PAGEPAGE1微專題五三角函數問題的多解探究[解題技法]三角函數是中學數學的重要內容，是每年高考的必考學問點，也是與其它學問交匯頻率較高的學問點，它與數列、向量、方程、不等式、解析幾何等學問緊密聯(lián)系，歷來倍受各級各類命題者的青睞．題目已知3cosx＋4sinx＝5，求tanx的值．解方法一構造方程由3cosx＋4sinx＝5兩邊平方，得9cos2x＋24sinxcosx＋16sin2x＝25.而25＝25(sin2x＋cos2x)，所以上式可整理為9sin2x－24sinxcosx＋16cos2x＝0.即(3sinx－4cosx)2＝0.所以3sinx－4cosx＝0，解得tanx＝eq\f(4,3).方法二構造方程組由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(sin2x＋cos2x＝1，,3cosx＋4sinx＝5，))消去cosx，整理得(5sinx－4)2＝0.解得sinx＝eq\f(4,5)，cosx＝eq\f(3,5).故tanx＝eq\f(sinx,cosx)＝eq\f(4,3).方法三構造協(xié)助角eq\f(3,4).所以x＋φ＝2kπ＋eq\f(π,2)(k∈Z)，于是tanx＝taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)－φ))＝cotφ＝eq\f(4,3).方法四代數換元令tanx＝t，即tcosx＝sinx，代入3cosx＋4sinx＝5，得3cosx＋4tcosx＝5，cosx＝eq\f(5,4t＋3)，sinx＝eq\f(5t,4t＋3).再代入sin2x＋cos2x＝1，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,4t＋3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5t,4t＋3)))2＝1.解得t＝eq\f(4,3)，即tanx＝eq\f(4,3).方法五運用三角函數定義設P(m，n)為角x終邊上隨意一點，P點到原點O的距離為r，則r＝eq\r(m2＋n2).把sinx＝eq\f(n,r)，cosx＝eq\f(m,r)代入已知等式得3·eq\f(m,r)＋4·eq\f(n,r)＝5.即(3m＋4n)2＝(5r)2＝25(m2＋n2)．整理得(4m－3n)2＝0.所以4m＝3n，明顯m≠0.故tanx＝eq\f(n,m)＝eq\f(4,3).方法六構造直線斜率由3cosx＋4sinx＝5可知點A(cosx，sinx)在直線3x＋4y＝5上，同時也在單位圓x2＋y2＝1上，所以點A為直線與單位圓的切點．由于直線的斜率為－eq\f(3,4)，所以OA的斜率為eq\f(4,3)，即tanx＝eq\f(4,3).方法七構造單位圓因為3cosx＋4sinx＝5，即eq\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1.設A(cosx，sinx)，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，則點A，B均在單位圓x2＋y2＝1上．所以過B點的切線方程為eq\f(3,5)x＋eq\f(4,5)y＝1.可知點A(cosx，sinx)也在切線eq\f(3,5)x＋eq\f(4,5)y＝1上，從而點A也是切點，由切點的唯一性也可知A，B兩點重合，所以cosx＝eq\f(3,5)，sinx＝eq\f(4,5)，即tanx＝eq\f(4,3).方法八構造平面對量因為eq\f(3,5)cosx＋eq\f(4,5)sinx＝1，不妨令m＝(cosx，sinx)，n＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,5)，\f(4,5)))，可知|m|＝1，|n|＝1.所以m，n均為單位向