∴EF=MB，EF∥BM；（3）解：分兩種情況，情況一：如圖，∵AF∥BE，∠EAF+∠AEG=180°，∴∠EAF=∠AEG=90°，由（1）得∠FGE=90°，∴四邊形AEGF為正方形，∴∠AFD=90°，EG=AF，∵∠HAD=90°，∴∠HAF=∠ADF，∴△AFH∽△DFA，∴AFDF∴AF∵FH=4，DE=9，∴AF=6，∴BG=BE?EG=DF?AF=3；情況二：如圖，同理得EG=AF，AF=6，∴BG=BE+EG=DF+AF=15，綜上所述：BG的長為3或15．【點睛】本題是正方形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是分類討論畫出相應(yīng)的圖形解決問題．35．（2024·山東濟南·模擬預(yù)測）（1）如圖1，在Rt△ABC中，∠BAC=90°,AB=AC，點D是△ABC內(nèi)部任意一點．連接AD，將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段AE，連接BD,CE，則線段BD與CE（2）如圖2，四邊形ABCD是正方形，△DEF繞點D旋轉(zhuǎn)DE<AB，且∠EDF=90°，DE=DF，連接AE,CF，直線AE與直線CF相交于點①求證：AE⊥CF；②如圖3，當(dāng)點G在FC的延長線上時，連接BG，已知AB=5,DE=4，在△DEF旋轉(zhuǎn)的過程中，求線段BG的最小值．【答案】（1）BD=CE（2）①見解析②3【分析】（1）直接證明△BAD≌△CAESAS（2）①證明△ADE≌△CDFSAS，得∠DAE=∠DCF，即可求得∠CGP=②過點B作BM⊥AG于點M，作BN⊥FC，交FC的延長線于點N，過點D作DH⊥AG于點H．先證明△ABM≌△CBNAAS，得到BM=BN．從而得證四邊形BMGN是正方形，得到BM=MG．再證明△ABM≌△DAHAAS，得到BM=AH．再根據(jù)勾股定理得AH=AD2?DH2=52【詳解】解：（1）由旋轉(zhuǎn)可得：∠EAC+∠CAD=∠EAD=90°，AE=AD，∵∠BAC=90°，∴∠BAD+∠CAD=90°，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，∴△BAD≌△CAESAS∴BD=CE；（2）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴DA=DC,∠ADC=90°，又∵∠EDF=90°，∴∠ADC?∠EDC=∠EDF?∠EDC，即∠ADE=∠CDF，在△ADE和△CDF中，DA=DC∠ADE=∠CDF∴△ADE≌△CDFSAS∴∠DAE=∠DCF．∵∠DAE+∠APD=90°,∠APD=∠CPG，∴∠DCF+∠CPG=90°，∴∠CGP=90°∴AE⊥CF．②解：如圖，過點B作BM⊥AG于點M，作BN⊥FC，交FC的延長線于點N，過點D作DH⊥AG于點H．由①知AE⊥CF，∴∠BMG=∠MGN=∠BNG=90°，∴四邊形BMGN是矩形，∴∠MBN=90°．又∵∠ABC=90°，∴∠ABC?∠MBC=∠MBN?∠MBC，即∠ABM=∠CBN．在△ABM和△CBN中，∠ABM=∠CBN∠AMB=∠CNB=90°∴△ABM≌△CBN∴BM=BN．∴四邊形BMGN是正方形，∴BM=MG．∵∠DAH+∠MAB=90∠ADH+∠DAH=∴∠MAB=∠ADH．在△ABM和△DAH中，∠MAB=∠ADH∠AMB=∠DHA=90°∴△ABM≌△DAH∴BM=AH．∵AH=A∴當(dāng)DH最大時，AH最小，此時DH=DE=4，∴AH∴BG【點睛】本題考查正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題屬四邊形綜合題目，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵．36．（2024·貴州貴陽·二模）小瑞同學(xué)在進行數(shù)學(xué)探究活動中發(fā)現(xiàn)：將矩形ABCD繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α0<α<180°得到矩形EFGC[探究1]（1）如圖①，當(dāng)α=30°時，點E在AD上，連接BE，求∠AEB的度數(shù)；[探究2]（2）如圖②，連結(jié)BD，F(xiàn)C，過點E作EM∥FC交BD于點M．證明：BM=EM；[探究3]（3）在探究2的條件下，射線BD分別交EC，F(xiàn)C于點P，N，如圖③，探究線段BN，MN，PN之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）∠AEB=75°；（2）證明見解析；（3）MN【分析】（探究1）根據(jù)題意，證明AD∥BC，即可解答．（探究2）連接BE，證明△CFE≌△BDC(SAS)，得到（探究3）連接CM，證明△CEM≌△CBM(SSS)，【詳解】[探究1]解：矩形ABCD繞點A順時針旋轉(zhuǎn)30°得到矩形EFCG，∴∠BCE=30°，∵BC=CE，∴∠EBC=∠BEC=75°，矩形ABCD，∴AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC=75°[探究2]證明：如圖，連接BE，∵EM∥CF，∴∠MEC=∠FCE，在△CFE和△BDC中，CE=CB∠CEF=∠DCB=90°∴△CFE≌△BDC(SAS∴∠FCE=∠DBC，∴∠MEC=∠DBC，∵CE=BC，∴∠BEC=∠EBC，∴∠MEB=∠MBE，∴EM=BM；[探究3]解：關(guān)系式為MN如圖，連接CM，在△CEM≌△CBM中，EM=BMCE=CB∴△CEM≌△CBM(SSS∴∠MCE=∠MCB，∵∠CMN=∠MBC+∠MCB，∠NCM=∠MCE+∠NCE，∴∠NMC=∠NCM，∴MN=CN，在△NCP和△NBC中，∵∠CNP=∠BNC，∴△NCP∽△NBC，∴PN∴CN∴M【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)與判定，等邊三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，掌握這些性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．??題型11與全等三角形有關(guān)的基礎(chǔ)模型-一線三等角37．（2024太原市模擬預(yù)測）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，BE⊥CE于點E，(1)△CDA≌(2)BE=AD?DE【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，靈活運用AAS證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)已知條件可得∠CAD=∠BCE、∠ADC=∠E=90°以及AC=BC，運用AAS即可證明結(jié)論；（2）由全等三角形的性質(zhì)可得BE=CD,AD=CE，然后運用等量代換即可證明結(jié)論．【詳解】（1）證明∶∵∠ACB=90°，∴∠ADC=∠ABC=90°，∴∠BCE+∠ACE=90°,∠CAD+∠ACE=90°，∴∠CAD=∠BCE，又∵BE⊥CE，AD⊥CE∴∠ADC=∠E=90°．在△CDA與△BEC中，∠CAD=∠BCE∠ADC=∠E∴．△CDA≌（2）解：∵△CDA≌∴BE=CD,AD=CE，∴BE=CD=CE?DE=AD?DE，即BE=AD?DE．38．（2024·黑龍江雞西·二模）在四邊形ABDE中，C是BD邊的中點．(1)如圖1，若AC平分∠BAE，∠ACE=90°，則線段AE，AB，(2)如圖2，AC平分∠BAE，EC平分∠AED，若∠ACE=120°，則線段AB，BD，DE，AE之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出結(jié)論并證明；(3)如圖3，BC=8，AB=3，DE=7，若∠ACE=120°，則線段AE長度的最大值是．【答案】(1)AE=AB+DE(2)AE=AB+DE+1(3)18【分析】（1）在AE上取一點F，使AF=AB，即可以得出△ACB≌△ACF，就可以得出BC=FC，∠ACB=∠ACF，就可以得出△CEF≌△CED．就可以得出結(jié)論；（2）在AE上取點F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG．可以求得CF=CG，△CFG是等邊三角形，就有FG=CG=1（3）作B關(guān)于AC的對稱點F，D關(guān)于EC的對稱點G，連接AF，F(xiàn)C，CG，EG，F(xiàn)G．同（2）可得△CFG是等邊三角形，則FG=FC=CG=BC=8．當(dāng)A，F(xiàn)，G，E共線時，AE有最大值=AF+FG+GE，即可求解．【詳解】（1）解：在AE上取一點F，使AF=AB，連接CF．如圖（1），∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACFSAS∴BC=FC，∠ACB=∠ACF．∵C是BD邊的中點．∴BC=CD，∴CF=CD．∵∠ACE=90°，∴∠ACB+∠DCE=90°，∠ACF+∠ECF=90°，∴∠ECF=∠ECD．在△CEF和△CED中，CF=CD∠ECF=∠ECD∴△CEF≌△CEDSAS∴EF=ED．∵AE=AF+EF，∴AE=AB+DE；故答案為：AE=AB+DE．（2）解：結(jié)論：AE=AB+DE+1證明：在AE上取一點F，使AF=AB，連接CF，在AE上取點G，使EG=ED，連接CG．如圖（2），∵C是BD邊的中點，∴CB=CD=1∵AC平分∠BAE，∴∠BAC=∠FAC．在△ACB和△ACF中，AB=AF∠BAC=∠FAC∴△ACB≌△ACFSAS∴CF=CB，∠ACB=∠ACF．同理可證：CD=CG，∠DCE=∠GCE．∵CB=CD，∴CG=CF，∵∠ACE=120°，∴∠BCA+∠DCE=180°?120°=60°．∴∠FCA+∠GCE=60°．∴∠FCG=60°，∴△FGC是等邊三角形．∴FG=FC=CG=1∵AE=AF+EG+FG，∴AE=AB+DE+1（3）解：將△ABC沿AC翻折得△AFC，將△ECD沿EC翻折得△ECG，連接FG，如圖3，由翻折可得AF=AB=3，GE=ED=7，F(xiàn)C=BC=8，CG=CD，∠BAC=∠FAC，∠DEC=∠GEC，∵C是BD邊的中點，∴CD=CB=8，∴CG=CD=8∵∠ACE=120°，由（2）可得△FGC是等邊三角形，∴FG=FC=BC=8．∵AE≤AF+FG+GE當(dāng)A，F(xiàn)，G，E共線時，AE有最大值=AF+FG+GE=3+8+7=18．故答案為：18．【點睛】本題考查了角平分線的定義，全等三角形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，兩點之間線段最短，作恰當(dāng)?shù)妮o助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．39．（2024·青海西寧·三模）類比探究題：【建立模型】（1）如圖1，等腰直角三角形ABC中，∠ACB=90°，CB=CA，直線ED經(jīng)過點C，過A作AD⊥ED于點D，過B作BE⊥ED于點E．求證：△ACD≌【應(yīng)用模型】（2）如圖2，點A的坐標(biāo)為0,1，點B是x軸正半軸上的一動點，以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，設(shè)點B的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)為y，請寫出y與x的函數(shù)關(guān)系．【拓展拔高】（3）如圖3，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點P是BC邊上的一個動點（點P與點B，C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點C落到點F處；過點P作∠BPF的角平分線交AB于點E．設(shè)BP=x，BE=y，則y與x的函數(shù)關(guān)系是_______，BE最大值為______．【答案】（1）見解析；（2）y=x+1x>0；（3）y=?1【分析】（1）證明∠ACD=∠CBE即可證明△ACD≌（2）過C作CM⊥y軸于點M，證明△ACM≌△DAO，即可得到CM=OA=1，AM=OB=x，再根據(jù)（3）證明△BPE∽△CDP即可得到y(tǒng)與x的函數(shù)關(guān)系，然后根據(jù)關(guān)系式求BE最大值即可．【詳解】（1）∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCE=90°，∵BE⊥ED，AD⊥ED，∴∠D=∠E=90°，∠CBE+∠BCE=90°，∴∠ACD=∠CBE，∵CB=CA，∴△ACD≌△CBEAAS（2）過C作CM⊥y軸于點M，∵點A的坐標(biāo)為0,1，點B是x軸正半軸上的一動點，點B的橫坐標(biāo)為x，點C的縱坐標(biāo)為y，∴y=OM，x=OB，OA=1，x>0∵以AB為直角邊作等腰直角△ABC，使∠BAC=90°，∴∠BAC=∠BOA=∠AMC=90°，AB=AC，∴∠MAC=∠ABO=90°?∠AOB，∴△ACM≌∴CM=OA=1，AM=OB=x，∴y=OM=OA+AM=x+1，∴y與x的函數(shù)關(guān)系為y=x+1x>0（3）∵矩形ABCD中，AB=3，BC=5，∴AB=CD=3，∠B=∠C=90°，∴∠CPD+∠CDP=90°，∵BP=x，BE=y，∴C