高中數(shù)學(xué)《高中全程學(xué)習(xí)方略》2025版必修第一冊第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)含答案第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)大銜接·進(jìn)階之梯(1)初中階段已經(jīng)學(xué)過整數(shù)指數(shù)冪,到了高中需要把指數(shù)的范圍拓展到全體實數(shù);(2)指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)是兩類重要的基本初等函數(shù),本章在第三章“函數(shù)的概念與性質(zhì)”中研究函數(shù)的一般方法的指引下,借助研究冪函數(shù)的經(jīng)驗,學(xué)習(xí)這兩類函數(shù),認(rèn)識它們的變化規(guī)律,進(jìn)一步理解函數(shù)的概念,并利用它們建立函數(shù)模型解決實際問題.比較內(nèi)容研究路徑內(nèi)容研究重心第三章冪函數(shù)背景-概念-圖象與性質(zhì)-應(yīng)用函數(shù)的應(yīng)用(一)反比例、一次、二次、冪函數(shù)模型第四章指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)函數(shù)的應(yīng)用(二)指數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型大概念·串珠成鏈大策略·好學(xué)深思1.“一個”思路:研究具體函數(shù)的基本思路:“背景-概念-圖象與性質(zhì)-應(yīng)用”,目的是使學(xué)生更好地理解研究函數(shù)的基本思路與方法,并將其應(yīng)用于研究新函數(shù).2.“兩種”運(yùn)算:(1)指數(shù)運(yùn)算;(2)對數(shù)運(yùn)算.3.“三種”方法:(1)以具體函數(shù)為載體進(jìn)一步理解函數(shù)的思想:本章通過兩類基本初等函數(shù)的學(xué)習(xí),讓學(xué)生進(jìn)一步理解函數(shù)概念的本質(zhì),即兩個數(shù)集之間的一種特殊的對應(yīng)關(guān)系.(2)加強(qiáng)“形”與“數(shù)”的融合,注重借助信息技術(shù)工具:研究指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù),從某種意義上說就是研究這些曲線的性質(zhì)、變化,要充分運(yùn)用圖象,觀察歸納出共同特征,抽象出函數(shù)的性質(zhì).(3)注重比較不同函數(shù)的增長差異,進(jìn)一步理解不同函數(shù)的變化規(guī)律.4.“四個”培養(yǎng):(1)用函數(shù)的觀點(diǎn)聯(lián)系相關(guān)內(nèi)容,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)整體觀.(2)加強(qiáng)背景和應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng).(3)通過無理指數(shù)冪的教學(xué),培養(yǎng)學(xué)生的極限思想.(4)弘揚(yáng)中華優(yōu)秀文化,培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感.階段提升課題型一任意角與弧度制1.問題類型:表示終邊相同的角與區(qū)域角,判斷角αn與角nα2.解題關(guān)鍵:熟悉角度制與弧度制的互化,會根據(jù)終邊的位置表示角;3.核心素養(yǎng):提升直觀想象與邏輯推理能力.【典例1】(1)(2024·北京高一檢測)下列與7π4A.2kπ+315°(k∈Z) B.k·360°-45°(k∈Z)C.k·360°+7π4(k∈Z) D.2kπ+5π4(k【解析】選B.因為74πrad=315°,終邊落在第四象限,且與-45°角終邊相同,故與7π4的終邊相同的角的集合S={α|α=315°+k·360°,k∈Z}={α|α=-45°+k·360°,k即選項B正確;選項A,C書寫不規(guī)范,選項D表示角終邊在第三象限.(2)(2024·欽州高一檢測)集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示的范圍(用陰影表示)是圖中的()【解析】選B.集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中,當(dāng)k為偶數(shù)時,此集合與{α|0°≤α≤45°}表示的角終邊相同,位于第一象限;當(dāng)k為奇數(shù)時,此集合與{α|180°≤α≤225°}表示的角終邊相同,位于第三象限.所以集合{α|k·180°≤α≤k·180°+45°,k∈Z}中角表示的范圍為選項B中陰影所示.【總結(jié)升華】關(guān)于任意角與弧度制(1)終邊相同的角都可以用α+k·360°(k∈Z)或α+2kπ(k∈Z)的形式表示;(2)表示區(qū)域角按逆時針方向找到區(qū)域的起始邊界和終止邊界,加上180°或360°的整數(shù)倍;(3)確定αn與nα所在象限的方法是用不等式表示出所求角的范圍,然后根據(jù)k(4)解決扇形的面積或周長等最值問題的關(guān)鍵是運(yùn)用函數(shù)與方程或不等式思想.【即學(xué)即練】1.設(shè)α是第二象限角,則α3A.第一、二、三象限 B.第二、三、四象限C.第一、三、四象限 D.第一、二、四象限【分析】由2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈Z,得到2kπ3+π6<α3<2kπ3【解析】選D.因為α是第二象限角,所以2kπ+π2<α<2kπ+π,k∈2kπ3+π6<α3<2k當(dāng)k=0時,π6<α3<當(dāng)k=1時,5π6<α當(dāng)k=2時,3π2<α3<5π2.(2024·漢中高一檢測)已知扇形的周長為100cm,則該扇形的面積S的最大值為()A.100cm2 B.625cm2C.1250cm2 D.2500cm2【解析】選B.設(shè)扇形的半徑為R,弧長為l,由扇形的周長為100cm,所以2R+l=100?l=100-2R,所以扇形的面積S=12lR=12R(100-2R)=-R2+50當(dāng)R=25時,Smax=-252+50×25=625cm2.題型二三角函數(shù)的概念1.問題類型:求任意角的三角函數(shù)值,確定象限角及三角函數(shù)值符號;2.解題關(guān)鍵:熟悉三角函數(shù)定義;3.核心素養(yǎng):提升直觀想象與邏輯推理能力.【典例2】(1)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2π3,cos2π3),則角αA.5π6 B.2π3 C.-5π6 【解析】選D.因為角α終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為(sin2π3,cos2π3),所以有tanα=cos2π因為cos2π3=-12<0,sin2π3所以角α是第四象限角,所以角α的最小正值為2π-π6=11π(2)若角α的終邊與直線y=3x重合且sinα<0,又P(m,n)是α終邊上一點(diǎn),坐標(biāo)原點(diǎn)為O,且|OP|=10,則m-n=.

【解析】因為y=3x,sinα<0,所以點(diǎn)P(m,n)位于y=3x在第三象限的圖象上,且m<0,n<0,n=3m.所以|OP|=m2+n2=10|m|=-10m=10.所以m=-1,n=-3,所以m答案:2【總結(jié)升華】關(guān)于三角函數(shù)概念的應(yīng)用解決與三角函數(shù)概念相關(guān)的問題,要特別注意兩點(diǎn),一是三角函數(shù)定義,二是誘導(dǎo)公式的應(yīng)用.題型三同角三角函數(shù)關(guān)系1.問題類型:與三角函數(shù)有關(guān)的求值、化簡、證明;2.解題關(guān)鍵:靈活運(yùn)用同角三角函數(shù)的兩個基本關(guān)系;3.核心素養(yǎng):提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例3】(1)①已知α是第二象限的角,若cosα=-817,求sinα,tanα的值②已知tanα=2,求3sinα-【解析】①cosα=-817,α故sinα>0,因為sin2α+cos2α=1,所以sinα=1-cos2α=tanα=sinαcosα=15②因為tanα=2,所以3sinα-cosα2sinα+3cos(2)已知sinθ,cosθ是關(guān)于x的方程x2-22ax+a=0的兩個根.①求實數(shù)a的值;②若θ是第四象限的角,求sinθ-cosθ的值.【解析】①由題意Δ=8a2-4a≥0因為(sinθ+cosθ)2=1+2sinθcosθ=8a2,所以1+2a=8a2,解得a=-14或a=1所以a=-14或a=1②因為θ是第四象限的角,所以sinθ<0,cosθ>0,所以a=-14且sinθ-cosθ所以(sinθ-cosθ)2=1-2sinθcosθ=32則sinθ-cosθ=-62【總結(jié)升華】關(guān)于同角三角函數(shù)基本關(guān)系的應(yīng)用解決與同角三角函數(shù)基本關(guān)系有關(guān)的問題,要特別注意三點(diǎn),一是正弦、余弦、正切的互化,二是公式的靈活變形應(yīng)用,如“1”的代換,三是利用平方關(guān)系求值時要關(guān)注角所在的象限.【即學(xué)即練】已知在△ABC中,sinA+cosA=15(1)求sinA·cosA;【解析】(1)因為sinA+cosA=15,所以兩邊平方得1+2sinA·cosA=1所以sinA·cosA=-1225(2)判斷△ABC是銳角三角形還是鈍角三角形;【解析】(2)由(1)sinA·cosA=-1225<0,且0<A<π,可知cosA<0,所以A為鈍角,所以△ABC是鈍角三角形(3)求tanA的值.【解析】(3)因為(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA=4925sinA>0,cosA<0,所以sinA-cosA=75所以sinA=45,cosA=-35,所以tanA=sinA題型四誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用1.問題類型:與三角函數(shù)有關(guān)的求值、化簡、證明;2.解題關(guān)鍵:熟悉誘導(dǎo)公式一~六;3.核心素養(yǎng):提升邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.【典例4】(1)已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合,始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,它的終邊過點(diǎn)P(1213,513①求sin(α+π)的值;②若角β就是將角α的終邊順時針旋轉(zhuǎn)3π2得到的,求5sinβ-5cosβ+3tanβ的值【解析】①根據(jù)題意,得sinα=513(513)

2+(1213)

2=5所以sin(α+π)=-sinα=-513②根據(jù)題意,得β=α-3π2所以5sinβ-5cosβ+3tanβ=5sin(α-3π2)-5cos(α-3π2)+3tan)α-=5cosα+5sinα-3=5×1213+5×513-3×125(2)已知cosα=13,且-π2<α<0,化簡并求cos【解析】因為co