湖北省十堰市丹江口市第二中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷注意事項(xiàng)：1．答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2．請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）1.直線的斜率為（）A. B. C. D.-32.橢圓的短軸長(zhǎng)為（）A. B. C. D.3.從標(biāo)有1，2，3，4，5的五張卡片中無(wú)放回隨機(jī)抽取兩張，則抽到的兩張卡片數(shù)字之和是6的概率為（）A. B. C. D.4.已知平面α的一個(gè)法向量為，則AB所在直線l與平面α的位置關(guān)系為（）.A. B.C. D.l與α相交但不垂直5.高階等差數(shù)列是數(shù)列逐項(xiàng)差數(shù)之差或高次差相等的數(shù)列，中國(guó)古代許多著名的數(shù)學(xué)家對(duì)推導(dǎo)高階等差數(shù)列的求和公式很感興趣，創(chuàng)造并發(fā)展了名為“垛積術(shù)”的算法，展現(xiàn)了聰明才智如南宋數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算法商功》一書中記載的三角垛、方垛、芻甍垛等的求和都與高階等差數(shù)列有關(guān)如圖是一個(gè)三角垛，最頂層有個(gè)小球，第二層有個(gè)，第三層有個(gè)，第四層有個(gè)，則第層小球的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.6.已知等比數(shù)列滿足，，則數(shù)列前8項(xiàng)的和（）A. B. C. D.7.如圖，在四棱錐A﹣BCDE中，AD⊥平面BCDE，底面BCDE為直角梯形，DE∥BC，∠CDE＝90°，BC＝3，CD＝DE＝2，AD＝4．則點(diǎn)E到平面ABC的距離為（）A. B. C. D.28.折紙是一種以紙張折成各種不同形狀的藝術(shù)活動(dòng)，折紙大約起游于公元1世紀(jì)或者2世紀(jì)時(shí)的中國(guó)，折紙與自然科學(xué)結(jié)合在一起，不僅成為建筑學(xué)院的教具，還發(fā)展出了折紙幾何學(xué)成為現(xiàn)代幾何學(xué)的一個(gè)分支.如圖，現(xiàn)有一半徑為4的圓紙片(A為圓心，B為圓內(nèi)的一定點(diǎn))，且，如圖將圓折起一角，使圓周正好過(guò)點(diǎn)B，把紙片展開，并留下一條折痕，折痕上到A，B兩點(diǎn)距離之和最小的點(diǎn)為P，如此往復(fù)，就能得到越來(lái)越多的折痕，設(shè)P點(diǎn)的軌跡為曲線C.在C上任取一點(diǎn)M，則△MAB面積的最大值是（）A.2 B.3 C. D.二、多選題（本題共3小題，每題6分，共18分；全部選對(duì)得6分，多選對(duì)多得分，選錯(cuò)得0分）9.已知事件A，B發(fā)生的概率分別為，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若B發(fā)生時(shí)A一定發(fā)生，則B.若A與B互斥，則A和B都不發(fā)生的概率為0.5C若，則A與B相互獨(dú)立D.若A與B相互獨(dú)立，則10.下列選項(xiàng)正確的是（）A.若直線與平行，則與的距離為B.過(guò)點(diǎn)且和直線平行的直線方程是C.“”是“直線與直線互相垂直”的必要不充分條件D.直線的傾斜角的取值范圍是11.已知A，B為雙曲線的左、右頂點(diǎn)，分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，離心率為2且焦點(diǎn)到漸近線的距離為為雙曲線上不同于頂點(diǎn)的動(dòng)點(diǎn)，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.雙曲線的方程為B.直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)C.直線PA，PB的斜率之積為3D.若，則的面積為三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）12.雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離為_______.13.如圖，二面角等于是棱上兩點(diǎn)，分別在半平面內(nèi)，，且，則__________.14.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，對(duì)任意，都有，則的最小值為______四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.）15.某校高一年級(jí)設(shè)有籃球訓(xùn)練課，期末對(duì)學(xué)生進(jìn)行籃球四項(xiàng)指標(biāo)（往返運(yùn)球上籃、一分鐘投籃、四角移動(dòng)、比賽）考核，滿分100分．參加考核的學(xué)生有40人，考核得分的頻率分布直方圖如圖所示．（1）由頻率分布直方圖，求出圖中t值，并估計(jì)考核得分的第40百分位數(shù)；（2）為了提升同學(xué)們的籃球技能，校方準(zhǔn)備招聘高水平的教練．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（樣本量按比例分配），從得分在內(nèi)的學(xué)生中抽取5人，再?gòu)闹刑舫鰞扇诉M(jìn)行試課，求至少一人來(lái)自的概率．16.已知等比數(shù)列的各項(xiàng)滿足，若，且，，成等差數(shù)列．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和．17.如圖，在△ABC中，D，E分別為AB，AC的中點(diǎn)，O為DE的中點(diǎn)，AB=AC=2，BC=4．將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使得平面A1DE平面BCED，如下圖．（Ⅰ）求證：A1OBD；（Ⅱ）求直線A1C和平面A1BD所成角的正弦值；18.已知的圓心在軸上，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)和．（1）求的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)．①若，求直線的方程；②求弦最短時(shí)直線的方程．19.已知，分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，P（異于點(diǎn)A，B）是C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，面積的最大值為2．（1）求橢圓C的方程；（2）記直線PA，PB的斜率分別為，，求的值；（3）直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)（異于A，B兩點(diǎn)），直線AM，AN的斜率分別為，，且，證明：直線MN過(guò)定點(diǎn)．參考答案1-8【答案】C【答案】B【答案】A【答案】A【答案】B【答案】D【答案】C【答案】D9.【答案】BCD10.【答案】AD11.【答案】AC12.【答案】213.【答案】14.【答案】##15.【答案】（1），77.5．（2）．16.【答案】（1）（2）17.（Ⅰ）因?yàn)?，分別為中點(diǎn)，故可得，故為等腰三角形，又為中點(diǎn)，故可得，又因?yàn)槠矫鍭1DE平面BCED，且交線為，又平面，故平面，又平面，故.即證.（Ⅱ）過(guò)作，由（Ⅰ）可知平面，又平面，故可得，又因?yàn)?/，故可得.綜上所述：兩兩垂直，故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：故可得，則設(shè)平面的法向量為，故可得，即，取，可得.故.又，故可得設(shè)直線A1C和平面A1BD所成角為，故可得.則直線A1C和平面A1BD所成角正弦值為.18.【小問1詳解】設(shè)圓心坐標(biāo)為，依題意可得：，解得；則該圓的圓心為，半徑為；故的標(biāo)準(zhǔn)方程為：；【小問2詳解】①由過(guò)點(diǎn)的直線與交于兩點(diǎn)，設(shè)圓心到直線的距離為,由，可得，；當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線方程為，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，即，解得，故直線的方程為，即.綜上可知，直線的方程為或；②依題意可知點(diǎn)在圓內(nèi)，如下圖所示：設(shè)圓心到直線的距離為，由弦長(zhǎng)公式可得，顯然當(dāng)取得最大值時(shí)，即時(shí)，此時(shí)，即當(dāng)時(shí)，弦最短，易知，因此直線的斜率為，可得直線的方程為，即.19.【小問1