8.6空間直線、平面的垂直

8．6.1直線與直線垂直明確目標(biāo)發(fā)展素養(yǎng)1.借助長(zhǎng)方體，通過直觀感知，了解空間中直線與直線的垂直關(guān)系．2.理解異面直線所成的角，并掌握兩異面直線所成角的求法.在計(jì)算兩異面直線所成的角及證明直線與直線垂直的過程中，要利用空間的線、面位置關(guān)系，并進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).a′與b′直角a⊥b[微思考]

空間中兩條直線所成的角的范圍與異面直線所成的角的范圍有區(qū)別嗎？提示：有區(qū)別，空間兩條直線所成角α的取值范圍是0°≤α≤90°.異面直線所成角只能是銳角和直角．(二)基本知能小試1．判斷正誤：(1)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條直線也與這條直線垂直．

()(2)異面直線所成的角的大小與點(diǎn)O的位置有關(guān)，即點(diǎn)O位置不同時(shí)，這一角的大小也不同．

()(3)若∠AOB＝110°，則分別和邊OA，OB平行的兩條異面直線所成的角為110°.

()√××答案：C題型一異面直線所成的角

【學(xué)透用活】準(zhǔn)確認(rèn)識(shí)異面直線所成的角(1)任意性與無關(guān)性：在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以斷定異面直線所成的角與a′，b′所成的銳角(或直角)相等，而與點(diǎn)O的位置無關(guān)．(2)轉(zhuǎn)化求角：異面直線所成的角是刻畫兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)重要的量，通過轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來計(jì)算．[方法技巧]求異面直線所成的角的一般步驟(1)找角：根據(jù)異面直線的定義，通過作平行線或平移平行線，作出異面直線夾角的相關(guān)角．(2)證明：證明找出的角就是異面直線所成的角．(3)求角：求角度，一般常利用解三角形得出．(4)定角：若求出的角是銳角或是直角，則它就是所求異面直線所成的角；若求出的角是鈍角，則它的補(bǔ)角就是所求異面直線所成的角．

[方法技巧]證明空間的兩條直線垂直的方法(1)定義法：利用兩條直線所成的角為90°證明兩直線垂直．(2)平面幾何圖形性質(zhì)法：利用勾股定理、菱形的對(duì)角線相互垂直、等腰三角形(等邊三角形)底邊的中線和底邊垂直等．

[方法技巧]1．關(guān)于補(bǔ)形作異面直線所成的角當(dāng)不方便作異面直線所成角時(shí)，可以考慮補(bǔ)形，一是補(bǔ)一個(gè)相同形狀的幾何體，以方便作平行直線；二是將不常見的幾何體補(bǔ)成一個(gè)常見的幾何體，如四棱錐補(bǔ)成一個(gè)正方體．2．關(guān)于異面直線的應(yīng)用當(dāng)已知條件中含有異面直線所成角時(shí)，應(yīng)先作出該角，才能應(yīng)用此條件，但要注意作出的角不一定是已知異面直線所成角，也可能是已知角的補(bǔ)角，應(yīng)分情況討論．

解：如圖，取BC的中點(diǎn)O，連接OE，OF.∵E，F(xiàn)分別是AB，CD的中點(diǎn)，∴OE=?AC，OF=?BD.∴OE與OF所成的銳角(或直角)即為直線AC與BD所成的角．已知AC，BD所成的角為60°，∴∠EOF＝60°或∠EOF＝120°.當(dāng)∠EOF＝60°時(shí)，EF＝OE＝OF＝?.【課堂思維激活】一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．分析以上解析過程，試找出解答的錯(cuò)因，并寫出正確的解題過程．提示：異面直線所成的角α的范圍是0