奔馳定理與應用1.奔馳定理點是所在平面上不與重合的一點，若，則，即.反之亦然.證明：只證的情形，其它情形可類似證明．如圖1，由得.，存在點使得，且，，，同理有，，即，命題得證．圖1圖22.三角形四心的向量表達如圖2，為內(nèi)一點，設分別表示的邊長，則（1）為的重心；（2）為的外心；（3）為的內(nèi)心；（4）為的垂心.證明：（1）為的重心，如圖3.為邊中線，過作，過作由三角形相似可知，所以，同理可知，故可得如下結果，故.圖3圖4（2）如圖4.由同弦所對圓心角和圓周角，，，，則，因此得證..如圖5.設內(nèi)切圓半徑為，則，，故.圖5圖6如圖6，由于，從而可得，所以.則，最后，利用正弦定理可得：.另一方面.，那么，故可得在非直角三角形中為的垂心.3.小結：奔馳定理與三角形的“心”：若為所在平面上一點，則（奔馳定理）（1）為的重心.（2）為的內(nèi)心.（3）為的外心.（4）為的垂心.這樣，我們就以奔馳定理為基本依次推出了三角形四心的向量形式，下來，我們將重點介紹四心向量形式的應用.二．典例分析例1．已知點在內(nèi)，且滿足，設、、的面積依次為、、，則______．例3.解析：因為，所以，所以．例2.設為三角形ABC內(nèi)一點，且滿足關系式：_____.解析：將化為，.設M、N分別是AB、AC的中點，則.設△ABC的面積為S，由幾何關系知，，，所以.例3．幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結論.奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián).它的具體內(nèi)容是：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且.以下命題正確的有（

）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則解析：對A：如圖：取邊中點，連接，由，所以，所以、、三點共線，且，所以為的重心，故A正確；對B：如圖：因為則為內(nèi)心，可設內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，故B正確；對C：如圖：因為為的外心，設外接圓半徑為，有，，所以，，故，所以.故C正確；對D：由為的垂心，，所以.如圖：則，.設，，則，，所以.所以.故D錯誤.故選：ABC例4．已知點，是橢圓Ω的兩個焦點，P是橢圓Ω上一點，的內(nèi)切圓的圓心為Q．若，則橢圓Ω的離心率為（

）A． B． C． D．解析：不妨設橢圓的方程為：，，則有，，所以，所以，所以的內(nèi)切圓的半徑為，由橢圓定義可得，所以.故選：D.例5．奔馳定理是一個關于三角形的幾何定理，它的圖形形狀和奔馳轎車logo相似，因此得名.如圖，P是內(nèi)的任意一點，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，總有優(yōu)美等式：.

(1)若P是的內(nèi)心，，延長AP交BC于點D，求；(2)若P是銳角的外心，，，求的取值范圍.解析：（1）由于P是的內(nèi)心，設內(nèi)切圓的半徑為，由可得，即，由，不妨設，故，設，則，故，由于與共線，而與不共線，因此必然