第74講存在性問題的探究知識梳理題型一：存在點使向量數(shù)量積為定值例1．（2024·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標(biāo)為，離心率為．求橢圓E的方程；過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例2．（2024·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值?若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由.例3．（2024·重慶渝北·高二重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為.點在橢圓上，且滿足的周長為6.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一定點，使得恒為定值？若存在，求出該點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交于兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式2．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為雙曲線的左、右焦點，的離心率為為上一點，且.(1)求的方程；(2)設(shè)點在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點，且點在以線段為直徑的圓上，過作，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式3．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式4．（2024·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．題型二：存在點使斜率之和或之積為定值例4．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，，，和交點為.(1)求點的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標(biāo)，不存在請說明理由.例5．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)校考階段練習(xí)）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.(1)求動點的軌跡方程；(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.例6．（2024·吉林·吉林省實驗校考模擬預(yù)測）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(1)求的方程.(2)在軸上是否存在定點，過點任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線，當(dāng)與交于兩點時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.變式5．（2024·湖北荊州·高二荊州中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓C方程為，橢圓中心在原點，焦點在x軸上.（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標(biāo)；（2）判斷直線與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線，的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式6．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，實軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個點，使得直線，的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式7．（2024·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且的周長是6.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與交于不同的兩點，，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的離心率是，過點的動直線于橢圓相交于兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得弦長為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在與點不同的定點，使得直線和的傾斜角互補？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．題型三：存在點使兩角度相等例7．（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標(biāo)原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.例9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．變式9．（2024·陜西西安·陜西師大附中校考模擬預(yù)測）已知橢圓經(jīng)過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.變式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式11．（2024·河南信陽·高三信陽高中?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標(biāo)，不存在，請說明理由.題型四：存在點使等式恒成立例10．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結(jié)論并證明.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于，且．(1)求橢圓的離心率；(2)若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；(3)設(shè)．過橢圓右焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于、兩點，點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．例12．（2024·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為A、B．曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)P在第一象限且在雙曲線上，直線BP交橢圓于點M，直線AP與橢圓交于另一點N．(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)MN與x軸交于點T，是否存在點P使得(其中，為點P，T的橫坐標(biāo))，若存在，求出P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．變式12．（2024·福建福州·福州四中?？寄M預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點和右焦點分別為，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)設(shè)點在上，過作的兩條切線，分別與軸相交于兩點.是否存在點，使得等于的短軸長？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式13．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.變式14．（2024·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)校考三模）已知橢圓的焦距為2，長軸長為4.(1)求橢圓的方程及離心率；(2)過點且與軸不重合的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關(guān)于軸的對稱點為.問：平面內(nèi)是否存在定點，使得恒在直線上？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.題型五：存在點使線段關(guān)系式為定值例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓經(jīng)過兩點，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的右焦點是，其右準(zhǔn)線與軸交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；(3)設(shè)點是橢圓的長軸上某一點（不為長軸頂點及坐標(biāo)原點），是否存在與點不同的定點，使得恒成立？只需寫出點的坐標(biāo)，無需證明．例14．（2024·福建寧德·校考模擬預(yù)測）已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點，且，于點G，證明:存在定點H，使為定值.例15．（2024·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，當(dāng)直線l與x軸垂直時，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線l的斜率為k時，在x軸上是否存在一點P（異于點F），使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．變式15．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點，.直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，，直線與橢圓交于另一點，點滿足，且在直線上.(1)求的方程；(2)證明：直線過定點，且存在另一個定點，使為定值.變式16．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中?？茧A段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標(biāo)原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.變式17．（2024·河北秦皇島·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，橢圓的左、右頂點分別為A，B．左、右焦點分別為，，離心率為，點在橢圓C上．

(1)求橢圓C的方程；(2)已知P，Q是橢圓C上兩動點，記直線AP的斜率為，直線BQ的斜率為，．過點B作直線PQ的垂線，垂足為H．問：在平面內(nèi)是否存在定點T，使得為定值，若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，試說明理由．變式18．（2024·四川遂寧·高三射洪中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)點的軌跡為曲線.①過點的動圓恒與軸相切，為該圓的直徑；②點到的距離比到y(tǒng)軸的距離大1.在①和②中選擇一個作為條件:(1)選擇條件：求曲線的方程；(2)在軸正半軸上是否存在一點，當(dāng)過點的直線與拋物線交于兩點時，為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.變式19．（2024·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，且經(jīng)過點．P為橢圓C在第一象限內(nèi)部分上的一點．(1)若，，求面積的最大值；(2)是否存在點P，使得過點P作圓的兩條切線，分別交y軸于D，E兩點，且．若存在，點求出P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由本資料陳飛老師主編，可聯(lián)系微信：renbenjiaoyu2,加入陳老師高中數(shù)學(xué)永久QQ資料群下載（群內(nèi)99%以上資料為純word解析版），群內(nèi)資料每周持續(xù)更新！高一資料群內(nèi)容：1、高一上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高一下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高二資料群內(nèi)容：1、高二上學(xué)期同步講義（word+PDF）2、高二下學(xué)期同步講義（word+PDF）3、寒暑假預(yù)習(xí)講義（word+PDF）4、專題分類匯編（純word解析版）5、全國名校期中期末考試卷（純word解析版）6、期中期末考試串講（word+PDF）…………更多內(nèi)容不斷完善高三資料群內(nèi)容：1、高三大一輪復(fù)習(xí)講義（word+PDF）2、高三二輪沖刺講義（word+PDF）3、高三三輪押題（純word解析版）4、高考真題分類匯編（純word解析版）5、專題分類匯編（純word解析版）6、圓錐曲線專題（word+PDF）7、導(dǎo)數(shù)專題（word+PDF）8、全國名校期中期末一模二模（純word解析版）…………更多內(nèi)容不斷完善第74講存在性問題的探究知識梳理解決存在性問題的技巧：（1）特殊值（點）法：對于一些復(fù)雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其他情況均成立．（2）假設(shè)法：先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論．若結(jié)論正確，則存在；若結(jié)論不正確，則不存在．必考題型全歸納題型一：存在點使向量數(shù)量積為定值例1．（2024·甘肅天水·高二天水市第一中學(xué)?？计谀┮阎獧E圓E的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓的左頂點坐標(biāo)為，離心率為．求橢圓E的方程；過點作直線l交E于P、Q兩點，試問：在x軸上是否存在一個定點M，使為定值？若存在，求出這個定點M的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】設(shè)橢圓E的方程為，由已知得，解得：，所以．所以橢圓E的方程為．假設(shè)存在符合條件的點，設(shè)，，則，，，當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)直線l的方程為，由，得：，，，，，對于任意的k值，上式為定值，故，解得：，此時，為定值；當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l：，，，，由，得為定值，綜合知，符合條件的點M存在，其坐標(biāo)為．例2．（2024·山西大同·高二統(tǒng)考期末）已知橢圓的一個焦點與拋物線的焦點重合，且橢圓短軸的兩個端點與構(gòu)成正三角形.(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線與橢圓交于不同兩點，試問在軸上是否存在定點，使恒為定值?若存在，求出的坐標(biāo)及定值；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意知拋物線的焦點為，所以，因為橢圓短軸的兩個端點與F構(gòu)成正三角形，所以，可求得a=2.故橢圓的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的點，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)其斜率為，則的方程為，由得，設(shè)，所以，則，要使為定值，令，即，此時.當(dāng)直線的斜率不存在時，不妨取，由，可得，所以.綜上所述，存在點，使為定值.例3．（2024·重慶渝北·高二重慶市松樹橋中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點，焦點在軸上，其左、右焦點分別為，，短軸長為.點在橢圓上，且滿足的周長為6.（I）求橢圓的方程；（Ⅱ）過點的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一定點，使得恒為定值？若存在，求出該點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（Ⅰ）所以橢圓的方程為（Ⅱ）假設(shè)存在這樣的定點，設(shè)，直線方程為則=聯(lián)立消去得令即，當(dāng)軸時，令,仍有所以存在這樣的定點，使得變式1．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的離心率為，橢圓經(jīng)過點.（1）求橢圓的方程；（2）過點作直線交于兩點，試問：在軸上是否存在一個定點，使為定值？若存在，求出這個定點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意，，，得，所以橢圓C的方程為.（2）當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)，，，，則聯(lián)立方程組消去y得，.∴，.∵為定值.∴，解得.此時的值為.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，的方程為，解得，.又，則.∴，此時也滿足條件.綜上所述，在x軸上存在定點，使為定值.變式2．（2024·遼寧錦州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為雙曲線的左、右焦點，的離心率為為上一點，且.(1)求的方程；(2)設(shè)點在坐標(biāo)軸上，直線與交于異于的兩點，且點在以線段為直徑的圓上，過作，垂足為，是否存在點，使得為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為雙曲線的離心率為，所以，即，又，所以，則，所以，因為，所以，故雙曲線的方程為.（2）因為點滿足，所以點在雙曲線的左支上，又因為點在坐標(biāo)軸上，則，設(shè)，當(dāng)?shù)男甭蚀嬖跁r，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程，整理得,則，,即,，因為在以線段為直徑的圓上，所以，則，又，，則，所以，即，整理得，即，解得或，經(jīng)檢驗均滿足，當(dāng)時，直線的方程為，則直線過點，不合題意，舍去；當(dāng)時，直線的方程為，則直線恒過定點，符合題意.當(dāng)?shù)男甭什淮嬖跁r，，，，，又，解得（舍去）或，所以直線方程為，則直線恒過定點.綜上，直線恒過定點.因為，所以是以為斜邊的直角三角形，即點在以為直徑的圓上，則點為該圓的圓心即斜邊的中點，又，，所以，為該圓的半徑，即，故存在點，使得為定值.變式3．（2024·山西大同·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的離心率為，且直線是拋物線的一條切線．(1)求橢圓的方程；(2)過點的動直線交橢圓于兩點，試問：在直角坐標(biāo)平面上是否存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點？若存在，求出的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）由得直線是拋物線的一條切線．所以，所以橢圓（2）當(dāng)直線與軸平行時，以為直徑的圓方程為當(dāng)直線與軸重合時，以為直徑的圓方程為所以兩圓的交點為點猜想：所求的點為點．證明如下．當(dāng)直線與軸垂直時，以為直徑的圓過點當(dāng)直線與軸不垂直時，可設(shè)直線為：由得，設(shè)，則則所以，即以為直徑的圓過點所以存在一個定點，使得以為直徑的圓恒過定點．變式4．（2024·江蘇揚州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知橢圓的左頂點為，過右焦點且平行于軸的弦．(1)求的內(nèi)心坐標(biāo)；(2)是否存在定點，使過點的直線交于，交于點，且滿足？若存在，求出該定點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，不妨取，則；因為中，，所以的內(nèi)心在軸，設(shè)直線平分，交軸于，則為的內(nèi)心，且，所以，則；（2）∵橢圓和弦均關(guān)于軸上下對稱．若存在定點，則點必在軸上∴設(shè)當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)方程為，直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，則①∵點的橫坐標(biāo)為1，均在直線上，，整理得，因為點在橢圓外，則直線的斜率必存在．∴存在定點滿足題意題型二：存在點使斜率之和或之積為定值例4．（2024·山東泰安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知為坐標(biāo)原點，，，和交點為.(1)求點的軌跡；(2)直線和曲線交與兩點，試判斷是否存在定點使？如果存在，求出點坐標(biāo)，不存在請說明理由.【解析】（1）設(shè)點，，，即，點坐標(biāo)為，，即，點坐標(biāo)為，根據(jù)兩點坐標(biāo)可得，直線方程為：，直線方程為：，兩式移項相乘得：，整理得，點的軌跡為以為焦點，長軸長為的橢圓，即其方程為.（2）假設(shè)存在定點，設(shè)點坐標(biāo)為，，聯(lián)立方程組消得，直線與橢圓交于兩點，即，，，，，，整理得：，，對恒成立，，得，，所以存在定點坐標(biāo)為或.例5．（2024·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知點，，是異于A，的動點，，分別是直線，的斜率，且滿足.(1)求動點的軌跡方程；(2)在線段上是否存在定點，使得過點的直線交的軌跡于，兩點，且對直線上任意一點，都有直線，，的斜率成等差數(shù)列.若存在，求出定點，若不存在，請說明理由.【解析】（1）由題意，即，又直線，的斜率存在，所以點的軌跡方程為（2）若存在這樣的定點，不妨設(shè)為，令，，，直線的方程為，，由韋達定理得：，，，，，對任意成立，所以由得，所以，對任意成立，，經(jīng)檢驗，符合題意，所以，存在滿足題意.例6．（2024·吉林·吉林省實驗校考模擬預(yù)測）以雙曲線的右焦點為圓心作圓，與的一條漸近線相切于點(1)求的方程.(2)在軸上是否存在定點，過點任意作一條不與坐標(biāo)軸垂直的直線，當(dāng)與交于兩點時，直線的斜率之和為定值？若存在，求出點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【解析】（1）雙曲線的漸近線方程為，圓與直線切于點，所以代入得，①設(shè)，直線FQ有斜率，則，即，②又③由①②③解得，所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)存在滿足條件的定點，因為直線不與坐標(biāo)軸垂直，故設(shè)的方程為.由消去整理得，則即且因為，所以直線的斜率為.設(shè)為定值，即，即，即，整理得，所以，所以.因為為定值，且上式對任意恒成立，所以解得.將代入式解得或且.綜上，存在滿足條件的定點.變式5．（2024·湖北荊州·高二荊州中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知圓C方程為，橢圓中心在原點，焦點在x軸上.（1）證明圓C恒過一定點M，并求此定點M的坐標(biāo)；（2）判斷直線與圓C的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時，圓C與橢圓的左準(zhǔn)線相切，且橢圓過（1）中的點M，求此時橢圓方程；在x軸上是否存在兩定點A，B使得對橢圓上任意一點Q（異于長軸端點），直線，的斜率之積為定值？若存在，求出A，B坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）圓C的方程可化為：，由，解得，所以圓C過定點.（2）圓C的方程可化為：，圓心到直線l的距離為，所以直線與圓C相切.（3）當(dāng)時，圓C方程為，圓心為，半徑為10，與直線，即相切，所以橢圓的左準(zhǔn)線為，又橢圓過點，則，所以，解得，所以橢圓方程為.在橢圓上任取一點（），設(shè)定點，，則對恒成立，所以對恒成立，所以，故或，所以，或者，.變式6．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，焦距為2，實軸長為4.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點不與軸重合的直線與橢圓相交于，兩點，試問在軸上是否存在一個點，使得直線，的斜率之積恒為定值？若存在，求出該定值及點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為焦距為2，長軸長為4，即，，解得，，所以，所以橢圓的方程為．（2）由（1）知，設(shè)點，，，，，因為直線不與軸重合，所以設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，得，所以，所以，，又，直線，的斜率分別為，，所以，要使得直線，的斜率之積恒為定值，直線，解得，當(dāng)時，存在點，使得，當(dāng)時，存在點，使得，綜上，在軸上存在點，使得，的斜率之積恒為定值，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線，的斜率之積為定值，當(dāng)點的坐標(biāo)為時，直線，的斜率之積為定值．變式7．（2024·吉林長春·高三長春外國語學(xué)校?？奸_學(xué)考試）已知橢圓的離心率為，、分別是橢圓的左、右焦點，是橢圓上一點，且的周長是6.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)直線經(jīng)過橢圓的右焦點且與交于不同的兩點，，試問：在軸上是否存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值？若存在，請求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）由橢圓的定義知的周長為，所以，又因為橢圓的離心率，所以，聯(lián)立解得，，所以，所求橢圓方程為.（2）若存在滿足條件的點.當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，聯(lián)立，消得.設(shè)，，則，x，∵，∴要使對任意實數(shù)，為定值，則只有，此時，.當(dāng)直線與軸垂直時，若，也有.故在軸上存在點，使得直線與直線的斜率的和為定值0.變式8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)橢圓的離心率是，過點的動直線于橢圓相交于兩點，當(dāng)直線平行于軸時，直線被橢圓截得弦長為．（Ⅰ）求的方程；（Ⅱ）在上是否存在與點不同的定點，使得直線和的傾斜角互補？若存在，求的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（Ⅰ）由已知可得，橢圓經(jīng)過點，因此，,解得，所以橢圓E方程為；（Ⅱ）設(shè)點的坐標(biāo)為，當(dāng)直線與x軸垂直時，直線與的傾斜角均為，滿足題意，此時，且；當(dāng)直線的斜率存在時，可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，得，其判別式，，，直線的傾斜角互補，，∴，即，整理得，把，代入得，所以，即，綜上所述存在與點不同的定點滿足題意．題型三：存在點使兩角度相等例7．（2024·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）已知橢圓的左右焦點分別為，分別為橢圓的上，下頂點，到直線的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)直線與橢圓交于不同的兩點，直線分別交x軸于兩點．問：y軸上是否存在點R，使得？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）中由面積公式得，即，得，橢圓方程為；（2）如圖，假設(shè)存在點使得，設(shè)，，即，，即，直線與橢圓交于不同的兩點，易知關(guān)于對稱，設(shè)，則，由（1）知，直線的方程是，令得，直線方程是，令得，由，得，又在橢圓上，所以，即，，即.所以存在點，使得成立．例8．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓經(jīng)過點且兩個焦點及短軸兩頂點圍成四邊形的面積為.(1)求橢圓的方程和離心率；(2)設(shè)，為橢圓上不同的兩個點，直線與軸交于點，直線與軸交于點，且、、三點共線.其中為坐標(biāo)原點.問：軸上是否存在點，使得？若存在，求點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由.【解析】（1）依題意可得，，又，解得，所以橢圓方程為，則離心率（2）因為、、三點共線，根據(jù)橢圓的對稱性可知、關(guān)于點對稱，設(shè)點，則，所以直線的方程為，直線的方程為，所以點，．假設(shè)存在M使，，所以，又，所以，即，所以，設(shè)，則，，所以，即，又，所以，所以，解得，所以.例9．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測）已知點A是圓上的任意一點，點，線段AF的垂直平分線交AC于點P．(1)求動點P的軌跡E的方程；(2)若過點且斜率不為O的直線l交（1）中軌跡E于M、N兩點，O為坐標(biāo)原點，點．問：x軸上是否存在定點T，使得恒成立．若存在，請求出點T的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）由圓，可得圓心坐標(biāo)為，半徑，如圖所示，線段的垂直平分線交于點，所以，根據(jù)橢圓的定義可知點的軌跡是以為焦點的橢圓，且，可得，則，所以動點的軌跡方程為.（2）由題意，設(shè)直線的方程為，且，聯(lián)立方程組，整理得，則，解得且，設(shè)，所以根據(jù)橢圓的對稱性，不妨令在軸上方，且，顯然，假設(shè)存在使得恒成立，即恒成立，可得，即恒成立，即恒成立，又由，所以，所以，所以存在點，使得恒成立，變式9．（2024·陜西西安·陜西師大附中?？寄M預(yù)測）已知橢圓經(jīng)過點，過點的直線交該橢圓于，兩點.(1)求面積的最大值，并求此時直線的方程；(2)若直線與軸不垂直，在軸上是否存在點使得恒成立？若存在，求出的值；若不存在，說明理由.【解析】（1）將代入橢圓方程，得到，故，故橢圓方程為.當(dāng)直線的斜率為0時，此時三點共線，不合要求，舍去；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立，得，設(shè)，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，故面積的最大值為，此時直線的方程為或.（2）在x軸上存在點使得恒成立，理由如下：因為，所以，即，整理得，即，所以，則，解得，故在x軸上存在點，使得恒成立.變式10．（2024·四川成都·高三四川省成都市新都一中校聯(lián)考開學(xué)考試）已知橢圓過點，且上頂點與右頂點的距離為．(1)求橢圓的方程；(2)若過點的直線交橢圓于兩點，軸上是否存在點使得，若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）橢圓上頂點與右頂點的距離為，；又橢圓過點，；兩式聯(lián)立可解得：，，橢圓的方程為：.（2）當(dāng)直線與軸不重合時，設(shè)其方程為，，由得：，則，解得：或，，，假設(shè)存在點使得，即存在點使得，設(shè)點，則，，，又，，解得：，；當(dāng)直線與軸重合時，分別為橢圓左右頂點，若，此時顯然成立；綜上所述：軸上存在點滿足題意．變式11．（2024·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，記動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)已知直線：與曲線交于兩點，問曲線上是否存在兩點滿足，若存在，請求出兩點坐標(biāo)，不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)，動點到點的距離等于點到直線距離的倍，所以，化簡得.所以曲線的方程為.（2）存在兩點滿足.設(shè)聯(lián)立直線與雙曲線方程，有，由韋達定理，有，，，所以上式當(dāng)時，上式恒成立，即過定點，經(jīng)檢驗兩點恰在雙曲線上，且不與重合，故存在雙曲線上兩點滿足.題型四：存在點使等式恒成立例10．（2024·福建漳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知是圓：上的動點，點，直線與圓的另一個交點為，點在直線上，，動點的軌跡為曲線.(1)求曲線的方程；(2)若過點的直線與曲線相交于，兩點，且，都在軸上方，問：在軸上是否存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上?請你給出結(jié)論并證明.【解析】（1）圓的圓心為，半徑，因為，所以，又因為，所以，所以，所以點在以，為焦點，為實軸長的雙曲線上，設(shè)雙曲線的方程為，則，.所以，，又不可能在軸上，所以曲線的方程為.（2）在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在一條定直線上.證明如下：由條件可設(shè)：.代入，得，設(shè)，，則，得，所以所以，取，則又，都在軸上方，所以的平分線為定直線，所以在軸上存在定點，使得的內(nèi)心在定直線上.例11．（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知橢圓的左、右焦點分別為，過點且與直線垂直的直線交軸負(fù)半軸于，且．(1)求橢圓的離心率；(2)若過、、三點的圓恰好與直線相切，求橢圓的方程；(3)設(shè)．過橢圓右焦點且不與坐標(biāo)軸垂直的直線與橢圓交于、兩點，點是點關(guān)于軸的對稱點，在軸上是否存在一個定點，使得、、三點共線？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．【解析】（1）由題意知，由得是線段的中點，故.又因為直線與垂直，所以，即，所以橢圓的離心率為.（2）由（1）得過、、三點的圓的圓心為，半徑為.因為過、、三點的圓恰好與直線相切，所以，解得.又，所以，從而.故橢圓的方程為.（3）由（1）及得，，橢圓的方程為.設(shè)直線方程為，，則，聯(lián)立得，，.直線的方程為，令得.故在軸上存在一個定點，使得、、三點共線.例12．（2024·福建福州·福州三中?？寄M預(yù)測）如圖，雙曲線的中心在原點，焦點到漸近線的距離為，左、右頂點分別為A、B．曲線C是以雙曲線的實軸為長軸，虛軸為短軸，且離心率為的橢圓，設(shè)P在第一象限且在雙曲線上，直線BP交橢圓于點M，直線AP與橢圓交于另一點N．(1)求橢圓及雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)設(shè)MN與x軸交于點T，是否存在點P使得(其中，為點P，T的橫坐標(biāo))，若存在，求出P點的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．【解析】（1）由已知可設(shè)雙曲線方程為，橢圓方程，則雙曲線的一條漸近線方程為，即，故，即，又，解得，所以雙曲線方程：，橢圓方程為：；（2）設(shè)，，，，，P、A、N三點共線，，P、B、M三點共線，，相除：，令，則設(shè)：，聯(lián)立橢圓方程：，由在橢圓內(nèi)，故，所以，∴，，若存在，即，，得，又P在第一象限，所以，；法二：，，，，，直線AP：，，顯然，由，又因為P在雙曲線上，滿足，即，所以，即，同理BP：，可得，所以，若存在，即，而P在第一象限，所以，即.變式12．（2024·福建福州·福州四中校考模擬預(yù)測）已知在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左頂點和右焦點分別為，動點滿足，記動點的軌跡為曲線.(1)求的方程；(2)設(shè)點在上，過作的兩條切線，分別與軸相交于兩點.是否存在點，使得等于的短軸長？若存在，求點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）依題意知，，設(shè)，則由，得，即，曲線的方程為.（2）（方法一）設(shè)點，則，由題意知，的斜率存在，不妨依次設(shè)為，則直線的方程為，即，直線與圓相切，即，同理，可得，顯然是方程的兩根，，即，.設(shè)，則，由，得，由，得，存在點，或滿足題意.（方法二）設(shè)點在上，，由題意知，的斜率存在，分別為，則直線的方程為，直線與圓相切，，即，同理，可得，顯然是方程的兩根，，由，得，.由，得，存在點或滿足題意.變式13．（2024·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知點M到點的距離比它到直線l：的距離小，記動點M的軌跡為E.(1)求E的方程；(2)若過點F的直線交E于，兩點，則在x軸的正半軸上是否存在點P，使得PA，PB分別交E于另外兩點C，D，且？若存在，請求出P點坐標(biāo)，若不存在，請說明理由.【解析】（1）因為點M到點的距離比它到直線l：的距離小，所以點M到點的距離等于它到直線l：的距離，則點M的軌跡為以為焦點，以為準(zhǔn)線的拋物線，則曲線E的方程為.（2）設(shè)，由得：，且，得，即，所以，代入拋物線方程，得，整理得，同理可得故是方程的兩根，，由韋達定理可得①，由題意，直線AB的斜率一定存在，故設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，易得，由韋達定理可得②，由①②可得，故在x軸的正半軸上存在一點滿足條件.變式14．（2024·北京海淀·中關(guān)村中學(xué)?？既＃┮阎獧E圓的焦距為2，長軸長為4.(1)求橢圓的方程及離心率；(2)過點且與軸不重合的直線與橢圓交于不同的兩點、，點關(guān)于軸的對稱點為.問：平面內(nèi)是否存在定點，使得恒在直線上？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【解析】（1）因為橢圓的焦距為，長軸長為，所以，，則橢圓的離心率，所以，所以橢圓的方程為.（2）存在定點，使得恒在直線上.設(shè)直線為，，，則，聯(lián)立，消去得，，解得，則，，又直線的方程為，又，，恒過定點，故存在定點，使得恒在直線上.題型五：存在點使線段關(guān)系式為定值例13．（2024·全國·高三專題練習(xí)）橢圓經(jīng)過兩點，，過點的動直線與橢圓相交于，兩點．(1)求橢圓的方程；(2)若橢圓的右焦點是，其右準(zhǔn)線與軸交于點，直線的斜率為，直線的斜率為，求證：；(3)設(shè)點是橢圓的長軸上某一點（不為長軸頂點及坐標(biāo)原點），是否存在與點不同的定點，使得恒成立？只需寫出點的坐標(biāo)，無需證明．【解析】（1）設(shè)橢圓方程為，，，，橢圓經(jīng)過兩點，，，解得，，橢圓的方程為．（2）設(shè)，，則，，由題意，，，,,，，，，，若，則，結(jié)論成立．若，則，．（3）當(dāng)與軸平行時，設(shè)直線與橢圓相交于、兩點，如果存在定點滿足條件，則有，，在軸上，設(shè)，，當(dāng)直線與軸垂直時，設(shè)直線與橢圓相交于，兩點，則，的坐標(biāo)分別為,，,，由，有，解得，若存在不同于點不同的定點滿足條件，則點坐標(biāo)只可能為，．下面證明：對任意直線，均有，記直線的斜率為，直線的斜率為，設(shè)，，則，．由題意，,，，，，，若，則，符合題意；若，則，，設(shè)點關(guān)于軸對稱的點，，，A，三點共線，，對任意直線，均有．例14．（2024·福建寧德·?？寄M預(yù)測）已知雙曲線C與雙曲線有相同的漸近線，且過點.(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知點，E，F(xiàn)是雙曲線C上不同于D的兩點，且，于點G，證明:存在定點H，使為定值.【解析】（1）依題意，設(shè)雙曲線C的方程為，而點在雙曲線C上，于是，雙曲線C的方程為，即，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)直線的方程為：，設(shè)，由消去y并整理得，有，且，即且，有，又，，由，得，整理得，于是，化簡得，即，解得或，均滿足條件，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點，與已知矛盾，當(dāng)時，直線的方程為，直線過定點；當(dāng)直線的斜率不存在時，由對稱性不妨設(shè)直線的方程為：，由解得或，因此點的橫坐標(biāo)有，即直線過定點，綜上得直線過定點，由于，即點在以為直徑的圓上，為該圓圓心，為該圓半徑，所以存在定點，使為定值.例15．（2024·四川成都·高三?？茧A段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率為，過橢圓右焦點F的直線l與橢圓交于A，B兩點，當(dāng)直線l與x軸垂直時，．(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)直線l的斜率為k時，在x軸上是否存在一點P（異于點F），使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等？若存在，求P點坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【解析】（1）設(shè)橢圓C的半焦距為，由題意可得，解得，所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）由（1）可得：，根據(jù)題意可設(shè)直線，聯(lián)立方程，消去y得，則，可得，①由題意可知x軸為直線PA與直線PB的對稱軸，則，可得，因為，可得，整理得，②將①代入②得：，解得，所以存在點P，使x軸上任意一點到直線PA與到直線PB的距離相等，此時.變式15．（2024·陜西安康·陜西省安康中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知橢圓的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點，.直線（不經(jīng)過點）與橢圓交于兩點，，直線與橢圓交于另一點，點滿足，且在直線上.(1)求的方程；(2)證明：直線過定點，且存在另一個定點，使為定值.【解析】（1）設(shè)的方程為，則，解得，所以的方程為.（2）由題意可知直線的斜率存在且不為0，設(shè)的方程為，設(shè)點，，則，.聯(lián)立，消去，得，則，且，.所以，所以的方程為.令，則，所以直線恒過定點，設(shè)為點.又因為，在上，所以，則點在以為直徑的圓上，從而的中點，使為定值.變式16．（2024·湖南衡陽·高三衡陽市八中校考階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點，右頂點分別為，，，，點在線段上，且滿足，直線的斜率為1，為坐標(biāo)原點.(1)求雙曲線的方程.(2)過點的直線與雙曲線的右支相交于，兩點，在軸上是否存在與不同的定點，使得恒成立？若存在，求出點的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.【解析】（1）設(shè)，所以，，，因為點在線段上，且滿足，所以點，因為直線的斜率為1，所以，所以，因為，所以，解得，，.所以雙曲線的方程為.（2）假設(shè)在軸上存在與不同的定點，使得恒成立，當(dāng)直線l的斜率不存在時，E在x軸上任意位置，都有；當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時，設(shè)，直線l的方程為，直線與雙曲線的